北京市海淀区人大附中2026～2027学年上学期九年级开学考数学试卷

2026-2027学年度第一学期初三年级数学练习1参考答案 一、选择题（共16分，每题2分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A D B A D 二、填空题（共16分，每题2分） 9.x≠0： 10.x<1: 11.120°： 12.y=2(x-102+3: 2、分 13.3: 14.2: 15.①②④（错选不得分，少选给1分）： 16.(1)19100:(2)水泵→电梯→道闸→门禁（此题每问1分，共2分）. 三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题5分，第2426题， 每题6分，第27-28题，每题7分) 17.解：原式=1+V3-2V5-1 …4分 =-V3 …5分 18.解：x2-6x=-1 。。。。。。。。。。。。。 …1分 x2-6x+9=-1+9. (x-3)2=8 …3分 x-3=+22 x=3±2W2 x=3+2W2x2=3-2W2 …5分 19.(1) …3分（术轴交点1分，y轴交点 (2)45ys4 9 …5分（不等号与端点值捆绑，对 20.(1)证明：△=(3m+1)2-4m(2m+1) …1分 =m2+2m+1 =(m+1)2≥0 ∴.方程总有两个实数根， …2分 (2)解：方程可化为(x-儿m-(2m+1刃=0 1 解得光=1.七=二+2 m …4分 ·方程两根均为整数， 1 +2 1 m为整数即m为整数. .整数m=士1 …5分 又此方程有两个不等实根， 1 x2=-+2=1 而当m=-l时， m 与x相等，故舍去 .整数m的值为. …6分 21.性质一证明：如图，延长BC到D,使CD=BC,…1分 ∠ACB=90°， ∴.AC为线段BD的中垂线， ∴.AB=AD 又在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30° ∴.∠B=90°-∠BAC=60° △ABD为等边三角形.…4分 .AB=BD」 .BC=LBD 21 ∴.BC= …6分 D 性质二证明：如图，延长BD到E,使DE=BD, …1分 D为AC中点， ∴四边形ABCE为平行四边形. 又：∠ABC=90°」 .平行四边形ABCE为矩形.…4分 ∴.AC=BE BD=IBE 2 BD=AC 6分 22.(1)解：一次函数y=+b的图象-L,)和L,5) -k+b=1, k+b=5. k=2, 解得b=3. .k的值为2，b的值为3.… …3分 (2)2≤m≤3， …5分 23.(1）7.5,10; …2分 (2)小乐；… …3分 (3)不同意，反例为：乙班决赛成绩为3,3,6,6,8,9,9,10,10,10，此时平均分为7.4低于甲班. …5分 24.(1)证明：：点E是AC的中点，EF=DE ·四边形ADCF为平行四边形. 1分 :点D,E分别是AB,AC的中点， .DE为△ABC的中位线， .DEl/BC, .∠DEA=∠ACB=90°， AC⊥DF, 平行四边形ADCF为菱形. …2分 (2)解：在菱形ADCF中，AC为线段DF的中垂线，而点P在线段AC上运动， .DP=FP. ∴.DP+BP=FP+BP≥FB,当点P在线段FB上时取到等号. .DP+BP的最小值为FB的长，且此时点P为FB与AC的交点，如图所示.…3分 :在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°.AB=8 i.BC=1AB=4 2 点D是AB的中点， 40-4B=4 又：在菱形ADCF中，ADIICF,AD=CF, .CF=4.∠ACF=∠BAC=30° 过点F作FG⊥BC交BC的延长线于G, .∠G=∠ACB=90° .ACI/GF ∴.在Rt△CGF中，∠CFG=∠ACF=30°， CG-CF-2 GF-CP-CG-25 又：在Rt△BGF中，BG=BC+CG=4+2=6, BF=BG2-GF2=43 ·DP+BP的最小值为4V3 ，………6分 25.(1)画图如下： 5/(g/m) 32 28 24 20 16 8 510152025303570 …1分 (2)①18(18或19都得分)：②610：… 。。。。。。。。。。 …3分 (3)①18（此空需与(2）①一致才得分)；②196. … …5分 26.(1)①解：当a=1时，y=x2-4x+3可化为y=(c-2)2-1 ∴抛物线的对称轴为直线x=2。 … …】分 ②片<： 2分 (2)解：令y=0,得ax2-4ax+3a=0. :a≠0，x2-4x+3=0.解得：=1，为3=3」 六点4，B两点坐标为1,0)，(3,0) …3分 ∴.AB=2」 又M(:,H)在抛物线上， .月=ax2-4ax+3a 5-号a行r+片-5 令2=-4+3，z为关于的二次函数. 当1≤x≤4时，函数值z的取值范围是-1≤z≤3. :当1≤x≤4时，？-4+到的最大值为3即S的最大值为34， 由题意，对于任意1≤≤4，都有S≤2， 只需S的最大值不超过2即可，即3引4≤2」 2 2 ≤a≤ 解得3 3 …5分 又a≠0. 2 2 ≤a≤ .3 3且0≠0.…6分 27.(1)证明：在AB上截AP=AC,连接DP. :AD为△ABC的角平分线， ∴.∠BAD=∠CAD」 又AD=AD, :.△APD≌△ACD(SAS) .DC=DP .在△BPD中，BD-DP<BP. .BD-DC<BP 又BP=AB-AP=AB-AC, AB-AC>BD-DC …2分 0 (2)解：①当AB>AC时，图1为示意图. 延长BA到F,使AF=AC,连接EF, ∠DAE=90°， ∴.∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90° 又AD为△ABC的角平分线， ∴.∠1=∠2 ∴.∠3=∠4 又：AE=AE, ∴.△AFE≌△ACE(SAS) .CE=EF, CE=AB+AC=AB+AF=BF. ∴.EF=BF ÷∠B=∠FEB=180°-∠F-_180°-∠ACE=LACB 2 2 2 在△ABC中，∠B+∠BAC+∠ACB=180°且∠BAC=45°， :.∠ACB+45°+∠ACB=180 2 ,解得∠ACB=90° …5分 B D 图1 E ②当AB<AC时，图2为示意图. 延长CA到H,使AH=AB,连接EH. 同理可得△AHE≌△ABE(SAS) ∴.∠H=∠5 CE=AB+AC=AH+AC=CH, :∠H=∠HBc=180°-∠1CB=∠5 2 在△ABC中，∠5=∠BAC+∠ACB且∠BAC=45°， :180°-∠ACB=45°+∠ACB 2 ,解得∠ACB=30° B D 图2 ③当AB=AC时，不符合题意. 综上所述，∠ACB的度数为90°或30°. …7分 28.（1)B,B,P: 。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。 …2分（错选不得分，少选给 2)L1+5.(,1-5) …4分 (3)若MN在x轴上方，1<m≤3；若MN在x轴下方，-4≤m<0 …7分 2026-2027学年度第一学期初三年级数学练习1 2026.9 班级：________ 姓名：________ 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 A．1，2，3 B．1，，3 C．0，2，3 D．0，，3 2．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，已知，则的度数是 A． B． C． D． 3．若点，都在抛物线上，则与的大小关系是 A． B． C． D．无法确定 4．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论错误的是 A． B． C． D． 5．如图，在中，是边上的中线，若，，，则的面积是 A．4 B．6 C．12 D．24 6．若是关于的方程的一个解，则代数式的值为 A． B．1 C． D．2 7．为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是 A． B． C． D． 8．如图，已知边长为1的正方形，为边上一动点（点不与点，重合），过点作，交边于点，作点、关于的对称点、，连接，交于点，．给出下面三个结论： ①四边形的周长是一个定值； ②四边形的周长是一个定值； ③和的交点为线段的中点． 上述结论中，所有正确结论的序号是 A．仅有① B．仅有② C．①③ D．②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9．若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 10．不等式组的解集为________． 11．窗棂是中国传统建筑的重要元素，既有吉祥寓意，又显几何之美．如图所示，某个窗棂图案的外框是正六边形，这个正六边形的每一个内角都等于________度． 12．将抛物线沿着直线的方向平移，平移后的抛物线顶点横坐标为1，则平移后的抛物线表达式为________________． 13．如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________． 14．如图，在矩形中，，，分别以，两点为圆心，以的长为半径作弧，两弧在矩形内部交于点，则点到所在直线的距离为________． 15．如图，直线与抛物线相交于点，．下面四个结论：①； ②当时，； ③方程的解为，； ④当时，函数值随着的增大而减少． 其中所有正确结论的序号是________． 16．暴雨过后，某小区物业同一时刻发现处设施故障，需一名维修工逐一抢修．故障情况如下表： 故障设施 电梯 供水水泵 大门门禁 车库道闸 影响住户（户） 120 80 30 20 所需维修时间（分钟） 50 20 40 10 维修工修完一处立即前往下一处（衔接时间忽略不计）．某处设施的等待时间是指从维修工开始第一处抢修起，到该处抢修完成所经过的时间； 该处故障的影响量=影响住户数×等待时间（单位：户·分钟）． （1）若按“道闸→水泵→门禁→电梯”的顺序抢修，则处故障影响量之和为________户·分钟； （2）若维修工可以自选抢修顺序，为了使影响量之和最小，则应按________________的顺序抢修． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 17．计算：． 18．解方程：． 19．已知二次函数． （1）在下图所示的平面直角坐标系画出该二次函数的图象； （2）直接写出当时，的取值范围． 20．已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意非零实数，该方程总有两个实数根； （2）若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数的值． 21．直角三角形作为特殊的三角形，有它特殊的性质，下面是其中两条重要的性质： 性质一：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 性质二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 请你选择其中一条，根据以下信息，完成对性质的证明． 性质一 已知：如图，中，，． 求证：． 性质二 已知：如图，中，，为中点，连接． 求证：． 22．在平面直角坐标系中，一次函数的图象和． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出的取值范围． 23．某校为提升学生的科学素养，举办了“未来科学家”科普知识竞赛．九年级甲、乙两个班各派10名学生参加校级决赛．决赛成绩（满分10分，均为整数）的统计信息如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲班10名同学得分的平均数为________，乙班10名同学得分中最高分为________分； （2）甲班小乐的成绩是9分，乙班小思的成绩也是9分．请结合本班统计图信息，判断在各自班级中的排名更靠前的是________（填“小乐”或“小思”）； （3）小研通过统计图信息发现，甲班的中位数和众数均比乙班低，甲班满分人数也比乙班少，由此判断甲班的平均分也比乙班低．你是否同意小研的判断？若同意，请说明理由；若不同意，请举出反例． 24．如图，中，，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，点是线段上一动点，连接，，求的最小值并在图中画出取得最小值时点的位置． 25．在一定温度下，空气中最多能容纳的水汽质量（单位：）叫做该温度下空气的饱和含湿量．当空气中的实际水汽超过时，超出的部分会凝结成小水珠，这种现象叫做结露（如冬天窗玻璃上的水珠、浴室镜子上的雾）．某中学科技小组查阅气象资料，得到不同温度下空气的饱和含湿量（单位：）的数值如下表： 温度 0 5 10 15 20 25 30 饱和含湿量 4.8 6.8 9.4 12.8 17.3 23.0 30.4 （1）根据表中数据，在给出的平面直角坐标系中，画出范围内关于的函数图象； （2）冬季某天中午，1号教室（体积）门窗紧闭，室内温度为，湿度传感器测得空气的实际含湿量为．夜间寒潮来袭，教室温度持续下降： ①当温度降至________时（精确到个位），教室空气中的水汽恰好达到饱和（结露开始发生）； ②当温度降至时，此时1号教室的空气中共凝结约________水（精确到整数）； （3）次日清晨，1号、2号教室（体积均为）温度均为，传感器测得两教室空气的实际含湿量分别为和，两教室的窗玻璃上均出现了结露．为使结露消失（即空气中的水汽不再超过当时的饱和含湿量），有以下两种方案： 方案一：将两教室均升温至（含湿量不变），使两教室空气中的水汽均不再凝结； 方案二：保持，利用新风系统向教室通入室外的干燥空气（含湿量为）并充分混合．经实验测定：向含湿量为的教室通入干燥空气后，教室空气的含湿量变为． ①方案一中，的最小值为________（精确到个位）； ②方案二中，若1号、2号教室分别通入、干燥空气（、均取整数），使两教室空气中的水汽均不再凝结，则的最小值为________． 26．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，已知，是该抛物线上任意两点． （1）当时， ①求抛物线的对称轴； ②若，且，直接写出和的大小关系； （2）记的面积为，若对于任意，都有，求的取值范围． 27．在中，为的角平分线． （1）如图，．求证：； （2）若，点是直线上的动点（不与，重合），满足，．请根据题意画出示意图，并求出的度数． 28．在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若以点，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，则称点为线段的“平行四边形关联点”． 已知点，． （1）如图，点，在点，，，中，线段的“平行四边形关联点”是________； （2）点在直线上．若轴上存在线段的“平行四边形关联点”，直接写出此时点的坐标； （3）点在直线上．已知平行于轴且到轴距离为，线段（点在点的左侧），对于线段上任意一点，总存在点，使得点是线段的“平行四边形关联点”．直接写出点的横坐标的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $