精品解析：北京市第一七一中学2026-2027学年上学期九年级数学学科开学考试试题

2026-2027学年初三年级数学学科 一、单选题（共16分，本题共8道题，每题2分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 2、3、4 B. 3、4、5 C. 8、15、16 D. 11、12、13 4. 甲、乙两地5月每天最低气温的箱线图如下图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 甲地每天最低气温的最小值低于乙地每天最低气温的最小值 B. 甲地每天最低气温的中位数低于乙地每天最低气温的中位数 C. 甲地每天最低气温的第一四分位数比乙地每天最低气温的第一四分位数大 D. 甲地每天最低气温的波动比乙地每天最低气温的波动大 5. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 固态电池被视为下一代动力电池的核心方向，假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论： ①点C的坐标为； ②当时，是等腰直角三角形； ③若，则； ④抛物线上有两点和，若，且，则． 其中所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②④ 二、填空题（共16分，本题共8道题，每题2分） 9. 要使代数式有意义，则的取值范围是______． 10. 二次函数的图像与轴有_________个交点． 11. 二次函数，若点，是它图象上的两点，则______．（填<、>、=） 12. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 13. 二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 14. 如图，绕点逆时针旋转，得到，若，则等于___________． 15. 如图，四边形是边长为2的正方形，点在正方形内，是等边三角形，则的面积为 _________________． 16. 某工厂生产一种新产品，计划分配给甲、乙、丙三条生产线生产．每条生产线生产n（n为正整数）批产品后产生的材料费（单位：万元）与n的对应关系如下： … 甲 15 35 60 90 125 … 乙 16 37 63 94 130 … 丙 17 39 66 93 120 … （1）如果工厂生产4批产品，且每条生产线至少生产1批产品，那么为使材料费最小，应向生产线______分配2批产品（填“甲”“乙”或“丙”）； （2）如果工厂将5批产品分配给这三条生产线中的一条或多条生产，那么5批产品都完成生产后，材料费的最小值为______万元． 三、解答题（共68分，17题6分，18-23题每题5分，24-26题每题6分，27、28题每题7分） 17. 解方程 （1） （2） 18. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将向左平移个单位后得到对应的，请画出平移后的； （2）画出关于原点对称的； （3）观察发现，与关于点成中心对称，则点的坐标是______． 20. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于，直接写出的取值范围． 21. 已知，二次函数 （，，是常数，）的与的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … 3 0 0 … （1）求二次函数的解析式． （2）①在平面直角坐标系中画出函数图象； ②当时，的取值范围是 ； ③当时，的取值范围是 ． 22. 小军同学计划为一幅长寸，宽寸的创意画（图中阴影部分为其示意图）制作一个摆台画框，根据有关要求，画框的上、下边宽度相等，左、右边宽度相等，上、下边宽度是左、右边宽度的倍，若画框所占面积为创意画面积的，则摆台画框的左、右边宽度应是多少？ 23. 从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组进行了调查统计．数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中随机抽取20名，记录他们对两款软件的评分，对数据整理描述如下： a．信息处理速度得分统计图： b．信息识别准确度得分统计图： c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表： 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7 a 乙 b 7 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中 ， ； （2）使用者对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分．甲、乙两款软件的开发公司加大了研发投入．数学兴趣小组邀请之前的20名使用者做第二次调查．经调查：甲款软件的所有使用者对信息识别准确度的评分均提升了1分，乙款软件的低分使用者对信息识别准确度的评分均提升了2分，高分使用者的评分不变．在第二次调查中，甲款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，；乙款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，．则______，______，______，（填“”“”“ ”）． 24. 如图，在梯形中，，对角线平分，且，过点作交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，，求四边形的面积． 25. 为研究新能源汽车的能耗表现，某科技小组探究不同行驶速度对两款纯电动汽车的百公里能耗的影响．该科技小组选取A，B两款纯电动汽车，记录了不同行驶速度（单位：）下的百公里能耗（单位：）数据，部分数据如下： 行驶速度 20 40 60 80 100 120 A款车百公里能耗 10.2 8.6 8.7 10.4 13.6 18.5 B款车百公里能耗 10.7 9.5 9.4 10.3 12.2 15.2 对以上数据进行分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，补充完成以下内容． （1）在平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，在同一坐标系中画出与的函数图象； （2）当A款车的行驶速度约为______（精确到个位）时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为______（结果保留小数点后一位）； （3）小石和小京分别驾驶A，B两款车从甲地前往乙地，两地相距．两车都先以的速度行驶，随后立即切换至的速度继续行驶，直至到达乙地，则______（填“A”或“B”）款车行驶这的能耗更低． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴为直线． （1）若，，求的值； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 27. 如图，在中，，，D是内部一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，分别取线段的中点F，G，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于定点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，将点绕原点顺时针旋转，得到点，点为线段的中点，则称点为点关于图形的“旋转中点”．已知点，，． （1）如图1， ①在点，，中，点__________是点关于线段的“旋转中点”； ②点关于线段的“旋转中点”的横坐标的取值范围是__________； （2）已知点，，，若的内部（不包括边界）存在点关于以线段为对角线的正方形的“旋转中点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年初三年级数学学科 一、单选题（共16分，本题共8道题，每题2分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．直接根据轴对称图形与中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2. 若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将已知根代入方程，解关于的方程即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵方程的一个根是1， ∴将代入方程：， 化简得：， 解得：， 因此，的值为1， 故选：A． 3. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 2、3、4 B. 3、4、5 C. 8、15、16 D. 11、12、13 【答案】B 【解析】 【分析】找出每组数的最大数，验证其平方是否等于另两个数的平方和即可． 【详解】解：A、，三条线段不能组成直角三角形，故选项不符合题意； B、，三条线段能组成直角三角形，故选项符合题意； C、，三条线段不能组成直角三角形，故选项不符合题意； D、，三条线段不能组成直角三角形，故选项不符合题意； 4. 甲、乙两地5月每天最低气温的箱线图如下图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 甲地每天最低气温的最小值低于乙地每天最低气温的最小值 B. 甲地每天最低气温的中位数低于乙地每天最低气温的中位数 C. 甲地每天最低气温的第一四分位数比乙地每天最低气温的第一四分位数大 D. 甲地每天最低气温的波动比乙地每天最低气温的波动大 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、由图可得，甲地的下限低于乙地，即甲地每天最低气温的最小值低于乙地每天最低气温的最小值，故A不符合题意； B、由图可得，甲地的中位数为，低于乙地的中位数，故B不符合题意； C、由图可得，甲地的第一四分位数小于，而乙地的第一四分位数大于，故C符合题意； D、由图可得，甲地的箱体比乙地长，须线也长于乙地，因此甲地比乙地的波动大，故D不符合题意． 5. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律求解即可． 【详解】解：先向左平移2个单位，可得解析式为， 再向下平移3个单位，可得解析式为． 6. 固态电池被视为下一代动力电池的核心方向，假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据增长率问题的规律列出一元二次方程即可． 【详解】解：∵初始能量密度为，每轮平均增长率为，共经过两轮迭代， ∴第一轮迭代后能量密度为，第二轮迭代后能量密度为， 又∵两轮迭代后能量密度为， ∴可列方程为． 7. 抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 8. 如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论： ①点C的坐标为； ②当时，是等腰直角三角形； ③若，则； ④抛物线上有两点和，若，且，则． 其中所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．当时，，从而抛物线与轴的交点坐标为，从而判断①正确；弦分别求出抛物线与轴的两个交点坐标分别为，设对称轴与轴交于点，连接，由顶点为，得，从而得，进而得是等腰直角三角形，故②正确；当时，抛物线与轴的一个交点坐标为，由对称轴，得另一个交点坐标为，故③错误；由抛物线的性质可判断④正确． 【详解】解：①∵当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∴，故①正确； ②当时，， ∴对称轴为，顶点为， 令得，， 解得：或， ∴抛物线与轴的两个交点坐标分别为， 设对称轴与轴交于点，连接，如图， ∵顶点为， ， ∵轴， ， ， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ③当时，抛物线与轴的一个交点坐标为， ∵对称轴， ∴另一个交点坐标为， ∴，故③错误； ④∵抛物线上有两点和，若，且， ，即， ∴到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴．故④正确． 故选：D． 二、填空题（共16分，本题共8道题，每题2分） 9. 要使代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义要求被开方数大于等于， ∴被开方数满足， 解得． 10. 二次函数的图像与轴有_________个交点． 【答案】2 【解析】 【分析】二次函数的图像与轴交点个数只需要判断方程根的情况，也就是判断即可. 【详解】当时 ∴方程有两不等实数根 ∴二次函数的图像与轴有2个交点 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程得关系，二次函数与轴交点问题转换成求是解题的关键. 11. 二次函数，若点，是它图象上的两点，则______．（填<、>、=） 【答案】> 【解析】 【分析】将A、B两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出和的值，再比较两个值的大小得到结果． 【详解】解：将代入得：， 将代入得：， ∵， ∴． 12. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ， 移项得， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，， 因此． 13. 二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． 14. 如图，绕点逆时针旋转，得到，若，则等于___________． 【答案】35 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到旋转角，再用减去，即可求出的度数． 【详解】解：绕点逆时针旋转得到， ， ， ． 15. 如图，四边形是边长为2的正方形，点在正方形内，是等边三角形，则的面积为 _________________． 【答案】## 【解析】 【分析】的面积为，根据题意分别求出这三个三角形的面积即可解答． 【详解】过作于，于， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴， ∴四边形是矩形， 是等边三角形， ∴，，， ∴， ， ， ， 的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质和三角形的面积，找出三角形面积之间的关系是解题关键． 16. 某工厂生产一种新产品，计划分配给甲、乙、丙三条生产线生产．每条生产线生产n（n为正整数）批产品后产生的材料费（单位：万元）与n的对应关系如下： … 甲 15 35 60 90 125 … 乙 16 37 63 94 130 … 丙 17 39 66 93 120 … （1）如果工厂生产4批产品，且每条生产线至少生产1批产品，那么为使材料费最小，应向生产线______分配2批产品（填“甲”“乙”或“丙”）； （2）如果工厂将5批产品分配给这三条生产线中的一条或多条生产，那么5批产品都完成生产后，材料费的最小值为______万元． 【答案】 ①. 甲 ②. 89 【解析】 【分析】先整理表格数据，分别计算出甲、乙、丙生产线生产n批产品的材料费；（1）总批数为，每条至少批，然后分三种情况计算总材料费S，然后比较即可解答；（2）总批数为，然后分别计算每种情况的总材料费，然后比较即可． 【详解】解：记分别为甲、乙、丙生产线生产n批产品的材料费，由表可得： ； ； ； (1)总批数为，每条至少批，分三种情况计算总材料费S： ①甲生产批：； ②乙生产批：； ③丙生产批：； 比较得，因此材料费最小时，应向甲分配批． (2)总批数为，分情况讨论： ①单条生产线生产5批： 甲：125万元； 乙：130万元； 丙：120万元； ②两条生产线分配： 甲3，乙2：； 甲3，丙2：； 乙3，甲2：； 乙3，丙2：； 丙3，甲2：； 丙3，乙2：； ③两条生产线分配： 甲4，乙1：； 甲4，丙1：； 乙4，甲1：； 乙4，丙1：； 丙4，甲1：； 丙4，乙1：； ④三条生产线分配： 甲3，乙1，丙1：； 乙3，甲1，丙1：； 丙3，甲1，乙1：； ⑤三条生产线分配： 甲2，乙2，丙1：； 甲2，丙2，乙1：； 乙2，丙2，甲1：； 对比所有方案，材料费的最小值为89万元． 三、解答题（共68分，17题6分，18-23题每题5分，24-26题每题6分，27、28题每题7分） 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 18. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）已知方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，列不等式求解即可得到的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知等式求解，验证符合第一问的取值范围即可得到结果. 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，其中，，， 代入得 ， 解得； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得：，， ∵， ∴，解得. ∵，符合的取值范围， ∴的值为. 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将向左平移个单位后得到对应的，请画出平移后的； （2）画出关于原点对称的； （3）观察发现，与关于点成中心对称，则点的坐标是______． 【答案】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）找到向左平移4个单位后得到对应点，顺次连接即可； （2）找到关于原点对称的，顺次连接即可； （3）连接，，，相交于点，可知与关于点中心对称． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：观察图形可知，与关于点中心对称． 20. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式以及不等式恒成立问题，熟练运用待定系数法和分类讨论思想分析函数与不等式的关系是解答本题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点的坐标代入函数解析式，列方程组求解、的值； （2）先将（1）中求得的、值代入函数解析式，再根据题意列出不等式组，通过对的取值进行分类讨论，结合一次函数的增减性分析不等式恒成立的条件，进而确定的取值范围． 【小问1详解】 解：函数的图象经过点，， ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得， 由题意得，当时，可得不等式组， 解①：整理得， 当，即时，，随着逐渐增大，无法恒小于一个数，不成立， 当，即时，恒成立， 当，即时，，要使该不等式恒成立，需满足， 解得：， 综上所述，； 解②：整理得，， 当时，逐渐减小，不成立， 当时，不成立， 当时，，要使该不等式恒成立，需满足， 解得：， 综上所述，． 21. 已知，二次函数 （，，是常数，）的与的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … 3 0 0 … （1）求二次函数的解析式． （2）①在平面直角坐标系中画出函数图象； ②当时，的取值范围是 ； ③当时，的取值范围是 ． 【答案】（1）二次函数的解析式为  （2） ①函数图象如下图： 或． 【解析】 【分析】（1）将表格中的点的坐标代入 ，可得，，，即可得二次函数的解析式； （2）描点连线，画出函数图象即可；由二次函数的图象和性质，结合的取值范围，即可得的取值范围；函数图象开口向上，由函数图象与轴的交点坐标，结合的取值范围，即可得的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 解得， ∴二次函数的解析式为 ． 【小问2详解】 解： 略 ， 开口向上，对称轴为直线，最小值为， 当时，随着增大，减小， 当时，随着增大，增大， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 函数图象开口向上，与轴的交点坐标为，， ∴当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，画二次函数的图象，二次函数的图象和性质，求（自变量）函数的取值范围． 22. 小军同学计划为一幅长寸，宽寸的创意画（图中阴影部分为其示意图）制作一个摆台画框，根据有关要求，画框的上、下边宽度相等，左、右边宽度相等，上、下边宽度是左、右边宽度的倍，若画框所占面积为创意画面积的，则摆台画框的左、右边宽度应是多少？ 【答案】寸 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的建立与求解，矩形面积公式，根据题意构建关于画框宽度的一元二次方程是解题关键． 设画框左右宽度为寸，进而表示出上下宽度，再结合矩形面积公式与题目中的面积比例关系列出一元二次方程，求解后根据实际意义舍去负根，最终得出画框宽度． 【详解】解：设摆台画框的左、右边宽度为寸，则上、下边宽度为寸， 已知创意画的长为寸，宽为寸，则创意画的面积为平方寸， 画框所占面积为创意画面积的， 画框的面积为平方寸， 画框与创意画的总面积为平方寸， 带画框的整体长为寸，宽为寸， ， 可得， 即， 解得，（不合题意，舍去）， 故摆台画框的左、右边宽度为寸． 答：摆台画框的左、右边宽度应是寸． 23. 从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组进行了调查统计．数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中随机抽取20名，记录他们对两款软件的评分，对数据整理描述如下： a．信息处理速度得分统计图： b．信息识别准确度得分统计图： c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表： 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7 a 乙 b 7 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中 ， ； （2）使用者对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分．甲、乙两款软件的开发公司加大了研发投入．数学兴趣小组邀请之前的20名使用者做第二次调查．经调查：甲款软件的所有使用者对信息识别准确度的评分均提升了1分，乙款软件的低分使用者对信息识别准确度的评分均提升了2分，高分使用者的评分不变．在第二次调查中，甲款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，；乙款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，．则______，______，______，（填“”“”“ ”）． 【答案】（1）9， （2），， 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义以及中位数的定义进行分析，即可作答． （2）结合平均数的定义以及甲所有评分都提升1分，得出，同理得出，故，再根据方差的意义进行分析，即可得出，． 【小问1详解】 解：甲各分数的人数：5分3人，6分4人，7分4人，8分3人，9分5人，10分1人； ∵众数是出现次数最多的得分，且9分出现次数最多（5次）， 因此 依题意，乙共20个数据，中位数是排序后第10、11个数据的平均数， 乙各分数人数：5分1人，6分3人，7分6人，8分4人，9分4人，10分2人， 排序后第10个数据是7分，第11个数据是8分， 因此中位数 【小问2详解】 解：∵甲所有评分都提升1分， 因此； 乙原来平均数为5.6，总分为， 统计得乙共有11个低分（评分），低分各加2分，总增加分为， 因此， 故 ∵一组数据所有数据同时加同一个常数，数据波动不变，方差不变， 因此甲的方差仍为，即； ∵乙只给低分（原较小的数据）提分，数据整体波动变小， 因此方差比原来的小，即． 24. 如图，在梯形中，，对角线平分，且，过点作交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． 平分， ． ， ． ． ． 是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，再由边关系推出角相等进而推出平行，由双平行推出平行四边形，加上邻边相等的平行四边形是菱形，可以推出结论． （2）作于，利用的直角三角形，求出的长度，再由梯形的面积公式即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：，， ． 平分， ． ， ． ． ，， ． 是等边三角形． 四边形是菱形，， ． ，． 过点作于点． ． 点是中点． ， 又，， 根据勾股定理得． ． 25. 为研究新能源汽车的能耗表现，某科技小组探究不同行驶速度对两款纯电动汽车的百公里能耗的影响．该科技小组选取A，B两款纯电动汽车，记录了不同行驶速度（单位：）下的百公里能耗（单位：）数据，部分数据如下： 行驶速度 20 40 60 80 100 120 A款车百公里能耗 10.2 8.6 8.7 10.4 13.6 18.5 B款车百公里能耗 10.7 9.5 9.4 10.3 12.2 15.2 对以上数据进行分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，补充完成以下内容． （1）在平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，在同一坐标系中画出与的函数图象； （2）当A款车的行驶速度约为______（精确到个位）时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为______（结果保留小数点后一位）； （3）小石和小京分别驾驶A，B两款车从甲地前往乙地，两地相距．两车都先以的速度行驶，随后立即切换至的速度继续行驶，直至到达乙地，则______（填“A”或“B”）款车行驶这的能耗更低． 【答案】（1） 如图，与的函数图象即为所求； （2）50，9.7 （3）B 【解析】 【分析】（1）根据描点、连线即可作图； （2）根据函数图象即可求解； （3）根据函数图象分别计算两款车的总能耗，再进行比较即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由函数图象可得，当A款车的行驶速度约为时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为； 【小问3详解】 解：由图象可得，A款车前百公里能耗约为，后百公里能耗约为， 则总能耗为； 由图象可得，B款车前百公里能耗约为，后百公里能耗约为， 则总能耗为； 因为 所以B款车行驶这的能耗更低． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴为直线． （1）若，，求的值； （2）若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质等知识， （1）将，代入解析式，得出即可得解； （2）分①当点在对称轴上或对称轴右侧时，②当点在对称轴上或对称轴左侧时两种情况讨论组成不等式组即可得解； 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 ，， ， ， ， 【小问2详解】 ， 抛物线开口向下， 抛物线的对称轴为，， 点在对称轴的右侧， ①当点在对称轴上或对称轴右侧时， 抛物线开口向下， 在对称轴右侧，随的增大而减小． 由， ， ， 解得， ， ②当点在对称轴上或对称轴左侧时， 设抛物线上的点关于的对称点为， ，解得， ， ， ， 在对称轴右侧，随的增大而减小， 由， ， ， 解得， ， 综上所述，的取值范围是或． 27. 如图，在中，，，D是内部一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，分别取线段的中点F，G，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转，得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）， 证明如下： 如图，连接， ∵，点F为线段的中点，， ∴，， ∵，点G为线段的中点，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴在中，， 同理可得，在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）首先根据旋转的性质可得，结合证明，然后利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）连接，首先证明，再证明，进而可证明，根据相似三角形的性质，即可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，对于定点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，将点绕原点顺时针旋转，得到点，点为线段的中点，则称点为点关于图形的“旋转中点”．已知点，，． （1）如图1， ①在点，，中，点__________是点关于线段的“旋转中点”； ②点关于线段的“旋转中点”的横坐标的取值范围是__________； （2）已知点，，，若的内部（不包括边界）存在点关于以线段为对角线的正方形的“旋转中点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1） ①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，分别取、的中点、，连接，容易判断点关于线段的“旋转中点”都在线段上．由旋转可得，，结合中点公式可得，．使用待定系数法可得线段的解析式为，将三个点的坐标依次代入，排除不符合要求的点即可； ②由①可得线段的解析式为，因此； （2）先仿照（1）的解法画出点关于以线段为对角线的正方形的“旋转中点”所在的四边形，容易计算得，．由作图可知，两种边界情况分别为点在边上和点在边上，分别求出、的解析式，结合不等式求出的取值范围． 【小问1详解】 解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，分别取、的中点、，连接， 由题意可知，点关于线段的“旋转中点”都在线段上， ∵，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵， 又∵点、是、的中点， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设线段的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴线段的解析式为， 将代入，得， ∴点在线段上，即点是点关于线段的“旋转中点”； 将代入，得， ∴点在线段上，即点是点关于线段的“旋转中点”； ∵， ∴点不在线段上，即点不是点关于线段的“旋转中点”； ②由①可知，点关于线段的“旋转中点”都在上， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， 又∵，，， ∴点的坐标为，即， 设以线段为对角线的正方形为正方形，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形，连接、、、，分别取、、、的中点、、、，连接成四边形，则点关于以线段为对角线的正方形的“旋转中点”都在四边形的边上， ①当四边形在平行四边形的下方时，如图， ∵四边形是以线段为对角线的正方形， 又∵，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 由旋转可得，点的坐标为，点的坐标为， ∵、是、的中点， 又∵， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∵四边形的边要与平行四边形的内部有公共点， ∴点要在的上方， ∴， 解得； ②当四边形在平行四边形的上方时，如图， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， 同理①可得，点要在的下方， ∴， 解得； 综上所述，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $