精品解析：广西桂林市第十八中学2025-2026学年度上学期高一开学考数学试题

桂林市第十八中学2025-2026学年度上学期高一开学考 数学科试题 2025.10.15 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. B. 函数的图象与直线至多有1个交点 C. 方程的解集为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（ ） A. ，且 B. C. 的最小值为8 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合的子集个数为________. 13. 函数的定义域为__________． 14. 已知，，，则的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求； （2）求函数的解析式； （3）若，求实数的值． 16. 已知集合，集合 （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. 如图，某花圃基地计划用栅栏围成两间背面靠墙的相同的矩形花室． （1）若栅栏的总长为120米，求每间花室面积的最大值； （2）若要求每间花室的面积为150平方米，求所需栅栏总长的最小值． 18. 已知函数． （1）若，求函数在区间上的最大值； （2）若不等式的解集为，求实数，的值； （3）若，解关于的不等式． 19. 设，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，该函数具有以下性质： ①的定义域为，值域为； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为的整数部分，为的小数部分； ③． （1）求、和； （2）若，求关于的方程的解； （3）求证：对，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桂林市第十八中学2025-2026学年度上学期高一开学考 数学科试题 2025.10.15 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，，所以. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】原命题中的量词为，改为；原命题结论为，其否定为， 所以原命题的否定为：，. 3. 已知，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义，结合等式性质分别判断充分性和必要性是否成立可得. 【详解】充分性：若，根据等式的基本性质，等式两边同时乘任意实数，等式仍然成立，可得，因此充分性成立. 必要性：取，则满足条件，但不成立，因此必要性不成立. 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解内层函数的取值，再将其作为自变量代入计算复合函数值. 【详解】  ，所以 . 5. 下列函数中，与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数定义域，值域，解析式相同分别判断各个选项即可. 【详解】定义域是，值域是， 对于A：定义域是，定义域不同，A选项错误； 对于B：值域是，值域不同，B选项错误； 对于C：定义域是，定义域不同，C选项错误； 对于D：定义域是，值域是，解析式可以化成相同，D选项正确； 故选：D. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】由，则， 所以， 当且仅当时，取等号， 故选：B 【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 7. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解． 【详解】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 8. 已知函数，若关于的方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的图象，采用数形结合判断即可. 【详解】作出分段函数的图象如下： 结合图象可知，若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为，由同正可乘方可知，所以选项A正确； 因为，，由不等式的可加性可知，所以选项B正确； 因为，，由不等式的可乘性（乘以负数）可知，所以选项C错误； 因为，由不等式的可乘性（乘以正数）可知， 又因为，由不等式的可乘性（乘以负数）可知，所以选项D正确. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. B. 函数的图象与直线至多有1个交点 C. 方程的解集为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【解析】 【详解】对于选项A，将两边平方，得， 因为，所以.所以选项A不正确. 对于选项B，根据函数定义，定义域内任意一个自变量对应唯一的函数值. 若在定义域内，与有1个交点；若不在定义域内，则二者无交点，因此最多有1个交点，所以选项B正确. 对于选项C，解分式不等式或.所以解集是.故选项C不正确. 对于选项D，因为的定义域是，则，即的定义域为.选项D正确. 11. 已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（ ） A. ，且 B. C. 的最小值为8 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】当时，转化为恒成立，显然不成立；得到，然后令，在同一坐标系中作出其大致图象，得到逐项判断． 【详解】当时，对任意的，不等式恒成立 等价于对任意的，不等式恒成立，显然不成立； 则，故B正确； 令，在同一坐标系中作出其大致图象，如图所示： 则，解得，故A错误； ，当且仅当，即时，等号成立，故C正确； ，因为，所以取不到，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合的子集个数为________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据集合元素的个数n，直接写出其子集个数 【详解】由题设，的元素个数为3， ∴子集个数为个. 故答案为：8 13. 函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题得，所以．故填 14. 已知，，，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知的等式得出代入等式中，运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，所以，代入中，得， 由（当且仅当时取等号）， 于是有（当且仅当时取等号）， 因为，，所以， 因此有（当且仅当时取等号）， ，（当时取等号，即时，取等号）， 所以有（当且仅当时取等号）， 即（当且仅当时取等号），因此有（当且仅当时取等号），所以的最大值是. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键一是通过已知等式对代数式进行消元变形；二是通过重要不等式，得到，进而应用基本不等式进行解题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求； （2）求函数的解析式； （3）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接取代入即可求解； （2）利用换元法即可求解； （3）根据条件列出方程即可求解． 【小问1详解】 取，得． 【小问2详解】 由有意义可得 令，则，， 故，其中， 因此的解析式为． 【小问3详解】 由题意得，故，解得， 又因为，因此． 16. 已知集合，集合 （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入求出集合，再根据交集的定义即可计算； （2）依题意可得为的真子集，分与两种情况讨论，即可求解的取值范围． 【小问1详解】 当时，， 因此． 【小问2详解】 若“”是“”的必要不充分条件，则为的真子集， 当时，即，解得， 当时，则，解得，检验符合， 因此的取值范围为． 17. 如图，某花圃基地计划用栅栏围成两间背面靠墙的相同的矩形花室． （1）若栅栏的总长为120米，求每间花室面积的最大值； （2）若要求每间花室的面积为150平方米，求所需栅栏总长的最小值． 【答案】（1）600平方米 （2）60米 【解析】 【分析】（1）由题意得面积表达式结合表达式性质以及二次函数性质即可得解； （2）由基本不等式即可得解. 【小问1详解】 设每间花室与墙体垂直的围墙的边长为米，与墙体平行的围墙的边长为米． 因为栅栏的总长为120米，所以， 其中，，则. 每间花室的面积. 因为， 当且仅当，时，等号成立， 所以每间花室面积的最大值为600平方米． 【小问2详解】 因为每间花室的面积为150平方米，所以，则． 栅栏的总长， 当且仅当，时，等号成立， 故栅栏总长的最小值为60米． 18. 已知函数． （1）若，求函数在区间上的最大值； （2）若不等式的解集为，求实数，的值； （3）若，解关于的不等式． 【答案】（1） （2）， （3）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为。 【解析】 【分析】（1）代入参数得二次函数解析式，结合对称轴与区间的位置关系求最大值； （2）根据三个二次的关系，利用韦达定理直接求参数； （3）整理不等式后按的值分类，结合二次函数的性质求解集. 【小问1详解】 若，则， 因为 开口向上，，， 所以函数在区间上的最大值为3； 【小问2详解】 因为不等式的解集为， 所以的解集为和， 由韦达定理得：，， 解得； 【小问3详解】 若，整理得， 当时，，解得； 当时，， 当时，， 的解集为； 当时，， 的解集为 当时，， 的解集为； 当时，， 的解集为； 综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【点睛】利用二次函数的图像与性质求函数的最值，分类讨论参数的范围研究不等式的解集. 19. 设，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，该函数具有以下性质： ①的定义域为，值域为； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为的整数部分，为的小数部分； ③． （1）求、和； （2）若，求关于的方程的解； （3）求证：对，，． 【答案】（1） （2）或 （3）证明：设，则， 对任意, ， 当 时, , 共 项；当 时, , 共 项， 故左侧和为， 又, 因此 , 等式得证． 【解析】 【分析】（1）根据定义直接计算即可； （2）分和两种情况讨论，再解方程即可； （3）设，则，当 时，, 共 项；当 时，，共 项，又，然后可证． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①，此时，， 则方程可化为，解得，符合题意． ②，此时，， 则方程可化为，解得，符合题意． 综上所述，若，关于的方程的解为或； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $