3.1.3 函数的奇偶性（第二课时）教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数奇偶性的应用及与单调性的关系，通过“尝试与发现”环节，先以f(5)=-3求f(-5)的具体实例巩固奇偶性定义，再结合图象补全活动引出单调性规律，搭建从定义到应用的学习支架，衔接第一课时概念，过渡到性质探究。 特色在于以具体实例驱动抽象概念理解，如用数字代入巩固f(-x)=±f(x)，培养数学眼光中的抽象能力和几何直观。通过补全奇偶函数图象总结单调性规律，发展数学思维的推理意识。例5证明二次函数对称轴，用数学语言精确表达对称关系，提升应用意识。帮助学生从具象到抽象构建知识，教师可直接采用探究活动与例题，提升教学效率。

3.1.3 函数的奇偶性（第二课时） 【课程基本信息】 年级 高一 课题 函数的奇偶性 课时 2课时 授课教师 【教学目标】 1.掌握函数的奇偶性的应用. 2.理解函数的奇偶性与单调性之间的关系. 【教学重点】 掌握函数的奇偶性的应用. 【教学难点】 理解函数的奇偶性与单调性之间的关系. 【教学过程】 因为函数的奇偶性描述了函数图象具有的对称性，所以利用函数的奇偶性能简化函数性质的研究.如果知道一个函数是奇函数或是偶函数，那么其定义域能分成关于原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图象，就可得出这个函数在另一部分上的性质和图象. 尝试与发现：已知函数f(x)满足f(5)=-3，分别在条件“f(x)是偶函数”与“f(x)是奇函数”下求出f(-5)的值. 显然，如果f(x)是偶函数，则f(-5)=f(5)=-3；如果f(x)是奇函数，则f(-5)=-f(5)=3. 设计意图：用具体数字代入，替代纯抽象符号推导，直观巩固奇函数、偶函数核心关系式f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x). 尝试与发现：已知函数y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，且它们的部分图象如图所示，补全函数图象，并总结出当函数具有奇偶性时，函数单调性的规律. 不难看出，如果y=f(x)是偶函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相反；如果y=f(x)是奇函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相同. 尝试与发现：初中时，我们就在观察图象的基础上总结出过这个结论，但当时并没有给出严格的证明. 为了证明函数的图象关于x=0(即y轴)对称，只需证明x轴上关于原点对称的两点对应的函数值相等，那么该怎样证明函数的图象关于x=-2对称呢? 如图所示，已知数轴上的A，B两点关于-2对应的点对称，而且点A的坐标是-2+h，则点B的坐标是-2-h. 教师提问：由例5可知，要证明函数图象关于垂直于x轴的直线对称并不难，但怎样才能找到对应的对称轴呢？ 以上题所示的二次函数为例，注意到f(x)=x²+4x+6=(x+2)2+2，由此就容易得到f(-2+h)=f(-2-h)，从而可知f(x)图象的对称轴为x=-2. 设计意图：以二次函数实例具象化抽象对称结论，判断、证明函数对称轴的通用方法 探索与研究：1.如果一个函数是奇函数，那么其值域具有什么特点? 如果一个函数是奇函数，那么其值域关于原点对称.此时，如果函数在x0处取得最大值M，那么该函数在-x0处取得最小值-M. 2.怎样才能证明函数的图象关于点(3，0)对称？一般地，怎样证明函数的图象关于点(a，b)对称？ 要证明函数图象关于点(3，0)对称，只需证明f(3+h)=-f(3-h).要证明函数图象关于点(a，b)对称，只需证明f(a+h)=-f(a-h)+2b. 【课堂例题】 例3：已知函数f(x)满足f(5)<f(3)，分别在下列各条件下比较f(-5)与f(-3)的大小： (1)f(x)是偶函数； (2)f(x)是奇函数. 例4：研究函数y=的性质，并作出函数图象. 例5：求证：二次函数f(x)=x²+4x+6的图象关于x=-2对称. 【课堂巩固】 1.已知奇函数在R上单调递减，则( ) A. B. C. D. 2.“”是“函数在区间上为减函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若函数为奇函数，则必有( ) A. B. C. D. 【小结作业】 109页的课后习题 【板书设计】 3.1.3 函数的奇偶性（第二课时） 函数奇偶性的应用 【教学反思】 课后 反思 优点： 不足： 改进措施： 课堂 评价 答案 【课堂例题】 例3：解：(1)因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，因此f(-5)=f(5)，f(-3)=f(3)，从而由条件可知f(-5)<f(-3). (2)因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，因此f(-5)=-f(5)，f(-3)=-f(3)，又由条件可知-f(5)>-f(3)，从而f(-5)>f(-3). 结论：例3说明：当f(x)具有奇偶性时，函数的单调性会有一定规律. 例4：解：要使函数表达式有意义，需有x≠0，因此函数的定义域为D={x∈R|x≠0}，从而可知函数的图象有左右两部分.设f(x)=，则对任意x∈D，都有-x∈D，而且，所以函数y=是偶函数，函数的两部分图象关于y轴对称.下面研究函数在区间(0，+∞)上的性质及图象.因为x1，x2∈(0，+∞)时，有，所以在上是减函数.又因为时，，所以函数图象在右边的部分一定在第一象限.列出部分函数值如下表所示，然后可以描点作图. x 1 2 3 4 1 再根据函数是偶函数，可以得出函数的图象，如图所示，而且函数的定义域为{x∈R|x≠0}，函数是偶函数，在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减，函数的值域是(0，+∞). 利用研究奇偶函数的类似方法还可以研究更一般的函数图象的对称性. 例5：解：任取h∈R，因为f(-2+h)=(-2+h)2+4(-2+h)+6=h2+2，f(-2-h)=(-2-h)2+4(-2-h)+6=h2+2，所以f(-2+h)=f(-2-h)，这就说明函数的图象关于x=-2对称. 【课堂巩固】 1. A 2.A 3.B 学科网（北京）股份有限公司 $