第3章 圆『高频易错题型培优讲练』导图+易错卡片+20个题型讲练+优选题拔尖练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学单元复习讲义针对苏科版九年级上册“圆”，通过易错卡片和20个题型分类框架系统梳理知识体系，涵盖圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理等核心内容，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于“典例精讲+变式训练”的分层设计，如题型七证明切线培养推理能力，题型十四尺规作图发展几何直观，优选题拔尖练满足不同层次学生需求。解析思路清晰，助力学生自主复习，为教师提供精准教学资源。

第3章 圆『高频易错题型培优讲练』 「易错卡片+20个题型讲练+优选题拔尖练 共55题」 【2026-2027学年苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编易错点知识卡片，高频易错题型题型讲练，优选题培优拔尖练等四大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 易错卡片 3 题型讲练 4 题型一 圆的基本概念辨析 3 题型二 三角形外接圆的概念辨析 4 题型三 判断三角形外接圆的圆心位置 6 题型四 利用弧、弦、圆心角的关系求解 8 题型五 利用垂径定理求值 10 题型六 圆周角定理 12 题型七 证明某直线是圆的切线 13 题型八 切线的性质定理 15 题型九 求正多边形的中心角 17 题型十 正多边形和圆的综合 18 题型十一 求弧长 19 题型十二 求扇形面积 21 题型十三 求其他不规则图形的面积 23 题型十四 确定圆心(尺规作图) 26 题型十五 求三角形外心坐标 27 题型十六 求特殊三角形外接圆的半径 29 题型十七 利用弧、弦、圆心角的关系求证 31 题型十八 半圆(直径)所对的圆周角是直角 33 题型十九 已知圆内接四边形求角度 35 题型二十 圆与三角形的综合(圆的综合问题) 37 优选题拔尖练 40 题型一 圆的基本概念辨析 【典例精讲】（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边对等角得，由平行线的性质得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． 【变式训练】（2026·安徽安庆·一模）如图，是的直径，点C，D在的异侧，连接，，，若，且，则的度数为__________． 【答案】/50度 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得的度数，再根据平行线的性质即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 题型二 三角形外接圆的概念辨析 【典例精讲】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，O为的外心，四边形为正方形．下列结论正确的是（   ） ①O是的外心；②O是的外心；③直线与的外接圆相切 A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了外心的定义，正方形的性质，切线的判定，解题的关键是掌握三角形的外心到三个顶点距离相等，正方形四条边都相等，四个角都是直角． 根据三角形外心的性质可得，根据正方形的性质可得，即可判断①；求出正方形对角线，即可判断②；根据切线的判定，即可判断③． 【详解】解：连接 ∵O为的外心， ∴， ①∵四边形为正方形． ∴， ∴， ∴O是的外心； 故①正确； ②连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴O不是的外心； 故②不正确； ③由①可得：， ∴点E在上， ∵四边形为正方形， ∴， ∴直线与的外接圆相切． 故③正确； 综上：正确的有①③． 故选：B． 【变式训练】（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）点为的外心，且，则的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的外心性质，圆的内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握三角形的外心 外接圆的圆心． 根据三角形的外心是三角形外接圆圆心，是圆心角，是圆周角，利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出的度数． 【详解】解：如图所示： ∵点为的外心，， ∴，， 故的度数为：或． 故答案为：或． 题型三 判断三角形外接圆的圆心位置 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽六安·期末）如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点成为解题的关键． 根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，据此逐项判断即可． 【详解】解：如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，，． (1)在图中画出经过三点的圆弧所在圆的圆心的位置，则圆心的坐标是______，的半径是______； (2)用扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______． 【答案】(1) 如图所示： ， (2) 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于点M，则点M是经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，设点，根据求出k的值即可得出点M的坐标； （2）先利用勾股定理的逆定理证明，由此可求出扇形的弧长，进而根据扇形围成圆锥的底面圆的周长为，可得出这个圆锥底面圆的半径． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于点M， 则点M是经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，， ∵，， ∴轴， ∴点M的横坐标为， 设点M的纵坐标为k，则， ∵， ∴， 解得：， ∴点； ∴， ∴的半径是． 故答案为：，； （2）解：由（1）知：， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴扇形的弧长为：， ∴将扇形围成圆锥的底面圆的周长为， 设这个圆锥底面圆的半径是R， 则， ∴， 即这个圆锥底面圆的半径是． 故答案为：． 题型四 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例精讲】（26-27九年级上·北京·课堂例题）在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】作的平分线构造等圆心角，得到等弦，结合三角形三边关系比较弦长大小． 【详解】解：如图，作的平分线，交于点，连接、、、， 则， ∵， ∴， ∵在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴， 在中，， ∴，即． 【变式训练】（2026·河南周口·一模）如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为，观景位与之间的直线距离为，则这座圆形观景台的半径是______． 【答案】 【分析】过作于点，延长交于点，连接，，，则有，，，从而可得，则，然后通过勾股定理求出，设为，则，通过勾股定理得，再求出的值即可． 【详解】解：如图，过作于点，延长交于点，连接，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设为，则， ∵， ∴， ∴， ∴这座圆形观景台的半径是． 题型五 利用垂径定理求值 【典例精讲】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 【答案】 【分析】根据垂径定理，可知是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ． ， 是等腰直角三角形， 在中，． 这个管道横截面的半径为． 【变式训练】（2026·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，故可得出答案． 【详解】解：过点作轴于点，连接， ，， ， 在中   ，       题型六 圆周角定理 【典例精讲】如图，线段是的直径，弦，如果，那么________． 【答案】 【分析】由垂径定理可知，根据同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半即可解答． 【详解】解：是的直径，弦， ， ． 【变式训练】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，点A、B、C、D为上的点，四边形是菱形，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据菱形的性质和圆的半径相等，可证得和均为等边三角形，从而求出圆心角的度数，最后利用圆周角定理即可求得的度数． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ， ， ，， 和均为等边三角形， ， ， 与分别是弧所对的圆周角和圆心角， ． 题型七 证明某直线是圆的切线 【典例精讲】（2026·湖北·模拟预测）如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】本题考查切线的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质、切线的判定与性质是解答的关键． （1）连接，先根据等腰三角形的性质得到，再根据切线的性质定理可得，进而根据切线的判定定理可得结论； （2）证明得到，利用等腰三角形的性质求得，进而利用三角形的内角和定理和平角定义得到． 【详解】（1）略 （2）解：在与中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，已知是的直径，D是的中点，交的延长线于点E．求证：是的切线． 【答案】 证明：如图，连接， ∵， ∴． ∵D为的中点，即， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵为的半径， ∴为的切线． 【分析】本题考查切线的证明，圆周角定理，根据半径相等得到，根据D为的中点，得到，再根据得到即可得到是的切线． 题型八 切线的性质定理 【典例精讲】如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，在优弧上取点，连接，根据切线的性质，圆周角定理以及圆内接四边形的性质，进行求解即可. 【详解】解：如图所示，连接，在优弧上取点，连接， 、是切线， ， ， ， 又∵圆内接四边形的对角互补， ． 【变式训练】（2026·浙江绍兴·二模）如图，是的直径，直线切于点C，连结，若，则的度数为______． 【答案】/50度 【分析】连接，根据切线的定理，得到，根据，即可求解． 【详解】解：连接， ∵直线切于点， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型九 求正多边形的中心角 【典例精讲】（2026·上海闵行·三模）已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 【答案】 【分析】先利用内角与外角互为邻补角求出外角的度数，再根据多边形外角和定理求出正多边形的边数，最后根据正多边形中心角的性质计算中心角度数． 【详解】解：该正多边形的一个内角为， 该正多边形的一个外角为， 任意多边形的外角和为， 该正多边形的边数， 正多边形的中心角和为， 该正多边形的中心角为． 【变式训练】（2026·辽宁沈阳·二模）下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心旋转后，能与原图形完全重合的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的旋转对称性，正边形绕中心旋转的整数倍能与自身重合，分别计算各选项图形的最小旋转角进行判断即可． 【详解】解：A． 正三角形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合； B． 正方形，，最小旋转角为，是的整数倍，能重合； C． 正五边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合； D． 正六边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合． 题型十 正多边形和圆的综合 【典例精讲】（2026·安徽·二模）如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，根据正多边形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据正多边形所有中心角和为，得出该正多边形为正十二边形，根据正十二边形的面积为即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵是正多边形的中心， 、都是正多边形外接圆的半径，、是正多边形的相邻顶点，在外接圆上， ， ，和是外接圆的圆心角和圆周角， ， ∴， 正多边形所有中心角和为， 正多边形的边数为，即该正多边形为正十二边形， ， 正十二边形的面积为． 【变式训练】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，分别以边长为1的正六边形的顶点为圆心，正六边形的边长为半径在正六边形内部作弧，则图中阴影部分周长和为___________． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质可得，由图形可知阴影部分6条圆心角为的弧围成，由此求解即可． 【详解】解：如下图， ∵六边形为正六边形，且边长为1， ∴，， ∴阴影部分的周长和． 题型十一 求弧长 【典例精讲】（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，由角平分线的定义和圆周角定理得到，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 【变式训练】（2026·山西长治·三模）如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图：当弧是劣弧时，则弧长为； 当弧是优弧时，如图，则弧长为 ∴弧的长为或． 题型十二 求扇形面积 【典例精讲】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜边上的中线得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴扇形的面积为． 【变式训练】（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，，两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形可知，四个阴影扇形的圆心角之和即为四边形的内角和，利用四边形内角和为及扇形面积公式即可求解． 【详解】解：四边形的内角和为， 四个扇形的圆心角之和为 四个圆的半径都是， 四个扇形的面积之和． 题型十三 求其他不规则图形的面积 【典例精讲】如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接，， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵点C为劣弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）连接，证明，连接，证明即可得到结论； （2）连接，求出扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）略 （2）解：连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵点C为劣弧的中点， ∴ ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为． 【变式训练】（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，直线经过上的点C，并且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵直线经过上的点C，， ∴， 又∵为的半径， ∴直线是的切线． (2) 【分析】（1）连接，三线合一得到，即可得出结论； （2）用直角三角形的面积减去扇形的面积即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴阴影部分的面积. 题型十四 确定圆心(尺规作图) 【典例精讲】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】在弧上任取一点C（不与A，B重合），连接弦、弦；再分别作线段的垂直平分线、线段的垂直平分线；两条垂直平分线的交点即为圆心O． 【变式训练】（23-24九年级上·山东烟台·期末）作图题，要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)如图，已知，请作出它的外接圆； (2)过外一点作圆的一条切线． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 解：如图所示，即为所求 【分析】本题考查了作三角形的外接圆，作圆的切线． （1）分别作的中垂线交于点，以为半径作，则为的外接圆； （2）连接，作的中垂线交于点，以为半径，为圆心作弧交于点，则即为圆的一条切线． 题型十五 求三角形外心坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧． (1)所在圆的圆心的坐标为 ； (2)连接，，求扇形的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理的应用，利用网格作图，扇形面积的计算； （1）由垂径定理可知圆心在弦的垂直平分线上，再利用网格图，可确定圆心的坐标； （2）由可得，再由扇形的面积公式可得扇形的面积. 【详解】（1）解：如图，连接，根据网格的性质作的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点，点就是所在的圆的圆心，其坐标为， 故答案为：. （2）解：如图，，，， ∴， ， 又， ， ， ． 【变式训练】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）在平面直角坐标系中的位置如图所示，．其中每个小正方形的边长为1个单位长度，按要求作图： (1)将绕点逆时针旋转得到； (2)求出（1）中旋转过程点经过的路径长； (3)连接，的外心坐标是_________． 【答案】(1)如图所示，为所求； (2) (3) 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，弧长公式，勾股定理，三角形外心的定义，熟练掌握旋转和三角形外心的定义是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）连接，利用勾股定理求出，再旋转角为，利用弧长公式计算即可； （3）利用网格的特征作的中垂线，交于点即为所求． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，得，且旋转角为， 则点经过的路径长为； （3）解：如图所示，作的中垂线，交于点， 则的外心坐标为， 故答案为：． 题型十六 求特殊三角形外接圆的半径 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)的外接圆的半径为______； (2)将绕着点B顺时针旋转后得到，请在图中画出，并求出线段旋转过程中所扫过的面积______．（结果保留）． 【答案】(1) (2) 所作如图所示： 【分析】本题考查了三角形外接圆性质，勾股定理，旋转作图，扇形面积公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据推出为的外接圆的直径，再利用勾股定理求出，即可解题； （2）根据旋转作图步骤作出，再结合扇形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：， 为的外接圆的直径， ， 的外接圆的半径为； 故答案为：． （2）解：线段旋转过程中所扫过的面积为； 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，于点D，，． (1)求的长； (2)若，求外接圆的半径． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，外接圆的半径，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先解求出，再由勾股定理求解； （2）在中运用勾股定理求解，再根据直角三角形外接圆半径等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）解：∵于点D，，， ∴, ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴外接圆的半径． 题型十七 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例精讲】如图，的弦与半径，相交于点，，，求证：． 【答案】证明：过点作，交于点，交于点，如图， ∴，． ， ． 又， ， ∴． ． ， ． 【分析】过点作，交于点，交于点，由垂径定理得到，，然后由三线合一得到，推出，进而证明即可． 【变式训练】（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，已知弦相交于点，连接． (1)求证：． (2)若，的半径为4，求的长． 【答案】(1) 证明： ， ， ， ， ； (2) 【分析】本题考查的是弧长的计算、圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键． （1）根据弧、弦之间的关系定理得到，进而得出 根据圆周角定理证明即可； （2）根据圆周角定理求出，根据弧长公式计算得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：连接，， ，， ， ， ， ∵的半径为， 的长为． 题型十八 半圆(直径)所对的圆周角是直角 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，为的直径，C、D为直径两侧上两点，连接，，过C点作于点E，若，则的度数为______． 【答案】65 【分析】本题主要考查了圆的直径定理，圆周角定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据直径得出的度数为，根据垂直得出，根据圆周角定理求出的度数为，的度数为，最后根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴， 故答案为：65． 【变式训练】（25-26九年级上·山西长治·期末）如图，是的直径，是上一点，过点作的垂线，分别与的延长线，交于点，．若，，求与的长． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角可得：，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义可设，从而利用勾股定理求出的长，再证明，从而得出，即，即可解答． 【详解】解：是的直径，， ． ． ， ． 在中，， ． 在中，根据勾股定理，得． 在中，． 设． 在中，根据勾股定理，得，即． 解得（不合题意，舍去）． ． ． 又， ． ，即． ． 题型十九 已知圆内接四边形求角度 【典例精讲】如图，在中，，点是的中点，以为直径作，分别交，于点、． (1)求证：； (2)连接，，当的度数为时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1) ，点是的中点，， ， 四边形是圆内接四边形， ，， ， ． (2) ，，是等边三角形， ， ，， 为等边三角形， ，， ， , ， 是等边三角形， , ， 四边形是菱形． 【分析】（1）先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再利用圆内接四边形的性质，最后用等腰三角形的判定即可得到结论； （2）先利用等边三角形的判定，再利用菱形的判定即可得到结论． 【变式训练】（26-27九年级上·北京·课前预习）已知：如图，是圆内接四边形的一个外角，并且．求证：平分． 【答案】证明：∵， ∴． ∵， ． 又， ， 即平分． 题型二十 圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 【变式训练】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A为上一动点，D为圆外一点，AD交于点B，OD交于点C，延长DO交于点E． (1)若，B恰为AD的中点，则OD的长为________． (2)若，则的度数为________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线定理，三角形外角和及圆内三角形的综合运用等，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边中线定理可求的长，根据半径相等求得，进而根据勾股定理即可求解； （2）根据等腰三角形的性质可得，设未知数x表示，根据三角形外角和定理可得从而求解。 【详解】（1）解：如图①，连接OB． ，B为AD的中点， ．又． 在中，由勾股定理，得． 故答案为：． （2）如图②，连接OB． ， 和均为等腰三角形．设，则，， 解得，即． 故答案为：． 1．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，由弧长公式求出圆锥的母线，再由勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为，圆锥的母线为， ∴ ． 3．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用切线长定理得出，．由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，，然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面积． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，是圆的切线， 与圆切于点， 根据切线长定理有，， 设， 则，， 四边形是正方形， ， 三角形是直角三角形， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ， ． 4．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出长度，即可求出的长度． 【详解】解：，， ，， ， 在中，， ． 5．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，点A，B，C，D顺次分布在半径为2的上，其中是的直径，点C是弧的中点，顺次连接，，，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，．求出的度数，利用弧长公式进行解答即可． 【详解】解：连接，． 点C是弧的中点， ， ． ， ， ， ∴弧的长． 6．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧上的点处，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和圆的半径相等，可得到，是等边三角形，由此可得圆心角的度数为，利用直角三角形所对的边等于斜边的一半和勾股定理可解得，，用扇形面积减去四边形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，交于点， 由折叠的性质可知，，， ∵点恰好落在弧上的点处， ∴、、为扇形的半径， ∴， ∴在中，， ∴是等边三角形， ∴， 同理，是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，扇形的圆心角， ∴， 扇形的面积， ∴，， ∴，， ∴， 菱形的面积， 阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积． 7．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 【答案】30° 【分析】由“圆内接四边形对角互补”得到，由“直径所对的圆周角等于”得到，最后． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ，（圆内接四边形对角互补） 又， ． 是的直径， ， ． 8．（26-27九年级上·北京·单元测试）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 【答案】 【分析】根据弧长公式，进行计算即可求解． 【详解】解：，，， ， 的长为． 9．（26-27九年级上·北京·课后作业）设的半径为，圆心到直线的距离为，若，是方程的两根，则直线与相切时，的值为______；当时，直线与______． 【答案】 相交或相离 【分析】直线和圆相切时满足，结合方程根的性质可求出的值；时，判断方程根的情况，结合，的正负性，分析与的大小关系，得到直线与圆的位置关系． 【详解】解：∵直线与相切， ∴， ∵，是方程的两根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，解得； 当时，方程为，此时， 由根与系数的关系可得，两根之和，两根之积， ∴方程有两个不相等的正实数根，即， 分两种情况：若，直线与圆相离；若，直线与圆相交； 因此直线与相交或相离． 10．（26-27九年级上·北京·课后作业）为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角尺与铁环相切，且测得，则铁环的半径为________． 【答案】 【分析】过作于，连接、，由切线长定理可得为的平分线，即，从而有，再由直角三角形性质可得，最后通过勾股定理即可求出铁环的半径． 【详解】解：过作于，连接、，如图， ∵为的切线，为的切线， ∴为的平分线，即， 又∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，即铁环的半径为． 11．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴． 【分析】根据弧、弦、圆心角之间的数量关系证明是等边三角形，再结合等边三角形性质即可证明． 【详解】略 12．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）连接，根据垂径定理，以及弧、弦、圆心角之间的关系推出，再结合圆周角定理求解即可； （2）利用勾股定理推出，再结合垂径定理求解即可． 【详解】（1）解：连接． ∵，且为的半径， ∴，． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 13．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，是的斜边上的中线，，以为直径作，分别交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接，如图所示： ，为斜边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为的半径， 是的切线． (2) 【分析】（1）连接，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而由等边对等角性质可以推出，判定，即可得到，从而由切线的判定即可得证； （2）连接，由（1）可知，，结合直径所对的圆周角是直角、等腰三角形三线合一性质求出，在中，由勾股定理求出，最后由等面积法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示： ， 由（1）可知，， 为的直径， ， ， 在等腰中，由三线合一性质可得是边上的中线，即， ∴在中，由勾股定理可得， ∵， ∴． 14．（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如图所示，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到，据此可求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案； （2）连接，根据（1）所求可得的度数，则可求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，再由切线的判定定理可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ，， ； ， ． 是的直径， ， ； （2）略 15．（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r． 小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为 ，所以，即． 小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r． (1)尝试按照小丽的思路求出r； (2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释． 【答案】(1) (2)两种思路求出来的r的表达式在数值上是相等的． 理由：要证明， 只需证， 即证， 故只需证， 故即证， 又∵为直角三角形，由勾股定理显然有， ∴原等式成立，即． 【分析】（1）按照题目要求求解即可． （2）利用勾股定理证明两式相等即可． 【详解】（1） 如图，连接，，， ∵为的内切圆，且点D、E、F分别为切点， ∴，，， ， 即， ∴， 解得． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆『高频易错题型培优讲练』 「易错卡片+20个题型讲练+优选题拔尖练 共55题」 【2026-2027学年苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编易错点知识卡片，高频易错题型题型讲练，优选题培优拔尖练等四大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 易错卡片 3 题型讲练 4 题型一 圆的基本概念辨析 4 题型二 三角形外接圆的概念辨析 4 题型三 判断三角形外接圆的圆心位置 5 题型四 利用弧、弦、圆心角的关系求解 5 题型五 利用垂径定理求值 6 题型六 圆周角定理 6 题型七 证明某直线是圆的切线 7 题型八 切线的性质定理 8 题型九 求正多边形的中心角 8 题型十 正多边形和圆的综合 8 题型十一 求弧长 9 题型十二 求扇形面积 10 题型十三 求其他不规则图形的面积 10 题型十四 确定圆心(尺规作图) 11 题型十五 求三角形外心坐标 12 题型十六 求特殊三角形外接圆的半径 13 题型十七 利用弧、弦、圆心角的关系求证 14 题型十八 半圆(直径)所对的圆周角是直角 15 题型十九 已知圆内接四边形求角度 15 题型二十 圆与三角形的综合(圆的综合问题) 16 优选题拔尖练 17 题型一 圆的基本概念辨析 【典例精讲】（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【变式训练】（2026·安徽安庆·一模）如图，是的直径，点C，D在的异侧，连接，，，若，且，则的度数为__________． 题型二 三角形外接圆的概念辨析 【典例精讲】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，O为的外心，四边形为正方形．下列结论正确的是（   ） ①O是的外心；②O是的外心；③直线与的外接圆相切 A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式训练】（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）点为的外心，且，则的度数为______． 题型三 判断三角形外接圆的圆心位置 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽六安·期末）如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【变式训练】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，，． (1)在图中画出经过三点的圆弧所在圆的圆心的位置，则圆心的坐标是______，的半径是______； (2)用扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______． 题型四 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例精讲】（26-27九年级上·北京·课堂例题）在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【变式训练】（2026·河南周口·一模）如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为，观景位与之间的直线距离为，则这座圆形观景台的半径是______． 题型五 利用垂径定理求值 【典例精讲】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 【变式训练】（2026·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 题型六 圆周角定理 【典例精讲】如图，线段是的直径，弦，如果，那么________． 【变式训练】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，点A、B、C、D为上的点，四边形是菱形，则的度数是（） A． B． C． D． 题型七 证明某直线是圆的切线 【典例精讲】（2026·湖北·模拟预测）如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，已知是的直径，D是的中点，交的延长线于点E．求证：是的切线． 题型八 切线的性质定理 【典例精讲】如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（2026·浙江绍兴·二模）如图，是的直径，直线切于点C，连结，若，则的度数为______． 题型九 求正多边形的中心角 【典例精讲】（2026·上海闵行·三模）已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 【变式训练】（2026·辽宁沈阳·二模）下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心旋转后，能与原图形完全重合的是（     ） A． B． C． D． 题型十 正多边形和圆的综合 【典例精讲】（2026·安徽·二模）如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，分别以边长为1的正六边形的顶点为圆心，正六边形的边长为半径在正六边形内部作弧，则图中阴影部分周长和为___________． 题型十一 求弧长 【典例精讲】（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 【变式训练】（2026·山西长治·三模）如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 题型十二 求扇形面积 【典例精讲】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，，两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（     ） A． B． C． D． 题型十三 求其他不规则图形的面积 【典例精讲】如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【变式训练】（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，直线经过上的点C，并且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 题型十四 确定圆心(尺规作图) 【典例精讲】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，弧是某个圆的一部分，请你用直尺和圆规确定圆心的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式训练】（23-24九年级上·山东烟台·期末）作图题，要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)如图，已知，请作出它的外接圆； (2)过外一点作圆的一条切线． 题型十五 求三角形外心坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧． (1)所在圆的圆心的坐标为 ； (2)连接，，求扇形的面积（结果保留）． 【变式训练】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）在平面直角坐标系中的位置如图所示，．其中每个小正方形的边长为1个单位长度，按要求作图： (1)将绕点逆时针旋转得到； (2)求出（1）中旋转过程点经过的路径长； (3)连接，的外心坐标是_________． 题型十六 求特殊三角形外接圆的半径 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)的外接圆的半径为______； (2)将绕着点B顺时针旋转后得到，请在图中画出，并求出线段旋转过程中所扫过的面积______．（结果保留）． 【变式训练】（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，于点D，，． (1)求的长； (2)若，求外接圆的半径． 题型十七 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例精讲】如图，的弦与半径，相交于点，，，求证：． 【变式训练】（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，已知弦相交于点，连接． (1)求证：． (2)若，的半径为4，求的长． 题型十八 半圆(直径)所对的圆周角是直角 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，为的直径，C、D为直径两侧上两点，连接，，过C点作于点E，若，则的度数为______． 【变式训练】（25-26九年级上·山西长治·期末）如图，是的直径，是上一点，过点作的垂线，分别与的延长线，交于点，．若，，求与的长． 题型十九 已知圆内接四边形求角度 【典例精讲】如图，在中，，点是的中点，以为直径作，分别交，于点、． (1)求证：； (2)连接，，当的度数为时，求证：四边形是菱形． 【变式训练】（26-27九年级上·北京·课前预习）已知：如图，是圆内接四边形的一个外角，并且．求证：平分． 题型二十 圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式训练】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A为上一动点，D为圆外一点，AD交于点B，OD交于点C，延长DO交于点E． (1)若，B恰为AD的中点，则OD的长为________． (2)若，则的度数为________． 1．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 5．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，点A，B，C，D顺次分布在半径为2的上，其中是的直径，点C是弧的中点，顺次连接，，，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧上的点处，则图中阴影部分的面积为______． 7．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 8．（26-27九年级上·北京·单元测试）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 9．（26-27九年级上·北京·课后作业）设的半径为，圆心到直线的距离为，若，是方程的两根，则直线与相切时，的值为______；当时，直线与______． 10．（26-27九年级上·北京·课后作业）为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的三角尺和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角尺与铁环相切，且测得，则铁环的半径为________． 11．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，，．求证：． 12．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 13．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，是的斜边上的中线，，以为直径作，分别交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 14．（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 15．（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r． 小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为 ，所以，即． 小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r． (1)尝试按照小丽的思路求出r； (2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull