数学好玩 鸡兔同笼 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学北师大版五年级上册（新教材）

该小学数学“鸡兔同笼”举一反三讲义以问题背景、解法分类、变式应用为框架构建知识体系，通过表格对比变式题型对应关系，用解题步骤总结和核心规律梳理呈现知识脉络，突出列表法、假设法等核心解法与实际问题的内在联系。 讲义亮点在于分层解法指导与情境化练习设计，如列表法分逐一、跳跃、取中三类，假设法提炼“设鸡得兔”口诀，结合答题扣分等变式题型培养推理意识和模型思想，基础题与综合题兼顾不同学生，助力教师实施精准复习教学。

数学好玩 鸡兔同笼 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、问题背景与基本模型 2 1. 文化渊源 2 2. 基本模型特征 2 3. 题目隐藏条件 2 二、核心解法一：列表法（教材重点方法） 2 1. 逐一列表法 2 2. 跳跃列表法 3 3. 取中列表法 3 三、核心解法二：假设法（算术核心解法） 4 1. 基本解题思路 4 2. 两种假设方向 4 3. 解题口诀 5 四、拓展解法：方程法 5 1. 解题依据 5 2. 解题步骤 5 3. 例题演示（35 头，94 足） 5 五、核心变化规律 6 六、常见变式题型与对应关系 6 典型易错变式：答题扣分题 6 七、标准解题步骤总结 7 八、高频易错点汇总 7 九、单元核心素养要点 7 考点讲练 7 考点一：列表法解鸡兔同笼 7 考点二：假设法解鸡兔同笼 9 考点三：用假设法解决含有两个未知量的实际问题 10 综合训练 11 知识梳理 一、问题背景与基本模型 1. 文化渊源 “鸡兔同笼” 是我国古代经典数学趣题，最早记载于一千五百多年前的数学名著《孙子算经》。 经典原题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 2. 基本模型特征 鸡兔同笼是典型的两类事物假设推理问题，核心结构为： 已知两类事物的总数量（对应 “总头数”） 已知两类事物的总属性量（对应 “总腿数”） 已知每类事物的单份属性量（鸡 2 条腿、兔 4 条腿） 问题：求两类事物各自的数量 3. 题目隐藏条件 每只鸡、每只兔都只有 1 个头，因此总头数 = 鸡的数量 + 兔的数量 每只鸡有 2 条腿，每只兔有 4 条腿，总腿数 = 鸡的腿数 + 兔的腿数 二、核心解法一：列表法（教材重点方法） 列表法又称 “尝试与猜测法”，核心思路是有序猜想→计算验证→逐步调整，是北师大版教材的重点探究方法，共分为三种形式。 1. 逐一列表法 方法思路：从其中一类事物数量为 1 开始，依次递增 1，逐一计算总属性量，直到找到与题目相符的结果。 操作步骤： 画表格，三列分别为 “鸡的数量”“兔的数量”“总腿数” 鸡从 1 只开始，兔对应为 “总头数 - 鸡的数量” 计算对应总腿数，与题目总腿数对比 依次增加鸡的数量，重复计算，直到总腿数相等 例题演示（9 个头，26 条腿）： 鸡 / 只 兔 / 只 总腿数 / 条 判断 1 8 34 多了 2 7 32 多了 3 6 30 多了 4 5 28 多了 5 4 26 正确 特点：有序不遗漏，直观易懂；但数据大时计算繁琐 适用场景：总数量较小的题目 2. 跳跃列表法 方法思路：根据腿数的差距，大幅度跳跃式调整数量，减少尝试次数，提高解题效率。 操作技巧： 若算出的腿数比实际多很多，说明兔太多，大幅增加鸡的数量 接近正确值时，缩小跳跃幅度，避免跳过答案 例题演示（35 个头，94 条腿）： 鸡 / 只 兔 / 只 总腿数 / 条 判断 1 34 138 多很多 10 25 120 还多 20 15 100 略多 22 13 96 多 2 条 23 12 94 正确 特点：减少计算次数，效率高于逐一列表 适用场景：总数量较大的题目 3. 取中列表法 方法思路：先假设两类事物各占一半（取中间数），再根据腿数差调整方向，是效率最高的列表策略。 操作步骤： 总数量除以 2，先假设鸡和兔数量各一半 计算总腿数，与实际对比 腿数偏多就增加鸡、减少兔；腿数偏少就减少鸡、增加兔 例题演示（35 个头，94 条腿）： 取中间：鸡 17 只，兔 18 只，总腿数 = 17×2+18×4=106 条（偏多） 调整：增加鸡的数量，鸡 20 只、兔 15 只，总腿数 = 100 条（仍偏多） 再调整：鸡 23 只、兔 12 只，总腿数 = 94 条（正确） 特点：尝试次数最少，快速逼近正确答案 适用场景：各类鸡兔同笼问题，是最推荐的列表策略 三、核心解法二：假设法（算术核心解法） 假设法是鸡兔同笼的经典算术解法，本质是通过假设统一事物类型，将两个未知量转化为一个未知量求解。 1. 基本解题思路 假设：假设笼子里全是其中一种动物，算出假设下的总腿数 求差：计算假设总腿数与实际总腿数的差值 分析：差值产生的原因是把部分动物看错了，每把 1 只鸡看成兔，多算 2 条腿；每把 1 只兔看成鸡，少算 2 条腿 计算：总差值 ÷ 单只动物腿数差 = 被看错的动物数量 还原：总数量 - 已求数量 = 另一种动物数量 2. 两种假设方向 （1）假设全是鸡（设鸡得兔） 公式：兔的数量 =（实际总腿数 - 总头数 ×2）÷（4 - 2） 推导：全是鸡时腿数最少，实际腿数比假设多，多出来的腿都是兔子多出来的，每只兔多 2 条腿 例题（35 头，94 足）： 假设全是鸡，总腿数 = 35×2 = 70 条 总差值 = 94 - 70 = 24 条 单只差 = 4 - 2 = 2 条 兔的数量 = 24 ÷ 2 = 12 只 鸡的数量 = 35 - 12 = 23 只 （2）假设全是兔（设兔得鸡） 公式：鸡的数量 =（总头数 ×4 - 实际总腿数）÷（4 - 2） 推导：全是兔时腿数最多，假设腿数比实际多，多出来的是把鸡看成兔多算的 例题（35 头，94 足）： 假设全是兔，总腿数 = 35×4 = 140 条 总差值 = 140 - 94 = 46 条 单只差 = 4 - 2 = 2 条 鸡的数量 = 46 ÷ 2 = 23 只 兔的数量 = 35 - 23 = 12 只 3. 解题口诀 设鸡得兔，设兔得鸡；总差除以单差，结果就是另一个。 四、拓展解法：方程法 方程法是代数思维的应用，五年级上册学生已掌握简易方程，可作为拓展解法，思路直接不易错。 1. 解题依据 等量关系：鸡的总腿数 + 兔的总腿数 = 实际总腿数 2. 解题步骤 设其中一类动物数量为只 用 “总头数 - ” 表示另一类动物的数量 根据等量关系列出方程 解方程求出，再计算另一类数量 3. 例题演示（35 头，94 足） 解：设兔有只，则鸡有只。 4x + 2(35-x) &= 94 4x + 70 - 2x &= 94 2x + 70 &= 94 2x = 24 x = 12 鸡的数量：（只） 答：鸡有 23 只，兔有 12 只。 五、核心变化规律 总头数不变时，鸡兔数量互换 1 只，总腿数变化 2 条 鸡增加 1 只、兔减少 1 只 → 总腿数减少 2 条 鸡减少 1 只、兔增加 1 只 → 总腿数增加 2 条 单份属性差固定：兔与鸡的单只腿数差 = 4 - 2 = 2 条，这是所有调整、计算的基础 极值规律：总头数固定时，全是鸡总腿数最少，全是兔总腿数最多 六、常见变式题型与对应关系 鸡兔同笼模型可推广到大量生活问题，核心是识别 “鸡” 和 “兔” 的对应角色。 变式题型 对应“鸡” （2份属性） 对应“兔” （4份属性） 总数量对应 总属性量对应 注意事项 龟鹤问题 鹤（2 条腿） 龟（4 条腿） 总只数 总腿数 与基础模型完全一致 答题问题 答错（倒扣分） 答对（得正分） 总题数 总得分 单份差 = 得分 + 扣分，不是相减 租船问题 小船（少载人） 大船（多载人） 总船数 总人数 单份差 = 大船人数 - 小船人数 车轮问题 摩托车（2 个轮） 汽车（4 个轮） 总车辆数 总车轮数 与基础模型完全一致 硬币问题 小额硬币 大额硬币 总枚数 总钱数 注意单位统一 植树问题 每人种少的 每人种多的 总人数 总棵数 同租船模型 典型易错变式：答题扣分题 例：共 10 道题，答对一题得 5 分，答错一题扣 3 分，小明最终得 34 分，答对几道？ 单份差不是 5-3=2，而是 5+3=8 分（答错不仅不得 5 分，还倒扣 3 分，相差 8 分） 假设全答对：总分 = 10×5=50 分 总差值 = 50-34=16 分 答错数量 = 16÷8=2 道 答对数量 = 10-2=8 道 七、标准解题步骤总结 识别模型：判断是否为两类事物、已知总数量和总属性量 确定对应：明确哪类对应 “鸡”、哪类对应 “兔”，以及单份属性差 选择方法：数据小用列表法，常规用假设法，易混淆用方程法 计算求解：按对应方法步骤计算 检验答案：把结果代入原题，验证总数量和总属性量是否相符 八、高频易错点汇总 假设法结果搞反：假设全是鸡，先算出的是兔的数量；假设全是兔，先算出的是鸡的数量，容易答反 扣分题单差算错：答错倒扣分的题目，单份差值是 “得分 + 扣分”，不是两者相减 列表法无序跳跃：跳跃幅度过大容易跳过正确答案，接近正确值时要缩小步长 单位不统一：钱数、长度等变式题中，两类事物单位不同时要先统一单位再计算 忽略隐藏条件：比如 “两轮摩托车和四轮汽车”，默认单辆车轮数，题目不会直接给出 方程法设量与答不对应：设的是兔的数量，最后答成鸡的数量，需注意对应 九、单元核心素养要点 推理意识：经历 “猜想 — 尝试 — 验证 — 调整” 的探究过程，发展逻辑推理与有序思考能力 模型思想：建立鸡兔同笼基本模型，能迁移解决同类变式问题 几何直观：通过列表格直观呈现数据变化，体会数量变化规律 文化自信：了解中国古代数学成就，感受传统数学趣题的魅力与价值 应用意识：能用鸡兔同笼方法解决生活中的租船、答题、购物等实际问题 考点讲练 考点一：列表法解鸡兔同笼 【典例精讲】今年“苏超”又开始啦！小芳打算与亲朋好友一起去观看。门票20元，学生可以享受半价。小芳购买了10张票，一共用去170元。两种票各买了多少张？（先假设两张门票的张数同样多，再调整找出答案） 20元票张数 半价票张数 总价 和170元比较 【变式训练】笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有10个头，从下面数有32条腿，鸡和兔各有几只？ （1）列表法： 鸡（只） 9 8 兔（只） 腿（条） 从表中可以看出鸡有（    ）只，兔有（    ）只。 （2）方程法： （3）假设法： 【变式训练】一场足球赛的门票有两种，一种每张售价30元，另一种每张售价50元。刘东购买10张票，一共用去420元，两种票各买了多少张？（先假设两种门票的张数，再调整找出答案） 30元票张数 50元票张数 总价 和420元比较 【变式训练】动物园里有长颈鹿和鸵鸟共20只，一共有56只脚，长颈鹿和鸵鸟各有多少只？ （1）假设20只全部是长颈鹿，那么一共有（        ）只脚，就多了（        ）只脚；1只长颈鹿比1只鸵鸟多了（        ）只脚，也就是有（        ）÷2＝（        ）只（        ）。所以动物园里有（        ）只长颈鹿，（        ）只鸵鸟。 （2）假设20只中，一半是长颈鹿，一半是鸵鸟，请你在下面的表中根据脚的只数进行调整。 长颈鹿/只 鸵鸟/只 脚的总只数 和56只脚比较 10 10 由表可知：鸵鸟有（        ）只，长颈鹿有（        ）只。 考点二：假设法解鸡兔同笼 【典例精讲】四年级手工小组的16名同学为“六一”儿童节会场准备了72个灯笼。男生每人扎3个灯笼，女生每人扎5个灯笼。这个手工小组男、女生各有多少名？ 【变式训练】巴黎奥运会期间，学校少先队大队部举办奥运知识竞赛，共有20道题，规定答对一题得5分，答错一题扣3分。小敏答了全部的题，得了68分，他答对了几道题？ 【变式训练】学校举行素养大赛，其中必答环节共20题，答对一题得10分，答错一题扣5分，六（3）班这个环节共得110分。六（3）班选手答对多少题？ 【变式训练】学校举行数学知识大赛，大赛一共25道题目，大赛规定答对一题得4分，答错一题扣2分，李明同学共得了82分，李明同学答对了几题？答错了几题？ 考点三：用假设法解决含有两个未知量的实际问题 【典例精讲】为倡导绿色文明，创建绿色校园，加强学生环保意识，平安小学举行了环保知识竞赛。有10道题，规定答对1题得5分，答错1题得﹣8分，源源共得11分，他答对几道题？答错几道题？ 【变式训练】商店里运来苹果、梨和橘子共730千克，梨比苹果多50千克，橘子比苹果多80千克，苹果有多少千克？梨有多少千克？橘子呢？ 【变式训练】六年级学生制作了176件蝴蝶标本，贴在13块展板上。每块小展板贴8件，每块大展贴20件。两种展板各有多少块？ 【变式训练】两名老师带领46名学生去少年宫，参加航天科技展，买门票一共用去600元。已知每张学生票价是每张成人票价的一半，每张学生票多少元？每张成人票多少元？ 综合训练 1．一个三位数，百位上的数字是a，个位上的数字是6，十位数字为0，能表示这个三位数的式子是（    ）。 A．a＋6 B．6×100＋a C．100a＋6 D．6a 2．小红参加“环保达人”抢答比赛，规则是答对一题加5分，答错一题扣1分，小红抢答10道题，得38分，她答对（    ）题。 A．7 B．8 C．9 3．笼子里有若干只鸡和兔，共有8个头。下面说法错误的是（    ）。 A．共有15只脚 B．共有20只脚 C．共有30只脚 4．四（1）班环保知识竞赛，共20题。答对一题得5分，答错一题或不答倒扣3分，小静得了76分。她共答对了（    ）题。 A．3 B．17 C．12 5．在“保护太湖，放养食藻鱼”的公益活动中，环保小组30名同学共投放了122条食藻鱼。已知男生每人投放了5条，女生每人投放了3条，那么这个环保小组中男生有（    ）名。 A．14 B．15 C．16 6．六年级组织了“数学口算速算”大赛，一共有20道题，每答对一道题得5分，每答错或不答一道题倒扣3分。小智最终得了60分，他一共答对了（    ）道题。 A．11 B．13 C．15 7．四（1）班35名同学一起去植树，男生每人种了4棵，女生每人种了2棵，全班同学一共种了110棵。四（1）班去植树的男生和女生各有（    ）人。 A．15，20 B．20，15 C．16，19 8．停车场停着共享汽车（四轮）和共享单车（两轮）一共10辆，总共有32个轮子，共享单车有（    ）辆。 A．6 B．4 C．3 9．五年级一班42人共植树106棵，男生每人植3棵，女生每人植2棵。五年级一班男生有( )人，女生有( )人。 10．妈妈买来5盆含羞草和2盆玫瑰花，一共用去60元。一盆含羞草比一盆玫瑰花便宜9元，每盆含羞草________元，每盆玫瑰花________元。 11．四（1）班52名同学去划船，一共乘坐了11条船，正好每条船都坐满，其中每条大船坐6人，每条小船坐4人。大船有( )条，小船有( )条。 12．《孙子算经》中有这样一道题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何。”乐乐解决此题时这样想：假设笼中全是鸡，比94足少( )足，则兔有( )只。 13．小军想要组装一些四轮车和三轮车，现在有8个车身，29个车轮，可以组装出( )辆四轮车，( )辆三轮车。 14．在“保护环境、人人有责”公益活动中，四（1）班一小组27人共拾垃圾105千克。其中男生每人拾5千克，女生每人拾3千克。27人中男生有( )人，女生有( )人。 15．数学竞赛中，答对一题得6分，答错一题扣3分，小红答了13道题，最后得分51分，则她答对了( )道题，答错了( )道题。 16．某次数学竞赛共20道题，评分标准是；每做对一题得5分，每做错或不做一题倒扣1分。小华参加了这次竞赛，得了64分。小华做对( )道题，做错( )道题。 17．某运输队为超市运送暖瓶500箱，每箱装有6个暖瓶。已知每10个暖瓶的运费为5元，损坏一个不但不给运费还要赔10元，运后结算时，运输队共得1395元的运费。运输途中损坏了( )个暖瓶。 18．骆驼是最能适应极端气候的动物之一，被人们称为“沙漠之舟”。它不仅是古丝绸之路上最主要的运输工具，还是古丝绸之路的不朽象征。骆驼有两种：背上有一个驼峰的单峰骆驼和背上有两个驼峰的双峰骆驼。现有12只骆驼，共16个驼峰，这些骆驼中单峰骆驼有( )只，双峰骆驼有( )只。 19．“垃圾分类”宣传活动中，8名同学共收集21条建议。男生平均每人收集2条建议，女生平均每人收集3条建议。男生有( )名，女生有( )名。 20．某玻璃厂托运玻璃500箱，合同规定每箱运费20元，如果损坏一箱，不但不付运费还要赔偿100元。运后结算共付运费8800元。托运中损坏了( )箱玻璃。 21．小娜的玻璃球比小敏多5个，小敏的玻璃球比小波多2个，他们三人一共有30个玻璃球，三人分别有多少个玻璃球？ 22．一个停车场里停有电动三轮车和小轿车共18辆，一共有61个车轮。电动三轮车和小轿车各有多少辆？ 23．数学竞赛共20道题，做对一题得5分，做错一题倒扣2分，不做得0分。小华得了79分，他做错了几道题？（已知他没有空题） 24．盒子里有大、小两种雪糕模具共50个，一共重210克，大雪糕模具每个重5克，小雪糕模具每个重3克，则大小雪糕模具各有多少个？ 25．江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）的积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。如果某市足球队一共踢了12场比赛，负了4场，共得18分。这支足球队胜了几场、平了几场？ 26．在校园爱心义卖会上，五（1）班“爱心小铺”售卖的柠檬水每杯3元，水果茶每杯5元。活动结束时，30杯饮料全部卖完，收银盒里共收到爱心款项126元。柠檬水和水果茶各卖了多少杯？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学好玩 鸡兔同笼 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、问题背景与基本模型 2 1. 文化渊源 2 2. 基本模型特征 2 3. 题目隐藏条件 2 二、核心解法一：列表法（教材重点方法） 2 1. 逐一列表法 2 2. 跳跃列表法 3 3. 取中列表法 3 三、核心解法二：假设法（算术核心解法） 4 1. 基本解题思路 4 2. 两种假设方向 4 3. 解题口诀 5 四、拓展解法：方程法 5 1. 解题依据 5 2. 解题步骤 5 3. 例题演示（35 头，94 足） 5 五、核心变化规律 6 六、常见变式题型与对应关系 6 典型易错变式：答题扣分题 6 七、标准解题步骤总结 7 八、高频易错点汇总 7 九、单元核心素养要点 7 考点讲练 7 考点一：列表法解鸡兔同笼 7 考点二：假设法解鸡兔同笼 14 考点三：用假设法解决含有两个未知量的实际问题 17 综合训练 20 知识梳理 一、问题背景与基本模型 1. 文化渊源 “鸡兔同笼” 是我国古代经典数学趣题，最早记载于一千五百多年前的数学名著《孙子算经》。 经典原题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 2. 基本模型特征 鸡兔同笼是典型的两类事物假设推理问题，核心结构为： 已知两类事物的总数量（对应 “总头数”） 已知两类事物的总属性量（对应 “总腿数”） 已知每类事物的单份属性量（鸡 2 条腿、兔 4 条腿） 问题：求两类事物各自的数量 3. 题目隐藏条件 每只鸡、每只兔都只有 1 个头，因此总头数 = 鸡的数量 + 兔的数量 每只鸡有 2 条腿，每只兔有 4 条腿，总腿数 = 鸡的腿数 + 兔的腿数 二、核心解法一：列表法（教材重点方法） 列表法又称 “尝试与猜测法”，核心思路是有序猜想→计算验证→逐步调整，是北师大版教材的重点探究方法，共分为三种形式。 1. 逐一列表法 方法思路：从其中一类事物数量为 1 开始，依次递增 1，逐一计算总属性量，直到找到与题目相符的结果。 操作步骤： 画表格，三列分别为 “鸡的数量”“兔的数量”“总腿数” 鸡从 1 只开始，兔对应为 “总头数 - 鸡的数量” 计算对应总腿数，与题目总腿数对比 依次增加鸡的数量，重复计算，直到总腿数相等 例题演示（9 个头，26 条腿）： 鸡 / 只 兔 / 只 总腿数 / 条 判断 1 8 34 多了 2 7 32 多了 3 6 30 多了 4 5 28 多了 5 4 26 正确 特点：有序不遗漏，直观易懂；但数据大时计算繁琐 适用场景：总数量较小的题目 2. 跳跃列表法 方法思路：根据腿数的差距，大幅度跳跃式调整数量，减少尝试次数，提高解题效率。 操作技巧： 若算出的腿数比实际多很多，说明兔太多，大幅增加鸡的数量 接近正确值时，缩小跳跃幅度，避免跳过答案 例题演示（35 个头，94 条腿）： 鸡 / 只 兔 / 只 总腿数 / 条 判断 1 34 138 多很多 10 25 120 还多 20 15 100 略多 22 13 96 多 2 条 23 12 94 正确 特点：减少计算次数，效率高于逐一列表 适用场景：总数量较大的题目 3. 取中列表法 方法思路：先假设两类事物各占一半（取中间数），再根据腿数差调整方向，是效率最高的列表策略。 操作步骤： 总数量除以 2，先假设鸡和兔数量各一半 计算总腿数，与实际对比 腿数偏多就增加鸡、减少兔；腿数偏少就减少鸡、增加兔 例题演示（35 个头，94 条腿）： 取中间：鸡 17 只，兔 18 只，总腿数 = 17×2+18×4=106 条（偏多） 调整：增加鸡的数量，鸡 20 只、兔 15 只，总腿数 = 100 条（仍偏多） 再调整：鸡 23 只、兔 12 只，总腿数 = 94 条（正确） 特点：尝试次数最少，快速逼近正确答案 适用场景：各类鸡兔同笼问题，是最推荐的列表策略 三、核心解法二：假设法（算术核心解法） 假设法是鸡兔同笼的经典算术解法，本质是通过假设统一事物类型，将两个未知量转化为一个未知量求解。 1. 基本解题思路 假设：假设笼子里全是其中一种动物，算出假设下的总腿数 求差：计算假设总腿数与实际总腿数的差值 分析：差值产生的原因是把部分动物看错了，每把 1 只鸡看成兔，多算 2 条腿；每把 1 只兔看成鸡，少算 2 条腿 计算：总差值 ÷ 单只动物腿数差 = 被看错的动物数量 还原：总数量 - 已求数量 = 另一种动物数量 2. 两种假设方向 （1）假设全是鸡（设鸡得兔） 公式：兔的数量 =（实际总腿数 - 总头数 ×2）÷（4 - 2） 推导：全是鸡时腿数最少，实际腿数比假设多，多出来的腿都是兔子多出来的，每只兔多 2 条腿 例题（35 头，94 足）： 假设全是鸡，总腿数 = 35×2 = 70 条 总差值 = 94 - 70 = 24 条 单只差 = 4 - 2 = 2 条 兔的数量 = 24 ÷ 2 = 12 只 鸡的数量 = 35 - 12 = 23 只 （2）假设全是兔（设兔得鸡） 公式：鸡的数量 =（总头数 ×4 - 实际总腿数）÷（4 - 2） 推导：全是兔时腿数最多，假设腿数比实际多，多出来的是把鸡看成兔多算的 例题（35 头，94 足）： 假设全是兔，总腿数 = 35×4 = 140 条 总差值 = 140 - 94 = 46 条 单只差 = 4 - 2 = 2 条 鸡的数量 = 46 ÷ 2 = 23 只 兔的数量 = 35 - 23 = 12 只 3. 解题口诀 设鸡得兔，设兔得鸡；总差除以单差，结果就是另一个。 四、拓展解法：方程法 方程法是代数思维的应用，五年级上册学生已掌握简易方程，可作为拓展解法，思路直接不易错。 1. 解题依据 等量关系：鸡的总腿数 + 兔的总腿数 = 实际总腿数 2. 解题步骤 设其中一类动物数量为只 用 “总头数 - ” 表示另一类动物的数量 根据等量关系列出方程 解方程求出，再计算另一类数量 3. 例题演示（35 头，94 足） 解：设兔有只，则鸡有只。 4x + 2(35-x) &= 94 4x + 70 - 2x &= 94 2x + 70 &= 94 2x = 24 x = 12 鸡的数量：（只） 答：鸡有 23 只，兔有 12 只。 五、核心变化规律 总头数不变时，鸡兔数量互换 1 只，总腿数变化 2 条 鸡增加 1 只、兔减少 1 只 → 总腿数减少 2 条 鸡减少 1 只、兔增加 1 只 → 总腿数增加 2 条 单份属性差固定：兔与鸡的单只腿数差 = 4 - 2 = 2 条，这是所有调整、计算的基础 极值规律：总头数固定时，全是鸡总腿数最少，全是兔总腿数最多 六、常见变式题型与对应关系 鸡兔同笼模型可推广到大量生活问题，核心是识别 “鸡” 和 “兔” 的对应角色。 变式题型 对应“鸡” （2份属性） 对应“兔” （4份属性） 总数量对应 总属性量对应 注意事项 龟鹤问题 鹤（2 条腿） 龟（4 条腿） 总只数 总腿数 与基础模型完全一致 答题问题 答错（倒扣分） 答对（得正分） 总题数 总得分 单份差 = 得分 + 扣分，不是相减 租船问题 小船（少载人） 大船（多载人） 总船数 总人数 单份差 = 大船人数 - 小船人数 车轮问题 摩托车（2 个轮） 汽车（4 个轮） 总车辆数 总车轮数 与基础模型完全一致 硬币问题 小额硬币 大额硬币 总枚数 总钱数 注意单位统一 植树问题 每人种少的 每人种多的 总人数 总棵数 同租船模型 典型易错变式：答题扣分题 例：共 10 道题，答对一题得 5 分，答错一题扣 3 分，小明最终得 34 分，答对几道？ 单份差不是 5-3=2，而是 5+3=8 分（答错不仅不得 5 分，还倒扣 3 分，相差 8 分） 假设全答对：总分 = 10×5=50 分 总差值 = 50-34=16 分 答错数量 = 16÷8=2 道 答对数量 = 10-2=8 道 七、标准解题步骤总结 识别模型：判断是否为两类事物、已知总数量和总属性量 确定对应：明确哪类对应 “鸡”、哪类对应 “兔”，以及单份属性差 选择方法：数据小用列表法，常规用假设法，易混淆用方程法 计算求解：按对应方法步骤计算 检验答案：把结果代入原题，验证总数量和总属性量是否相符 八、高频易错点汇总 假设法结果搞反：假设全是鸡，先算出的是兔的数量；假设全是兔，先算出的是鸡的数量，容易答反 扣分题单差算错：答错倒扣分的题目，单份差值是 “得分 + 扣分”，不是两者相减 列表法无序跳跃：跳跃幅度过大容易跳过正确答案，接近正确值时要缩小步长 单位不统一：钱数、长度等变式题中，两类事物单位不同时要先统一单位再计算 忽略隐藏条件：比如 “两轮摩托车和四轮汽车”，默认单辆车轮数，题目不会直接给出 方程法设量与答不对应：设的是兔的数量，最后答成鸡的数量，需注意对应 九、单元核心素养要点 推理意识：经历 “猜想 — 尝试 — 验证 — 调整” 的探究过程，发展逻辑推理与有序思考能力 模型思想：建立鸡兔同笼基本模型，能迁移解决同类变式问题 几何直观：通过列表格直观呈现数据变化，体会数量变化规律 文化自信：了解中国古代数学成就，感受传统数学趣题的魅力与价值 应用意识：能用鸡兔同笼方法解决生活中的租船、答题、购物等实际问题 考点讲练 考点一：列表法解鸡兔同笼 【典例精讲】今年“苏超”又开始啦！小芳打算与亲朋好友一起去观看。门票20元，学生可以享受半价。小芳购买了10张票，一共用去170元。两种票各买了多少张？（先假设两张门票的张数同样多，再调整找出答案） 20元票张数 半价票张数 总价 和170元比较 【答案】20元票7张，半价票3张 【分析】门票总张数一共是10张，先假设两种票张数同样多，也就是各5张，求出总价钱，再根据总价和170元的大小关系，逐步调整两种票的数量，利用单价乘张数算出总价，直到总价等于170元，就能求出两种票各自的张数。 【详解】20÷2＝10（元） 先各买5张：20×5＋10×5 ＝100＋50 ＝150（元） 150＜170 调整为6张原价票、4张半价票： 20×6＋10×4 ＝120＋40 ＝160（元） 160＜170 再调整为7张原价票、3张半价票： 20×7＋10×3 ＝140＋30 ＝170（元） 20元票张数 半价票张数 总价 和170元比较 5 5 150 170－150＝20（元） 6 4 160 170－160＝10（元） 7 3 170 170－170＝0（元） 答：20元票买了7张，半价票买了3张。 【变式训练】笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有10个头，从下面数有32条腿，鸡和兔各有几只？ （1）列表法： 鸡（只） 9 8 兔（只） 腿（条） 从表中可以看出鸡有（    ）只，兔有（    ）只。 （2）方程法： （3）假设法： 【答案】（1）填表见详解 4；6 （2）鸡：4只；兔：6只 （3）鸡：4只；兔：6只 【分析】（1）列表法：列举鸡的数量从9到1，对应兔的数量从1到9，逐一计算总腿数，直到找到符合“32条腿”的组合。鸡有2只脚，兔有4只脚，由表可知，鸡有9只，则兔有10－9＝1只，则腿有9×2＋1×4＝22条。鸡有8只，则兔有10－8＝2只，则腿有8×2＋2×4＝24条。鸡有7只，则兔有10－7＝3只，则腿有7×2＋3×4＝26条。鸡有6只，则兔有10－6＝4只，则腿有6×2＋4×4＝28条。鸡有5只，则兔有10－5＝5只，则腿有5×2＋5×4＝30条。鸡有4只，则兔有10－4＝6只，则腿有4×2＋6×4＝32条。 （2）方程法：设兔有x只，因为从上面数有10个头，所以鸡有（10－x）只，从下面数有32条腿，鸡有2条腿，兔有4条腿，根据“鸡腿数＋兔腿数＝总腿数”建立方程为：4x＋2（10−x）＝32，然后解方程即可。 （3）假设法：假设这10只都是鸡，按10只鸡算，腿的数量是10×2＝20（条）。比鸡和兔的实际腿数少32－20＝12（条）。因为每只兔子少算了2条腿，所以可以算出兔子的只数：12÷2＝6（只），鸡的只数：10－6＝4（只）。 【详解】（1）鸡：9只；兔：10－9＝1（只）；腿： 9×2＋1×4 ＝18＋4 ＝22（条） 鸡：8只；兔：10－8＝2（只）；腿： 8×2＋2×4 ＝16＋8 ＝24（条） 鸡：7只；兔：10－7＝3（只）；腿： 7×2＋3×4 ＝14＋12 ＝26（条） 鸡：6只；兔：10－6＝4（只）；腿： 6×2＋4×4 ＝12＋16 ＝28（条） 鸡：5只；兔：10－5＝5（只）；腿： 5×2＋5×4 ＝10＋20 ＝30（条） 鸡：4只；兔：10－4＝6（只）；腿： 4×2＋6×4 ＝8＋24 ＝32（条） 鸡（只） 9 8 7 6 5 4 兔（只） 1 2 3 4 5 6 腿（条） 22 24 26 28 30 32 从表中可以看出鸡有4只，兔有6只。 （2）解：设兔有x只。 4x＋2（10−x）＝32 4x＋2×10－2x＝32 2x＋20＝32 2x＋20－20＝32－20 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝6 10－6＝4（只） 答：鸡有4只，兔有6只。 （3）假设这10只都是鸡。 10×2＝20（条） 32－20＝12（条） 12÷2＝6（只） 10－6＝4（只） 答：鸡有4只，兔有6只。 【变式训练】一场足球赛的门票有两种，一种每张售价30元，另一种每张售价50元。刘东购买10张票，一共用去420元，两种票各买了多少张？（先假设两种门票的张数，再调整找出答案） 30元票张数 50元票张数 总价 和420元比较 【答案】30元门票买了4张，50元门票买了6张 【分析】根据门票总数是10张，假设一种门票是1张，另一种是10－1＝9张；再假设一种门票是2张，另一种是10－2＝8张；以此类推，再根据“门票售价×门票的张数＝门票总价”计算两种门票的总价再相加后与420元比较，当总价正好是420元时就得出两种门票各买了多少张，据此解答。 【详解】1×30＋9×50 ＝30＋450 ＝480（元） 2×30＋8×50 ＝60＋400 ＝460（元） 3×30＋7×50 ＝90＋350 ＝440（元） 4×30＋6×50 ＝120＋300 ＝420（元） 30元票张数 50元票张数 总价 和420元比较 1 9 480元 480－420＝60（元） 2 8 460元 460－420＝40（元） 3 7 440元 440－420＝20（元） 4 6 420元 420－420＝0（元） 答：30元门票买了4张，50元门票买了6张。 【变式训练】动物园里有长颈鹿和鸵鸟共20只，一共有56只脚，长颈鹿和鸵鸟各有多少只？ （1）假设20只全部是长颈鹿，那么一共有（        ）只脚，就多了（        ）只脚；1只长颈鹿比1只鸵鸟多了（        ）只脚，也就是有（        ）÷2＝（        ）只（        ）。所以动物园里有（        ）只长颈鹿，（        ）只鸵鸟。 （2）假设20只中，一半是长颈鹿，一半是鸵鸟，请你在下面的表中根据脚的只数进行调整。 长颈鹿/只 鸵鸟/只 脚的总只数 和56只脚比较 10 10 由表可知：鸵鸟有（        ）只，长颈鹿有（        ）只。 【答案】（1）80；24；2；24；12；鸵鸟；8；12 （2）60；多4只 12；8 【分析】（1）1只长颈鹿有4只脚，1鸵鸟有2只脚，1只长颈鹿比1只鸵鸟多4－2＝2只脚。假设20只全部是长颈鹿，那么共有20×4＝80只脚，多出了（80－56）只脚，用多出的脚数除以1只长颈鹿比1只鸵鸟多的脚数即可求出鸵鸟有多少只，进而求出长颈鹿的数量。 （2）假设20只中，10只是长颈鹿，10只是鸵鸟，那么脚的总只数是（10×4＋10×2）只，即60只，比56多，就减少长颈鹿的数量，增加鸵鸟的数量，直到脚的总只数是56即可。 【详解】（1）假设20只全部是长颈鹿，那么 20×4＝80（只） 80－56＝24（只） 4－2＝2（只） 24÷2＝12（只） 20－12＝8（只） 即假设20只全部是长颈鹿，那么一共有80只脚，就多了24只脚；1只长颈鹿比1只鸵鸟多了2只脚，也就是有24÷2＝12只鸵鸟。所以动物园里有8长颈鹿，12只鸵鸟。 （2）假设20只中，一半是长颈鹿，一半是鸵鸟，那么共有： 10×4＋10×2 ＝40＋20 ＝60（只） 60－56＝4（只） 如果20只中，9只是长颈鹿，11只是鸵鸟，那么共有： 9×4＋11×2 ＝36＋22 ＝58（只） 58－56＝2（只） 如果20只中，8只是长颈鹿，12只鸵鸟，那么共有： 8×4＋12×2 ＝32＋24 ＝56（只） 长颈鹿/只 鸵鸟/只 脚的总只数 和56只脚比较 10 10 60 多4只 9 11 58 多2只 8 12 56 相等 由表可知：鸵鸟有12只，长颈鹿有8只。 考点二：假设法解鸡兔同笼 【典例精讲】四年级手工小组的16名同学为“六一”儿童节会场准备了72个灯笼。男生每人扎3个灯笼，女生每人扎5个灯笼。这个手工小组男、女生各有多少名？ 【答案】男生有4名，女生有12名。 【分析】用假设法解答。假设16名同学都是男生，先求按每人扎3个灯笼计算的总数，再用实际总数与假设总数的差除以女生与男生每人扎灯笼数量的差，求出女生人数，最后用总人数减去女生人数求出男生人数。 【详解】假设16名同学都是男生。 3×16＝48（个） 女生人数：（72－48）÷（5－3） ＝24÷2 ＝12（名） 男生人数：16－12＝4（名） 答：男生有4名，女生有12名。 【变式训练】巴黎奥运会期间，学校少先队大队部举办奥运知识竞赛，共有20道题，规定答对一题得5分，答错一题扣3分。小敏答了全部的题，得了68分，他答对了几道题？ 【答案】16道 【分析】假设全部题目都答对，算出假设总分数，对比实际得分求出分数差；答对一题得5分，答错一题扣3分，答错一道题相比答对一道题损失5＋3＝8（分），用总分数差除以每答错一题损失的分数，求出答错的题数，再用总题数减去答错的题数得到答对题数。 【详解】假设20道题全部答对。 假设总分：20×5＝100（分） 分数差：100－68＝32（分） 答错一题损失分数：5＋3＝8（分） 答错题目数量：32÷8＝4（道） 答对题目数量：20－4＝16（道） 答：他答对了16道题。 【变式训练】学校举行素养大赛，其中必答环节共20题，答对一题得10分，答错一题扣5分，六（3）班这个环节共得110分。六（3）班选手答对多少题？ 【答案】14题 【分析】采用假设法解题，把20道题全答对的总得分看作基准量，先算出实际得分与全对得分的差值；答错1题不仅得不到10分，还要扣5分，因此答错1题与答对1题的分数差是10加5的和，用总分数差÷单题分数差得到答错题数，再用总题数减去答错题数得到答对题数。 【详解】假设20道题全部答对 20×10＝200（分） 200－110＝90（分） 10＋5＝15（分） 90÷15＝6（道） 20－6＝14（道） 答：六（3）班选手答对14道题。 【变式训练】学校举行数学知识大赛，大赛一共25道题目，大赛规定答对一题得4分，答错一题扣2分，李明同学共得了82分，李明同学答对了几题？答错了几题？ 【答案】对22题；错3题 【分析】采用鸡兔同笼的假设法，先假设全部题目都答对算出理论满分，对比实际得分得到分数差距，再根据答对、答错一题的分数差额求出答错的题数，最后推出答对的题数。 【详解】假设25道题全部答对 理论总得分数：25×4＝100（分） 理论分与实际分的差值：100－82＝18（分） 答错一题相比答对一题少得分数：4＋2＝6（分） 答错题目数量：18÷6＝3（题） 答对题目数量：25－3＝22（题） 答：李明同学答对了22题，答错了3题。 考点三：用假设法解决含有两个未知量的实际问题 【典例精讲】为倡导绿色文明，创建绿色校园，加强学生环保意识，平安小学举行了环保知识竞赛。有10道题，规定答对1题得5分，答错1题得﹣8分，源源共得11分，他答对几道题？答错几道题？ 【答案】7道；3道 【分析】根据“答对1题得5分，答错1题得﹣8分”可以知道答对一题与答错一题相差了13分，假设10道题都答对，就应该得（5×10）分，现在只得11分，相差了（50－11）分，用（50－11）除以13，就是答错的题数，再用10减去答错的题数即可。 【详解】5＋8＝13（分） 答错：（5×10－11）÷13 ＝（50－11）÷13 ＝39÷13 ＝3（道） 答对：10－3＝7（道） 答：答对7道，答错3道。 【变式训练】商店里运来苹果、梨和橘子共730千克，梨比苹果多50千克，橘子比苹果多80千克，苹果有多少千克？梨有多少千克？橘子呢？ 【答案】200千克；250千克；280千克 【分析】假设梨、橘子都和苹果一样多，则水果的总千克数是730－50－80＝600千克，用600÷3＝200千克即可求出苹果的千克数；再根据梨比苹果多50千克，用200＋50求出梨的千克数，根据橘子比苹果多80千克，用200＋80求出橘子的千克数。据此解答。 【详解】假设梨、橘子都和苹果一样多： 苹果： （730－50－80）÷3 ＝600÷3 ＝200（千克） 梨：200＋50＝250（千克） 橘子：200＋80＝280（千克） 答：苹果有200千克，梨有250千克，橘子有280千克。 【变式训练】六年级学生制作了176件蝴蝶标本，贴在13块展板上。每块小展板贴8件，每块大展贴20件。两种展板各有多少块？ 【答案】小展板：7块；大展板：6块 【分析】设小展板有x块，则大展板有（13－x）块，根据数量关系：小展板上贴的蝴蝶标本数量＋大展板上贴的蝴蝶标本数量＝176，据此列出方程，解方程即可。 【详解】解：设小展板有x块，则大展板有（13－x）块。 大展板：13－7＝6（块） 答：小展板有7块，大展板有6块。 【变式训练】两名老师带领46名学生去少年宫，参加航天科技展，买门票一共用去600元。已知每张学生票价是每张成人票价的一半，每张学生票多少元？每张成人票多少元？ 【答案】学生票12元，成人票24元 【分析】等量关系：2张成人票＋46张学生票＝600元，1张成人票＝2张学生票，将成人票用学生票代替计算即可得出学生票的价钱，进而可得出成人票的价钱。 【详解】每张学生票：600÷（2×2＋46） ＝600÷（4＋46） ＝600÷50 ＝12（元） 每张成人票：12×2＝24（元） 答：每张学生票12元，每张成人票24元。 【点睛】解答此题的关键是1张成人票＝2张学生票，将成人票用学生票代替计算即可得出学生票的价钱。 综合训练 1．一个三位数，百位上的数字是a，个位上的数字是6，十位数字为0，能表示这个三位数的式子是（    ）。 A．a＋6 B．6×100＋a C．100a＋6 D．6a 【答案】C 【分析】根据数位的意义，百位上的数字表示几个100，个位上的数字表示几个1，十位是0，不用加对应的数值。 【详解】百位数字是a，对应数值为100a；十位为0；个位数字是6，对应数值为6；这个三位数是100a＋6。 2．小红参加“环保达人”抢答比赛，规则是答对一题加5分，答错一题扣1分，小红抢答10道题，得38分，她答对（    ）题。 A．7 B．8 C．9 【答案】B 【分析】采用假设法解题，先假设10道题全部答对，计算出与实际得分的差值，再结合答错一题比答对一题少得的（5＋1）分，用差值除以答错一题比答对一题少得的分数，求出答错的题数，用10减去答错的题数，即可得到答对的题数。 【详解】假设10道题全答对，总得分：（分） 比实际多的分数：（分） 答错1题比答对1题少得的分数：（分） 答错的题数：（道） 答对的题数：（道） 3．笼子里有若干只鸡和兔，共有8个头。下面说法错误的是（    ）。 A．共有15只脚 B．共有20只脚 C．共有30只脚 【答案】A 【分析】鸡有2只脚，兔有4只脚，先算出8只动物最少和最多的总脚数，再判断哪个选项不符合范围即可。 【详解】若8只全是鸡，总脚数最少：（只） 若8只全是兔，总脚数最多：（只） 总脚数只能在16只到32只之间（包括16和32）。 15只小于16只，不可能出现。 4．四（1）班环保知识竞赛，共20题。答对一题得5分，答错一题或不答倒扣3分，小静得了76分。她共答对了（    ）题。 A．3 B．17 C．12 【答案】B 【分析】采用假设法，先假设所有题全部答对，对比实际得分得到分数差，再根据答错或不答1题损失的分数求出答错/不答的题数，即可得到答对的题数。 【详解】假设20题全部答对，总得分：（分） 比实际多的分数：（分） 答错或不答1题少得的分数：（分） 答错或不答的题数：（题） 答对的题数：（题） 她共答对了17题。 5．在“保护太湖，放养食藻鱼”的公益活动中，环保小组30名同学共投放了122条食藻鱼。已知男生每人投放了5条，女生每人投放了3条，那么这个环保小组中男生有（    ）名。 A．14 B．15 C．16 【答案】C 【分析】采用假设法，先假设所有同学都是女生，算出对应的总投放条数，求出它和实际投放条数的差，再用这个差除以每名男生比女生多投放的条数，就能得到男生人数。 【详解】（条） （条） （条） （名） 这个环保小组中男生有16名。 6．六年级组织了“数学口算速算”大赛，一共有20道题，每答对一道题得5分，每答错或不答一道题倒扣3分。小智最终得了60分，他一共答对了（    ）道题。 A．11 B．13 C．15 【答案】C 【分析】先假设所有题全部答对，算出与实际得分的差值，再结合答错或不答1道比答对少得的分数，求出答错的题数，最终得到答对的题数。 【详解】假设20道题全部答对，总得分：（分） 比实际多的分数：（分） 答错或不答1道题少得的分数：（分） 答错或不答的题数：（道） 答对的题数：（道） 7．四（1）班35名同学一起去植树，男生每人种了4棵，女生每人种了2棵，全班同学一共种了110棵。四（1）班去植树的男生和女生各有（    ）人。 A．15，20 B．20，15 C．16，19 【答案】B 【分析】可以利用假设法，假设全班都是男生或都是女生，计算出假设情况下的总棵数，与实际总棵数进行比较得出差额，再根据男生和女生每人植树棵数的差，求出其中一种性别的人数，进而求出另一种性别的人数，最后对照选项得出答案。 【详解】假设全是男生。 （人） （人） 男生有20人，女生有15人。 8．停车场停着共享汽车（四轮）和共享单车（两轮）一共10辆，总共有32个轮子，共享单车有（    ）辆。 A．6 B．4 C．3 【答案】B 【分析】假设全是四轮车，则一共有轮子4×10＝40（个），这比已知的32个轮子多出了40－32＝8（个），因为1辆四轮车比1辆共享单车多4－2＝2（个）轮子，由此即可求出共享单车有8÷2＝4（辆）；据此解答即可。 【详解】（4×10－32）÷（4－2） ＝（40－32）÷2 ＝8÷2 ＝4（辆） 停车场停着共享汽车（四轮）和共享单车（两轮）一共10辆，总共有32个轮子，共享单车有4辆。 故答案为：B 9．五年级一班42人共植树106棵，男生每人植3棵，女生每人植2棵。五年级一班男生有( )人，女生有( )人。 【答案】 22 20 【分析】每个男生比每个女生多植1棵树，所以用总的植树数减去班级每个人植的两棵树，剩下的便是每一个男生多植的1棵树，用剩下的树除以1便得到男生的人数，用总人数减去男生人数便得到女生人数。 【详解】男生人数： （人） 女生人数：（人） 答：五年级一班男生有22人，女生有20人。 【点睛】本题主要考查了数学广角—鸡兔同笼。 10．妈妈买来5盆含羞草和2盆玫瑰花，一共用去60元。一盆含羞草比一盆玫瑰花便宜9元，每盆含羞草________元，每盆玫瑰花________元。 【答案】 6 15 【分析】根据题意可得：1盆玫瑰花的价钱－1盆含羞草的价钱＝9元，1盆含羞草的价钱×5＋1盆玫瑰花的价钱×2＝60元，进而可得出1盆含羞草的价钱＝（一共用去的钱数－ 一盆含羞草比一盆玫瑰花便宜 的钱数×2）÷（含羞草的盆数＋玫瑰花的盆数），代入数值计算即可。 【详解】1盆玫瑰花的价钱－1盆含羞草的价钱＝9元， 一盆含羞草的价钱＝（60－9×2）÷（5＋2） ＝（60－18）÷7 ＝42÷7 ＝6（元） 1盆玫瑰花的价钱＝6＋9＝15（元） 【点睛】认真分析题意，弄清一盆玫瑰花价钱和一盆含羞草价钱之间的关系是解答的关键。 11．四（1）班52名同学去划船，一共乘坐了11条船，正好每条船都坐满，其中每条大船坐6人，每条小船坐4人。大船有( )条，小船有( )条。 【答案】 4 7 【分析】每条大船乘坐人数乘条数，可以算出大船坐了多少人；每条小船乘坐人数乘条数，可以算出小船坐了多少人；大船乘坐人数加上小船乘坐人数，就是四（1）班学生人数。据此列表算出各种坐船方法能乘坐的人数，再进一步解答。 【详解】 大船/条 小船/条 人数/人 10 1 6×10＋4＝64 9 2 6×9＋4×2＝62 8 3 6×8＋4×3＝60 7 4 6×7＋4×4＝58 6 5 6×6＋4×5＝56 5 6 6×5＋4×6＝54 4 7 6×4＋4×7＝52 3 8 6×3＋4×8＝50 2 9 6×2＋4×9＝48 1 10 6＋4×10＝46 四（1）班52名同学去划船，一共乘坐了11条船，正好每条船都坐满，其中每条大船坐6人，每条小船坐4人。大船有4条，小船有7条。 12．《孙子算经》中有这样一道题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何。”乐乐解决此题时这样想：假设笼中全是鸡，比94足少( )足，则兔有( )只。 【答案】 24 12 【分析】假设都是鸡，则足数为35×2＝70（只），比实际少94－70＝24（只），因为每只鸡比每只兔少4－2＝2（只）足，所以兔的只数是（24÷2）只；据此求解即可。 【详解】35×2＝70（只） 94－70＝24（只） 24÷（4－2） ＝24÷2 ＝12（只） 即假设笼中全是鸡，比94足少24足，则兔有12只。 【点睛】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论。 13．小军想要组装一些四轮车和三轮车，现在有8个车身，29个车轮，可以组装出( )辆四轮车，( )辆三轮车。 【答案】 5 3 【分析】假设全部都组装成四轮车，每辆车子需要4个轮子，8个车身则需要4×8＝32（个）轮子，根据题意可知，一共有29个轮子，相差的轮子数是因为把三轮车看成四轮车，每辆车多看一个轮子，相差的个数里有几个1就表示有几个三轮车，用车身减去三轮车的辆数，即可求出四轮车的辆数。据此解答即可。 【详解】假设全部都是4轮车 4×8＝32（个） 32－29＝3（个） 4－3＝1（个） 三轮车：3÷1＝3（辆） 四轮车：8－3＝5（辆） 即小军想要组装一些四轮车和三轮车，现在有8个车身，29个车轮，可以组装出5辆四轮车，3辆三轮车。 14．在“保护环境、人人有责”公益活动中，四（1）班一小组27人共拾垃圾105千克。其中男生每人拾5千克，女生每人拾3千克。27人中男生有( )人，女生有( )人。 【答案】 12 15 【分析】首先假设四（1）班一小组27人都是男生，然后通过比较男生和女生拾垃圾的数量差，求出女生的人数，最后用总人数减去女生人数，得到男生的人数。 【详解】第一步：假设四（1）班一小组27人都是男生，计算出男生拾垃圾的总数量； （千克） 第二步：计算出男生拾垃圾的数量比实际的多了多少； （千克）     第三步：计算出女生的人数； （人） 第四步：计算出男生的人数； （人） 所以27人中男生有12人，女生有15人。 15．数学竞赛中，答对一题得6分，答错一题扣3分，小红答了13道题，最后得分51分，则她答对了( )道题，答错了( )道题。 【答案】 10 3 【分析】假设全部答对，共得分13×6＝78（分），比实际得分多78－51＝27（分），而答错的比答对的每题少（6＋3）分，用全答对题比实际得分多的分数除以答错的比答对少的分数，即可求出他答错多少道题，然后用答题总数减去答错题的道数，即可求出答对多少道题。 【详解】（13×6－51）÷（6＋3） ＝（78－51）÷（6＋3） ＝27÷（6＋3） ＝27÷9 ＝3（道） 答对的题：13－3＝10（道） 数学竞赛中，答对一题得6分，答错一题扣3分，小红答了13道题，最后得分51分，则她答对了10道题，答错了3道题。 16．某次数学竞赛共20道题，评分标准是；每做对一题得5分，每做错或不做一题倒扣1分。小华参加了这次竞赛，得了64分。小华做对( )道题，做错( )道题。 【答案】 14 6 【分析】根据“每做对一题得5分，每做错或不做一题倒扣1分”可知：答错一道题比做对一道题少得：5＋1＝6（分），假设全部答对20道题共得：20×5＝100（分），比实际得分64分多得：100－64＝36（分），那么他答错或不做的有：36÷6道；再算答对的数量据此解答即可。 【详解】5＋1＝6（分） 20×5＝100（分） （100－64）÷6 ＝36÷6 ＝6（道） 20－6＝14（道） 小华做对14道题，做错6道题。 17．某运输队为超市运送暖瓶500箱，每箱装有6个暖瓶。已知每10个暖瓶的运费为5元，损坏一个不但不给运费还要赔10元，运后结算时，运输队共得1395元的运费。运输途中损坏了( )个暖瓶。 【答案】10 【分析】根据题意，有500箱暖瓶，每箱装6个，根据乘法的意义可以求出暖瓶的总个数；假设没有损坏，每个暖瓶运费5÷10＝0.5元，用每个暖瓶运费乘暖瓶个数，求出没有损坏时的运费；而实际运费1395元，求出少得的钱数，再除以损坏一个少得的钱，即可求出损坏了多少个暖瓶，据此解答。 【详解】一共有暖瓶：500×6＝3000（个） 每个暖瓶的运费是：5÷10＝0.5（元） （3000×0.5－1395）÷（10＋0.5） ＝（1500－1395）÷10.5 ＝105÷10.5 ＝10（个） 则共损坏了10个暖瓶。 18．骆驼是最能适应极端气候的动物之一，被人们称为“沙漠之舟”。它不仅是古丝绸之路上最主要的运输工具，还是古丝绸之路的不朽象征。骆驼有两种：背上有一个驼峰的单峰骆驼和背上有两个驼峰的双峰骆驼。现有12只骆驼，共16个驼峰，这些骆驼中单峰骆驼有( )只，双峰骆驼有( )只。 【答案】 8 4 【分析】本题是鸡兔同笼问题的变式题目，可以用假设法来解决。假设12只骆驼都是单峰骆驼，那么一共就有12个驼峰，再用16减去12算出实际与假设相差的驼峰数量。每增加1只双峰骆驼，减少1只单峰骆驼，驼峰的数量相差1个，用除法即可算出双峰骆驼的数量。最后用12减去双峰骆驼的数量即可得到单峰骆驼的数量。 【详解】12×1＝12（个） 2－1＝1（个） 16－12＝4（个） 4÷1＝4（只） 12－4＝8（只） 故这些骆驼中单峰骆驼有8只，双峰骆驼有4只。 19．“垃圾分类”宣传活动中，8名同学共收集21条建议。男生平均每人收集2条建议，女生平均每人收集3条建议。男生有( )名，女生有( )名。 【答案】 3 5 【分析】假设全是男生，那么就收集了8×2＝16（条），比已知21条少了21－16＝5条，每名男生比女生少收集3－2＝1（条），由此即可得出女生有5÷1＝5（人），男生就有8－5＝3（人），由此即可解答。 【详解】假设全是男生， 女生：（21－8×2）÷（3－2） ＝5÷1 ＝5（人） 男生：8－5＝3（人） 男生有3名，女生有5名。 20．某玻璃厂托运玻璃500箱，合同规定每箱运费20元，如果损坏一箱，不但不付运费还要赔偿100元。运后结算共付运费8800元。托运中损坏了( )箱玻璃。 【答案】10 【分析】根据已知托运玻璃500箱，每箱运费20元，可求出应付运费总钱数，根据每损坏一箱，不但不付运费还要赔偿100元的条件可知，应付的钱数和实际付的钱数的差里有几个（100＋20）元，就是损坏几箱。 【详解】（500×20－8800）÷（100＋20） ＝（10000－8800）÷120 ＝1200÷120 ＝10（箱） 所以托运中损坏了10箱玻璃。 21．小娜的玻璃球比小敏多5个，小敏的玻璃球比小波多2个，他们三人一共有30个玻璃球，三人分别有多少个玻璃球？ 【答案】小波有7个玻璃球，小敏有9个玻璃球，小娜有14个玻璃球 【分析】可以用假设的方法来解决，假设小娜、小敏有的玻璃球个数都与小波一样多，则总数一共要减少（个），从原来总数中减去9个后，三人同样多，除以3得到小波有的玻璃球个数，用小波有的玻璃球个数加2就是小敏有的玻璃球个数，用小敏有的玻璃球个数加5就是小娜有的玻璃球个数。 【详解】假设三人的玻璃球个数都和小波一样多。 （个） （个） 小波：（个） 小敏：7＋2＝9（个） 小娜：9＋5＝14（个） 答：小波有7个玻璃球，小敏有9个玻璃球，小娜有14个玻璃球。 22．一个停车场里停有电动三轮车和小轿车共18辆，一共有61个车轮。电动三轮车和小轿车各有多少辆？ 【答案】电动三轮车11辆，小轿车7辆 【分析】本题属于“鸡兔同笼”问题。已知车辆总数和车轮总数，以及每种车的车轮数（电动三轮车3个车轮，小轿车4个车轮），可采用假设法解答。假设全是电动三轮车，计算出车轮总数与实际车轮总数的差，再除以每辆小轿车比电动三轮车多的车轮数，即可求出小轿车的数量，进而求出电动三轮车的数量。 【详解】假设18辆车全是电动三轮车。 18×3＝54（个） 61－54＝7（个） 4－3＝1（个） 小轿车的数量：7÷1＝7（辆） 电动三轮车的数量：18－7＝11（辆） 答：电动三轮车有11辆，小轿车有7辆。 23．数学竞赛共20道题，做对一题得5分，做错一题倒扣2分，不做得0分。小华得了79分，他做错了几道题？（已知他没有空题） 【答案】3道 【分析】用鸡兔同笼的假设法解答：假设20道题全做对，20道题全对应得的分数与实际分数的差是实际少得的分数，一道错题扣2分，假设为对的之后得5分，一道错题做错少得2＋5＝7分，实际少得的分数除以一道错题少得的分数等于错题数。 【详解】（20×5－79）÷（5＋2） ＝（100－79）÷7 ＝21÷7 ＝3（道） 答：他做错了3题。 24．盒子里有大、小两种雪糕模具共50个，一共重210克，大雪糕模具每个重5克，小雪糕模具每个重3克，则大小雪糕模具各有多少个？ 【答案】大雪糕模具30个；小雪糕模具20个 【分析】假设50个模具全是大雪糕模具，计算出假设情况下的总重量，与实际总重量进行比较得出差额。用总重量差除以单个大雪糕模具与小雪糕模具的重量差，即可求出小雪糕模具的数量，最后用总数量减去小雪糕模具的数量求出大雪糕模具的数量。 【详解】假设50个全是大雪糕模具。 假设总重量：50×5＝250（克） 总重量差：250－210＝40（克） 单个重量差：5－3＝2（克） 小雪糕模具数量：40÷2＝20（个） 大雪糕模具数量：50－20＝30（个） 答：大雪糕模具30个，小雪糕模具20个。 25．江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）的积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。如果某市足球队一共踢了12场比赛，负了4场，共得18分。这支足球队胜了几场、平了几场？ 【答案】胜了5场；平了3场 【分析】已知参加了12场比赛，负了4场，假设其余都胜利，即胜和平的总场数：12－4＝8（场），应得分：8×3＝24（分）；胜一场记3分，平一场记1分，所以将一场平局算作一场胜利，总分会多：3－1＝2（分）；假设全胜的得分24分与实际得分18分，相差几个2分，就说明将几场平局算成了胜利，据此分析即可。 【详解】胜和平的总场数：12－4＝8（场） 假设这8场全是胜场。 8×3＝24（分） 24－18＝6（分） 3－1＝2（分） 6÷2＝3（场） 8－3＝5（场） 答：这支足球队胜了5场、平了3场。 26．在校园爱心义卖会上，五（1）班“爱心小铺”售卖的柠檬水每杯3元，水果茶每杯5元。活动结束时，30杯饮料全部卖完，收银盒里共收到爱心款项126元。柠檬水和水果茶各卖了多少杯？ 【答案】柠檬水12杯，水果茶18杯。 【分析】这道题的核心是通过假设全部是柠檬水或水果茶，对比假设的总价和实际的总价求出价钱差，同时求出柠檬水和水果茶的金额差进而求出水果茶和柠檬水的数量。题目中已知柠檬水或水果茶共30杯，共收入126元，柠檬水每杯3元，水果茶每杯5元，假设全部都是柠檬水，用假设总价与实际总价的差除以两种饮料的金额差结果是水果茶数量，再用总杯数减去水果茶的数量即可得到柠檬水的数量。据此解答。 【详解】根据分析： 假设全部都是柠檬水 （元） （元） 水果茶的数量： （杯） 柠檬水的数量： （杯） 答：柠檬水卖了12杯，水果茶卖了18杯。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $