精品解析： 北京市海淀区清华大学附属中学2025-2026学年九年级上学期开学考数学试卷

2025－2026学年第一学期开学阶段性反馈 数学 （清华附中初23级） 一、选择题（共24分，每题3分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、是中心对称图形，该选项不符合题意； 、是中心对称图形，该选项不符合题意； 、不是中心对称图形，该选项符合题意； 、是中心对称图形，该选项不符合题意； 故选：． 2. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】小于1的正数用科学记数法表示的一般形式为，其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数． 【详解】解：0.0000033用科学记数法表示为． 3. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，半圆（直径）所对的圆周角是直角，根据直径所对的圆周角是直角可得，然后求出，再根据同弧所对的圆周角相等得出答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4. 如图所示，数轴上点分别表示数，若，则下列运算结果一定是正数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数与数轴，数轴上两点间距离，有理数的加法运算法则，由可得，即得，又由数轴可得，得到，进而得到，再根据有理数的加法法则即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又由数轴可得，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5. 通过如下尺规作图，能说明的面积和的面积相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，三角形的中线的性质，掌握三角形中线平分面积的性质即可求解． 根据尺规作图确定中线即可求解． 【详解】解：A、是中的角平分线，不能平分三角形面积，不符合题意； B、，不能平分三角形面积，不符合题意； C、是的中线，能平分三角形面积，符合题意； D、是的垂线，不能平分三角形面积，不符合题意； 故选：C ． 6. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，二次根式的运算，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的变形是解题的关键．利用根与系数的关系得，，再利用，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， 故选：B． 7. 如图，在矩形中，边的长为3，点，分别在，上，连接，，，．若四边形是菱形，且，则边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°，AB＝BO＝3，因为四边形BEDF是菱形，所以BE，AE可求出进而可求出BC的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，AD＝BC， ∴BA⊥BF， ∵四边形BEDF是菱形， ∴EF⊥BD，BE＝BF＝DE＝DF， ∴△BEF是等腰三角形，AE＝CF， ∴∠EBO＝∠DBF， ∵EF＝AE+FC，AE＝CF，EO＝FO， ∴EF＝2AE＝2EO， ∴AE＝EO＝CF＝FO， ∴由角是轴对称图形知，AB＝BO＝3，∠ABE＝∠EBO， ∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°， 设OE＝x，则BE＝2x， 根据勾股定理得，， 4x2﹣x2＝32， 解得，x＝ ， ∴BE＝2， ∴BF＝BE＝2， ∴CF＝AE＝， ∴BC＝BF+CF＝3， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半，解题的关键是求出∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°． 8. 已知点，是二次函数图像上两点，且点关于原点对称，若该函数的对称轴始终位于直线的右侧，则在下列结论中：①；②；③；④．正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 先根据题意求出m，n的取值，代入得到a，b，c的关系，再根据对称轴在的右侧即可求解． 【详解】解：∵点关于原点对称， ∴，， ∴，， 代入， 得 ， ∴， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴， ∴， ∴， ∴④正确，符合题意， ∵， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴，即，③错误，不符合题意． 综上所述，结论正确的是①②④，共3个． 故选：C． 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】题考查了二次根式有意义的条件，负数没有平方根列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 草莓中含有多种维生素，对人体健康有益．为了解甲、乙两个品种草莓的维生素含量，研究人员从甲、乙两个品种的草莓中各选株，测量它们每百克草莓中维生素的含量（单位：毫克），在同等实验环境下，测得的数据统计结果如下：则每百克草莓中维生素含量更稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 甲 乙 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差，先求出甲和乙的平均数，再求出甲和乙的方差，进而根据方差的意义即可判断求解，掌握方差的计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵， ∴每百克草莓中维生素含量更稳定的是甲， 故答案为：甲． 12. 如图，正方形内接于．点E为上一点，连接，，若，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定及性质、勾股定理，解题的关键是证明为等边三角形，再利用勾股定理来进行求解． 【详解】解：连接， 在正方形中， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：． 13. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，求不等式的解集，先求出分式方程的解，再根据解的情况得到关于的不等式，求出的取值范围，并求出最简公分母不等于时的取值即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， ∴， ∵方程的解是正数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 14. 已知一次函数，当时，自变量的取值中恰有2个正整数，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的性质、一元一次不等式组等知识．由随着的增大而增大，得出当时，，由自变量的取值中恰有2个正整数，正整数值只能是，结合不等式组进行解答即可． 【详解】解：∵中，， ∴随着的增大而增大， ∴当时，可得， 解得， ∵自变量的取值中恰有2个正整数， ∵时，， ∴正整数值只能是， 则， 解得， 故答案为：． 15. 如图在中，，且，点在上，点是线段上一个动点，以为直径作，点为直径上方半圆的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，解直角三角形，连接，过点作交的延长线于点，可得，即得，再由锐角三角函数可得，最后根据垂线段最短即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于点， ∵点为直径上方半圆的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵垂线段最短， ∴，即， ∴当点与点重合时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 16. 在某次素养水平调查中，抽查了某校名同学进行测试，其中名男生，名女生，测试成绩的统计结果如下表：（注：每名同学的测试成绩均为之间的整数）下面四个结论中：①本次调查测试成绩平均数为分；②本次调查测试成绩的中位数为分或分；③本次调查测试成绩的众数为分；④女生的测试成绩的极差一定大于．正确结论的序号是______． 平均分 中位数 众数 男生 女生 ， 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数和极差，根据平均数、中位数、众数和极差的定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①由表可得，本次调查测试成绩平均数为分，故①正确； ②男生（18人）中位数为83分，故至少9名男生成绩不低于83分， 女生（12人）中位数为82分，故至少6名女生成绩不高于82分， 全体30人的中位数由排序后第15、16位同学的成绩决定，根据现有条件无法确定其确切值，例如，可以构造数据使得中位数为82.5分，所以该结论不一定正确，故②错误； ③∵男生测试成绩的众数为，女生测试成绩的众数为， ∴本次调查测试成绩的众数为分，故③正确； ④由表中数据无法确定女生测试成绩最高分和最低分， ∴无法判断女生的测试成绩的极差一定大于，故④错误； 综上，正确结论的序号是①③， 故答案为：①③． 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据乘方的定义、负指数幂及零指数幂分别运算，再相加减即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集即可，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查分式的化简求值，正确计算分式的混合运算是代入计算的前提．先将括号内的两项通分并按照同分母分式相减，再将除法化为乘法约分化简结果，最后将m的值代入计算． 【详解】解： 当时，则原式 20. 如图，在中，于点，点分别是的中点，点是的中点，的延长线交线段于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：分别是的中点， 是的中位线， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理得，则，再证 ，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）在中，根据含30度角的直角三角形的性质得出，设，则，由勾股定理得，则，进而由平行四边形的性质即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 是的中点， ， 在中，，， ， 设，则，由勾股定理得：解得 ， ， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 21. 研学旅行作为“行走的课堂”，已经成为推动素质教育的重要抓手．近日学校组织学生参加研学活动，并准备了A，B两种食品作为午餐，在不浪费粮食的前提下，供同学们任意选取．这两种食品每包质量均为g，营养成分表如下． （1）若小芳同学要从这两种食品中摄入kJ热量和g蛋白质，她应选用A，B两种食品各多少包？ （2）若小明运动消耗大，他对蛋白质的摄入量应更多，他决定选用这两种食品共8包，同时要使每份午餐中的蛋白质含量不低于g，且热量最低，他应如何选用这两种食品？ 【答案】（1）应选用A种食品2包，B种食品4包 （2）应选用6包A种食品，2包B种食品 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，正确理解题意即可； （1）设应选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意得：，即可求解； （2）设选用m包A种食品，则选用包B种食品，根据题意得：， 解得：，设摄入的总热量为w KJ，则，即可求解； 【小问1详解】 解：设应选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意得：， 解得：， 答：应选用A种食品2包，B种食品4包； 【小问2详解】 解：设选用m包A种食品，则选用包B种食品， 根据题意得：， 解得：， 设摄入的总热量为w KJ， 则， ， 随m的增大而减小， 当时，w取得最小值， 此时， 答：应选用6包A种食品，2包B种食品． 22. 已知一次函数． （1）若该一次函数的图象向上平移个单位长度后可得某正比例函数的图象，求该一次函数的解析式； （2）若该一次函数分别与轴正半轴、轴负半轴相交，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）由平移的性质得到正比例函数解析式，再根据正比例函数的定义求出的值即可求解； （）分别求出一次函数与轴、轴的交点坐标，进而根据交点位置得出关于的不等式组，解不等式组即可求解； 本题考查了一次函数的平移，正比例函数的定义，一次函数与坐标轴的交点问题等，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由平移得，正比例函数的解析式为， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， ∴， ∴一次函数与轴的交点坐标为， 把代入，得， ∴一次函数与轴的交点坐标为， ∵一次函数分别与轴正半轴、轴负半轴相交， ∴， 当时，解得； 当时，解得； 又解不等式，得， ∴不等式组的解集为，即的取值范围为． 23. 近年来，人工智能的迅速崛起，极大地提高了人们的工作效率．某公司计划从两个人工智能产品中选择一个使用．该公司对两个人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试（每项测试满分为分，且均为整数），每项能力均进行次测试，取次测试得分的平均数作为该项的测试成绩．将两个人工智能产品的语言交互能力次测试得分整理成如下折线统计图，将两个人工智能产品的分析能力和学习能力测试成绩整理（分别取次测试得分的平均数）成如下表： 人工智能产品 分析能力 学习能力 （1）产品语言交互能力测试成绩的平均数为______，众数为______； （2）两个产品语言交互能力测试成绩的方差分别为，则______（填“”，“”或“”）； （3）如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按的比例计算最终成绩，那么该公司应该选择使用哪个人工智能产品？ 【答案】（1）， （2） （3）人工智能产品 【解析】 【分析】（）根据平均数和众数的定义解答即可； （）分别求出两个产品语言交互能力测试成绩的方差即可判断求解； （）利用加权平均数公式计算即可； 本题考查了折线统计图，加权平均数，众数和方差，掌握相关统计量的计算方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：由折线统计图可得，产品语言交互能力测试成绩为：， ∴产品语言交互能力测试成绩的平均数为，众数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由折线统计图可知，产品语言交互能力测试成绩为：， ∴产品语言交互能力测试成绩的平均数为， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：的最终成绩为分， 的最终成绩为分， ∵， ∴该公司应该选择使用人工智能产品． 24. 如图，在中，，点为边上的一点，．过点作，延长交于点． （1）证明：； （2）作的角平分线交于点．若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）连接，，利用等腰三角形的性质和圆周角定理可得，，，进而证明，利用全等三角形的性质可得，进而可得到，即得到，即可求证； （）过点作，设与交于点，根据全等三角形的性质可得，，，，利用角平分线的性质可得，，即证明四边形为矩形，再根据平行线的性质可得，，利用勾股定理和矩形的性质可得，设，在中，列式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，， ∵，， ∴， 设， ∴ ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即； 【小问2详解】 过点作，设与交于点， 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 解得：， 故的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 学校一科学兴趣小组发现两种材料的导热性不同，散热性也不同，为了研究材料的导热性差异，设置了对照实验，在两种不同材料容器中放入等量的水，并记录了容器和容器中水的温度（单位：）与相同条件下的加热时间（单位：）的关系，部分数据如下：通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，其中与近似满足一次函数关系； / / （1）_________； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在加热分钟时，容器中的水与容器中水的温度差约为______（结果保留整数）； ②某次实验的实验记录显示，小组成员开始对两个容器加热，容器的加热设备损坏，容器停止加热；小组成员给容器继续加热一段时间后，停止对容器的加热，将加热设备替换给容器使用，容器停止加热，实验结束．已知停止加热后，容器中水的温度每分钟下降，容器中水的温度可以近似认为保持不变．若在实验结束时，容器中水的温度与容器B中水的温度相等，则这个温度大约为______（结果保留整数）． 【答案】（1） （2） 根据表格数值描点连线画图如下： （3）①；② 【解析】 【分析】（）由表格可知，加热时间每增加，容器中水的温度增加，据此即可求解； （）根据表格数据规律可知与是一次函数关系，再根据表格数据描点画出函数图象即可； （）①由（）所得变化规律可求出加热分钟时，容器中的水温，再根据（）中图象得出，容器中水的温度，相减即可求解；②根据函数解析式求出给容器加热后，再给容器加热和时的水温，并结合函数图象可知加热后，再给容器加热时间要小于大于，对容器加热时间要小于大于，才有可能它们的温度相同，且它们的最终温度大于小于， 进而即可求解； 本题考查了一次函数的应用，画函数图象，正确画出函数图象是解题的关键． 【小问1详解】 解：由表格可知，加热时间每增加，容器中水的温度增加， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵加热时间每增加，容器中水的温度增加， ∴与是一次函数关系，且， 【小问3详解】 解：①加热分钟时，容器中的水温，容器中水的温度大约为， ∴容器中的水与容器中水的温度差约为， 故答案为：； ②当时，， ∴加热后，再给容器加热，容器加热，容器的温度为， 根据函数图象可知，容器的温度约为， 加热后，再给容器加热，容器加热，容器的温度为， 根据函数图象可知，容器的温度约为， ∴加热后，再给容器加热时间要小于大于，对容器加热时间要小于大于，才有可能它们的温度相同，且它们的最终温度大于小于， ∴这个温度大约为， 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过． （1）用含的式子表示． （2）已知和是抛物线上的两点． ①若，当时，求的最大值； ②若对任意，，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（）把代入二次函数解析式整理即可求解； （）①当时，，得到抛物线解析式为， 根据二次函数的性质分别求出的最大值和的最小值，再相减即可求解；②分和两种情况，根据二次函数的性质分别求出的最小值和的最大值，再根据列出不等式解答即可求解； 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，取得最大值，此时， 当时，随的增大而减小， 当时，取得最小值，此时， ∴的最大值为； ②∵， ∴， 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，抛物线开口向上， 若，即时，的最小值为，随的增大而增大， ∴当时，的值最大，的最大值， ∵， ∴， 解得，不合题意； 若，即，此种情况不合题意； 当时，抛物线开口向下，对称轴为， 若，即时，的最小值为，随的增大而减小， ∴当时，的值最大，的最大值， ∵， ∴， 解得； 若，即时，的最小值为，的最大值， ∵， ∴， 此时的最大值大于，不满足； 综上，的取值范围为． 27. 如图，在中，，． （1）当时，求； （2）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，为的中点，过点作于点． ①补全图形； ②用等式表示之间的数量关系并证明． 【答案】（1） （2） ①补图如下： ②解：，证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点四点共圆， 如图，连接，作于，连接并延长交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（）过点作交于，可得是等腰直角三角形，即得，，进而得到，即得到，得到，最后根据三角形外角性质即可求解； （）①根据题意补全图形即可；②由可得点四点共圆，连接，作于，连接并延长交于点，可证，得到，进而由三线合一得到，即可得，得到，，即得到，又由即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作交于， 则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角性质，旋转的性质，点和圆的位置关系，垂径定理，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于图形和平面上的点，给出如下定义：将图形绕点逆时针旋转得到图形，若与图形有公共点，则称点是图形的“关联点”． （1）已知点，． ①在点，，中，点________是的“关联点”； ②若点在直线上，且点是线段的“关联点”，直接写出点的横坐标的取值范围：________； （2）已知正方形的边长为，、为直线上两点，且线段上的点都是正方形的“关联点”，记线段长度的最大值为，若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①分别画出线段绕点，，逆时针旋转得到的图形，再根据题意判断即可； ②先得出线段绕点旋转的线段也平行于x轴，随着点位置的变换，平行于x轴的线段在变换，考虑上、下两个临界处，分别画图结合中心对称的性质求解即可； （2）先再线段上取两点和，在正方形上任取一点，通过全等三角形的判定性质证明可知在正方形上任取一点，绕直线一点逆时针旋转，形成的轨迹是与直线的夹角为固定的的直线，则随着直线一点在线段上平移，正方形的对应正方形沿与直线夹角为的方向平移，且由可知，点在线段上平移距离等于点的对应点的平移距离，所以的值就是正方形与有公共点的平移距离，因此只需要知道正方形与有公共点的最大平移距离即可，相对地，我们可以让边长为的正方形的位置固定，通过平移，得出有公共点的最大平移距离即可，即圆心的平移距离，分三种情况讨论：当时，由于正方形的对角线小于的直径，则平移时需保证在中间时，在上；当时，取最大值是沿正方形的对角线平移时；当时，因为正方形的边长大于的直径，所以要确保有公共点且可移动最大距离，先确定运动到中间时是正方形与相切时． 【小问1详解】 解：①线段绕点，，逆时针旋转得到的图形分别如下： 由图可知，点，是的“关联点”， 故答案为：，； ②∵点是线段的“关联点”， ∴线段绕点逆时针旋转的线段与有公共点， 又由，， 可得线段是平行于x轴的线段， 则线段绕点逆时针旋转的线段也平行于x轴，随着点位置的变换，平行于x轴的线段也在变换，考虑上、下两个临界处， 如图，当在上方刚与相切时， 则切点为， 当时，， 得， 则与直线的交点为， 由旋转180度，可知和关于点中心对称， 则，即； 如图，当在左下侧刚与有一个公共点时， 设， 由，又知和关于点中心对称， 则，即， 由， ∴， 解得：（正值舍）， 综上所述，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，设和是线段上两点， 正方形绕点逆时针旋转是正方形， 在正方形上任取一点，是绕点逆时针旋转是后正方形上的对应点，再作出点绕点逆时针旋转后的，设和交于点，连接，，设与交于点， 由旋转知， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∵， ∴， ∴， 即可知在正方形上任一点，绕直线一点逆时针旋转，形成的轨迹是与直线的夹角为固定的的直线， 则随着直线一点在线段上平移，正方形的对应正方形沿与直线夹角为的方向平移， 且由可知，点在线段上平移距离等于点的对应点的平移距离， 所以的值就是正方形与有公共点的平移距离， 因此只需要知道一个边长为的正方形与有公共点的最大平移距离即可， 相对地我们可以让边长为的正方形的位置固定，通过平移，得出有公共点的最大平移距离即可，即圆心的平移距离， 当时，由于正方形的对角线小于的直径，则平移时需保证在中间时，在上，即如图中的， 则可知最大平移距离的平移方向为如图中的（与正方形相切，过点）方向，最大平移距离为，且随着的增大，在增大， 当时，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴， 在中，，如图，过点作， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得，, 则， 同理， ； 当时，最大平移距离便是沿正方形的对角线平移时，此时， 则当时，； 当时，取最大值是沿正方形的对角线平移时，如图， ∵正方形的边长为，， ∴正方形的对角线长最大为，最小为2， ∴； 当时，因为正方形的边长大于的直径，所以要确保有公共点且可移动最大距离，先确定运动到中间时是如图正方形与相切时， 则可知最大平移距离的平移方向为如图中的（与正方形相切，过点）方向，最大平移距离为，且随着的增大，在增大， 当时，连接的圆心和其与正方形切点并延长交于点，连接与和正方形的切点，连接， 则可知，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， 则， ∴， 则时，． 综上，． 【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，全等三角形的判定与性质，中心对称图形的性质，等边三角形的判定与性质，几何图形的平移，解直角三角形等，熟练理解题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期开学阶段性反馈 数学 （清华附中初23级） 一、选择题（共24分，每题3分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.0000033米．则0.0000033用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，数轴上点分别表示数，若，则下列运算结果一定是正数的是（ ） A. B. C. D. 5. 通过如下尺规作图，能说明的面积和的面积相等的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，边的长为3，点，分别在，上，连接，，，．若四边形是菱形，且，则边的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，是二次函数图像上两点，且点关于原点对称，若该函数的对称轴始终位于直线的右侧，则在下列结论中：①；②；③；④．正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 10. 因式分解：______． 11. 草莓中含有多种维生素，对人体健康有益．为了解甲、乙两个品种草莓的维生素含量，研究人员从甲、乙两个品种的草莓中各选株，测量它们每百克草莓中维生素的含量（单位：毫克），在同等实验环境下，测得的数据统计结果如下：则每百克草莓中维生素含量更稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 甲 乙 12. 如图，正方形内接于．点E为上一点，连接，，若，，则的长为_______． 13. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是______． 14. 已知一次函数，当时，自变量的取值中恰有2个正整数，则的取值范围是__________． 15. 如图在中，，且，点在上，点是线段上一个动点，以为直径作，点为直径上方半圆的中点，连接，则的最小值为______． 16. 在某次素养水平调查中，抽查了某校名同学进行测试，其中名男生，名女生，测试成绩的统计结果如下表：（注：每名同学的测试成绩均为之间的整数）下面四个结论中：①本次调查测试成绩平均数为分；②本次调查测试成绩的中位数为分或分；③本次调查测试成绩的众数为分；④女生的测试成绩的极差一定大于．正确结论的序号是______． 平均分 中位数 众数 男生 女生 ， 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）． 17. 计算： 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在中，于点，点分别是的中点，点是的中点，的延长线交线段于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，时，求的长． 21. 研学旅行作为“行走的课堂”，已经成为推动素质教育的重要抓手．近日学校组织学生参加研学活动，并准备了A，B两种食品作为午餐，在不浪费粮食的前提下，供同学们任意选取．这两种食品每包质量均为g，营养成分表如下． （1）若小芳同学要从这两种食品中摄入kJ热量和g蛋白质，她应选用A，B两种食品各多少包？ （2）若小明运动消耗大，他对蛋白质的摄入量应更多，他决定选用这两种食品共8包，同时要使每份午餐中的蛋白质含量不低于g，且热量最低，他应如何选用这两种食品？ 22. 已知一次函数． （1）若该一次函数的图象向上平移个单位长度后可得某正比例函数的图象，求该一次函数的解析式； （2）若该一次函数分别与轴正半轴、轴负半轴相交，求的取值范围． 23. 近年来，人工智能的迅速崛起，极大地提高了人们的工作效率．某公司计划从两个人工智能产品中选择一个使用．该公司对两个人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试（每项测试满分为分，且均为整数），每项能力均进行次测试，取次测试得分的平均数作为该项的测试成绩．将两个人工智能产品的语言交互能力次测试得分整理成如下折线统计图，将两个人工智能产品的分析能力和学习能力测试成绩整理（分别取次测试得分的平均数）成如下表： 人工智能产品 分析能力 学习能力 （1）产品语言交互能力测试成绩的平均数为______，众数为______； （2）两个产品语言交互能力测试成绩的方差分别为，则______（填“”，“”或“”）； （3）如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按的比例计算最终成绩，那么该公司应该选择使用哪个人工智能产品？ 24. 如图，在中，，点为边上的一点，．过点作，延长交于点． （1）证明：； （2）作的角平分线交于点．若，，求的半径． 25. 学校一科学兴趣小组发现两种材料的导热性不同，散热性也不同，为了研究材料的导热性差异，设置了对照实验，在两种不同材料容器中放入等量的水，并记录了容器和容器中水的温度（单位：）与相同条件下的加热时间（单位：）的关系，部分数据如下：通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，其中与近似满足一次函数关系； / / （1）_________； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在加热分钟时，容器中的水与容器中水的温度差约为______（结果保留整数）； ②某次实验的实验记录显示，小组成员开始对两个容器加热，容器的加热设备损坏，容器停止加热；小组成员给容器继续加热一段时间后，停止对容器的加热，将加热设备替换给容器使用，容器停止加热，实验结束．已知停止加热后，容器中水的温度每分钟下降，容器中水的温度可以近似认为保持不变．若在实验结束时，容器中水的温度与容器B中水的温度相等，则这个温度大约为______（结果保留整数）． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过． （1）用含的式子表示． （2）已知和是抛物线上的两点． ①若，当时，求的最大值； ②若对任意，，都有，求的取值范围． 27. 如图，在中，，． （1）当时，求； （2）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，为的中点，过点作于点． ①补全图形； ②用等式表示之间的数量关系并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于图形和平面上的点，给出如下定义：将图形绕点逆时针旋转得到图形，若与图形有公共点，则称点是图形的“关联点”． （1）已知点，． ①在点，，中，点________是的“关联点”； ②若点在直线上，且点是线段的“关联点”，直接写出点的横坐标的取值范围：________； （2）已知正方形的边长为，、为直线上两点，且线段上的点都是正方形的“关联点”，记线段长度的最大值为，若，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $