4.3.2 对数的运算 第2课时换底公式同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学换底公式新授课同步练，以考点分层（基础计算、综合运算、方程应用）构建从单一到综合的巩固路径，适配新授课“基础+提升”需求，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|换底公式基本计算与表示|第1-4题直接考查公式应用，如用lg2,lg3表示log₂9，强化概念理解| |中档层|对数式综合运算|第7题连乘对数化简（log₂3·log₃4…log₅2），提升运算推理能力| |综合层|对数方程与实际应用|第15题结合年增长率求解绿化面积问题，体现模型意识与应用能力|

第2课时　换底公式 1.C　[解析] lg 2×log810=lg 2×=lg 2×=lg 2×=.故选C. 2.A　[解析] 因为log2a===m,所以loga2=. 3.2　[解析] 由4x=9y=6,得x=log46,y=log96,所以+=+=log64+log69=log636=2. 4.解:∵lg 2=a,lg 3=b, ∴log29==,log1225=====. 5.B　[解析] ∵=log25,∴m==log52,∴25m+5-m=52m+=+=4+=.故选B. 6.6　[解析] ∵log38×log23=3log32×log23=3,=2,(1-π)0=1,∴log38×log23++(1-π)0=3+2+1=6. 7.解:(1)log23·log34·log45·log52=···=1. (2)+log43×log38=2+log23×3log32=2+=. (3)原式== =log2×log5=×=×=. 8.A　[解析] ∵log23×log36m×log96=××=××==log2m=,∴log2m=2,∴m=4.故选A. 9.D　[解析] ∵logx4=2logx2=,∴logx4-log2x=-log2x=1,即(log2x)2+log2x-2=0,解得log2x=-2或log2x=1,∴x=或x=2,又0<x<1,∴x=.故选D. 10.解:令t=loga2,t>0, 因为loga8×loga2=loga23×loga2=3, 1-loga4=1-loga22=1-2loga2, 所以3t2=1-2t,解得t=或t=-1(舍去), 所以loga2=,解得a=8. 11.C　[解析] 由换底公式得log27=log23·log37=mn,则log72=,又log4256=log42(7×8)=log427+log428,其中log427=====,log428=3log422===,所以log4256=+=.故选C. 12.D　[解析] 因为logab+4logba=4,所以logab+=4,则(logab)2-4logab+4=0,即(logab-2)2=0,所以logab=2,所以a2=b,所以==.故选D. 13.ABD　[解析] 由题意知a=log315=1+log35,b=log515=1+log53,所以=+=log153+log155=1,即a+b=ab.对于A,B,因为a+b=2+log35+>2+2=4,所以a+b=ab>4,所以A,B均正确;对于C,a2+b2=(a+b)2-2ab=(ab)2-2ab=(ab-1)2-1>8,所以C不正确;对于D,(a+1)2+(b+1)2=a2+b2+2(a+b)+2=(ab)2+2>18>16,所以D正确.故选ABD. 14.1　[解析] +++…+=logA2+logA3+logA4+…+logA2026=logA(2×3×4×…×2026)=logAA=1. 15.2030　[解析] 设经过n年后,该校的绿化面积约是5a m2,则由已知得a(1+50%)n≈5a,n∈N*,即≈5,n∈N*,两边取对数得n≈lo5==≈=≈4,又2026+4=2030,所以到2030年,该校的绿化面积约是5a m2. 16.　[解析] 方法一:因为a,b是方程2(ln x)2-3ln x+1=0的两个实数根,所以由根与系数的关系得ln a·ln b=,ln a+ln b=,则logab+logba=+=== -2=,即logab+logba=. 方法二:令t=ln x,由2t2-3t+1=0,解得t=1或t=,不妨设ln a=1,ln b=,则a=e,b=,所以logab+logba=loge+loe=+2=. 17.解:因为logba·log2a+logcb·log2b+logac·log2c=++ =++≥++=log2a+log2b+log2c=log2(abc)=log28=3,当且仅当loga2=logb2=logc2时取等号,所以k≤3,故实数k的最大值为3. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　换底公式 考点一　换底公式的计算与表示 1.lg 2×log810的值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.3 B.log310 C. D.lg 3 2.设实数a满足log2a=m(a>0且a≠1),则loga2= (　 ) A. B. C.4m D.8m 3.[2026·广东珠海实验中学高一月考] 若4x=9y=6,则+=　　　　.  4.已知lg 2=a,lg 3=b,试用a,b表示log29,log1225. 考点二　对数式的运算 5.若=log25,则25m+5-m的值为 (　 ) A. B. C. D. 6.[2026·四川达州中学高一期末] 求值:log38×log23++(1-π)0=　　　　.  7.求值: (1)log23·log34·log45·log52; (2)+log43×log38; (3)(log25+log40.2)(log52+log250.5). 考点三　对数方程的求解 8.若log23×log36m×log96=,则实数m的值为 (　 ) A.4 B.6 C.9 D.12 9.已知实数x满足0<x<1,且logx4-log2x=1,则x= (　 ) A.2 B. C.4 D. 10.已知a>1,且loga8×loga2=1-loga4,求实数a的值. 11.已知log23=m,log37=n,则log4256用m,n表示为 (　 ) A. B. C. D. 12.已知logab+4logba=4,则的值为 (　 ) A.4 B.2 C.1 D. 13.(多选题)已知3a=5b=15,则下列关于a,b的关系式中正确的是 (　 ) A.ab>4 B.a+b>4 C.a2+b2<4 D.(a+1)2+(b+1)2>16 14.记A=1×2×3×…×2026,则+++…+=　　　　　.  15.已知某所大学2026年的绿化面积为a m2,若该校绿化面积的年平均增长率为50%,则到　　　　年(用整数年份表示),该校的绿化面积约是5a m2.(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)  16.已知a,b是方程2(ln x)2-3ln x+1=0的两个实数根,则logab+logba=　　　　.  17.已知a>1,b>1,c>1,且abc=8,若logba·log2a+logcb·log2b+logac·log2c≥k恒成立,求实数k的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $