4.4.3 不同函数增长的差异-同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础过关练”分层设计，以题组形式构建“概念辨析-性质判断-实际建模”的知识巩固路径，适配新授课对函数增长差异的认知深化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |概念辨析层（题组一1-4题）|指数、对数、幂函数增长差异的识别与比较|以选择（含多选）为主，通过数据表格、函数图象分析强化直观认知，培养数学眼光| |模型应用层（题组二5-10题）|函数模型选择与实际问题求解|结合销售、运动、扩散等情境，通过填空、解答题提升建模与运算能力，体现数学思维与语言的应用|

4.4.3　不同函数增长的差异 基础过关练 题组一　不同函数增长的差异 1.(2026湖北黄石期末)三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如表: x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与x呈对数型函数、指数型函数、幂型函数变化的变量依次是(　　) A.y1,y2,y3　　B.y2,y1,y3 C.y3,y2,y1　　D.y3,y1,y2 2.(多选题)(2026广东广州期中)已知函数y1=x,y2=x2,y3=x3,当x在(0,+∞)上逐渐增大时,下列说法正确的是(　　) A.y1的增长速度越来越快 B.y2的增长速度越来越快 C.y3的增长速度一直快于y1 D.y3的增长速度有时慢于y2 3.(教材深研拓展)(多选题)(2025辽宁盘锦辽河油田第一高级中学月考)已知函数f(x)=2x,g(x)=lox,h(x)=x-1,则在区间(0,+∞)上(　　) A. f(x)的递增速度越来越快 B.g(x)的递减速度越来越慢 C.h(x)的递减速度越来越慢 D.g(x)的递减速度慢于h(x)的递减速度 4.(多选题)已知函数y1=x2,y2=2x,y3=x,则下列关于这三个函数的描述中,正确的是(　　) A.随着x的逐渐增大,y1增长速度越来越快于y2 B.随着x的逐渐增大,y2增长速度越来越快于y1 C.当x∈(0,+∞)时,y1增长速度一直快于y3 D.当x∈(0,+∞)时,y2增长速度有时快于y1 题组二　函数模型的选择 5.(2026山西太原期中)某品牌手机的销售商在今年1,2,3月份的销售量分别是1万部,1.2万部,1.3万部,为估计以后每个月的销售量,以这三个月的销售量为依据,用一个函数模型拟合该品牌手机的销售量y(单位:万部)与月份x之间的关系.现从函数y=ax2+bx+c(a≠0)和y=abx+c(a≠0,b>0,且b≠1)中选用一个效果较好的函数进行拟合,如果4月份的销售量为1.37万部,那么5月份的销售量为　　　　万部.  6.甲、乙、丙、丁同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论: ①当x>1时,甲在最前面; ②当x>1时,乙在最前面; ③当0<x<1时,丁在最前面,当x>1时,丁在最后面; ④丙不可能在最前面,也不可能在最后面; ⑤如果它们一直运动下去,那么最终在最前面的是甲. 其中正确结论的序号为　　　　.  7.已知函数f(x)=ax,g(x)=logax,h(x)=xa(a>0,且a≠1),给出下列结论: ①当a>1时,∀x∈(0,+∞),函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象上方; ②∃x0∈(0,+∞),当x>x0时,恒有h(x)>g(x); ③∀a∈(0,1),方程f(x)=g(x),f(x)=h(x),g(x)=h(x)都有解. 其中正确结论的序号是　　　　.  8.(多选题)已知函数f1(x)=2x,f2(x)=2x+1,g1(x)=logax(a>1),g2(x)=kx(k>0),则下列结论正确的是(　　) A.函数f1(x)和f2(x)的图象可能有两个交点 B.∃x0∈R,当x>x0时,恒有g1(x)>g2(x) C.当a=2时,∃x0∈(0,+∞),f1(x0)<g1(x0) D.当a=时,方程g1(x)=g2(x)有解 9.在某科学实验中,实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶,想测试染料的扩散效果.已知染料在水桶中扩散的速度是先快后慢,1秒后染料扩散的体积是1 cm3,2秒后染料扩散的体积是3 cm3,染料扩散的体积y(单位:cm3)与时间x(单位:秒)的关系有两种函数模型可供选择:①y=m·3x,②y=mlog3x+b,其中m,b均为常数. (1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式; (2)若染料扩散的体积达到5 cm3,至少需要多少秒? 10.(2026江苏淮安淮阴中学期中)某学校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼,学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟,现需要制定一个课余锻炼的考核评分标准,建立一个学生每天得分y(单位:分)与当天锻炼时间x(单位:分钟)的函数关系,满足的条件如下:函数是区间[0,60]上的增函数;每天运动时间为0分钟时,当天得分为0分;每天运动时间为10分钟时,当天得分为2分;每天运动时间为30分钟时,当天得分不超过5分.现有以下三个函数模型供选择:①y=mx+n(m>0);②y=m·log2+n(m>0);③y=mx2+n(m>0). (1)根据条件从中选择一个合适的函数模型,并求出函数解析式; (2)当一个学生每天的得分不少于5分时,求该学生每天至少需要锻炼的时间(注:≈1.414,结果保留整数). 答案 4.4.3　不同函数增长的差异 基础过关练 1.C　由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较,并结合题中表格可知,y1是幂型函数,y2是指数型函数,y3是对数型函数. 2.BD　在同一平面直角坐标系中画出函数y1=x,y2=x2,y3=x3的图象,如图所示, 由图可知y1=x的增长速度不变,所以A错误; 在(0,+∞)上,y2=x2的增长速度越来越快,所以B正确; 由图可知,在(0,1)上,y3的增长速度最慢,在(1,+∞)上,y3的增长速度最快,所以C错误,D正确. 3.ABC　在同一平面直角坐标系中作出函数f(x),g(x),h(x)在区间(0,+∞)上的图象,如图所示. 根据指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质可知,在区间(0,+∞)上, f(x)的递增速度越来越快,故A正确;g(x)的递减速度越来越慢,故B正确;h(x)的递减速度越来越慢,故C正确;在(1,+∞)上,g(x)的递减速度快于h(x)的递减速度,故D错误. 4.BD　在同一坐标系内画出函数y1=x2,y2=2x,y3=x的图象,如图所示. 对于A,随着x的逐渐增大,y1增长速度不是越来越快于y2,故A错误;对于B,随着x的逐渐增大,y2增长速度越来越快于y1,故B正确;对于C,当x∈(0,+∞)时,y1增长速度不是一直快于y3,故C错误;对于D,当x∈(0,+∞)时,y2增长速度有时快于y1,故D正确;故选BD. 5.答案　1.375 解析　当选用函数y=ax2+bx+c时, 由题意得 解得 ∴y=-0.05x2+0.35x+0.7. 将x=4代入上式,得y=1.3. 当选用函数y=abx+c时,由题意得解得∴y=-0.8×0.5x+1.4.将x=4代入,得y=1.35. ∵1.35比1.3更接近1.37,∴选用函数y=abx+c拟合较好. 将x=5代入y=-0.8×0.5x+1.4中,得y=1.375,∴5月份的销售量为1.375万部. 6.③④⑤　路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1). 它们对应的函数模型分别是指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型和对数型函数模型. 当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=4,则①不正确;当x=5时,f1(5)=31,f2(5)=25,则②不正确;根据四种函数的变化特点,对数型函数的增长速度是先快后慢,画出四个函数的图象(图略),可知当x=1时,甲、乙、丙、丁四个物体的路程相等,从而当0<x<1时,丁在最前面,当x>1时,丁在最后面,则③正确;结合对数型函数和指数型函数的图象变化情况,可知丙不可能在最前面,也不可能在最后面,则④正确;指数型函数的增长速度是先慢后快,若运动的时间足够长,则最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体,即一定是甲,则⑤正确. 7.②③　对于①,取a=>e0=1,则f(x)=,f(e)=()e=e,g(x)=lox,g(e)=loe=eln e=e,此时f(e)=g(e),不满足函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象上方,故①错误; 对于②,当0<a<1时,在x∈(1,+∞)上,g(x)=logax的图象在x轴下方,h(x)=xa的图象在x轴上方,此时满足条件; 当a>1时,对数函数g(x)=logax和幂函数h(x)=xa,在区间(0,+∞)上,随着x的增大,g(x)=logax增长得越来越慢,尽管在x的一定变化范围内,logax可能会大于xa,但由于xa的增长快于logax的增长,则总存在一个x0,当x>x0时,就会有h(x)>g(x)成立,故②正确; 对于③,若0<a<1,在同一坐标系中作出函数f(x)=ax,g(x)=logax,h(x)=xa的大致图象,如图,函数f(x)=ax,g(x)=logax,h(x)=xa的图象两两都分别有交点,所以方程f(x)=g(x),f(x)=h(x),g(x)=h(x)都有解,故③正确. 所以正确结论的序号是②③. 8.AD　对于A,指数函数f1(x)=2x与一次函数f2(x)=2x+1都过(0,1),但f1(x)=2x在x增大时呈爆炸式增长,故还会出现一个交点,如图所示,所以函数f1(x)和f2(x)的图象有两个公共点,故A正确; 对于B,取x=0,g2(x)=kx(k>0)=0,当x→0时,g1(x)=logax(a>1)→-∞,此时g1(x)<g2(x),故B错误;对于C,当a=2时,指数函数f1(x)=2x与对数函数g1(x)=log2x互为反函数,两函数图象关于直线y=x对称,如图所示,由图可知,∀x∈R,有f1(x)>g1(x)恒成立,故C错误; 对于D,当a=时,g1(x)=lox,g2(x)=kx(k>0),由a>1知,>1,且两个函数都过点(,1),即方程g1(x)=g2(x)有解,故D正确.故选AD. 9.解 (1)在函数y=m·3x中,y随x的增长而增长,且增长的速度越来越快; 在函数y=mlog3x+b中,y随x的增长而增长,且增长的速度越来越慢.根据染料扩散的速度是先快后慢,所以选第二个模型更合适,即y=mlog3x+b. 由题意可得,解得 所以该模型的解析式为y=2log23·log3x+1=2log2x+1. (2)由(1)知,y=2log2x+1.由题意知,y≥5,即2log2x+1≥5,则有2log2x≥4,所以log2x≥2,所以x≥4,所以至少需要4秒. 10.解析　(1)若选择模型①y=mx+n,由已知得得m=,n=0, 则y=x,当x=30时,y=6>5,不符合题意; 若选择模型③y=mx2+n,由已知得得m=,n=0,则y=x2, 当x=30时,y=18>5,不符合题意; 若选择模型②y=mlog2+n,由已知得解得m=2,n=-2,则y=2log2-2, 当x=30时,y=2log2-2=4,符合题意. 所以选择模型②,函数解析式为y=2log2-2. (2)由(1)知y=2log2-2, 由每天的得分不少于5分, 得2log2-2≥5,即log2≥,则+2≥=8, 解得x≥40-10≈40×1.414-10=46.56, 所以当一个学生每天的得分不少于5分时,该学生每天至少需要锻炼47分钟. 7 学科网（北京）股份有限公司 $