4.5.2用二分法求方程的近似解同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦二分法概念与应用，通过基础认知、技能操作、综合应用三层设计，实现从概念理解到实际问题解决的递进，培养数学抽象、运算推理与模型应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|二分法概念辨析|以选择、多选题（如1-3题）辨析适用条件与原理，强化数学抽象能力| |技能操作层|近似解计算步骤|通过零点区间判断、精确度控制（如5-9题）巩固二分法操作流程，提升运算推理能力| |综合应用层|实际问题解决|结合函数零点存在性证明、生活情境（如第17题线路故障检测），发展模型意识与应用能力|

4.5.2　用二分法求方程的近似解 考点一　二分法的概念 1.下列关于二分法的叙述,正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.用二分法可以求所有函数零点的近似值 B.用二分法求方程近似解时,可以精确到小数点后任一数字 C.二分法无规律可寻,无法在计算机上进行 D.二分法只用于求方程的近似解 2.下列函数中不能用二分法求零点的是 (　 ) A.y=3x+1 B.y=x3 C.y=x2 D.y=ln x 3.(多选题)以下每个图象表示的函数都有零点,其中能用二分法求函数零点的是 (　 ) 考点二　用二分法求方程的近似解 4.[2026·广东佛山石门中学高一期中] 用二分法求函数零点时,得到的零点 (　 ) A.一定是近似值 B.一定不是近似值 C.一定不是准确值 D.可以是准确值 5.用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点,精确度为0.001,则结束计算的条件是 (　 ) A.|a-b|<0.1 B.|a-b|<0.001 C.|a-b|>0.001 D.|a-b|=0.001 6.用二分法研究函数f(x)=x3-2x+2的零点时,通过计算得f(-1)>0,f(-2)<0,则下一步应考查的区间为 (　 ) A. B. C. D. 7.已知f(2009)<0,f(2010)<0,f(2011)>0,则下列叙述正确的是 (　 ) A.函数f(x)在(2010,2011)内不存在零点 B.函数f(x)在(2009,2010)内不存在零点 C.函数f(x)在(2010,2011)内存在零点,并且仅有一个 D.函数f(x)在(2009,2010)内可能存在零点 8.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如表:那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.04)为 (　 ) x 1 1.5 1.25 1.375 1.437 5 1.406 25 f(x) -2 0.625 -0.984 -0.260 0.162 -0.054 A.1.5 B.1.25 C.1.375 D.1.437 5 9.已知函数f(x)=x-4log2x,用二分法求函数f(x)在区间[1,3]上零点的近似值,第一次计算f(1),f(3)的值,第二次计算f(x1)的值,第三次计算f(x2)的值,则x2=　　　　.  10.用二分法求方程x2=2x+1在(2,3)内的一个近似解(精确度为0.1). 11.用二分法求函数f(x)=ex-x-2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时,依次计算得到如下数据:f(1)≈-0.28,f(1.5)≈0.98,f(1.25)≈0.24,f(1.125)≈-0.04,关于下一步的说法正确的是 (　 ) A.已经达到精确度的要求,可以取1.1作为近似值 B.已经达到精确度的要求,可以取1.125作为近似值 C.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.187 5) D.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.062 5) 12.[2026·湖南娄底高一期中] 若在用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+2-2x(x>0)的零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为[a,b],,,则实数a和b分别为 (　 ) A.1,2 B.1, C.,2 D.2,3 13.(多选题)关于函数f(x)=lg x+x-2的零点,下列说法正确的是 (　 ) (参考数据:lg 1.5≈0.176,lg 1.625≈0.211,lg 1.75≈0.243,lg 1.812 5≈0.258,lg 1.875≈0.273,lg 1.937 5≈0.287) A.函数f(x)的零点个数为1 B.函数f(x)的零点个数为2 C.用二分法求函数f(x)的一个零点的近似值可取1.8(精确度为0.1) D.用二分法求函数f(x)的一个零点的近似值可取1.9(精确度为0.1) 14.已知函数f(x)=x3-2x+2在区间(-2,0)内存在唯一的零点x0,在利用二分法求x0的近似值时(精确度为0.1),计算过程如下表: 零点所在区间 中点的值 中点的函数值 (-2,0) -1 3 (-2,-1) - - 计算到表格中的最后一步可进一步推断零点x0所在区间为　　　　　.  15.已知函数f(x)=2x-在区间(1,2)上有一个零点x0,如果用二分法求x0的近似值(精确度为0.01),则应将区间(1,2)等分的次数为　　　　.  16.已知函数f(x)=ln x+2x-6. (1)证明:f(x)有且只有一个零点x0; (2)用二分法求x0所在的一个区间,使这个区间的长度不大于. 17. 在一个风雨交加的夜晚,从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障,这是一条长为10 km的线路,设计一个能迅速查出故障所在的方案,维修线路的工人师傅最多检测几次就能找到故障地点所在区域(精确到100 m范围内)? 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5.2　用二分法求方程的近似解 1.B　[解析] 对于A,用二分法只可以求左右函数值异号的零点的近似值,故A错误;对于B,根据“二分法”求函数零点的方法要求,用二分法求方程近似解时,可以精确到小数点后任一数字,故B正确;对于C,二分法有规律可寻,可在计算机上进行,故C错误;对于D,二分法也可用于求方程的准确解,故D错误.故选B. 2.C　[解析] 易知函数y=x2的零点为0,而在零点左右两侧的函数值符号都为正,不是异号的,故不能用二分法求函数的零点;而选项A,B,D中的函数,它们在各自的零点左右两侧的函数值都是异号的,可以用二分法求函数的零点.故选C. 3.ABD　[解析] 当函数的图象在x轴的同一侧时,不能用二分法进行求解.选项A,B,D的图象均在x轴的两侧,可用二分法求解,只有选项C的图象在x轴的同一侧,不能用二分法求解.故选ABD. 4.D　[解析] 用二分法得到的零点可能是准确值,也可能是近似值.故选D. 5.B　[解析] 根据二分法的步骤知,当区间长度|a-b|小于精确度时,便可结束计算,即当|a-b|<0.001时,便可结束计算.故选B. 6.C　[解析] 依题意得,f=-2×+2=>0,所以下一步应考查的区间为.故选C. 7.D　[解析] 因为f(2009)<0,f(2010)<0,f(2011)>0,所以f(2009)·f(2010)>0,f(2010)·f(2011)<0,所以f(x)在(2009,2010)内可能存在零点,也可能不存在零点,在(2010,2011)内至少有一个零点.故选D. 8.D　[解析] 由表格可知,方程x3+x2-2x-2=0的近似根在(1,1.5),(1.25,1.5),(1.375,1.5),(1.375,1.437 5),(1.406 25,1.437 5)内,因为1.437 5-1.406 25=0.031 25<0.04,所以方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.04)为1.437 5.故选D. 9.　[解析] 由题得f(1)=1>0,f(3)=3-4log23<3-4=-1<0,则x1==2,又f(2)=2-4log22<0,所以f(x)的零点位于(1,2)内,所以x2=. 10.解:设f(x)=x2-2x-1, 因为f(2)=-1<0,f(3)=2>0,f(x)在区间(2,3)内单调递增,所以在区间(2,3)内,方程x2-2x-1=0有唯一的实数根x0. 取x1==2.5,则f(x1)=2.52-2×2.5-1=0.25>0,因为f(2)f(2.5)<0,所以x0∈(2,2.5). 取x2==2.25, 则f(x2)=2.252-2×2.25-1=-0.437 5<0, 因为f(2.25)f(2.5)<0,所以x0∈(2.25,2.5). 取x3==2.375,则f(x3)=2.3752-2×2.375-1=-0.109 375<0, 因为f(2.375)f(2.5)<0,所以x0∈(2.375,2.5). 取x4==2.437 5,则f(x4)=2.437 52-2×2.437 5-1≈0.066>0,所以f(2.375)f(2.437 5)<0,所以x0∈(2.375,2.437 5). 因为|2.375-2.437 5|=0.062 5<0.1,所以方程x2=2x+1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5. 11.C　[解析] 由二分法的定义,可得正零点所在区间不断缩小,(1,1.5)→(1,1.25)→(1.125,1.25),因为|1.125-1.25|=0.125>0.1,所以没有达到精确度的要求,应该接着计算f=f(1.187 5).故选C. 12.A　[解析] ∵b-<b,∴解得故选A. 13.AC　[解析] 易知函数f(x)=lg x+x-2在(0,+∞)上单调递增,因为f(1.5)=lg 1.5+1.5-2≈0.176+1.5-2=-0.324<0,f(2)=lg 2+2-2=lg 2>0,所以函数f(x)只有1个零点,且函数f(x)在(1.5,2)内有零点,又f(1.75)=lg 1.75+1.75-2≈0.243+1.75-2=-0.007<0,所以函数f(x)在(1.75,2)内有零点,又f(1.875)=lg 1.875+1.875-2≈0.273+1.875-2=0.148>0,所以函数f(x)在区间(1.75,1.875)内有零点,又f(1.812 5)=lg 1.812 5+1.812 5-2≈0.258+1.812 5-2=0.070 5>0,所以函数f(x)在区间(1.75,1.812 5)内有零点,因为|1.75-1.812 5|=0.062 5<0.1,所以函数f(x)的零点的近似值可取1.8.故选AC. 14.　[解析] 因为f(-2)=(-2)3-2×(-2)+2=-2<0,f>0,所以可进一步推断零点x0所在区间为. 15.7　[解析] 由于每等分一次,零点所在区间的长度变为原来的,则等分n(n∈N*)次后的区间长度变为原来的,因为>0.01,<0.01,所以等分的次数为7. 16.解:(1)证明:令x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=ln+2(x1-x2), ∵>1,x1-x2>0,∴f(x1)-f(x2)>0, ∴f(x1)>f(x2),即f(x)=ln x+2x-6在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)至多有一个零点. 又f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0, ∴f(2)f(3)<0,∴f(x)在(2,3)内有一个零点, ∴f(x)有且只有一个零点x0. (2)由(1)知f(2)<0,f(3)>0,取x1==,则f=ln-1<0, ∴f(3)f<0,∴x0∈. 取x2==,则f=ln->0, ∴ff<0,∴x0∈, ∵=,∴满足题意的区间可以为. 17.解:如图,工人师傅首先从中点C检测,用随身带的话机向两端测试,发现AC段正常,可见故障在BC段, 再从线段BC的中点D检测,发现BD段正常,可见故障在CD段,再从CD段的中点E检测…… 由此类推,每检测一次,可以把待检测的线路长度缩减一半,则经过n次检测,所剩线路的长度为 m, 由题得≤100,即2n≥100, 因为26=64,27=128,所以最多检测7次就能找到故障地点所在区域. 学科网（北京）股份有限公司 $