1.5 等腰三角形 同步练习-2026-2027学年苏科版八年级上册数学

**基本信息** 聚焦等腰三角形性质与判定，通过基础巩固、中档推理到综合探究的三层设计，培养几何直观与推理能力，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（8题）|等腰三角形定义、底角计算、周长公式、中位线性质|直接应用概念，如“等腰三角形外角求底角”，强化运算能力| |中档层（7题）|角度转化、分类讨论、全等证明、垂直平分线性质|需逻辑推理，如“含角平分线的角度计算”，发展推理意识| |提高层（3题）|动态几何、面积最值、多结论探究|结合运动变化，如“点D运动中△ADE形状判断”，培养创新思维与模型意识|

1.5 等腰三角形 一．选择题（共8小题） 1．如图所示，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE为（　　） A．40° B．50° C．42° D．45° 2．等腰三角形的一个外角为100°，则它的底角为（　　） A．70° B．50°或70° C．40° D．50°或80° 3．如图，已知等边△ABC的周长为60，点D．E分别是边AB、BC的中点，连接DE，则DE＝（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 4．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为（　　） A．140° B．160° C．170° D．150° 5．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，∠BAC的角平分线AD⊥BD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（　　） A．1.5 B．3 C．4.5 D．9 6．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（　　） A．12 B．16 C．20 D．16或20 7．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 8．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 二．填空题（共5小题） 9．若等腰三角形的两边长分别是10cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是　 　 cm． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10cm，点D在AC上，CD＝4cm．将线段CD沿着CB的方向平移4cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为　 　 cm． 11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，AB＝8，点D为斜边AC的中点，则BD＝　 　 ． 12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是　 　 ． 13．如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA＝CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为　 　 ． 三．解答题（共5小题） 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AF平分∠BAC，DE垂直平分AC，交BC于点E，连接AE．已知∠B＝50°，求∠FAE的度数． 15．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点．点F在BC上，连接AF，EF．当EF∥BD时，试判断AF与BC的位置关系，并说明理由． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠BAD． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E． （1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝　 　 °，∠DEC＝　 　 °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 　 　 （填“大”或“小”）； （2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．【解答】解：设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y． ∵AE＝AC， ∴∠ACE＝∠AEC＝x+y， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣x﹣y+x＝90°﹣y． 在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC＝180°， ∴x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°， 解得x＝45°， ∴∠DCE＝45°． 故选：D． 2．【解答】解：由条件可知等腰三角形的一个内角为180°﹣100°＝80°，分两种情况进行分类讨论如下： ①当80°为顶角时， 其他两角都为50°、50°； ②当80°为底角时， 其他两角为80°、20°， 所以等腰三角形的底角可以是50°，也可以是80°． 故选：D． 3．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且周长为60， ∴AB＝BC＝AC＝6020（等边三角形的性质）， ∵D、E分别是边AB、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴， 则DE的长为10， 故选：D． 4．【解答】解：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD＝20°， ∴∠COA＝90°﹣20°＝70°， ∴∠BOC＝90°+70°＝160°． 故选：B． 5．【解答】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O． ∵AD⊥BH， ∴∠ADB＝∠ADH＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°， ∵∠BAD＝∠HAD， ∴∠ABD＝∠H， ∴AB＝AH，∵AD⊥BH， ∴BD＝DH， ∵DC＝CA， ∴∠CDA＝∠CAD， ∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°， ∴∠CDH＝∠H， ∴CD＝CH＝AC， ∵AE＝EC， ∴S△ABES△ABH，S△CDHS△ABH， ∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD， ∵AC＝CD＝3， ∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为3×3． 故选：C． 6．【解答】解：①当4为腰时，4+4＝8，故此种情况不存在； ②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意． 故此三角形的周长＝8+8+4＝20． 故选：C． 7．【解答】解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝70°， ∴∠B＝∠ADB＝70°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝110°， ∵AD＝CD， ∴∠C＝（180°﹣∠ADC）÷2＝（180°﹣110°）÷2＝35°， 故选：A． 8．【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴∠OBA∠CBA，∠OAB∠CAB， ∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°∠CBA∠CAB＝180°（180°﹣∠C）＝90°∠C，①正确； ∵∠C＝60°， ∴∠BAC+∠ABC＝120°， ∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线， ∴∠OAB+∠OBA（∠BAC+∠ABC）＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴∠AOF＝60°， ∴∠BOE＝60°， 如图，在AB上取一点H，使BH＝BE， ∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠HBO＝∠EBO， 在△HBO和△EBO中，， ∴△HBO≌△EBO（SAS）， ∴∠BOH＝∠BOE＝60°， ∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠AOH＝∠AOF， 在△HAO和△FAO中， ， ∴△HAO≌△FAO（ASA）， ∴AF＝AH， ∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确； 作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M， ∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴点O在∠C的平分线上， ∴OH＝OM＝OD＝a， ∵AB+AC+BC＝2b， ∴S△ABCAB×OMAC×OHBC×OD（AB+AC+BC）•a＝ab，③正确． 故选：C． 二．填空题（共5小题） 9．【解答】解：分以下两种情况讨论如下： 当边长为5cm的边为腰时， 三角形的三边长分别为5cm，5cm，10cm， 因为5+5＝10，不满足三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，因此这种情况不成立，舍去； 当边长为10cm的边为腰时， 三角形的三边长分别为10cm，10cm，5cm， 满足三角形的三边关系定理， 此时这个等腰三角形的周长为10+10+5＝25（cm）． 故答案为：25． 10．【解答】解：∵将CD沿CB的方向平移4cm得到线段EF， ∴EF＝DC＝4cm，FC＝4cm，EF∥CD， ∴∠C＝∠BFE， ∵AB＝AC，BC＝10cm， ∴∠B＝∠C，BF＝10﹣4＝6（cm）， ∴∠B＝∠BFE， ∴BE＝EF＝4cm， ∴4+4+6＝14（cm），即△EBF的周长为14cm， 故答案为：14． 11．【解答】解：由勾股定理得，， ∵∠ABC＝90°， D是AC的中点， ∴． 12．【解答】解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°＝110°； 当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部， 故顶角是90°﹣20°＝70°． 故答案为：110°或70°． 13．【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F，如图所示： ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFM＝∠QCM，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°， ∴△APF是等边三角形， ∴AP＝PF＝AF， ∵PE⊥AC， ∴AE＝EF， ∵AP＝PF，AP＝CQ， ∴PF＝CQ， 在△PFM和△QCM中， ， ∴△PFM≌△QCM（AAS）， ∴FM＝CM， ∵AE＝EF， ∴EF+FM＝AE+CM， ∴AE+CM＝MEAC， ∵AC＝3， ∴ME， 故答案为：． 三．解答题（共5小题） 14．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°， ∴∠C＝∠B＝50°， ∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠C＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°， ∵AF平分∠BAC， ∴∠FAC∠BAC＝40°， ∴∠FAE＝50°﹣40°＝10°． 15．【解答】解：AF⊥BC，理由如下： ∵点E是AC边中点， ∴AE＝CE， ∵EF∥BD， ∴， ∴CF＝BF， ∴点F是BC的中点 ∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC， ∴AF⊥BC． 16．【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△ECF中 ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△DBE≌△ECF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B（180°﹣40°）＝70° ∴∠1+∠2＝110° ∴∠3+∠2＝110° ∴∠DEF＝70° 17．【解答】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝∠ADC＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣∠C，∠CAD＝90°﹣∠C， ∴∠CBE＝∠CAD， ∴∠CBE＝∠BAD． 18．【解答】解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°， ∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°， ∠BDA逐渐变小； 故答案为：25°，115°，小； （2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE， 理由：∵∠C＝40°， ∴∠DEC+∠EDC＝140°， 又∵∠ADE＝40°， ∴∠ADB+∠EDC＝140°， ∴∠ADB＝∠DEC， 又∵AB＝DC＝2， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， （3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形， 理由：∵∠BDA＝110°时， ∴∠ADC＝70°， ∵∠C＝40°， ∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°， ∴∠DAC＝∠AED， ∴△ADE的形状是等腰三角形； ∵当∠BDA的度数为80°时， ∴∠ADC＝100°， ∵∠C＝40°， ∴∠DAC＝40°， ∴∠DAC＝∠ADE， ∴△ADE的形状是等腰三角形 学科网（北京）股份有限公司 $