1.5 等腰三角形(3)—等边三角形 课时作业 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦等边三角形性质与判定，通过基础选择填空、中档综合应用、提高拓展探究三层设计，实现从单一知识点到综合能力的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|等边三角形基本性质与计算|第1题直接应用三线合一求角度，夯实概念理解| |中档|性质与角平分线、垂直平分线结合|第5题多结论判断综合性质，提升推理意识| |提高|动态问题与拓展探究|第15题动点分类讨论，发展创新意识与应用能力|

1.5 等腰三角形(3)---等边三角形 1．（2025秋•兴安盟期末）如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 2．（2026春•富平县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝60°，AD是△ABC的角平分线，若AB＝4，则BD的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 第1题 第2题 第3题 3．（2025秋•嵩明县期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 4．（2025秋•瑶海区校级期末）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使得CE＝CD，连接DE，过点E作EF⊥DE交AC的延长线于点F，若△ABD的面积为12，则△CEF的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 第4题 第5题 5．（2025秋•泗水县期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，AB与ED相交于点F．有以下结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD，其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2025秋•合江县月考）△ABC的三边长分别为a，b，c，满足（a﹣4）2+|b﹣4|+|4﹣c|＝0，则∠A＝　 　 °． 7．（2026春•丰泽区校级同步）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，CD⊥AC交AB于点D，CD＝1，则AB的长是　 　 ．第8题 第7题 8．（2026春•碑林区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝4，CD是∠ACB的角平分线，点E、F分别在边BC、CA上且∠EDF＝120°，DF∥BC，则四边形CEDF的周长是　 　 ． 9．（2026春•耀州区期中）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝2，则OM的长是　 　 ．第9题 第10题 10．（2026春•宝鸡校级期末）如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别是AB，BC的中点，点P是线段AE上任意一点，若AE＝7，则BP+DP最小值是　 　 ． 11．（2025秋•沂源县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若∠B＝30°，CD＝5． （1）求BD的长； （2）AE与BE相等吗？说明理由． 12．（2026春•锦江区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB，BC于点D，E，连接CD，AE． （1）求证：AD＝AC＝CD； （2）点E在线段CD的垂直平分线上吗？请说明理由． 13．（2025秋•青阳县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F． （1）求证：∠AFC＝120°； （2）若CE⊥AB，求证：AC＝2AE． 14．（2025秋•永兴县期末）如图，在△ABD与△BCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠DAB＝60°，过点C作CE∥BA，交AD于E，交BD于点F，连结AC，交BD于H． （1）判断△DEF的形状，并说明理由． （2）求证：AC平分∠DAB． （3）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． 15．（2025秋•鞍山月考）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE　 　 DB（填“＞”、“＜”或“＝”）． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE　 　 DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）． （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 1.5 等腰三角形(3)---等边三角形 参考答案与试题解析 1．（2025秋•兴安盟期末）如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是（　B　） A．10° B．15° C．20° D．25° 2．（2026春•富平县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝60°，AD是△ABC的角平分线，若AB＝4，则BD的长为（　B　） A．1 B．2 C．3 D．4 第1题 第2题 第3题 3．（2025秋•嵩明县期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　C　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 4．（2025秋•瑶海区校级期末）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使得CE＝CD，连接DE，过点E作EF⊥DE交AC的延长线于点F，若△ABD的面积为12，则△CEF的面积为（　C　） A．3 B．4 C．6 D．8 第4题 第5题 5．（2025秋•泗水县期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，AB与ED相交于点F．有以下结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD，其中正确的个数是（　D　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2025秋•合江县月考）△ABC的三边长分别为a，b，c，满足（a﹣4）2+|b﹣4|+|4﹣c|＝0，则∠A＝　60　 °． 7．（2026春•丰泽区校级同步）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，CD⊥AC交AB于点D，CD＝1，则AB的长是　 3　 ．第8题 第7题 8．（2026春•碑林区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝4，CD是∠ACB的角平分线，点E、F分别在边BC、CA上且∠EDF＝120°，DF∥BC，则四边形CEDF的周长是　 　　 ． 9．（2026春•耀州区期中）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝2，则OM的长是　3 　 ． 解：过P作PD⊥OB于点D， 在Rt△OPD中， ∵∠ODP＝90°，∠POD＝60°， ∴∠OPD＝30°， ∴， ∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2， ∴， ∴OM＝OD﹣MD＝4﹣1＝3． 10．（2026春•宝鸡校级期末）如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别是AB，BC的中点，点P是线段AE上任意一点，若AE＝7，则BP+DP最小值是　7 　 ． 解：如图，连接DC交AE于点Q，连接CP，BQ， ∵AE为等边三角形的中线， ∴AE⊥BC， ∴AE垂直平分BC， ∴BQ＝CQ，BP＝CP（线段垂直平分线的性质）， ∴BP+PD＝CP+PD， ∵两点之间线段最短， ∴C、P、D在同一直线上时，CP+PD最小，即BP+DP最小， ∵D是AB的中点，△ABC是等边三角形， ∵CD⊥AB，CD＝AE＝7， ∴CP+PD＝CD＝7， 即BP+DP的最小值为7， 11．（2025秋•沂源县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若∠B＝30°，CD＝5． （1）求BD的长； （2）AE与BE相等吗？说明理由． 解：（1）∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE＝5， ∵∠B＝30°， ∴BD＝2DE＝10， （2）AE与BE相等，理由如下： ∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°， ∵AD平分∠CAB交CB于点D， ∴∠DAB＝30°， ∴AD＝BD， ∵DE⊥AB， ∴AE＝BE． 12．（2026春•锦江区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB，BC于点D，E，连接CD，AE． （1）求证：AD＝AC＝CD； （2）点E在线段CD的垂直平分线上吗？请说明理由． （1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°，， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴（线段垂直平分线的性质）， ∴AD＝AC， ∴△ADC是等边三角形， ∴AD＝AC＝CD（等边三角形的性质）； （2）解：在，理由如下： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE，DE⊥AB（线段垂直平分线的性质）， ∴∠EAB＝∠B＝30°， ∴∠BAE＝∠CAE， ∴AE平分∠BAC， ∵DE⊥AB，AC⊥BC， ∴DE＝EC， ∵△ADC是等边三角形， ∴AD＝AC（等边三角形的性质）， ∴点E在CD的垂直平分线上． 13．（2025秋•青阳县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F． （1）求证：∠AFC＝120°； （2）若CE⊥AB，求证：AC＝2AE． （1）证明：在△ABC中，∠ABC＝60°， ∴∠ACB+∠CAB＝120°， ∵AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F， ∴， ∴； （2）证明：∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝∠CEA＝90°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ECB＝30°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠ECB＝30°， ∴AC＝2AE． 14．（2025秋•永兴县期末）如图，在△ABD与△BCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠DAB＝60°，过点C作CE∥BA，交AD于E，交BD于点F，连结AC，交BD于H． （1）判断△DEF的形状，并说明理由． （2）求证：AC平分∠DAB． （3）若AD＝12，CE＝8，求CF的长． （1）解：△DEF是等边三角形，理由如下； ∵AB＝AD，∠DAB＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°， ∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE， ∴△DEF是等边三角形； （2）证明：∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AC是BD的垂直平分线， 即AC⊥BD， ∵AB＝AD， ∴AC平分∠DAB； （3）解：∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°， ∵CE∥AB， ∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°， ∴AE＝CE＝8， ∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4， ∵△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE＝4， ∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4． 15．（2025秋•鞍山月考）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE　＝　 DB（填“＞”、“＜”或“＝”）． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE　＝　 DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）． （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB； （2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F， 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴△AEF为等边三角形， ∴AE＝EF，BE＝CF， ∵ED＝EC， ∴∠D＝∠ECD， ∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD， ∴∠DEB＝∠ECF， 在△DBE和△EFC中， ， ∴△DBE≌△EFC（SAS）， ∴DB＝EF， 则AE＝DB； （3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形， 如图所示，同理可得△DBE≌△CFE， ∵AB＝1，AE＝2， ∴BE＝1， ∵DB＝FC＝FB+BC＝2， 则CD＝BC+DB＝3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $