第五单元 多边形的面积 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学北师大版五年级上册（新教材）

第五单元 多边形的面积 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、平行四边形的面积 2 1. 面积推导：转化思想 2 2. 面积公式 2 3. 核心规律 2 二、三角形的面积 2 1. 面积推导：拼摆法 2 2. 面积公式 3 3. 变形公式 3 4. 核心规律 3 三、梯形的面积 3 1. 面积推导：拼摆法 3 2. 面积公式 3 3. 变形公式 3 四、组合图形的面积 3 1. 定义 3 2. 两种基本计算方法 4 3. 解题原则 4 五、面积单位与换算 4 1. 常用面积单位 4 2. 单位进率 4 3. 换算方法 4 六、易错点总结 4 考点讲练 5 考点一：比较图形的面积 5 考点二：认识底和高 7 考点三：平行四边形的面积 10 考点四：三角形的面积 12 考点五：梯形的面积 15 综合训练 18 知识梳理 一、平行四边形的面积 1. 面积推导：转化思想 通过割补法将平行四边形转化为长方形：沿平行四边形的一条高剪开，通过平移可以拼成一个长方形。 拼成的长方形的长 = 平行四边形的底 拼成的长方形的宽 = 平行四边形的高 长方形面积 = 长 × 宽，因此平行四边形面积 = 底 × 高 2. 面积公式 表示面积， 表示底， 表示对应底边上的高。 3. 核心规律 底和高必须一一对应，平行四边形有两组不同的底和高。 等底等高的平行四边形，面积一定相等；但面积相等的平行四边形，不一定等底等高。 平行四边形拉伸变形时，周长不变，高变化，面积随之变化。 二、三角形的面积 1. 面积推导：拼摆法 用两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。 拼成的平行四边形的底 = 三角形的底 拼成的平行四边形的高 = 三角形的高 每个三角形的面积 = 拼成的平行四边形面积的一半 2. 面积公式 表示底， 表示对应底边上的高。 3. 变形公式 已知面积和底，求高： 已知面积和高，求底： 4. 核心规律 等底等高的三角形，面积一定相等，但形状不一定相同。 等底等高时，三角形面积是平行四边形面积的一半，平行四边形面积是三角形面积的 2 倍。 三、梯形的面积 1. 面积推导：拼摆法 用两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。 拼成的平行四边形的底 = 梯形的上底 + 下底 拼成的平行四边形的高 = 梯形的高 每个梯形的面积 = 拼成的平行四边形面积的一半 2. 面积公式 表示上底， 表示下底， 表示梯形的高。 3. 变形公式 已知面积和上下底之和，求高： 已知面积、高和其中一个底，求另一个底： 四、组合图形的面积 1. 定义 由平行四边形、三角形、梯形、长方形等基本图形组合而成的图形，叫做组合图形。 2. 两种基本计算方法 分割法（求和法）：把组合图形分割成几个基本图形，分别计算每个基本图形的面积，再相加得到总面积。 适用：图形由几个明显的基础图形拼接而成。 添补法（求差法）：给组合图形补上一部分，使其变成一个大的基本图形，用大图形面积减去补上的空白部分面积，得到原图形面积。 适用：图形有凹陷、空缺，补全后更易计算。 3. 解题原则 分割或添补后的图形越少、越简单，计算越简便，尽量避免复杂分割。 五、面积单位与换算 1. 常用面积单位 平方厘米（）、平方分米（）、平方米（）、公顷（）、平方千米（）。 2. 单位进率 相邻常用面积单位进率为 100： 平方分米 平方厘米 平方米 平方分米 土地面积特殊进率： 公顷 平方米 平方千米 公顷 平方米 3. 换算方法 高级单位化低级单位：乘进率；低级单位化高级单位：除以进率。 六、易错点总结 计算三角形、梯形面积时，忘记除以 2，导致结果是正确值的 2 倍。 底和高不对应，误用不匹配的底和高计算面积。 逆用公式求高或底时，忘记先把面积乘 2，直接用面积除以底。 面积单位换算时记错进率，尤其容易混淆 “公顷与平方米” 的进率。 组合图形分割时，重复计算重叠部分或遗漏边缘部分。 误认为 “面积相等的三角形形状一定相同”，等底等高仅保证面积相等。 考点讲练 考点一：比较图形的面积 【典例精讲】看图回答问题。（填序号） (1)与图形①面积相等的有图形( )。 (2)图形⑦与图形⑧可以拼成图形( )。 (3)图形⑨可以由图形( )与图形( )拼成。 【答案】(1)④⑤ (2)⑥ (3) ⑩ ⑪ 【分析】通过数方格或利用图形面积公式（如平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2等）来计算各图形的面积，然后找出与图形①面积相等的图形； 观察图形②和图形⑧的形状，想象它们拼接后的形状，与给出的图形进行对比，找出能拼成的图形； 观察图形⑨的形状，分析其可以由哪两个图形拼接而成，通过对图形⑪、⑩的观察和组合尝试来确定。 【详解】（1）假设每个小方格的边长为1cm，通过计算： 图形①的面积为平方厘米，图形④的面积为平方厘米，图形⑤的面积为平方厘米，故与图形①面积相等的有图形（④⑤）。 （2）图形⑦是一个三角形，图形⑧是一个三角形，将图形⑦的边与图形⑧的边进行拼接，可发现它们能够组合成图形⑥的形状，所以图形⑦与图形⑧可以拼成图形（⑥）。 （3）通过观察，图形⑩凹进去的部分与图形凸出来的部分刚好可以拼接成一个长方形，拼接成的长方形为图形⑨，故图形⑨可以由图形（⑩）与图形（⑪）拼成。 【变式训练】如下图，最左面的长方形少了一角，补上图形( )就可以使长方形变得完整。（填序号） 【答案】④ 【分析】通过观察图形可知：这个长方形缺少一个直角三角形，而后面4个图形中，只有图形④直角三角形，补上去就能使这个长方形完整，据此解答 【详解】最左面的长方形少了一角，补上图形④就可以使长方形变得完整。 故答案为：④ 【变式训练】仔细观察并回答问题。 (1)( )号图形的面积最大，( )号图形的面积最小。 (2)②号图形可以由两个( )号图形组合而成。 (3)将④号图形按图中割补后，形状( )，面积( )周长( )。（填“改变”或“不变”） 【答案】(1) ② ③ (2)⑤ (3) 改变 不变 改变 【分析】（1）通过数方格或者根据图形的底和高，利用相应的面积公式（如三角形面积＝底×高÷2，平行四边形面积＝底×高，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2）来计算每个图形的面积，然后比较大小。 （2）观察②号图形和其他图形的形状、大小关系，看②号图形能否由两个相同的某号图形组合而成。 （3）割补法是把图形的一部分切割下来，补到另一部分，从而改变图形的形状，但面积是物体所占平面的大小，割补后面积不变；周长是图形一周的长度，割补后图形的边的长度组合发生变化，所以周长改变。 【详解】（1） 图形②是一个平行四边形，面积为9，图形③是一个三角形，面积为4。所以②号图形的面积最大，③号图形的面积最小。 （2）观察发现，②号平行四边形的形状和大小，能够由两个⑤号三角形组合而成（将两个⑤号三角形拼接，可得到②号平行四边形）。 （3）④号图形割补后，形状与原来不同，所以形状改变。 割补只是图形部分的移动，所占平面大小不变，所以面积不变。 图形的边的长度组合发生了变化，所以周长改变。 【变式训练】如图，下左边长方形少了一块，你认为补上图形( )就能使这个长方形完整了。 【答案】③ 【分析】根据左边长方形少的一块的特征进行分析，缺少部分包含一个三角形，据此分析即可。 【详解】图形的两边不一样高，右边矮又缺了一大块，中间还缺个三角形，发现③比较合适，再试一试补全图形看缺少的图形是不是③。 考点二：认识底和高 【典例精讲】画出下面图形底边上的高。 【答案】（梯形的高画法不唯一） 【分析】将三角尺的一条直角边与指定底边重合，移动三角尺让另一条直角边经过底边对侧的顶点，沿直角边画出顶点到底边的虚线垂线段，标注直角符号，这条线段就是对应底边上的高。梯形：从上底的一个顶点向下底画垂线段，就是下底上的高。（画法不唯一）。三角形：从底边所对的顶点向底边画垂线段，就是三角形底边上的高。平行四边形：从指定底边对边的顶点向这条底边画垂线段（若底边长度不够可先延长底边，再画垂线），就是平行四边形底边上的高。 【详解】略 【变式训练】在下面的方格纸上分别画一个底是6厘米、高是5厘米的三角形和平行四边形，并分别画出它们的一条高。（每个小正方形的边长均是1厘米） 【答案】（画法不唯一） 【分析】每个小方格边长是1厘米，因此6厘米对应6个小格的边长，5厘米对应5个小格的长度。 平行四边形画法：先画一条长6厘米，横向占6个小格的线段作为底边；沿着垂直方向向上数5个小格，画一条和底边平行的线段；连接两条线段的对应端点，就得到底6厘米、高5厘米的平行四边形；从平行四边形的一个顶点向底边作垂直虚线，标注直角符号，这条虚线就是要求的高。 三角形画法：先画一条长6厘米，横向占6个小格的线段作为底边；在距离底边垂直高度为5厘米，也就是5个小格的位置确定一个顶点；将顶点分别连接底边的两个端点，就得到底6厘米、高5厘米的三角形； 从这个顶点向底边作垂直虚线，标注直角符号，这条虚线就是要求的高。 【详解】略 【变式训练】根据下面每个图形标出的底，分别画出高。 【答案】（后两个画法不唯一） 【分析】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高； 从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底； 从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高；据此画图即可。 【详解】略 【变式训练】在点子图上分别画出一个直角三角形、一个钝角三角形和一个等腰三角形，并画出每个三角形的一条高。 【答案】（答案不唯一） 【分析】直角三角形，有1个角是90°直角，剩下两个都是锐角；钝角三角形，有1个角＞90°（钝角），另外两个是锐角；等腰三角形，有两条边长度相等，相等两边叫腰；两个底角度数相等；据此画出3种类型的三角形。 再借助直角三角尺，把直角三角尺的一条直角边与三角形的一边重合，过三角形的另一个顶点沿着另一条直角边向底边画线段，即为底边的高，画钝角三角形的高，延长钝角的一边，把直角三角尺的一条直角边与这一条边重合，使得三角形的顶点在另一条直角边上，过这个顶点沿着这条直角边向底边画线段，即为其高。 【详解】根据分析分别绘制不同的三角形及高，图略。 考点三：平行四边形的面积 【典例精讲】请利用图示、文字表示出平行四边形面积计算公式的推导过程。 【答案】 由图可知，平行四边形的底相当于长方形的长，平行四边形的高相当于长方形的宽，切分前后平行四边形的面积不变。 长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝长方形的面积； 所以，平行四边形的面积＝底×高。 【分析】将平行四边形沿着一条高剪开，平行四边形被分为两部分，把左半部分向右平移，可以把平行四边形拼成一个长方形，把平行四边形的面积转化为长方形的面积推导出平行四边形的面积计算公式，据此解答。 【详解】略 【变式训练】要制作一块平行四边形的广告牌，它的底是4.5米，高是3米。制造厂家报价1080元，每平方米的造价是多少元？ 【答案】80元 【分析】平行四边形的面积＝底×高，据此先求出广告牌的面积。将报价除以广告牌的面积，求出每平方米的造价。 【详解】1080÷（4.5×3） ＝1080÷13.5 ＝80（元） 答：每平方米的造价是80元。 【变式训练】一块平行四边形的菜园，底是120米，高是80米，共收了120000千克蔬菜，平均每平方米可以收多少千克蔬菜？ 【答案】12.5千克 【分析】根据平行四边形面积＝底×高，求出菜园面积，收的蔬菜总质量÷菜园面积＝平均每平方米收的蔬菜质量，据此列式解答。 【详解】120×80＝9600（平方米） 120000÷9600＝12.5（千克） 答：平均每平方米可以收12.5千克蔬菜。 【变式训练】刘阿姨家装修需要买一块平行四边形的镜子（如图：单位为“米”），如果每平方米镜子的价钱是40元，买这块镜子需要多少钱？ 【答案】38.4元 【分析】观察图形，平行四边形的高为0.8米，对应的底边长为1.2米，根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据求出这块平行四边形的镜子的面积，再乘每平方米镜子的价钱是40元，即可求出买这块镜子需要多少钱。 【详解】0.8×1.2×40 ＝0.96×40 ＝38.4（元） 答：买这块镜子需要38.4元。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用平行四边形的面积公式解决问题。 考点四：三角形的面积 【典例精讲】十月秋高气爽，是露营的好季节，小明和小亮两家打算网购一顶帐篷去北山顶露营，在挑选帐篷时，网店上有如下数据：已知帐篷的一个面是三角形，它的面积和底如图所示，它的高是多少呢？ 【答案】1.5米 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，则三角形的高＝三角形的面积×2÷底，代入数据计算即可。 【详解】1.65×2÷2.2 ＝3.3÷2.2 ＝1.5（米） 答：它的高是1.5米。 【变式训练】如下图是笑笑家的小菜园，左边的平行四边形地种西红柿，底边长12米，右边三角形地种辣椒，底边长6米，面积是30平方米，种西红柿的面积是多少平方米？ 【答案】120平方米 【分析】从图上可以看出，平行四边形与三角形的高是相等的。根据三角形面积＝底×高÷2，用种辣椒的面积乘2，再除以高，即可求出三角形的高。平行四边形面积＝底×高，代入数据求出平行四边形也就是种西红柿的面积，据此解答。 【详解】12×（30×2÷6） ＝12×（60÷6） ＝12×10 ＝120（平方米） 答：种西红柿的面积是120平方米。 【变式训练】如图，三角形的一条底长1.2厘米，这个底对应的高是1.4厘米。另一条底长1.5厘米，它对应的高是多少厘米？ 【答案】1.12厘米 【分析】三角形的一条底长1.2厘米，这条底上对应的高是1.4厘米，根据“三角形的面积＝底×高÷2”可求出这个三角形的面积是多少，再用这个面积乘2除以另一条底，即可求出它对应的高是多少，据此解答。 【详解】1.2×1.4÷2 ＝1.68÷2 ＝0.84（平方厘米） 0.84×2÷1.5 ＝1.68÷1.5 ＝1.12（厘米） 答：它对应的高是1.12厘米。 【点睛】本题主要考查了学生对三角形面积公式的灵活应用。 【变式训练】老师拿来一张长0.6米、宽40厘米的红纸，用来剪一些两条直角边长都是4厘米的三角形小红旗，这张红纸最多可以剪多少面小红旗？ 【答案】300面 【分析】两个直角边都是4厘米的直角三角形，可以拼成一个边长是4厘米的正方形；用除法分别求出长方形的长、宽里各包含多少4厘米，再根据长方形面积公式：面积＝长×宽；代入数据，求出最多可以剪几个边长是4厘米的正方形，再乘2，即可求出最多可以剪多少面小红旗。 【详解】40厘米＝0.4米；4厘米＝0.04米 0.6÷0.04＝15（个） 0.4÷0.04＝10（个） 15×10＝150（个） 150×2＝300（面） 答：这张纸最多可以剪300面小红旗。 【点睛】本题考查平面图形的剪切问题，分别求出长方形长、宽最多能剪几个正方形，再利用长方形面积公式求出正方形的个数是解题的关键；注意单位名数的统一。 考点五：梯形的面积 【典例精讲】某学校有一块梯形宣传栏展示学生的艺术作品。这块梯形宣传栏的上底是13米，下底是15米，高是2米。粉刷这块宣传栏共用油漆56千克（只刷一面），平均每平方米用多少千克油漆？ 【答案】2千克 【分析】根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出宣传栏面积，用的油漆质量÷宣传栏面积＝每平方米用的油漆质量，据此列式解答。 【详解】（13＋15）×2÷2 ＝28×2÷2 ＝28（平方米） 56÷28＝2（千克） 答：平均每平方米用2千克油漆。 【变式训练】李师傅用长240米的篱笆围了一个等腰梯形的花坛（如图），李师傅只量得梯形的高与其中一条腰的长度就很快算出了这个花坛的面积。请你也算一算，这个花坛的面积是多少平方米？ 【答案】2800平方米 【分析】已知篱笆的总长度，也就是等腰梯形的周长是240米，用240减去两条腰的长度，所得差即为这个等腰梯形上底和下底相加之和；根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，这个等腰梯形的高已知，把相应数值代入计算，即可解答。 【详解】（240－50×2）×40÷2 ＝（240－100）×40÷2 ＝140×40÷2 ＝5600÷2 ＝2800（平方米） 答：这个花坛的面积是2800平方米。 【变式训练】一条水渠的横截面是一个梯形，渠口宽2.6米，渠底宽1.7米，渠深1.6米。横截面的面积是多少平方米？ 【答案】3.44平方米 【分析】梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此列式求出横截面的面积即可。 【详解】（2.6＋1.7）×1.6÷2 ＝4.3×1.6÷2 ＝3.44（平方米） 答：横截面的面积是3.44平方米。 【变式训练】园林叔叔用35米长的篱笆靠墙围成一块梯形的花坛，如图，这块梯形花坛的面积是多少？ 【答案】125平方米 【分析】因为梯形一条腰靠墙，35米是梯形上底、下底和高这三条边的和，所以首先用篱笆的长度减去梯形的高的长度，得到的差就是梯形上底与下底的和，再根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算即可解答。 【详解】（35－10）×10÷2 ＝25×10÷2 ＝250÷2 ＝125（平方米） 答：这块梯形花坛的面积是125平方米。 综合训练 1．如图，平行线间三个涂色图形的面积关系是（    ）。 A．三角形面积最大 B．梯形面积最大 C．平行四边形面积最大 D．面积都相等 【答案】D 【分析】因为三个图形在两条平行线之间，所以它们的高都相等。设高为h，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，梯形的面积公式：S＝（a＋b）h÷2，平行四边形的面积公式：S＝ah，分别求出三个图形的面积，据此解答。 【详解】设高为h。 三角形的面积：8×h÷2 =8h÷2 ＝4h 梯形的面积：（3＋5）×h÷2 =8h÷2 ＝4h 平行四边形的面积：4×h＝4h 所以它们的面积都相等。 2．把一个平行四边形花坛分成4个三角形区域（如图），分别种上月季、羽衣甘蓝、金盏菊、三色堇，它们的种植面积相比，（    ）。 A．羽衣甘蓝的面积比金盏菊大 B．月季的面积比三色堇大 C．月季和三色堇的面积相等 D．无法比较 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式：面积＝底×高÷2，可知，三角形的面积由底和高决定，等底等高的三角形面积相等。平行四边形中，以平行四边形的一组对边为底、对角线交点为顶点的两个大三角形面积相等，均为平行四边形面积的一半。 【详解】金盏菊和羽衣甘蓝分别以平行四边形的上下对边为底、高之和等于平行四边形的高，且二者分别与月季、三色堇组成的大三角形面积均为平行四边形的一半，因此金盏菊＋月季＝羽衣甘蓝＋三色堇；同时，根据平行四边形的特点，可知，金盏菊与羽衣甘蓝所在的两个三角形等底等高，因此金盏菊与羽衣甘蓝的面积相等，月季和三色堇的面积必然相等。 3．图中阴影部分的面积约是（    ）平方厘米。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】把阴影部分拆成正方形＋三角形来计算，，。代入数据计算面积再相加即可。 【详解】 （平方厘米） 4．下图中，两个阴影部分的面积相比，（    ）。 A．甲＝乙 B．甲＞乙 C．甲＜乙 D．无法确定 【答案】A 【分析】左图阴影三角形与平行四边形等底等高，右图阴影三角形的底、高与长方形的宽、长相等，根据三角形的面积＝底×高÷2，分别求出两个图阴影部分的面积，再比较即可。 【详解】左图阴影部分的面积：4×2÷2＝4（cm2） 右图阴影部分的面积：2×4÷2＝4（cm2） 所以，甲＝乙。 5．七巧板是中国古代劳动人民的发明，蕴含着丰富的数学知识。下图是用七巧板拼成的边长为20cm的正方形，那么涂色部分的面积是（    ）。 A．20cm2 B．30cm2 C．40cm2 D．50cm2 【答案】D 【分析】 如图，在正方形上添加辅助线，把每一块七巧板都转变成是由大小相同的三角形组成的，一共有16个大小相同的三角形。观察可知，正方形边长除以2就是三角形的底，即平行四边形的底，正方形的边长除以4得到三角形的高，即平行四边形的高。根据平行四边形面积＝底×高，代入数据计算即可。 【详解】（20÷2）×（20÷4） ＝10×5 ＝50（cm2） 涂色部分的面积是50cm2。 6．小华制作了一个三角形卡片学具，它的面积是15平方厘米，底是6厘米，这条底对应的高是（    ）厘米。 A．2.5 B．9 C．4 D．5 【答案】D 【分析】三角形的面积公式：面积＝底×高÷2，由该公式可推导出求高的变形公式：高＝面积×2÷底。 【详解】15×2÷6 ＝30÷6 ＝5（厘米） 所以，这条底对应的高是5厘米。 7．有6cm、8cm、10cm和19cm的小棒各一根，从中选出三根，恰好可以围成一个直角三角形，这个直角三角形的面积是( )cm2。 【答案】24 【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三条边，选出能围成三角形的三根小棒；再利用直角三角形中斜边最长，判断直角边和斜边，最后利用直角三角形的面积＝两条直角边的积÷2，据此解答。 【详解】10＋8＝18＜19，6＋8＝14＞10，故可以围成直角三角形的是6cm、8cm、10cm的小棒，其中10cm最长为斜边，6cm、8cm为直角边。 故直角三角形的面积为： 6×8÷2 ＝48÷2 ＝24（cm2） 8．一个三角形和一个平行四边形等底等高，它们的面积之和是48平方厘米，那么三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】 【分析】本题考查三角形和平行四边形面积之间的关系。已知三角形和平行四边形等底等高，根据面积公式可知，平行四边形的面积是三角形面积的倍。将三角形的面积看作份，则平行四边形的面积为份，面积之和相当于三角形面积的倍，用总面积除以即可求出三角形的面积。 【详解】因为三角形和平行四边形等底等高， 所以平行四边形的面积是三角形面积的倍。 把三角形的面积看作份，平行四边形的面积是份，总面积是份。 三角形的面积： （平方厘米） 9．一个平行四边形，高是20厘米，底是15厘米，它的面积是( )平方厘米，与它等底等高的三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】 300 150 【分析】平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2。 【详解】（平方厘米） （平方厘米） 10．如图，已知平行四边形ABCD的面积为40cm2，那么图中阴影部分的面积是( )cm2。 【答案】 20 【分析】平行四边形对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形，阴影部分为其中一个三角形，即阴影部分三角形的面积＝平行四边形ABCD的面积÷2，代入数据即可得出结果。 【详解】40÷2＝20（） 11．将一张长方形纸按如图折叠，涂色部分的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。 【答案】 45 36 【详解】根据图意可知，大长方形的长是厘米，宽是5厘米，先计算出长方形的面积，减去两个底为5厘米，高为4厘米的直角三角形面积，即可求出阴影部分的面积。 原长方形的周长即为阴影部分的周长。 【解答】涂色部分的面积： （平方厘米） 涂色部分的周长 （厘米） 12．下图中，BC＝10厘米，EC＝10厘米，且三角形EFG的面积比阴影部分面积大2平方厘米。三角形BCE的面积是( )平方厘米，FC长( )厘米。 【答案】 50 4.8 【分析】根据三角形面积公式：，求出三角形BCE的面积，三角形BCE的面积由两部分组成：空白四边形GBCF和三角形EFG，平行四边形ABCD的面积由两部分组成：空白四边形GBCF和阴影部分，题目已知“三角形EFG的面积比阴影部分面积大2平方厘米”，可以比较三角形BCE和平行四边形ABCD的面积差，得出面积差为2平方厘米，据此求出平行四边形ABCD的面积；用平行四边形面积除以底即可求出FC的长度。 【详解】三角形BCE的面积： 10×10× ＝100× ＝50（平方厘米） 三角形BCE的面积－平行四边形ABCD的面积＝（空白四边形GBCF的面积＋三角形EFG的面积）－（空白四边形GBCF的面积＋阴影部分的面积）＝三角形EFG的面积－阴影部分的面积； 因为三角形EFG的面积－阴影部分的面积＝2，所以三角形BCE的面积－平行四边形ABCD的面积＝2； 平行四边形ABCD的面积：50－2＝48（平方厘米） FC的长度：48÷10＝4.8（厘米） 13．用4根小棒围成一个直角梯形（如图），这个梯形的高是( )厘米。从这4根小棒中拿走( )厘米长的小棒，剩下的3根不能围成一个三角形。 【答案】 7 13 【分析】从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。从图中可知：7cm的线段垂直于13cm的线段和16cm的线段，7cm的线段就是梯形的高。三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。 【详解】用4根小棒围成一个直角梯形（如图），这个梯形的高是7厘米。 若拿走7厘米长的小棒。13＋9＞16，可以围成一个三角形。 若拿走9厘米长的小棒。13＋7＞16，可以围成一个三角形。 若拿走13厘米长的小棒。9＋7＝16，不可以围成一个三角形。 若拿走16厘米长的小棒。9＋7＞13，可以围成一个三角形。 所以从这4根小棒中拿走13厘米长的小棒，剩下的3根不能围成一个三角形。 14．一个直角梯形的上底是，下底是，高是（如图）。这个梯形的一个钝角是( )°，这个梯形的面积是( )平方厘米 。 【答案】 135 37.5 【分析】（1）直角梯形的上底是，下底是，高是，这些数据结合所给的图，可知从直角梯形的上底右端点画出的高，把直角梯形分成一个边长正方形和一个腰长等腰直角三角形，等腰直角三角形中两个锐角都是，而正方形的四个角都是，所以这个梯形的一个钝角是； （2）那么这个梯形的面积可以根据梯形的面积公式：，去计算即可（也可以根据组合图形三角形的面积加正方形的面积去计算，，正方形面积＝边长×边长）。 【详解】（1）梯形的钝角为： （2）根据梯形面积公式计算面积： （平方厘米） 根据组合图形计算面积： （平方厘米） 所以这个梯形的面积是37.5平方厘米。 15．一个平行四边形的面积是24，底是6m，对应的高是( )m；与它等底等高的三角形面积是( )。 【答案】 4 12 【分析】根据平行四边形面积＝底×高，可得高＝面积÷底，求出对应的高；等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍，三角形面积＝平行四边形面积÷2。 【详解】高：24÷6＝4（m） 三角形面积：24÷2＝12（m2） 一个平行四边形的面积是24，底是6m，对应的高是4m；与它等底等高的三角形面积是12。 16．一个梯形的下底是上底的2倍，把这个梯形分成两个三角形，如果较小的三角形的面积是10cm2，那么这个梯形的面积是( )cm2。 【答案】30 【分析】由题可知，两个三角形的高相等，较大三角形的底是较小三角形的底的2倍，根据三角形的面积＝底×高÷2，较小三角形的面积×2＝较大三角形的面积，较小三角形的面积＋较大三角形的面积＝梯形的面积。 【详解】10×2＝20（cm2） 10＋20＝30（cm2） 17．计算下面平行四边形的面积。          【答案】3.6×2.4＝8.64（dm2）；6×5＝30（cm2）；1.5×3.5＝5.25（cm2） 【分析】根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算，求出平行四边形的面积。 【详解】 故平行四边形的面积为8.64dm2。 故平行四边形的面积为30cm2。 故平行四边形的面积为5.25cm2。 18．分别计算下面左边梯形面积及下面右边阴影部分的面积。（单位：米）              【答案】18平方米；108平方米 【分析】根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，将数据代入求出左边梯形面积即可； 上面右图的阴影部分面积，为一个平行四边形面积减去三角形面积，根据平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2，将数据代入计算即可。 【详解】由分析可得： 左图：（4＋8）×3÷2 ＝12×3÷2 ＝36÷2 ＝18（平方米） 右图： 18×12－18×12÷2 ＝216－216÷2 ＝216－108 ＝108（平方米） 19．计算下图中阴影部分的面积。 【答案】43平方厘米 【分析】阴影部分的面积＝大正方形面积＋小正方形面积－大三角形面积，正方形面积＝边长×边长，三角形面积＝底×高÷2，代数解答即可。 【详解】7×7＋4×4－（7＋4）×4÷2 ＝49＋16－11×4÷2 ＝49＋16－22 ＝65－22 ＝43（平方厘米） 20．计算下面各图形阴影部分的面积。 （1） （2） 【答案】（1）4.4平方分米 （2）84平方厘米 【分析】（1）阴影部分的面积等于长方形面积减去三角形面积，利用长方形面积公式：S＝ab，三角形面积公式：S＝ah÷2，计算即可； （2）阴影部分是平行四边形，先利用三角形面积公式：S＝ah÷2，求三角形的高，同时也是平行四边形的高，再利用平行四边形的面积公式：S＝ah，计算阴影面积即可。 【详解】（1）4×2.2－4×2.2÷2 ＝8.8－4.4 ＝4.4（平方分米） （2）96×2÷16×7 ＝12×7 ＝84（平方厘米） 21．如图，将三角形ABC的各边长都延长一倍至A＇、B＇、C＇三点，得到一个新的三角形A＇B＇C＇。若三角形ABC的面积是2，则三角形A＇B＇C＇的面积是多少？ 【答案】 14 【分析】利用“等底等高的三角形面积相等”这一性质，通过连接辅助线（、、），可以将新的大三角形分割成个面积相等的小三角形，每个小三角形的面积都等于原三角形的面积。已知三角形的面积是，据此即可求出三角形的面积。 【详解】 如图，连接、、。 因为三角形的各边长都延长一倍至、、， 所以，，。 对于和： 因为、、在一条直线上，且，这两个三角形等底（和）同高（顶点到所在直线的距离）， 所以。 对于和： 因为、、在一条直线上，且，这两个三角形等底（和）同高（顶点到所在直线的距离）， 所以。 同理可得： ， ， ， 。 综上，三角形被分割成了个面积相等的小三角形，每个小三角形的面积都是。 答：三角形的面积是。 22．智慧农业基地有一个平行四边形的智能温室，用于种植有机蔬菜。已知温室地面的底边长是32米，高是底边长的1.5倍，这个智能温室的种植面积是多少平方米？ 【答案】1536平方米 【分析】先根据“高是底边长的1.5倍”，用底边长乘1.5求出高的长度，再根据平行四边形面积：面积＝底×高，用底边长乘求出的高，即可求出温室的种植面积。 【详解】32×（32×1.5） ＝32×48 ＝1536（平方米） 答：这个智能温室的种植面积是1536平方米。 23．学校为了给同学们提供更多的劳动场所，开辟了一块向日葵种植基地（如下图），如果每平方米土地可以种植8棵向日葵，这块种植基地可以种植向日葵多少棵？ 【答案】棵 【分析】观察发现基地为上底米，下底米，高米的梯形。根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷求出种植基地面积。因为每平方米土地可以种植棵向日葵，用面积乘可以算出向日葵的棵数。 【详解】 （棵） 答：这块种植基地可以种植向日葵棵。 24．一块梯形稻田中间有一条平行四边形小路（如图） (1)这块稻田种水稻的面积是多少平方米？ (2)如果每平方米大约收获0.8千克稻谷，那么这块稻田大约收获多少千克稻谷？ 【答案】(1)352.5平方米 (2)282千克 【分析】（1）稻田的面积等于上底是14米，下底是36米、高是15米的梯形面积减去底是1.5米，高是15米的平行四边形面积，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，代入数据，即可解答； （2）用这块稻田种水稻的面积乘0.8即可求出这块稻田大约收获多少千克稻谷。 【详解】（1）（14＋36）×15÷2－1.5×15 ＝50×15÷2－22.5 ＝750÷2－22.5 ＝375－22.5 ＝352.5（平方米） 答：这块稻田种水稻的面积是352.5平方米。 （2）352.5×0.8＝282（千克） 答：这块稻田大约收获282千克稻谷。 25．我国是世界上第一个成功研发和推广杂交水稻的国家。杂交水稻试验基地有一块平行四边形试验田（如图），中间有一条垂直于试验田底边的小路，这条小路宽1米，面积是9平方米，在其余部分种上水稻，种水稻面积是多少平方米？ 【答案】135平方米 【分析】种水稻的面积等于平行四边形试验田的面积减去小路的面积，中间有一条垂直于试验田底边的小路，所以小路的形状是长方形，小路的长等于平行四边形的高。根据：，求出小路的长，根据：，算出平行四边形试验田的面积，即可求得。 【详解】（米） （平方米） （平方米） 答：种水稻面积是135平方米。 26．广告公司制作一块三角形广告牌（如图所示）。工人师傅要用油漆粉刷这块广告牌的正面，每平方米用油漆0.75千克，刷这块广告牌至少要用油漆多少千克？ 【答案】12.75千克 【分析】由图可知：三角形广告牌的底是10米，高是3.4米，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入底和高的数值，求出广告牌的面积；再用算出的面积乘每平方米的用漆量，即可求出刷这块广告牌需要的油漆总量。 【详解】10×3.4÷2 ＝34÷2 ＝17（平方米） 17×0.75＝12.75（千克） 答：刷这块广告牌至少要用油漆12.75千克。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 多边形的面积 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、平行四边形的面积 2 1. 面积推导：转化思想 2 2. 面积公式 2 3. 核心规律 2 二、三角形的面积 2 1. 面积推导：拼摆法 2 2. 面积公式 3 3. 变形公式 3 4. 核心规律 3 三、梯形的面积 3 1. 面积推导：拼摆法 3 2. 面积公式 3 3. 变形公式 3 四、组合图形的面积 3 1. 定义 3 2. 两种基本计算方法 4 3. 解题原则 4 五、面积单位与换算 4 1. 常用面积单位 4 2. 单位进率 4 3. 换算方法 4 六、易错点总结 4 考点讲练 5 考点一：比较图形的面积 5 考点二：认识底和高 6 考点三：平行四边形的面积 7 考点四：三角形的面积 8 考点五：梯形的面积 10 综合训练 11 知识梳理 一、平行四边形的面积 1. 面积推导：转化思想 通过割补法将平行四边形转化为长方形：沿平行四边形的一条高剪开，通过平移可以拼成一个长方形。 拼成的长方形的长 = 平行四边形的底 拼成的长方形的宽 = 平行四边形的高 长方形面积 = 长 × 宽，因此平行四边形面积 = 底 × 高 2. 面积公式 表示面积， 表示底， 表示对应底边上的高。 3. 核心规律 底和高必须一一对应，平行四边形有两组不同的底和高。 等底等高的平行四边形，面积一定相等；但面积相等的平行四边形，不一定等底等高。 平行四边形拉伸变形时，周长不变，高变化，面积随之变化。 二、三角形的面积 1. 面积推导：拼摆法 用两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。 拼成的平行四边形的底 = 三角形的底 拼成的平行四边形的高 = 三角形的高 每个三角形的面积 = 拼成的平行四边形面积的一半 2. 面积公式 表示底， 表示对应底边上的高。 3. 变形公式 已知面积和底，求高： 已知面积和高，求底： 4. 核心规律 等底等高的三角形，面积一定相等，但形状不一定相同。 等底等高时，三角形面积是平行四边形面积的一半，平行四边形面积是三角形面积的 2 倍。 三、梯形的面积 1. 面积推导：拼摆法 用两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。 拼成的平行四边形的底 = 梯形的上底 + 下底 拼成的平行四边形的高 = 梯形的高 每个梯形的面积 = 拼成的平行四边形面积的一半 2. 面积公式 表示上底， 表示下底， 表示梯形的高。 3. 变形公式 已知面积和上下底之和，求高： 已知面积、高和其中一个底，求另一个底： 四、组合图形的面积 1. 定义 由平行四边形、三角形、梯形、长方形等基本图形组合而成的图形，叫做组合图形。 2. 两种基本计算方法 分割法（求和法）：把组合图形分割成几个基本图形，分别计算每个基本图形的面积，再相加得到总面积。 适用：图形由几个明显的基础图形拼接而成。 添补法（求差法）：给组合图形补上一部分，使其变成一个大的基本图形，用大图形面积减去补上的空白部分面积，得到原图形面积。 适用：图形有凹陷、空缺，补全后更易计算。 3. 解题原则 分割或添补后的图形越少、越简单，计算越简便，尽量避免复杂分割。 五、面积单位与换算 1. 常用面积单位 平方厘米（）、平方分米（）、平方米（）、公顷（）、平方千米（）。 2. 单位进率 相邻常用面积单位进率为 100： 平方分米 平方厘米 平方米 平方分米 土地面积特殊进率： 公顷 平方米 平方千米 公顷 平方米 3. 换算方法 高级单位化低级单位：乘进率；低级单位化高级单位：除以进率。 六、易错点总结 计算三角形、梯形面积时，忘记除以 2，导致结果是正确值的 2 倍。 底和高不对应，误用不匹配的底和高计算面积。 逆用公式求高或底时，忘记先把面积乘 2，直接用面积除以底。 面积单位换算时记错进率，尤其容易混淆 “公顷与平方米” 的进率。 组合图形分割时，重复计算重叠部分或遗漏边缘部分。 误认为 “面积相等的三角形形状一定相同”，等底等高仅保证面积相等。 考点讲练 考点一：比较图形的面积 【典例精讲】看图回答问题。（填序号） (1)与图形①面积相等的有图形( )。 (2)图形⑦与图形⑧可以拼成图形( )。 (3)图形⑨可以由图形( )与图形( )拼成。 【变式训练】如下图，最左面的长方形少了一角，补上图形( )就可以使长方形变得完整。（填序号） 【变式训练】仔细观察并回答问题。 (1)( )号图形的面积最大，( )号图形的面积最小。 (2)②号图形可以由两个( )号图形组合而成。 (3)将④号图形按图中割补后，形状( )，面积( )周长( )。（填“改变”或“不变”） 【变式训练】如图，下左边长方形少了一块，你认为补上图形( )就能使这个长方形完整了。 考点二：认识底和高 【典例精讲】画出下面图形底边上的高。 【变式训练】在下面的方格纸上分别画一个底是6厘米、高是5厘米的三角形和平行四边形，并分别画出它们的一条高。（每个小正方形的边长均是1厘米） 【变式训练】根据下面每个图形标出的底，分别画出高。 【变式训练】在点子图上分别画出一个直角三角形、一个钝角三角形和一个等腰三角形，并画出每个三角形的一条高。 考点三：平行四边形的面积 【典例精讲】请利用图示、文字表示出平行四边形面积计算公式的推导过程。 【变式训练】要制作一块平行四边形的广告牌，它的底是4.5米，高是3米。制造厂家报价1080元，每平方米的造价是多少元？ 【变式训练】一块平行四边形的菜园，底是120米，高是80米，共收了120000千克蔬菜，平均每平方米可以收多少千克蔬菜？ 【变式训练】刘阿姨家装修需要买一块平行四边形的镜子（如图：单位为“米”），如果每平方米镜子的价钱是40元，买这块镜子需要多少钱？ 考点四：三角形的面积 【典例精讲】十月秋高气爽，是露营的好季节，小明和小亮两家打算网购一顶帐篷去北山顶露营，在挑选帐篷时，网店上有如下数据：已知帐篷的一个面是三角形，它的面积和底如图所示，它的高是多少呢？ 【变式训练】如下图是笑笑家的小菜园，左边的平行四边形地种西红柿，底边长12米，右边三角形地种辣椒，底边长6米，面积是30平方米，种西红柿的面积是多少平方米？ 【变式训练】如图，三角形的一条底长1.2厘米，这个底对应的高是1.4厘米。另一条底长1.5厘米，它对应的高是多少厘米？ 【变式训练】老师拿来一张长0.6米、宽40厘米的红纸，用来剪一些两条直角边长都是4厘米的三角形小红旗，这张红纸最多可以剪多少面小红旗？ 考点五：梯形的面积 【典例精讲】某学校有一块梯形宣传栏展示学生的艺术作品。这块梯形宣传栏的上底是13米，下底是15米，高是2米。粉刷这块宣传栏共用油漆56千克（只刷一面），平均每平方米用多少千克油漆？ 【变式训练】李师傅用长240米的篱笆围了一个等腰梯形的花坛（如图），李师傅只量得梯形的高与其中一条腰的长度就很快算出了这个花坛的面积。请你也算一算，这个花坛的面积是多少平方米？ 【变式训练】一条水渠的横截面是一个梯形，渠口宽2.6米，渠底宽1.7米，渠深1.6米。横截面的面积是多少平方米？ 【变式训练】园林叔叔用35米长的篱笆靠墙围成一块梯形的花坛，如图，这块梯形花坛的面积是多少？ 综合训练 1．如图，平行线间三个涂色图形的面积关系是（    ）。 A．三角形面积最大 B．梯形面积最大 C．平行四边形面积最大 D．面积都相等 2．把一个平行四边形花坛分成4个三角形区域（如图），分别种上月季、羽衣甘蓝、金盏菊、三色堇，它们的种植面积相比，（    ）。 A．羽衣甘蓝的面积比金盏菊大 B．月季的面积比三色堇大 C．月季和三色堇的面积相等 D．无法比较 3．图中阴影部分的面积约是（    ）平方厘米。 A．7 B．8 C．9 D．10 4．下图中，两个阴影部分的面积相比，（    ）。 A．甲＝乙 B．甲＞乙 C．甲＜乙 D．无法确定 5．七巧板是中国古代劳动人民的发明，蕴含着丰富的数学知识。下图是用七巧板拼成的边长为20cm的正方形，那么涂色部分的面积是（    ）。 A．20cm2 B．30cm2 C．40cm2 D．50cm2 6．小华制作了一个三角形卡片学具，它的面积是15平方厘米，底是6厘米，这条底对应的高是（    ）厘米。 A．2.5 B．9 C．4 D．5 7．有6cm、8cm、10cm和19cm的小棒各一根，从中选出三根，恰好可以围成一个直角三角形，这个直角三角形的面积是( )cm2。 8．一个三角形和一个平行四边形等底等高，它们的面积之和是48平方厘米，那么三角形的面积是( )平方厘米。 9．一个平行四边形，高是20厘米，底是15厘米，它的面积是( )平方厘米，与它等底等高的三角形的面积是( )平方厘米。 10．如图，已知平行四边形ABCD的面积为40cm2，那么图中阴影部分的面积是( )cm2。 11．将一张长方形纸按如图折叠，涂色部分的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。 12．下图中，BC＝10厘米，EC＝10厘米，且三角形EFG的面积比阴影部分面积大2平方厘米。三角形BCE的面积是( )平方厘米，FC长( )厘米。 13．用4根小棒围成一个直角梯形（如图），这个梯形的高是( )厘米。从这4根小棒中拿走( )厘米长的小棒，剩下的3根不能围成一个三角形。 14．一个直角梯形的上底是，下底是，高是（如图）。这个梯形的一个钝角是( )°，这个梯形的面积是( )平方厘米 。 15．一个平行四边形的面积是24，底是6m，对应的高是( )m；与它等底等高的三角形面积是( )。 16．一个梯形的下底是上底的2倍，把这个梯形分成两个三角形，如果较小的三角形的面积是10cm2，那么这个梯形的面积是( )cm2。 17．计算下面平行四边形的面积。          18．分别计算下面左边梯形面积及下面右边阴影部分的面积。（单位：米）              19．计算下图中阴影部分的面积。 20．计算下面各图形阴影部分的面积。 （1） （2） 21．如图，将三角形ABC的各边长都延长一倍至A＇、B＇、C＇三点，得到一个新的三角形A＇B＇C＇。若三角形ABC的面积是2，则三角形A＇B＇C＇的面积是多少？ 22．智慧农业基地有一个平行四边形的智能温室，用于种植有机蔬菜。已知温室地面的底边长是32米，高是底边长的1.5倍，这个智能温室的种植面积是多少平方米？ 23．学校为了给同学们提供更多的劳动场所，开辟了一块向日葵种植基地（如下图），如果每平方米土地可以种植8棵向日葵，这块种植基地可以种植向日葵多少棵？ 24．一块梯形稻田中间有一条平行四边形小路（如图） (1)这块稻田种水稻的面积是多少平方米？ (2)如果每平方米大约收获0.8千克稻谷，那么这块稻田大约收获多少千克稻谷？ 25．我国是世界上第一个成功研发和推广杂交水稻的国家。杂交水稻试验基地有一块平行四边形试验田（如图），中间有一条垂直于试验田底边的小路，这条小路宽1米，面积是9平方米，在其余部分种上水稻，种水稻面积是多少平方米？ 26．广告公司制作一块三角形广告牌（如图所示）。工人师傅要用油漆粉刷这块广告牌的正面，每平方米用油漆0.75千克，刷这块广告牌至少要用油漆多少千克？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $