4.4.3不同函数增长的差异1-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数增长差异，分层设计从概念辨析到实际建模，通过梯度化题型培养数学眼光与应用意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|单一函数增长特性|选择1-3辨析指数、对数、幂函数增长速度，夯实概念理解| |综合应用|多函数比较与图像分析|选择4-8结合数据拟合（如表格数据）、参数范围及图像判断，发展逻辑推理| |实践拓展|实际问题建模|解答12-14通过投资方案、零花钱预测等情境，培养数学建模与数据应用能力|

不同函数增长的差异1 1、 选择题 1．【2026·河北石家庄高一期末】下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　) A．y＝ex　　　　 B．y＝ln x C．y＝2x D．y＝e－x 2．【2026·河南·专题练习】y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有(　　) A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1 3．【2026·天津高一期末】在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表． x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －1.01 0.01 0.98 2.00 则x，y最合适的函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 4．【2025-2026·吉林四平月考】当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　) A．(，2) B．(1，) C． D． 5.【2026·河南·专题练习】某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长，要增长到原来的倍，需经过年，则函数的图象大致为(　　) A． B． C． D． 6．【2025-2026·吉林四平月考】为了能在规定时间T内完成预期的运输量Q0，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如图(四个选项)所示，其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的选项是(　　) 7．【2026·河北石家庄高一期末】如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是(　　) 8．(多选)【2026·天津高一期末】下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中正确的是(　　) A．这几年生活水平逐年得到提高 B．生活费收入指数增长最快的一年是2016年 C．生活价格指数上涨速度最快的一年是2017年 D．虽然2018年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善 2、 填空题 9．【2025-2026·吉林四平月考】某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案． 10．【2026·河北石家庄高一期末】如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象．有以下叙述： ①第4个月时，剩留量就会低于； ②每月减少的有害物质量都相等； ③若剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3. 其中所有正确叙述的序号是________． 11．【2026·天津高一期末】下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________． ①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50. 三、解答题 12.【2026·河南·专题练习】函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f与g，f(2 019)与g(2 019)的大小． 13.【2026·天津高一期末】小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据： x/月份 2 3 4 5 6 … y/元 1.40 2.56 5.31 11 21.30 … 小明选择了模型y＝x，他的同学却认为模型y＝更合适． (1)你认为谁选择的模型较好？并简单说明理由； (2)试用你认为较好的数学模型来分析大约在几月份小学生的平均零花钱会超过100元？(参考数据lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1) 14.【2026·河南·专题练习】每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动.某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,有两种方案如下: 方案一:每年植树1万平方米; 方案二:每年树木面积比上年增加9%. 你觉得哪个方案较好? 学科网（北京）股份有限公司 $ 不同函数增长的差异1 1、 选择题 1．【2026·河北石家庄高一期末】下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　) A．y＝ex　　　　 B．y＝ln x C．y＝2x D．y＝e－x 【答案】A 【解析】结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确． 2．【2026·河南·专题练习】y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有(　　) A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1 【答案】B 【解析】在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3. 3．【2026·天津高一期末】在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表． x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －1.01 0.01 0.98 2.00 则x，y最合适的函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 【答案】D 【解析】根据x＝0.50，y＝－1.01，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D. 4．【2025-2026·吉林四平月考】当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　) A．(，2) B．(1，) C． D． 【答案】C 【解析】当0＜x≤时，函数y＝4x的图象如图所示，若不等式4x＜logax恒成立，则y＝logax的图象恒在y＝4x的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y＝logax的图象与y＝4x的图象交于点时，a＝，故虚线所示的y＝logax的图象对应的底数a应满足＜a＜1，故选C. ] 5.【2026·河南·专题练习】某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长，要增长到原来的倍，需经过年，则函数的图象大致为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，函数解析式为 y=1.104x，（x＞0）函数为指数函数，底数1.104＞1递增，选B 6．【2025-2026·吉林四平月考】为了能在规定时间T内完成预期的运输量Q0，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如图(四个选项)所示，其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的选项是(　　) 【答案】B 【解析】由题意，运输效率逐步提高，即函数增长速率逐渐加快，选项B满足． 7．【2026·河北石家庄高一期末】如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是(　　) 【答案】B 【解析】开始的一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后水槽中水面上升速度先快后慢，与B图象相吻合． 8．(多选)【2026·天津高一期末】下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中正确的是(　　) A．这几年生活水平逐年得到提高 B．生活费收入指数增长最快的一年是2016年 C．生活价格指数上涨速度最快的一年是2017年 D．虽然2018年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善 【答案】ABD 【解析】由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故A正确；“生活费收入指数”在2016～2017年最陡，故B正确；“生活价格指数”在2017～2018年最平缓，故C不正确；“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故D正确． 2、 填空题 9．【2025-2026·吉林四平月考】某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案． 【答案】乙、甲、丙　 【解析】将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出． 10．【2026·河北石家庄高一期末】如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象．有以下叙述： ①第4个月时，剩留量就会低于； ②每月减少的有害物质量都相等； ③若剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3. 其中所有正确叙述的序号是________． 【答案】①③ 【解析】根据题意，函数的图象经过点，故函数为 令时，，故①正确； 令时，，减少，当时，减少，每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；分别令，解得 t1＋t2＝t3故③正确； 11．【2026·天津高一期末】下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________． ①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50. 【答案】①　【解析】结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①.] 三、解答题 12.【2026·河南·专题练习】函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f与g，f(2 019)与g(2 019)的大小． 【解析】 (1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2) 从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)， ∴f＜g； 当x＞2时，f(x)＞g(x)， ∴f(2 019)＞g(2 019)． 13.【2026·天津高一期末】小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据： x/月份 2 3 4 5 6 … y/元 1.40 2.56 5.31 11 21.30 … 小明选择了模型y＝x，他的同学却认为模型y＝更合适． (1)你认为谁选择的模型较好？并简单说明理由； (2)试用你认为较好的数学模型来分析大约在几月份小学生的平均零花钱会超过100元？(参考数据lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1) 【解析】 (1)根据表格提供的数据，画出散点图，并结合y＝x及y＝的图象(如图所示)，观察可知，这些点基本都落在y＝的图象上或附近，因此用y＝这一模型更符合． (2)当＝100时，2x＝300. 则x＝log2300＝＝≈8.230. 所以x＝9. 所以大约在9月份小学生的平均零花钱会超过100元. 14.【2026·河南·专题练习】每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动.某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,有两种方案如下: 方案一:每年植树1万平方米; 方案二:每年树木面积比上年增加9%. 你觉得哪个方案较好? 【解析】 (方案一)5年后树木面积是10+1×5=15(万平方米). (方案二)5年后树木面积是10(1+9%)5≈15.386(万平方米).∵15.386>15,∴方案二较好. 学科网（北京）股份有限公司 $