4.2 认识一次函数 预习自测2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦一次函数概念与应用，分层设计从基础定义辨析到综合情境建模，适配新授课巩固，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|正比例函数/一次函数定义|单选1-4直接考查定义要素，填空9-10区分概念类型，强化符号意识| |理解应用|图像性质与实际建模|单选5-7结合点坐标、函数值变化，填空11-12以鞋码、行程为情境，发展几何直观| |综合拓展|参数分析与几何综合|单选8含参数一次函数推理，解答题17-18结合利润计算、轴对称求最值，提升应用意识|

4.2 认识一次函数 预习自测2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（   ） A．圆的周长C随半径r的变化而变化 B．用长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化 C．正方形的面积S随边长a的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量Q随行驶路程s的变化而变化 4．已知函数是一次函数，则m的取值范围是（    ） A．m≠-3 B．m≠1 C．m≠0 D．m为任意实数 5．点在函数的图象上，则代数式的值等于（     ） A． B． C．3 D．5 6．小明画某一次函数图象，在列表时他将其中一个函数值算错了，试在下表中找出这个算错的函数值（　　） A． B． C． D． 7．我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．其他函数关系 8．已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 二、填空题 9．函数是关于的正比例函数，则的值为_____． 10．在下列函数中，是自变量，是因变量，则一次函数有___，正比例函数有___．（将代号填上即可）①；②；③；④；⑤． 11．鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子．脚长（单位：）与中国鞋码的部分对照如下表： 脚长 … 23 23.5 24 24.5 … 中国鞋码 … 36 37 38 39 … 小陈的脚长为，则他在网购时选择的中国鞋码为________（用含的代数式表示）． 12．已知是关于的一次函数，则一次函数解析式是__________． 13．如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，则点的坐标为__________． 三、解答题 14．已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)设点在（1）中函数的图象上，求a的值． 15．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长x（）之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)汽车从离A站的B地出发，以的速度沿射线方向匀速行驶，汽车到A站的距离y（）与匀速行驶的时间x（h）之间的关系． 16．函数的图象如图所示．根据图象， (1)分别求当，时，所确定的值； (2)分别求当，时，所确定的值． 17．北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元． 原料成本（元/件） 生产提成（元/件） 销售单价（元/件） “冰墩墩” 32 5 45 “雪容融” 28 6 40 (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？ 18．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)画出关于轴对称的图形（点、分别对应、） (2)请在轴上找出一点，满足线段的值最小，并直接写出点坐标． 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A A D A B A 1．【答案】B 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义为形如（为常数且）的函数，据此判断各选项是否符合定义． 【详解】解：∵正比例函数的形式为（）， A、，可写为，含项，不符合形式，不符合题意； B、，即形式，且，符合定义，符合题意； C、，含常数项，不符合形式，不符合题意； D、，含常数项，不符合形式，不符合题意； 故选：B． 2．【答案】B 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数． 根据一次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：，x的最高次数为2，不符合一次函数定义； B：，，，符合一次函数定义； C：，k未明确不等于0，故不一定是一次函数； D：，分母有未知数，不符合一次函数定义； 故选：B． 3．【答案】A 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟知形如（是常数，）的函数叫做正比例函数是解题的关键．分别写出各选项的解析式，逐一判断即可． 【详解】解：A. ，C与r成正比，故选项符合题意； B. ，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； C. ，S与a不是正比例函数关系，故选项不符合题意； D. （为常数，即单位路程耗油量），不是正比例函数关系，故选项不符合题意． 故选：A． 4．【答案】A 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】根据一次函数的定义进行解答． 【详解】解：根据题意，，解得． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的定义，解题关键是熟练掌握一次函数的定义． 5．【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了一次函数的图像性质，结合代数式求值是解题的关键． 把点P的坐标代入一次函数解析式，得出，代入即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴，即， 则， 故选：D． 6．【答案】A 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的函数值变化是均匀的即可判断求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由表格数据可知，后三对数据中，的值每增加，函数值增加，而第一对到第二对数据，的值增加，函数值增加， ∵一次函数的函数值变化是均匀的， ∴这个算错的函数值是第一组， 故选：． 7．【答案】B 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查函数关系的识别，根据题意设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，可以得到，即可得出结论． 【详解】解：设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，投放x枚石子后水面高度为y，则，符合一次函数解析式， 故选B． 8．【答案】A 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到，结合即可推导参数关系，进而判断选项． 【详解】解：点在函数图象上，代入得： ∵， ∴，即， ∵，即， ∴ ∴，． 故选：A ． 9．【答案】 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查正比例函数的定义，掌握正比例函数的标准形式和特点是解题关键． 正比例函数的形式为（），故函数表达式中的常数项必须为零，据此进行计算即可． 【详解】解：由正比例函数的定义，可知，解得． 故答案为：． 10．【答案】 ①③④ ③ 【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数 【分析】根据一次函数及正比例函数的定义，即可一一判定． 【详解】解：①是一次函数，不是正比例函数； ②不是一次函数； ③是正比例函数，因为正比例函数一定是一次函数，所以还是一次函数； ④是一次函数； ⑤既不是正比例函数也不是一次函数． 故答案为：①③④，③． 【点睛】本题考查了一次函数及正比例函数的定义，熟知正比例函数是一次函数的特例是解决本题的关键． 11．【答案】/ 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查了从实际数据中识别规律并建立代数模型的能力，以及求一次函数解析式；解题的关键是观察表格中脚长与鞋码的对应关系，发现两者呈线性变化，并通过代入已知点求解线性表达式；取两点，用待定系数法，求解析式，即可得解． 【详解】解：设脚长为，鞋码为；取点， 设， 解得 故 当脚长为时，鞋码为． 故答案为． 12．【答案】 【知识点】利用平方根解方程、根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如的函数，叫做一次函数，会利用的指数构造方程，会利用限定字母的值是解题关键． 根据一次函数的定义得到且，据此求出的值即可． 【详解】解：是关于的一次函数， 且， 解得：， 一次函数解析式是， 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】根据一次函数解析式得出，，利用角的和差关系得出，即可证明，得出，，，即可得答案． 【详解】解：如图，过点作轴于， ∵直线和轴、轴分别交于点、点， ∴当时，，当时，， ∴，，即，， ∵以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 14．【答案】(1)； (2)． 【知识点】求自变量的值或函数值、正比例函数的定义 【分析】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握求解的方法是解本题的关键； （1）根据题意设设，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把点代入（1）中的函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 当时， ， 解得：， 与x的函数关系式为， 即； （2）把代入得， ∴． 15．【答案】(1)不是的一次函数，也不是的正比例函数 (2)，是的一次函数，也是的正比例函数 (3)，是的一次函数，但不是的正比例函数 【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数、用关系式表示变量间的关系 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式是关键． （1）根据正方形的面积是边长 x（）的平方列出函数解析式，再判断即可； （2）根据应缴电费y（元）是收费标准是0.53元/（）与用电量x（）的乘积，列出函数解析式，再判断即可； （3）根据汽车到A站的距离y（）是原来的距离加上汽车行驶距离列出函数解析式，再判断即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 不是的一次函数，也不是的正比例函数； （2）解：根据题意可得， ，是的一次函数，也是的正比例函数； （3）解：根据题意可得， ，是的一次函数，但不是的正比例函数 16．【答案】(1)， (2)， 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查求一次函数的函数值或自变量， （1）将的值代入解析式的自变量的位置，求出即可； （2）将的值代入解析式的因变量的位置，求出即可； 将给出的变量的值代入解析式求出另一个变量的值并能进行正确的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； （2）当时，得， 解得：， 当时，， 解得：． 17．【答案】(1) (2)4400 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】（1）根据总利润等于销售两种吉祥物挂件的利润之和，列出式子即可解决问题； （2）根据题意得求出x，结合（1）的结论即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ， 即y与x之间的函数关系式为； （2）解：由题意得：                                                  答：该厂一天所获得的总利润是4400元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式并熟练掌握及一次函数求函数值的方法． 18．【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】列一次函数解析式并求值、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，先求出的坐标，再顺次连接三点得到． （2）利用轴对称的性质，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求点，再通过求直线的解析式得到点坐标． 【详解】（1）解：，关于轴对称的点的坐标特征为横坐标不变，纵坐标互为相反数， ． ， ． ， ． 顺次连接，得到． （2）解：作点关于轴的对称点，设直线的解析式为， 将，代入解析式： , 解得，， 直线的解析式为． 当时，， ． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $