第5章等可能条件下的概率 单元检测卷-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本卷聚焦等可能条件下的概率单元，通过生活情境（如超市促销、密码锁）、科技应用（电路系统）等素材，覆盖概率计算、频率估计概率、几何概型等核心知识，梯度设计合理，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|简单概率计算、替代物选择、频率稳定性|结合人工智能软件选择情境，考查抽象能力与基础概念| |填空题|8/16|无理数概率、分式方程解的概率、频率估计面积|融入山西省地图面积估计等实践题，培养数据意识| |解答题|7/64|游戏公平性判断、频率估计概率、概率与方程综合|设计转盘游戏、电路系统可靠性比较等综合题，体现模型观念与推理能力|

第5章等可能条件下的概率单元检测卷 一、选择题（共20分） 1．小红、小明都学会了运用“豆包”与“”人工智能软件辅助学习．若两人要选用其中一种软件修订《入团申请书》，假设两人选择每个软件的可能性相同，则两人运用不同软件的概率为（     ） A．1 B． C． D． 2．在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 3．一个不透明的袋子中装有1个红球、2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中摸两个球，摸出1红球和1黄球的概率是（     ） A． B． C． D． 4．下列说法中，正确的是（     ） A．一组数据，，0，2的方差是 B．质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式 C．购买一张福利彩票中奖是一个确定事件 D．分别写有三个数字，，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为 5．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（     ） A．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 C．抛一枚硬币，出现正面的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 6．袋子里有8个红球，m个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大，则m的值不可能是（　　） A．10 B．5 C．3 D．1 7．一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（    ）    A． B． C． D． 8．一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球 9．某数学社团做“用频率估计概率”的试验：不透明盒子中有1个蓝球、2个黄球、3个白球、和4个红球，这10个球除颜色外都相同．从盒子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率折线图如图所示，则该种球的颜色最有可能是（   ）． A．蓝球 B．黄球 C．白球 D．红球 10．如图，面积为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积大小，进行了模拟试验．通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（）． A． B． C． D． 二、填空题（共16分） 11．从，，，，五个数中，随机抽取一个，抽到无理数的概率是________． 12．从，0，1，3，5这五个数中，随机抽取一个数记为，则数使关于的分式方程有正数解的概率是______． 13．实践课上，小明在一张面积为的矩形卡片上绘制了图1所示的山西省地图，他想知道该地形图的面积，采取了以下办法：将矩形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝矩形区域抛掷小球，记录落在该地形图上的次数（球抛在地形图最外围的界线上或矩形区域外不计入试验结果），并将若干次试验结果绘制成图2所示的折线统计图，据此估计该地形图的面积约为________． 14．一个不透明的袋中装有红、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如下表： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸到红球的频数 28 58 121 183 238 301 摸到红球的频率 0.280 0.290 0.303 0.305 0.298 0.301 请估计袋中红球的个数是_____． 15．如图所示，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明与小亮共同参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方案从下面三种中选择一种： ①猜“是奇数”，    ②猜“不是3的倍数”，    ③猜不小于5的数； 如果轮到小明猜数，为了尽可能获胜，小明应选择方案________．（填写序号） 16．小王和小李玩象棋比赛（每局必分胜负），七局四胜，已知小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况 17．下表记录了学校篮球队一名球员在罚球线上投篮的结果：根据表中的数据和频率的稳定性，估计这名球员在罚球线上投篮30次，他投中___________次． 投篮总次数 50 100 150 200 300 400 500 投中的次数 35 71 106 141 213 278 351 投中的频率 0.700 0.710 0.707 0.705 0.710 0.695 0.702 18．如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 三、解答题（共64分） 19．如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B、转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相乘，如果乘积是奇数，那么甲获胜，否则为乙获胜．你认为这样的游戏规则是否公平？请用树状图或列表法说明理由． 20．某超市开展早市促销活动，为早到的顾客准备一份简易早餐．超市约定：随机发放，早餐一人份，一份两样，一样一个，超市在某天提供的早餐食品为菜包、花卷，鸡蛋、牛奶四样食品． (1)按约定，“某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是____________事件（填“随机“必然”或“不可能”）； (2)请用列表或画树状图的方法，求出某顾客该天早餐刚好得到菜包和牛奶的概率． 21．某密码锁的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成． (1)若知道密码的个位数字是8，则有多少种可能密码？若两位数字都不知道，则共有多少种可能密码？ (2)在两位数字都不知道的情况下，小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？ 22．一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为． (1)求口袋中黄球的个数； (2)甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率； 23．某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买50元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得30元、20元、10元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是___________；（选填：“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） (2)计算：转动一次转盘获得20元购物券的概率是多少？ (3)如果顾客获得一次转转盘的机会，试判断：得到购物券的概率和未得到购物券的概率，哪个大？ 24．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共30个（除颜色不同外其它都一样），某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 (1)请估计，当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）． (2)试估计袋子中有白球 个． (3)若小明和小颖同学想利用袋子里的小球做游戏，游戏规定：摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由，如果不公平，在不改变袋子中球总数量的前提下，你能通过改变不透明袋子中黑球或白球的颜色，使游戏变得公平吗？请给出一种合理的方案． 25．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的红、蓝两种小球共50个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，如表是试验中的统计数据： 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数n a 128 180 302 481 599 1806 摸到红球的频率 0.66 0.64 b 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)求出a，b的值； (2)若从盒子里随机摸出一球，则摸到红球的概率约为______（精确到0.1）； (3)盒子里约有红球______个； (4)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中红球只有2个，然后每次将球搅均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5，请你推测x可能是多少？ 参考答案 1．C 【分析】本题考查简单随机事件的概率计算，可通过列举法列出所有等可能的结果，再找出两人选不同软件的结果数，根据概率公式计算即可． 【解答】解：设“豆包”为软件，“”为软件， 列举两人选择软件所有等可能的结果为：，共种， ∵其中两人选择不同软件的结果有种， ∴所求概率． 2．D 【分析】替代物需要满足和原抛硬币试验一致，即能产生两种概率相等的结果，据此判断各选项即可． 【解答】原抛硬币试验中，有正面向上、反面向上两种等可能结果，每种结果发生的概率为，替代物需满足两种结果发生概率相等． 选项A，均匀正方体骰子，点数为奇数、偶数的结果各3种，概率均为，可分别对应硬币正反，能用作替代物； 选项B，两张不同扑克，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项C，两张不同卡片，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项D，抛掷图钉时，钉尖朝上与钉帽朝上的概率不相等，不满足两种结果等可能的要求，因此不能作为替代物． 3．A 【分析】将黄球编号以保证结果等可能，用列举法求概率． 【解答】解：将2个黄球分别记为黄₁、黄₂． 摸出2个球的所有等可能结果为：（红，黄₁）、（红，黄₂）、（黄₁，黄₂），共3种． ∵符合“1个红球和1个黄球”的结果有2种． ∴概率． 4．D 【分析】先求出平均数再利用方差公式求出结果判断选项A；灯泡使用寿命的调查具有破坏性即需要抽样性调查，进而判断出选项B；彩票中奖是随机事件来判断选项C；选项D采用画树状图求概率的方法求解判断即可． 【解答】解：A、数据，，0，2的平均数为， 方差为，故选项A错误，不符合题意； B、质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用抽样调查方式，故选项B错误，不符合题意； C、购买一张福利彩票中奖是一个随机事件，故选项C错误，不符合题意； D、画树状图如图： 共有6种等可能的结果，卡片上的两数之积为正数的结果有2种， 卡片上的两数之积为正数的概率为，故选项D正确，符合题意． 5．A 【解答】解：根据统计图得到试验的概率在上下． A的概率是， B的概率是， C的概率是， D的概率是， 则符合这一结果的试验可能是A． 6．A 【分析】摸到红球的可能性最大，则红球数最多，故m的值小于8，注意判断即可． 【解答】解：∵袋子里有8个红球，m个黑球， ∴摸到红球的可能性为； 摸到黑球的可能性为， ∵摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是概率问题，重点考查求概率的公式，根据求概率的公式判断，或者根据概率定义判断都可． 7．B 【分析】分别计算整个图形的面积和阴影部分面积，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：整个图形面积， 阴影部分面积， ∴小球停在阴影区域的概率， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了几何概率公式，解题的关键是掌握几何概率公式：一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 8．C 【分析】根据概率公式可知，哪种球的数量最多，摸到那种球的概率就大． 【解答】解：袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球， ∵ ∴其中红球最多， ∴摸到红球的概率最大． 故选：C． 【点睛】本题考查了概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 9．C 【分析】频率折线图稳定在0.3附近，先计算每种颜色球的理论概率，找到概率约等于0.3的球即为答案． 【解答】解：盒子中一共有球：个． 分别计算各类球取出的概率： 蓝球：， 黄球：， 白球：， 红球：， 由频率折线图可知，随着试验次数增加，该颜色球出现的频率稳定在0.3左右，和白球的理论概率相等，因此该种球的颜色最有可能是白球． 10．B 【分析】随着试验总次数不断增加，点落在不规则图案内的频率逐渐稳定在0.3附近，用稳定的频率估计概率，再结合长方形总面积，即可求出不规则图案的估计面积． 【解答】解：由频率折线图可知，随着试验次数增多，点落在不规则图案内的频率稳定在0.3左右，因此可估计点落在阴影不规则图案内的概率． 已知长方形总面积为，设不规则图案面积为，根据几何概型： ， 计算得： ． 11． 【分析】先根据无理数的定义确定五个数中无理数的个数，再利用概率公式计算抽到无理数的概率． 【解答】解：∵总共有，，，，五个数，即共有种等可能的抽取结果， ∵无限不循环小数是无理数， ∴这五个数中，无理数为和，共个， ∴抽到无理数的概率为． 12． / 【分析】先解分式方程得到关于的表达式，再根据分式方程有正数解的条件得到的取值范围，找出符合条件的的个数，最后根据概率公式计算即可． 【解答】解：对分式方程变形，得 ， 方程两边同乘，得 ， 整理得， 解得， ∵分式方程有正数解， ∴，且， 解得，且， 在这五个数中，满足条件的为，共个， ∴所求概率为 ． 13．200 【分析】由题意可得小球落在该地形图上的概率为0.5，设该地形图的面积为，则，进一步即可得出答案． 【解答】解：根据题意可得：小球落在该地形图上的概率为0.5， 设该地形图的面积为， 则， 解得：， ∴该地形图的面积大约为. 14．15 【解答】解：由表格数据可知，随着摸球次数增大，摸到红球的频率逐渐稳定在． 因此估计摸到红球的概率为． 则估计袋中红球的个数为． 15．② 【分析】获胜概率大即为方案发生的概率大，因此需要分别计算三种方案发生的概率，这10个数字中有5个奇数，3的倍数为3，6，9，不小于5的数为5，6，7，8，9，10，据此计算概率即可． 【解答】解：分别计算三种方案发生的概率： ①奇数的概率为； ②3，6，9是3的倍数，故不是3的倍数的概率为， ③大于等于5的数共有6个，故不小于5的概率为， ， 获胜概率最大的方案为方案②． 16． 【分析】本题要求小王最终获胜且小李全程未领先，按比赛结束的不同局数分类，计算每类符合条件的情况数再求和即可得到结果． 【解答】解：由题意，小王最终胜4局，小李胜局不超过3局，且任意时刻小李胜场数不超过小王胜场数，分情况讨论： ①比赛4局结束：小王连胜4局，符合条件，共1种情况； ②比赛5局结束：第5局小王胜，前4局小王胜3局，小李胜1局，第一局必须为小王胜（否则小李开局领先），剩余3局选1局小李胜即可，共种，均满足条件，共种情况； ③比赛6局结束：第6局小王胜，前5局小王胜3局，小李胜2局，第一局必须为小王胜，若第二局小李胜，则第三局小王胜，第四、五局小李选1局胜即可，共2种情况；若第二局小王胜，则第三、四、五局小李选2局胜即可，共3种情况；因此，一共有5种情况； ④比赛7局结束：第7局小王胜，前6局小王胜3局，小李胜3局，第一局必须为小王胜，在剩余五局中，小李可以胜第二、四、六局，或第二、五、六局或第三、五、六局或第三、四、六局或第四、五、六局，共5种情况； 综上所述， 总情况数为：． 17．21 【分析】观察表格中频率的稳定值，得到单次投篮投中的概率，再计算投篮30次的投中估计次数即可． 【解答】解：由表格数据可知，随着投篮总次数的增加，投中频率在至之间波动，且逐渐稳定在附近，因此估计这名球员投篮一次投中的概率约为， 所以投篮次时，投中次数约为． 18．二 【分析】先列举得到方案一和方案二的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算概率，再比较两个概率的大小即可． 【解答】解：设不能正常工作时表示为，， 方案一，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有1种，所以方案一中电路系统正常工作的概率为， 方案二，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有3种，所以方案二中电路系统正常工作的概率为， 方案二更稳定可靠． 故答案为：二． 19．此游戏规则不公平，理由为： 列表如下： 3 4 5 6 1 3 4 5 6 2 6 8 10 12 3 9 12 15 18 ∵所有等可能的情况数有12种，其中乘积为奇数的情况有4种，乘积为偶数的情况数有8种， ∴P（甲获胜）＝，P（乙获胜）＝， ∵， ∴此游戏规则不公平． 【分析】根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出乘积为奇数和偶数的情况数，进而求出甲乙两人获胜的概率，比较即可． 【解答】略 20．(1) 不可能 (2) (某顾客该天早餐刚好得到菜包和牛奶) 【分析】（1）根据约定，“某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是不可能发生的，属于不可能事件； （2）由题意，画出树状图，利用概率公式进行计算即可. 【解答】（1）略 （2）解：用A，B，C，D，分别表示菜包、花卷，鸡蛋、牛奶四样食品，画出树状图如下： 由图可知，共12种等可能的结果，其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和牛奶的结果有2种， 故. 21．(1)9种，90种 (2) 【分析】（1）根据每个数位上的数字的可能取值计算出所有可能出现的结果； （2）正确的密码只有1个，再除以所有可能出现的结果数即可. 【解答】（1）解：∵密码的个位数字是8， ∴此时密码的十位数字可以是0，1，2，3，4，5，6，7，9中的任意一个，故有9种可能的密码； 这密码锁由两个不同数字组成，每个数位上的数字的可能性分别是10种、9种， 密码的可能性有：（种）； （2）解：在两位数字都不知道的情况下，小明随机输入一次，解锁成功的概率是. 22．(1)1个 (2)概率为 【分析】（1）设口袋中黄球的个数为x个，根据概率公式得到，然后利用比例性质求出x即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出都是红球的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【解答】（1）解：设口袋中黄球的个数为x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴口袋中黄球的个数为1个； （2）解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果数，两次摸出都是红球的有2种结果数， ∴两次摸出都是红球的概率为：． 23．(1)不可能事件 (2) (3)未得到购物券的概率比得到购物券的概率大 【分析】（1）由于没有100元的购物券，故该事件为不可能事件； （2）用绿色区域个数除以分成的区域总数可得答案； （3）分别计算出得到购物券和未得到购物券的概率，比较即可得到结论． 【解答】（1）解：∵30元、20元、10元的购物券，没有100元的购物券 ∴“转动一次转盘获得100元的购物券”是不可能事件； （2）解：， 答：转动一次转盘获得20元购物券的概率是； （3）解：得到购物券的概率为， 未得到购物券的概率为， ∵， ∴未得到购物券的概率比得到购物券的概率大． 24．(1) (2) (3)不公平，合理方案：将袋子中3个黑球换成白球（答案不唯一）. 【分析】（1）根据“频率的稳定性”原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率，注意题目要求“精确到0.1”，不能直接采用单次试验的频率作为结果，需观察频率的稳定值后按精确度要求取值； （2）由第（1）问可知，摸到黑球的频率约为0.6，因此可以估算出黑球的个数，进而估算出白球的个数； （3）游戏公平的判断标准是双方获胜的概率相等，通过计算比较使两种球个数相同即可求解． 【解答】（1）观察表格中和时的频率分别为：0.603和0.602，非常接近； 可见当 增大时，频率稳定在0.6左右； 当很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6； （2）由（1）知摸到黑球的频率 ， ∵总球数， ∴黑球数， ∴白球数， 故答案为：12； （3）题中说摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，当前黑球数为18个，白球数为12个，所以这个游戏规则不公平． 要使游戏公平，则应该使黑球数白球数． 由于总数30不变，只需将3个黑球换成3个白球，即可实现公平． 25．(1)66；0.6 (2)0.6 (3)30 (4)14 【分析】（1）根据频率公式进行求解即可； （2）利用频率估算概率即可； （3）利用概率求数量即可； （4）根据频率估算概率，再根据概率求数量即可. 【解答】（1）解：； （2）解：由表格可知，摸到红球的概率约为； （3）解：∵摸到红球的概率约为， ∴红球有个； （4）解：∵摸到红球的频率稳定在0.5， ∴摸到红球的概率为0.5， ∴， 解得. 学科网（北京）股份有限公司 $