3.1.3 函数的奇偶性（第二课时）教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

3.1.3 函数的奇偶性（第二课时）

【课程基本信息】

年级	高一	课题	函数的奇偶性
课时	2课时	授课教师

【教学目标】

1.掌握函数的奇偶性的应用.
2.理解函数的奇偶性与单调性之间的关系.

【教学重点】

掌握函数的奇偶性的应用.

【教学难点】

理解函数的奇偶性与单调性之间的关系.

【教学过程】

因为函数的奇偶性描述了函数图象具有的对称性，所以利用函数的奇偶性能简化函数性质的研究.如果知道一个函数是奇函数或是偶函数，那么其定义域能分成关于原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图象，就可得出这个函数在另一部分上的性质和图象.

尝试与发现：已知函数f(x)满足f(5)=-3，分别在条件“f(x)是偶函数”与“f(x)是奇函数”下求出f(-5)的值.

显然，如果f(x)是偶函数，则f(-5)=f(5)=-3；如果f(x)是奇函数，则f(-5)=-f(5)=3.

设计意图：用具体数字代入，替代纯抽象符号推导，直观巩固奇函数、偶函数核心关系式f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x).

尝试与发现：已知函数y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，且它们的部分图象如图所示，补全函数图象，并总结出当函数具有奇偶性时，函数单调性的规律.

不难看出，如果y=f(x)是偶函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相反；如果y=f(x)是奇函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相同.

尝试与发现：初中时，我们就在观察图象的基础上总结出过这个结论，但当时并没有给出严格的证明. 为了证明函数的图象关于x=0(即y轴)对称，只需证明x轴上关于原点对称的两点对应的函数值相等，那么该怎样证明函数的图象关于x=-2对称呢?

如图所示，已知数轴上的A，B两点关于-2对应的点对称，而且点A的坐标是-2+h，则点B的坐标是-2-h.

教师提问：由例5可知，要证明函数图象关于垂直于x轴的直线对称并不难，但怎样才能找到对应的对称轴呢？

以上题所示的二次函数为例，注意到f(x)=x²+4x+6=(x+2)2+2，由此就容易得到f(-2+h)=f(-2-h)，从而可知f(x)图象的对称轴为x=-2.

设计意图：以二次函数实例具象化抽象对称结论，判断、证明函数对称轴的通用方法

探索与研究：1.如果一个函数是奇函数，那么其值域具有什么特点?

如果一个函数是奇函数，那么其值域关于原点对称.此时，如果函数在x0处取得最大值M，那么该函数在-x0处取得最小值-M.

2.怎样才能证明函数的图象关于点(3，0)对称？一般地，怎样证明函数的图象关于点(a，b)对称？

要证明函数图象关于点(3，0)对称，只需证明f(3+h)=-f(3-h).要证明函数图象关于点(a，b)对称，只需证明f(a+h)=-f(a-h)+2b.

 

【课堂例题】

例3：已知函数f(x)满足f(5)<f(3)，分别在下列各条件下比较f(-5)与f(-3)的大小：

(1)f(x)是偶函数； 

(2)f(x)是奇函数. 

 

 

例4：研究函数y=的性质，并作出函数图象.