第5章 等可能条件下的概率『高频易错题型培优讲练』 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学单元复习讲义通过“易错卡片+题型体系”构建概率知识网络，梳理等可能事件、列举法、几何概率等核心概念，11个题型按“基础列举-公式计算-实际应用”递进，用树状图、表格呈现列表法等解题方法，突出概率公式应用、游戏公平性判断等重难点。 讲义亮点在于“真题情境+分层训练”设计，如用飞行棋到达终点问题（题型一）培养数学眼光，通过转盘抽奖概率计算（题型九）发展推理能力，优选题拔尖练含中考真题，基础生可巩固方法，尖子生能拓展思维，助力教师实施精准分层教学。

第5章 等可能条件下的概率『高频易错题型培优讲练』 「易错卡片+11个题型讲练+优选题拔尖练 共48题」 【2026-2027学年苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编易错点知识卡片，高频易错题型题型讲练，优选题培优拔尖练等四大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 易错卡片 2 题型讲练 3 题型一 列举随机实验的所有可能结果 3 题型二 根据概率公式计算概率 3 题型三 根据概率作判断 4 题型四 已知概率求数量 5 题型五 几何概率 5 题型六 列举法求概率 6 题型七 列表法或树状图法求概率 7 题型八 游戏的公平性 7 题型九 概率在转盘抽奖中的应用 9 题型十 概率的应用——抽签方法合理吗? 10 题型十一 概率的应用——概率帮你做估计 12 优选题拔尖练 12 题型一 列举随机实验的所有可能结果 【典例精讲】在一次数学活动课上，某数学老师将共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上．写出的结果依次是：甲：；乙：；丙：；丁：；戊：．根据以上信息．请判断戊同学手里拿的两张卡片上的数字是______和______． 【变式训练1】从数字1，2，3，4，5，6中选3个不同数字组成三位数，要求百位、十位、个位从左到右依次增大．这样的三位数有___个． 【变式训练2】（25-26九年级下·福建厦门·阶段检测）飞行棋是一种玩法简单的竞技游戏，玩家投掷一个骰子得到正面朝上的点数，确定前进的步数，刚好走到终点则胜利；若所得点数超过到达终点所需的步数则需要往回走所超点数的步数．如图所示，在一次飞行棋游戏的最后阶段，如果小明投掷骰子的次数不超过两次就能刚好到达终点，则到达终点的方式有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 题型二 根据概率公式计算概率 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． (1)嘉淇走到十字道口A向北走的概率是______________． (2)补全图2的树状图． (3)借助图2的树状图分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 【变式训练1】口袋里有除颜色外其余都相同的2个红球、4个白球和6个黑球，从口袋里摸出2个球，若两个都是红球，则甲胜；若两个都是黑球，则乙胜．谁获胜的概率大（     ） A．甲 B．乙 C．甲乙一样大 D．不能确定 【变式训练2】某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、钢琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取个社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（     ） A． B． C． D． 题型三 根据概率作判断 【典例精讲】如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，任意掷这枚骰子，则： (1)向上一面的数字是“6”的概率是_____； (2)掷出数字______的概率最大； (3)现利用这个骰子设计一个游戏：投掷这枚骰子一次，若向上一面的数字是奇数，则小明获胜，否则小红获胜，请利用概率判断这个游戏是否公平？ 【变式训练1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）某超市在一个不透明盒子中装了个小球，其中个小球上写着过桥米线，个小球上写着鲜花饼，个小球上写着普洱茶，个小球上写着宣威火腿，每个小球除文字外其它完全相同．凡是在该超市消费满元的客户就可以从盒中随机摸出一个小球，根据小球上的文字，免费领取一盒对应的礼品．小智摸出一个球后，最有可能领取的礼品是（    ） A．过桥米线 B．普洱茶 C．宣威火腿 D．鲜花饼 【变式训练2】一副扑克牌共有54张，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，还有两张王牌． (1)洗匀后背面朝上放在桌面上，任意抽取1张，抽到方块的概率是________； (2)请你解释一下，打牌的时候，你摸到大王的机会比摸到4的机会小． 题型四 已知概率求数量 【典例精讲】（23-24九年级上·河北邢台·期末）在一个不透明的袋中装有50个红、黄两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则袋中红球可能有（     ） A．15个 B．20个 C．30个 D．35个 【变式训练1】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）一个不透明袋子里，装有红球5个、黑球2个，黄球若干个，这些球除颜色外无其他差别．现从袋子中随机摸出1个球是红球的概率是，则袋子里黄球个数是______个． 【变式训练2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则与满足的关系式是_____． 题型五 几何概率 【典例精讲】如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为_________． 【变式训练1】如图，某地面铺有黑白两色地砖，地砖除颜色外完全一样．一枚小球在地板上自由的滚动，并随机停留在某处，它最终停留在黑色地砖上的概率是________． 【变式训练2】按要求完成以下问题 (1)如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． (2)若一个小玻璃球在如图2所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌．甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上．乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上．你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 题型六 列举法求概率 【典例精讲】五一期间，某商场举行猜商品价格赢奖品的活动．王先生在事先不知道商品价格的前提下，主持人要求他从下图中的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是230，那么他一次就猜中的概率是__________． 【变式训练1】（2026·广东·中考真题）某地开展广东非遗走进校园体验活动，有“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”三个体验项目，小晨和小明各随机抽取一个，他们恰好抽到同一个项目的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（     ） A． B． C． D． 题型七 列表法或树状图法求概率 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）某医院门诊挂号处设有A、B两个挂号窗口，现有甲、乙两位患者各自随机选择其中一个窗口挂号，则甲、乙两位患者恰好都选择B窗口挂号的概率为______________． 【变式训练1】（2026·甘肃兰州·中考真题）甘肃是中国简牍大省，河西走廊乃汉简之都，部分简牍上的文字用篆体书写．小宇参观甘肃简牍博物馆后，在四张材质、大小完全相同的卡片正面用篆体分别写上“”“”“”“”（我爱兰州），将这四张卡片背面朝上洗匀放好．小宇从中随机抽取两张卡片，恰好能组成“”一词的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（第六章概率的进一步认识高效同步练习1用树状图或表格求概率第3课时利用概率玩“配紫色”游戏）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是________． 题型八 游戏的公平性 【典例精讲】“自然科学探索营”即将在城郊生态保护区开营，某社区青少年服务中心争取到一个参与名额，计划从琪琪和小颖中选一位参加，设计方案如下：规定将个尾端为白色的竹签和个尾端为绿色的竹签放入竹筒中，每个竹签除颜色外其余均相同（抽的时候看不到尾端）． (1)求抽到尾端为白色的竹签的概率； (2)若抽到尾端为白色的竹签，则琪琪参加“自然科学探索营”，若抽到尾端为绿色的竹签，则小颖参加“自然科学探索营”，这个规则公平吗？请说明理由；若不公平，请设计一种方案，使得原来的规则对双方都公平． 【变式训练1】如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小晴和小华参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜．猜数的方法有以下两种方案： A方案：猜“是奇数”或“是偶数”； B方案：猜“是大于3的数”或“是小于3的数”． (1)如果小华猜数时，选择了A方案，那么这个方案对双方公平吗？为什么？ (2)如果轮到小晴猜数，为了让小晴更容易获胜，你将建议小晴选择哪一种猜数方案？请写出你的理由． 【变式训练2】小明和小军利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： Ⅰ．两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． Ⅱ．当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0； Ⅲ．比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 请根据上述规则回答下列问题： (1)掷一次骰子得到的点数为1的概率是_________； (2)小明第一次掷出的点数是6，如果他决定掷第二次，则最终得分为0的概率是多少？ (3)已知小军前两次掷出的点数和为8，此时他并不知道小明掷的点数．如果你是小军，你会掷第三次吗？请用所学的概率知识说明理由． 题型九 概率在转盘抽奖中的应用 【典例精讲】为刺激消费，某超市举行促销活动，凡在超市购物总额超过元，便可以转动一次转盘，转盘分成个大小相同的扇形，部分扇形涂有红、黄、蓝三种颜色，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或蓝色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券．小军妈妈去超市购物元． (1)求小军妈妈获得购物券的概率； (2)小军妈妈获得哪种购物券的概率最大？请说明理由． 【变式训练1】放暑假前，为了加强学生的安全教育，七年级举办了“防溺水安全”的主题班会，为了激发学生参与热情，王老师制作了一个可以自由转动的转盘，并规定：学生每答对一道题即可获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，若指针正好对应一等奖、二等奖或三等奖，即可获得对应奖品一份．（转盘被平均分成8个扇形）． (1)七（1）班的小艺参与活动并答对1道题，求她获得一等奖的概率； (2)七（2）班的小诚也答对了1道题，求他获奖的概率． 【变式训练2】某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买50元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得30元、20元、10元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是___________；（选填：“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） (2)计算：转动一次转盘获得20元购物券的概率是多少？ (3)如果顾客获得一次转转盘的机会，试判断：得到购物券的概率和未得到购物券的概率，哪个大？ 题型十 概率的应用——抽签方法合理吗? 【典例精讲】（24-25九年级下·广东汕头·阶段检测）某校为了解学生参加“第二课堂”社团活动的情况，对报名参加A：足球，B：象棋，C：羽毛球，D：舞蹈这四项社团活动的学生（每人必选且只能选修一项）中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中A所占扇形的圆心角为． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这次被调查的学生共有_______人．并将条形统计图补充完整； (2)若该校共有1000学生加入“第二课堂”社团活动，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团； (3)在象棋社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加市级象棋大赛、用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【变式训练1】（24-25九年级上·广东广州·期末）初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为_______度，并将条形统计图补充完整． (2)此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 【变式训练2】一个不透明的盒子中装有 3 个白球，2 个黄球，1 个红球，这些球除颜色外形状和大小完全一样． (1)在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红球，小颖同学从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则 ． (2)在（1）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸出一个球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 题型十一 概率的应用——概率帮你做估计 【典例精讲】袋子里有8个红球，m个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大，则m的值不可能是（　　） A．10 B．5 C．3 D．1 【变式训练1】（23-24九年级上·全国·课后作业）小强同学从这六个数中任选一个数，所选的数满足不等式的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2023·福建龙岩·模拟预测）“学雷锋”活动月中，学校组织学生开展志愿者劳动服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是______． 1．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A，B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线上时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系中第二象限的概率是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四个图形，在看不到图的情况下，从中任意抽出一张，则抽出的卡片上的图形是轴对称图形的概率是（     ） A． B． C． D．1 3．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是绿球的概率为（     ） A． B． C． D．1 4．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）现有五张质地均匀，大小完全相同的卡片，在其正面分别标有数字，，0，2，3，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为正数的概率为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·河北邢台·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币，若前10次都是正面朝上，则第11次正面朝上的概率（     ） A． B．1 C． D．无法确定 6．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从F出口落出的概率是______________． 7．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是______________． 8．（2026·宁夏·中考真题）一个不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到相同颜色的小球的概率是__________． 9．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是________． 10．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 11．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）为响应国家的“一带一路”经济发展倡议，树立品牌意识，我市质检部门对A，B，C，D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为，并根据检测数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图． (1)抽查D厂家的零件为______________件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为______________． (2)抽查C厂家的合格零件为______________件，并将条形统计图补充完整． (3)通过计算说明合格率排在前两名的分别是哪两个厂家． (4)若从A，B，C，D四个厂家中，随机选取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用画树状图法或列表法求出（3）中的两个厂家同时被选中的概率． 12．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）在一个不透明的布袋中装有个红球和个白球，它们除颜色不同外其余都相同． (1)从布袋中随机摸出一个球是红球的概率为______________． (2)现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从布袋中随机摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？ 13．（2022·江苏盐城·一模）盐城市鹿鸣路初级中学初一年级学生于五月初正式进入西校区，开始了新的学习与生活．为庆祝这一美好的日子，初一（1）班同学在操场上举行了击鼓传花的游戏．甲、乙、丙三位同学在操场上互相传递手中的花环，假设他们相互间传递是等可能的，并且由甲首先开始传递． (1)经过1次传递后，花环传到乙手中的概率是_________； (2)请画树状图或列表求经过2次传递后，花环传到乙手中的概率； (3)猜想并直接写出：经过2022次传递后，传到_________同学手中（填甲、乙、丙）的可能性最大． 14．有5张看上去无差别的卡片，正面分别写着1，2，3，4，5，洗匀后正面向下放在桌子上． (1)从中随机抽取1张，抽出的卡片上的数字恰好是偶数的概率是______； (2)从中随机抽取2张，求抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率． 15．（2024·山东潍坊·模拟预测）某小区针对电动车充电安全问题，举办了一次“安全用电”知识竞赛．现从参赛业主中抽取了人，按年龄（岁）分成组：第①组：，第②组：，第③组：，第④组：，第⑤组：，下面是频数分布直方图．若从这人中随机抽取1位业主，第④组的业主被抽到的概率为． (1)第②组有________人；中位数落在第________组（填序号）； (2)把各组年龄的下限与上限的中间值近似看作该组的平均年龄，估计这人的平均年龄为多少？ (3)已知第①组有位男业主，电视台要随机从第①组中抽取名进行采访，请用列表法或画树状图法，求恰好抽到名男业主的概率． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 等可能条件下的概率『高频易错题型培优讲练』 「易错卡片+11个题型讲练+优选题拔尖练 共48题」 【2026-2027学年苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编易错点知识卡片，高频易错题型题型讲练，优选题培优拔尖练等四大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 易错卡片 2 题型讲练 3 题型一 列举随机实验的所有可能结果 3 题型二 根据概率公式计算概率 4 题型三 根据概率作判断 6 题型四 已知概率求数量 8 题型五 几何概率 9 题型六 列举法求概率 11 题型七 列表法或树状图法求概率 12 题型八 游戏的公平性 14 题型九 概率在转盘抽奖中的应用 17 题型十 概率的应用——抽签方法合理吗? 19 题型十一 概率的应用——概率帮你做估计 23 优选题拔尖练 24 题型一 列举随机实验的所有可能结果 【典例精讲】在一次数学活动课上，某数学老师将共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上．写出的结果依次是：甲：；乙：；丙：；丁：；戊：．根据以上信息．请判断戊同学手里拿的两张卡片上的数字是______和______． 【答案】 【分析】根据所有数字互不重复的条件，从和最小的结果入手，列举每种和对应的所有可能数字组合，逐步排除已使用的数字，推理得到剩余未使用数字，最终确定戊手中的两个数字． 【详解】解：由题意可知，十个数字互不重复，五人每人两张卡片，所有数字不重复， 由丁：，可知中两个不同数字和为只有，因此丁手中数字为和； 由甲：，可知和为的不同数字组合为和，和，和，和已被使用，因此甲手中数字只能为和； 此时已使用数字为，剩余未使用数字为， 由乙：，剩余数字中和为的组合只有，其他组合均包含已使用数字，因此乙手中数字为和； 此时已使用数字新增，剩余未使用数字为 ， 由丙：，剩余数字中和为的组合只有，因此丙手中数字只能为和； 此时剩余未使用数字为和，因为，符合戊的和，因此戊同学手里拿的两张卡片上的数字是和． 【变式训练1】从数字1，2，3，4，5，6中选3个不同数字组成三位数，要求百位、十位、个位从左到右依次增大．这样的三位数有___个． 【答案】 【分析】根据题意，选出3个不同数字后，按百位、十位、个位从左到右依次增大的要求排列，仅有唯一一种排列方式．因此所求三位数的个数等于从6个数字中任选3个不同数字的选法总数． 【详解】解：由题意，要得到满足条件的三位数，只需从个数字中选出个不同数字，选出的数字按从小到大排列后对应唯一满足条件的三位数分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20个． 【变式训练2】（25-26九年级下·福建厦门·阶段检测）飞行棋是一种玩法简单的竞技游戏，玩家投掷一个骰子得到正面朝上的点数，确定前进的步数，刚好走到终点则胜利；若所得点数超过到达终点所需的步数则需要往回走所超点数的步数．如图所示，在一次飞行棋游戏的最后阶段，如果小明投掷骰子的次数不超过两次就能刚好到达终点，则到达终点的方式有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】根据题意列举即可． 【详解】解：根据题意，投掷一次6点， 投掷两次，， 综上共6种． 题型二 根据概率公式计算概率 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． (1)嘉淇走到十字道口A向北走的概率是______________． (2)补全图2的树状图． (3)借助图2的树状图分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 【答案】(1) (2)补全树状图如图所示： (3)向西参观的概率较大 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）补全树状图即可； （3）由（2）知，共有9种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种，由概率公式求解即可； 【详解】（1）解：嘉淇走到十字道口A，可能直行（向西），也可能向左转（向南）或向右转（向北），共3种等可能性结果， ∴向北走的概率为； （2）略 （3）解：由树状图可知共有9种等可能结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种， （向西参观），（向南参观）（向北参观）（向东参观）， ， ∴向西参观的概率较大． 【变式训练1】口袋里有除颜色外其余都相同的2个红球、4个白球和6个黑球，从口袋里摸出2个球，若两个都是红球，则甲胜；若两个都是黑球，则乙胜．谁获胜的概率大（     ） A．甲 B．乙 C．甲乙一样大 D．不能确定 【答案】B 【分析】先求总摸球等可能结果数，再求甲、乙各自获胜的结果数并计算概率，最后比较大小即可． 【详解】解：口袋中球的总数为个，从12个球中摸出2个球，所有等可能的结果总数为种， 甲获胜对应摸出2个红球，结果数为种，概率为， 乙获胜对应摸出2个黑球，结果数为种，概率为， ∵， ∴乙获胜的概率更大． 【变式训练2】某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、钢琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取个社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定所有等可能出现的结果总数，再找到符合要求的结果数量，利用概率定义，用符合条件的结果数除以全部结果总数算出对应概率． 【详解】解：随机抽取1个社团，共有5种等可能的结果，抽中戏剧类社团的结果有1种， 抽中戏剧类社团活动的概率为． 题型三 根据概率作判断 【典例精讲】如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，任意掷这枚骰子，则： (1)向上一面的数字是“6”的概率是_____； (2)掷出数字______的概率最大； (3)现利用这个骰子设计一个游戏：投掷这枚骰子一次，若向上一面的数字是奇数，则小明获胜，否则小红获胜，请利用概率判断这个游戏是否公平？ 【答案】(1) (2)5和6 (3)这个游戏不公平 【分析】（1）先确定5个面标有“6”，然后根据概率公式求解； （2）由于标有“5”和“6”的面最多，从而得到向上一面的数字是“5”的概率和向上一面的数字是“6”的概率最大； （3）先确定20个数据中奇数与偶数的个数，再计算出小明获胜和小红获胜的概率，然后通过比较两概率的大小可判断这个游戏是否公平． 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴有5个面标有“6”， ∴任意掷这枚骰子，共有种等可能性的情况，其中向上一面的数字是“6”的有5种， ∴向上一面的数字是“6”的概率； （2）解：∵标有“5”和“6”的面最多，5个面标有“5”，5个面标有“6”， ∴向上一面的数字是“5”的概率和向上一面的数字是“6”的概率最大； （3）解：∵20个数字中，奇数有9个，偶数有11个， ∴小明获胜的概率，小红获胜的概率， ∵， ∴这个游戏不公平． 【变式训练1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）某超市在一个不透明盒子中装了个小球，其中个小球上写着过桥米线，个小球上写着鲜花饼，个小球上写着普洱茶，个小球上写着宣威火腿，每个小球除文字外其它完全相同．凡是在该超市消费满元的客户就可以从盒中随机摸出一个小球，根据小球上的文字，免费领取一盒对应的礼品．小智摸出一个球后，最有可能领取的礼品是（    ） A．过桥米线 B．普洱茶 C．宣威火腿 D．鲜花饼 【答案】A 【分析】本题主要考查概率的基本意义，通过比较不同礼品对应小球的数量，最有可能领取的礼品对应小球数量最多的那种，因为概率与数量成正比． 【详解】解：∵小球总数为，过桥米线小球数为，鲜花饼为，普洱茶为，宣威火腿为， ∴过桥米线的小球数量最多，概率最大，为． 故选：A． 【变式训练2】一副扑克牌共有54张，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，还有两张王牌． (1)洗匀后背面朝上放在桌面上，任意抽取1张，抽到方块的概率是________； (2)请你解释一下，打牌的时候，你摸到大王的机会比摸到4的机会小． 【答案】(1) (2) ∵一副扑克牌共有54张，其中大王有1张，4有4张， ∴从中任选一张，恰好是大王的概率是， 从中任选一张，恰好是4的概率是， ∵ ∴摸到大王的机会比摸到4的机会小． 【分析】（1）根据概率公式用方片的张数除以总张数即可． （2）根据题意求出摸到大王的概率和摸到4的概率，进而比较大小求解即可． 【详解】（1）∵共有54张扑克牌，其中方片有13张， ∴从中任选一张，恰好是方片的概率是； 故答案为：； 题型四 已知概率求数量 【典例精讲】（23-24九年级上·河北邢台·期末）在一个不透明的袋中装有50个红、黄两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则袋中红球可能有（     ） A．15个 B．20个 C．30个 D．35个 【答案】D 【分析】利用频率估计概率，结合总球数计算红球数量． 【详解】解：∵摸到黄球的频率稳定在左右， ∴黄球的个数为， ∴袋中红球的个数为个． 【变式训练1】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）一个不透明袋子里，装有红球5个、黑球2个，黄球若干个，这些球除颜色外无其他差别．现从袋子中随机摸出1个球是红球的概率是，则袋子里黄球个数是______个． 【答案】3 【分析】本题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．设黄球个数为x个，根据概率公式得：，解得x的值即可． 【详解】解：设黄球个数为x个， ， 解得， 故答案为：3． 【变式训练2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则与满足的关系式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，根据黑棋的概率等于黑棋数量与总棋子数量的比值，由此列出方程并整理即可求解． 【详解】解：由题意， 整理得． 故答案为： 题型五 几何概率 【典例精讲】如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为_________． 【答案】 【分析】设小方格的边长为，观察图形可知，阴影部分由9个小方格组成，求出阴影部分总面积，再除以方格纸的总面积即可得出概率． 【详解】解：设小方格的边长为，则方格纸的总面积为． 观察图形可知，阴影部分由9个小方格组成， 阴影部分的总面积为， 飞镖落在阴影部分的概率为． 【变式训练1】如图，某地面铺有黑白两色地砖，地砖除颜色外完全一样．一枚小球在地板上自由的滚动，并随机停留在某处，它最终停留在黑色地砖上的概率是________． 【答案】 【详解】解：由图可得，黑色地砖占总地面的， ∴一枚小球在地板上自由的滚动，最终停留在黑色地砖上的概率是． 【变式训练2】按要求完成以下问题 (1)如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． (2)若一个小玻璃球在如图2所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌．甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上．乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上．你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 【答案】(1) (2)乙获胜的概率大，理由如下： 图中共有32个小三角形，其中黑色的小三角形有12个，白色的小三角形有20个， ∴甲获胜的概率为：， 乙获胜的概率为：， ， 故乙获胜的概率大． 【分析】（1）根据阴影面积与正方形面积之比得到投中阴影部分的概率； （2）根据黑色、白色小三角形的个数与总共三角形的个数之比确定甲、乙获胜的概率，进而比较大小得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，图中正方形的面积为， 图中阴影部分的面积为：， 则它击中阴影部分的概率； 题型六 列举法求概率 【典例精讲】五一期间，某商场举行猜商品价格赢奖品的活动．王先生在事先不知道商品价格的前提下，主持人要求他从下图中的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是230，那么他一次就猜中的概率是__________． 【答案】 【分析】用列举法求出所有等可能的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：如果拿走标有“2”的卡片，则剩下3、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为330； 如果拿走左边标有“3”的卡片，则剩下2、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为230； 如果拿走右边标有“3”的卡片，则剩下2、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为230； 如果拿走标有“0”的卡片，则剩下2、3、3三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为233； 综上所述，共有四种情况．若商品的价格是230元，那么他一次就能猜中的概率是． 【变式训练1】（2026·广东·中考真题）某地开展广东非遗走进校园体验活动，有“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”三个体验项目，小晨和小明各随机抽取一个，他们恰好抽到同一个项目的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用列举法计算随机事件概率，先求出所有等可能的结果总数，再找出两人抽到同一个项目的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：记三个体验项目“广东醒狮”、“广绣”、“英歌舞”分别为，，． 小晨和小明各随机抽取一个，所有等可能的结果为：，，，，，，，，，共种等可能结果． 其中两人恰好抽到同一个项目的结果有、、共种结果． 所求概率． 【变式训练2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举出所有等可能的结果，找出满足条件的结果数，再根据概率公式计算得到结果． 【详解】解：∵本次试验为放回摸球，每次摸球都有2种等可能的结果， ∴两次摸球共有种等可能的结果，分别是：(热爱，热爱)，(热爱，奔赴)，(奔赴，热爱)，(奔赴，奔赴)；其中两次摸出词语都为“热爱”的结果只有1种， ∴根据概率公式可得，所求概率为． 题型七 列表法或树状图法求概率 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）某医院门诊挂号处设有A、B两个挂号窗口，现有甲、乙两位患者各自随机选择其中一个窗口挂号，则甲、乙两位患者恰好都选择B窗口挂号的概率为______________． 【答案】 【分析】根据画树状图法得到所有等可能的选择结果，统计符合条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意画出树状图如下： 由图可知，共有4种等可能事件，其中甲、乙两位患者恰好都选择B窗口挂号有1种， ∴甲、乙两位患者恰好都选择B窗口挂号的概率． 【变式训练1】（2026·甘肃兰州·中考真题）甘肃是中国简牍大省，河西走廊乃汉简之都，部分简牍上的文字用篆体书写．小宇参观甘肃简牍博物馆后，在四张材质、大小完全相同的卡片正面用篆体分别写上“”“”“”“”（我爱兰州），将这四张卡片背面朝上洗匀放好．小宇从中随机抽取两张卡片，恰好能组成“”一词的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设四张卡片分别为（我）、（爱）、（兰）、（州）， 画树状图如下： 从四张卡片中随机抽取两张，所有可能的结果共种，其中恰好能组成“兰州”的结果只有种， 恰好能组成“兰州”一词的概率是． 【变式训练2】（第六章概率的进一步认识高效同步练习1用树状图或表格求概率第3课时利用概率玩“配紫色”游戏）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是________． 【答案】 【分析】根据题意和图形可知，第一个图形转到红色，同时第二个图形转到蓝色或第一个图形转到蓝色，同时第二个图形转到红色，可配成紫色，画出树状图，从而可以求得可配成紫色的概率． 【详解】解：∵第一个转盘红色占， ∴第一个转盘可以分为1份红色，3份蓝色， ∵第二个转盘红色的圆心角为，占， ∴第二个转盘可以分为1份红色，2份蓝色， ∴画树状图为 由图可知，共有12种等可能的结果数，其中一个转出红色，另一个转出蓝色的占5种， ∴可配成紫色的概率是． 题型八 游戏的公平性 【典例精讲】“自然科学探索营”即将在城郊生态保护区开营，某社区青少年服务中心争取到一个参与名额，计划从琪琪和小颖中选一位参加，设计方案如下：规定将个尾端为白色的竹签和个尾端为绿色的竹签放入竹筒中，每个竹签除颜色外其余均相同（抽的时候看不到尾端）． (1)求抽到尾端为白色的竹签的概率； (2)若抽到尾端为白色的竹签，则琪琪参加“自然科学探索营”，若抽到尾端为绿色的竹签，则小颖参加“自然科学探索营”，这个规则公平吗？请说明理由；若不公平，请设计一种方案，使得原来的规则对双方都公平． 【答案】(1) (2) 这个规则不公平，理由如下： 抽到尾端为白色的竹签的概率为，抽到尾端为绿色竹签的概率为， 琪琪参加的概率为，小颖参加的概率为， ， 这个规则不公平； 要使规则公平，只需让白色竹签和绿色竹签的数量相等，使两人参加的概率都为即可，例如从竹筒中取出个尾端为白色的竹签，其余规则不变即可．（答案不唯一，只要使白色竹签与绿色竹签数量相等即可） 【分析】（1）用白色竹签数量除以总竹签数量得到所求概率； （2）分别计算两人参加活动的概率，比较概率是否相等判断规则是否公平，若不公平，调整竹签数量使两人获胜概率相等即可得到公平方案． 【详解】（1）解：由题意可知，总竹签数量为（个），尾端为白色的竹签有个， 抽到尾端为白色的竹签的概率为； 【变式训练1】如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小晴和小华参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜的数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜．猜数的方法有以下两种方案： A方案：猜“是奇数”或“是偶数”； B方案：猜“是大于3的数”或“是小于3的数”． (1)如果小华猜数时，选择了A方案，那么这个方案对双方公平吗？为什么？ (2)如果轮到小晴猜数，为了让小晴更容易获胜，你将建议小晴选择哪一种猜数方案？请写出你的理由． 【答案】(1)解：公平，理由如下： ∵小华猜数时，共有6种等可能的结果，其中，是奇数的结果有3种，是偶数的结果也有3种， ∴A方案猜“是奇数”的概率为，猜“是偶数”的概率为， ∴A方案，小华无论是选择猜“是奇数”，还是选择猜“是偶数”，其获胜的概率均为，小晴获胜的概率也均为，双方获胜概率相等， ∴这个方案对双方公平． (2)解：建议小晴选择A方案，或B方案中的猜“是大于3的数”，理由如下： 同理可得：A方案：小晴无论是选择猜“是奇数”，还是选择猜“是偶数”，其获胜的概率均为， B方案：小晴猜数时，共有6种等可能的结果，其中，猜“是大于3的数”的结果有3种，猜“是小于3的数”的结果有2种， ∴B方案，小晴选择猜“是大于3的数”的概率为，选择猜“是小于3的数”的概率为， ∵， ∴为了让小晴更容易获胜，建议小晴选择A方案，或B方案中的猜“是大于3的数”． 【分析】（1）利用概率公式分别求出A方案中的两种方式，小华获胜的概率，由此即可得； （2）利用概率公式分别求出A方案中的两种方式、B方案中的两种方式，小晴获胜的概率，由此即可得． 【变式训练2】小明和小军利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： Ⅰ．两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． Ⅱ．当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0； Ⅲ．比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 请根据上述规则回答下列问题： (1)掷一次骰子得到的点数为1的概率是_________； (2)小明第一次掷出的点数是6，如果他决定掷第二次，则最终得分为0的概率是多少？ (3)已知小军前两次掷出的点数和为8，此时他并不知道小明掷的点数．如果你是小军，你会掷第三次吗？请用所学的概率知识说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不会掷第三次，理由： 小军第三次掷出的点数共有6种等可能的结果：1，2，3，4，5，6； 其中导致小军得分增加的结果共有2种：1，2， （掷第三次得分增加）； 导致小军得分变为0的结果共有4种：3，4，5，6， （掷第三次得分为）； ， 如果我是小军，不会掷第三次． 【分析】（1）掷一次骰子共有6种等可能结果，点数为1只有1种，故概率为； （2）第二次掷出的点数有6种等可能结果，若最终得分为0，则需第二次点数大于4，即点数为5或6，共2种，故概率为； （3）第三次掷骰子共有6种等可能结果．分别求出得分增加和得分为0的概率，进行比较即可． 【详解】（1）解：掷一次骰子共有6种等可能的结果：1，2，3，4，5，6， 故掷一次骰子得到的点数为1的概率是． （2）解：小明第二次掷出的点数共有6种等可能的结果：1，2，3，4，5，6； 由题意，其中导致最终得分为0的结果共有2种：5，6， （最终得分为）． 题型九 概率在转盘抽奖中的应用 【典例精讲】为刺激消费，某超市举行促销活动，凡在超市购物总额超过元，便可以转动一次转盘，转盘分成个大小相同的扇形，部分扇形涂有红、黄、蓝三种颜色，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或蓝色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券．小军妈妈去超市购物元． (1)求小军妈妈获得购物券的概率； (2)小军妈妈获得哪种购物券的概率最大？请说明理由． 【答案】(1) (2)∵指针指向红色区域的结果有种， ∴P（获得元购物券）； ∵指针指向黄色区域的结果有种， ∴P（获得元购物券）； ∵指针指向蓝色区域的结果有4种， ∴P（获得元购物券）； ∵， ∴小军妈妈获得元购物券的概率最大 【分析】（1）先确定转盘所有等可能的结果数为，再统计出能获得购物券的红、黄、蓝区域的结果数，最后用获得购物券的结果数除以总结果数得到概率； （2）先分别数出红、黄、蓝三种颜色区域的数量，再分别计算出获得对应金额购物券的概率，最后比较三个概率的大小，即可得出哪种购物券的概率最大． 【详解】（1）解：转盘共有个扇形，所以转盘停止后，指针指向的区域可能的结果共有种，且它们出现的可能性相同， 指针指向红色、黄色、蓝色的区域的结果共有种， ∴（获购物券）． 【变式训练1】放暑假前，为了加强学生的安全教育，七年级举办了“防溺水安全”的主题班会，为了激发学生参与热情，王老师制作了一个可以自由转动的转盘，并规定：学生每答对一道题即可获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，若指针正好对应一等奖、二等奖或三等奖，即可获得对应奖品一份．（转盘被平均分成8个扇形）． (1)七（1）班的小艺参与活动并答对1道题，求她获得一等奖的概率； (2)七（2）班的小诚也答对了1道题，求他获奖的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，转盘被平均分成8个扇形，一等奖占一个， ∴小艺获得一等奖的概率； （2）解：由图可知，转盘被平均分成8个扇形，其中6个有奖品， ∴小诚获奖的概率． 【变式训练2】某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买50元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得30元、20元、10元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是___________；（选填：“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） (2)计算：转动一次转盘获得20元购物券的概率是多少？ (3)如果顾客获得一次转转盘的机会，试判断：得到购物券的概率和未得到购物券的概率，哪个大？ 【答案】(1)不可能事件 (2) (3)未得到购物券的概率比得到购物券的概率大 【分析】（1）由于没有100元的购物券，故该事件为不可能事件； （2）用绿色区域个数除以分成的区域总数可得答案； （3）分别计算出得到购物券和未得到购物券的概率，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：∵30元、20元、10元的购物券，没有100元的购物券 ∴“转动一次转盘获得100元的购物券”是不可能事件； （2）解：， 答：转动一次转盘获得20元购物券的概率是； （3）解：得到购物券的概率为， 未得到购物券的概率为， ∵， ∴未得到购物券的概率比得到购物券的概率大． 题型十 概率的应用——抽签方法合理吗? 【典例精讲】（24-25九年级下·广东汕头·阶段检测）某校为了解学生参加“第二课堂”社团活动的情况，对报名参加A：足球，B：象棋，C：羽毛球，D：舞蹈这四项社团活动的学生（每人必选且只能选修一项）中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中A所占扇形的圆心角为． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这次被调查的学生共有_______人．并将条形统计图补充完整； (2)若该校共有1000学生加入“第二课堂”社团活动，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团； (3)在象棋社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加市级象棋大赛、用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】(1)200， 补充如图． (2)这名学生中有人参加了羽毛球社团； (3) 【分析】本题考查的是概率，统计图的应用，熟练掌握统计图和树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）根据扇形统计图得出足球所占的比，再用即可确定总人数，用调查总人数减去各个社团人数即可，然后补全统计图即可； （2）用1000乘以羽毛球人数所占的百分比即可求解； （3）根据题意利用列表法或树状图法求概率即可． 【详解】（1）解：类有人，所占扇形的圆心角为， 这次被调查的学生共有：（人）； 故答案为； ∴项目对应人数为：（人）； （2）（人） 答：这名学生中有人参加了羽毛球社团； （3）画树状图得： 共有种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有种， （选中甲、乙）． 【变式训练1】（24-25九年级上·广东广州·期末）初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为_______度，并将条形统计图补充完整． (2)此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 【答案】(1)72， 将条形统计图补充完整，如图所示： (2) 【分析】（1）由360度乘以“优秀”所对应的扇形的百分数，得出“优秀”所对应的扇形的圆心角度数；求出全年级总人数，得出“良好”的人数，补全统计图即可； （2）画出树状图，由概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 故答案为：72； 全年级总人数为（人）， “良好”的人数为（人） （2）解：画树状图，如图所示： 共有12个等可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个， ∴P（选中的两名同学恰好是甲、丁）． 【变式训练2】一个不透明的盒子中装有 3 个白球，2 个黄球，1 个红球，这些球除颜色外形状和大小完全一样． (1)在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红球，小颖同学从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则 ． (2)在（1）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸出一个球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 【答案】(1)4 (2)解：公平，理由： （小颖获胜），（小英获胜） ， 公平． 【分析】本题考查了根据概率公式求解，游戏的公平性的判断，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）利用概率公式直接计算即可； （2）根据概率判断即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 经检验是方程的解， 所以； 故答案为：4； 题型十一 概率的应用——概率帮你做估计 【典例精讲】袋子里有8个红球，m个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大，则m的值不可能是（　　） A．10 B．5 C．3 D．1 【答案】A 【分析】摸到红球的可能性最大，则红球数最多，故m的值小于8，注意判断即可． 【详解】解：∵袋子里有8个红球，m个黑球， ∴摸到红球的可能性为； 摸到黑球的可能性为， ∵摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大， ∴， ∴． 故选：A． 【变式训练1】（23-24九年级上·全国·课后作业）小强同学从这六个数中任选一个数，所选的数满足不等式的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到满足不等式的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】解：在，0，1，2，3，4这六个数中，满足不等式的有、0这两个， 所以满足不等式的概率是， 故选：C． 【变式训练2】（2023·福建龙岩·模拟预测）“学雷锋”活动月中，学校组织学生开展志愿者劳动服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是______． 【答案】 【分析】画树状图（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为：（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）    共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3， 所以两人恰好选择同一场馆的概率， 故答案为：． 1．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A，B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线上时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系中第二象限的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表得出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 2 0 3 2 由表可知，共有12种等可能的结果，其中点落在直角坐标系第二象限的有2种，所以点落在直角坐标系第二象限的概率是． 2．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四个图形，在看不到图的情况下，从中任意抽出一张，则抽出的卡片上的图形是轴对称图形的概率是（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】从四张卡片中，找到轴对称图形的个数，然后根据概率公式即可求解． 【详解】解：∵四张卡片中，轴对称图形有矩形、圆、等边三角形， ∴P（抽出的卡片是轴对称图形）． 3．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是绿球的概率为（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：∵袋子中共有个球，其中绿球有个， ∴随机取出个球恰好是绿球的概率为． 4．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）现有五张质地均匀，大小完全相同的卡片，在其正面分别标有数字，，0，2，3，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为正数的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画树状图法或列表法，根据题意利用概率计算公式，进行计算即可． 【详解】解：画树状图如下：    由树状图可知，共有20种等可能结果，其中和为正数的有12种结果， 所以和为正数的概率为． 5．（23-24九年级上·河北邢台·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币，若前10次都是正面朝上，则第11次正面朝上的概率（     ） A． B．1 C． D．无法确定 【答案】C 【分析】排除前10次抛掷结果的干扰，明确各次抛掷硬币的结果互不影响． 【详解】解：∵抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，且各次抛掷的结果互不影响， ∴前10次的抛掷结果不改变第11次正面朝上的概率， ∴第11次正面朝上的概率为． 6．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从F出口落出的概率是______________． 【答案】 【分析】画出树状图，根据树状图可知，共有4种等可能的结果，其中小球从F点落出有1种，即可求解． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有4种等可能的结果，其中小球从点落出有1种， ∴小球从点落出的概率是． 7．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是______________． 【答案】 【分析】只需要用阴影部分面积除以整个长方形网格的面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是. 8．（2026·宁夏·中考真题）一个不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到相同颜色的小球的概率是__________． 【答案】/0.5 【分析】利用画树状图法求解即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 一共有4种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色小球的等可能性一共有2种， 故两次都摸到相同颜色的小球的概率是． 9．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是________． 【答案】 【分析】利用列举法和概率计算公式求解即可． 【详解】解：随机抽取两张，等可能的结果有（美，丽），（美，山），（美，河），（丽，山），（丽，河），（山，河）， 共有种等可能的结果，其中，（丽，山）只有种， 这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是． 10．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 【答案】 【分析】设七巧板拼成的正方形总面积为，根据七巧板的结构特征确定各块板的面积占比，识别图2中黑色部分对应的板件，计算黑色部分面积与总面积的比值即可． 【详解】解：如图所示， 设七巧板拼成的正方形总面积为，七巧板由2个大等腰直角三角形（A），1个中等腰三角形（B），2个小等腰直角三角形（C），1个正方形（D），1个平行四边形（E）构成， ∴1个大等腰直角三角形A的面积为， 中等腰直角三角形B的面积为， 正方形D的面积为， 平行四边形E的面积均为， 1个小等腰直角三角形C的面积均为， ∵“天鹅”作品黑色部分为1个大等腰直角三角形和1个正方形， ， “天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是． 11．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）为响应国家的“一带一路”经济发展倡议，树立品牌意识，我市质检部门对A，B，C，D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为，并根据检测数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图． (1)抽查D厂家的零件为______________件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为______________． (2)抽查C厂家的合格零件为______________件，并将条形统计图补充完整． (3)通过计算说明合格率排在前两名的分别是哪两个厂家． (4)若从A，B，C，D四个厂家中，随机选取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用画树状图法或列表法求出（3）中的两个厂家同时被选中的概率． 【答案】(1)500； (2)380； (3)合格率排在前两名的是C、D两个厂家 (4) 【分析】（1）计算出D厂的零件比例，则D厂的零件数总数所占比例，D厂家对应的圆心角为所占比例； （2）C厂的零件数总数所占比例，C厂的合格零件数C厂的零件数合格率； （3）计算出各厂的合格率后，进一步比较得出答案即可； （4）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解． 【详解】（1）解：D厂的零件比例为， D厂的零件数为（件）； D厂家对应的圆心角为； （2）解：C厂的零件数（件）， C厂的合格零件数为（件）， 补全条形统计图略 （3）解：A厂家合格率为， B厂家合格率为， C厂家合格率为， D厂家合格率为， 合格率排在前两名的是C、D两个厂家； （4）解：根据题意画树形图如下： 共有12种情况，选中C、D的有2种，则（选中C、D）． 12．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）在一个不透明的布袋中装有个红球和个白球，它们除颜色不同外其余都相同． (1)从布袋中随机摸出一个球是红球的概率为______________． (2)现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从布袋中随机摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？ 【答案】(1) (2)取走了7个白球 【分析】（1）利用概率公式计算即可； （2）袋中红球和白球的总数不变，根据概率公式得出红球的个数，然后根据题目条件求解即可． 【详解】（1）解：从布袋中摸出一个球是红球的概率为； （2）解：由题意得此时袋中红球个数为个， 故放入个红球，即取走了7个白球， 答：取走了7个白球． 13．（2022·江苏盐城·一模）盐城市鹿鸣路初级中学初一年级学生于五月初正式进入西校区，开始了新的学习与生活．为庆祝这一美好的日子，初一（1）班同学在操场上举行了击鼓传花的游戏．甲、乙、丙三位同学在操场上互相传递手中的花环，假设他们相互间传递是等可能的，并且由甲首先开始传递． (1)经过1次传递后，花环传到乙手中的概率是_________； (2)请画树状图或列表求经过2次传递后，花环传到乙手中的概率； (3)猜想并直接写出：经过2022次传递后，传到_________同学手中（填甲、乙、丙）的可能性最大． 【答案】(1) (2) (3)甲 【分析】（1）列举1次传递的所有等可能结果，直接计算概率； （2）通过树状图列出2次传递的所有等可能结果，统计传到乙手中的结果数，计算概率； （3）通过列举前几次传递的结果找规律，判断2022次传递后可能性最大的对象． 【详解】（1）解：∵ 第1次传递从甲出发，有乙、丙2种等可能结果，传到乙手中的结果有1种， ∴ 经过1次传递后，花环传到乙手中的概率为． （2）解：画树状图可得所有等可能结果： 第1次传递：甲→乙，甲→丙； 第2次传递：乙→甲，乙→丙；丙→甲，丙→乙， 共有4种等可能的结果，其中经过2次传递后花环传到乙手中的结果有1种， ∴（传到乙手中）； （3）解：列举前几次传递的结果规律： 传递1次（奇数）：乙、丙可能性相同且最大； 传递2次（偶数）：甲可能性最大； 传递3次（奇数）：乙、丙可能性相同且最大； 传递4次（偶数）：甲可能性最大. 由此可猜想：当传递次数为偶数时，花环在甲手中的可能性最大； 当传递次数为奇数时，花环在乙、丙手中的可能性相同且最大． ∵ 2022是偶数， ∴经过2022次传递后，传到甲同学手中的可能性最大． 14．有5张看上去无差别的卡片，正面分别写着1，2，3，4，5，洗匀后正面向下放在桌子上． (1)从中随机抽取1张，抽出的卡片上的数字恰好是偶数的概率是______； (2)从中随机抽取2张，求抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能的结果，再找到抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的结果，最后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有5张卡片，其中卡片上的数字是偶数的有2张， ∴从中随机抽取1张，抽出的卡片上的数字恰好是偶数的概率是； （2）解：列表如下： 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 由表格可知，一共有20种等可能的结果，其中抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的结果有8种， ∴抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率为． 15．（2024·山东潍坊·模拟预测）某小区针对电动车充电安全问题，举办了一次“安全用电”知识竞赛．现从参赛业主中抽取了人，按年龄（岁）分成组：第①组：，第②组：，第③组：，第④组：，第⑤组：，下面是频数分布直方图．若从这人中随机抽取1位业主，第④组的业主被抽到的概率为． (1)第②组有________人；中位数落在第________组（填序号）； (2)把各组年龄的下限与上限的中间值近似看作该组的平均年龄，估计这人的平均年龄为多少？ (3)已知第①组有位男业主，电视台要随机从第①组中抽取名进行采访，请用列表法或画树状图法，求恰好抽到名男业主的概率． 【答案】(1)18，③ (2)43 (3) 【分析】（1）根据题意，求出第④组的人数，用总人数减去各组的人数，即可求出第②组的人数；把人按年龄从小到大排序，中位数为第人的年龄和第人的年龄，即可得到中位数落的位置； （2）根据题意，计算平均数，即可； （3）画出树状图，列出所有等可能的结果，即可解答． 【详解】（1）解：∵从这人中随机抽取1位业主，第④组的业主被抽到的概率为， ∴第④组的人数为：； ∴第②组的人数为：； 把人按年龄从小到大排序，中位数为第人的年龄和第人的年龄， ∴中位数落在第③组． （2）解：这人的平均年龄为：； （3）解：∵第①组有6位业主，其中有位男业主， ∴有女业主（位）， 画树状图如下： 由图可知，共有个等可能的结果，抽到的2名业主恰好都是男业主包含个结果， ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull