4.4一次函数的应用（课时3）（教学课件）—— 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦一次函数的应用（课时3），核心内容为两个一次函数的交点问题及图象信息获取，通过知识回顾一次函数与一元一次方程的数形关系，搭建从单一函数到多函数分析的学习支架，衔接新旧知识。 其亮点是以“数形结合”为主线，结合销售收入与成本、追赶问题等实例，引导学生用数学眼光观察图象交点与函数值关系，用数学思维推导表达式和方程，培养几何直观与推理能力。小结归纳图象信息获取方法，助力学生提升问题解决能力，教师可借助结构化案例高效教学。

4.4一次函数的应用 （课时3） 第四章 一次函数 北师大版(2024) 1 素养目标 2.能根据两个一次函数图象分析解决问题. 1.训练识图能力，通过函数图象获取信息，能用一次函数解决复杂的实际问题； 2 知识回顾 一次函数与一元一次方程的关系： (1)一般地，当一次函数y=kx+b的函数值为 时，相应的 的值就是方程kx+b=0的解； (2)从图象上看，一次函数y=kx+b的图象与 轴交点的 坐标，就是方程kx+b=0的解. 0 x 横 自变量 3 新知导入 关系 利用一次函数图象解一元一次方程 ①从“数”上看； ②从“形”上看. ①转化； ②画图象； ③找交点. 一次函数与一元一次方程 如果问题中涉及两个或两个以上的一次函数，我们该怎么分析并解决问题？ 4 探究新知 如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系. x/吨 y/元 O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 l1 销售收入 l2 销售成本 5 探究新知 x/吨 y/元 O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 l1 销售收入 l2 销售成本 根据图象填空： (1)当销售量为2吨时，销售收入=　　 元，销售成本= 　 元. 2000 3000 (2)当销售量为6吨时，销售收入=　 　元，销售成本＝　 　元； 6000 5000 6 探究新知 x/吨 y/元 O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 l1 销售收入 l2 销售成本 根据图象填空： (3)当销售量　 　时，销售收入等于销售成本； 等于4吨 (4)当销售量 ________ 时，销售收入大于销售成本，该公司赢利； 当销售量 ________时，销售收入小于销售成本，该公司亏损. 大于4吨 小于4吨 亏损 赢利 7 探究新知 根据图象填空： (5)当销售量为 _____ 时，该公司赢利1000元. 6吨 由函数图象可知 当x=6时，销售收入=6000， 销售成本=5000， 所以销售收入-销售成本=1000(元). x/吨 y/元 O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 l1 销售收入 l2 销售成本 8 探究新知 x/吨 y/元 O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 l1 销售收入 l2 销售成本 根据图象填空： (6) l1 对应的函数表达式是 ________ ，l2 对应的函数表达式是 . 【分析】分别选取l1， l2与y轴交点以及两条直线的交点.分别代入求出l1， l2的函数表达式. 9 探究新知 根据图象填空： (6) l1 对应的函数表达式是 ________ ，l2 对应的函数表达式是 . 解：设l1的表达式为y=k1x，由图象得4000=4k1， 解得k1=1000， l1的表达式为y1=1000x； 设l2的表达式为y=k2x+b， 由题意得b=2000， 将(4,4000)代入得4k2+2000=4000， 解得k2=500， 所以l2的表达式为y2=500x+2000. y1=1000x y2=500x+2000 x/吨 y/元 O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 l1 销售收入 l2 销售成本 (4，4000) (0，2000) 10 探究新知 x/吨 y/元 O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 l1 销售收入 l2 销售成本 根据图象填空： (7)你能借助(6)的结论求解(5)吗. 该公司赢利(收入-成本)1000元，即l1-l2=1000. 解：由题意得 1000x-(500x+2000)=1000， 解得 x=6， 所以当销售量等于 6t 时， 该公司赢利1000元. y1=1000x y2=500x+2000 11 探究新知 l1对应的一次函数y1=k1x+b1中，k1 和 b1的实际意义各是什么？ l2对应的一次函数 y2=k2x+b2 中，k2 和 b2 的实际意义各是什么？ x/吨 y/元 O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 l1 销售收入 l2 销售成本 y1=1000x y2=500x+2000 k的实际意义是表示销售每吨产品可收入或增加成本的量； b的实际意义是表示变化的起始值. 12 探究新知 x/吨 y/元 O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 l1 销售收入 l2 销售成本 y1=1000x y2=500x+2000 k1表示每销售1吨产品，可收入1000元. b1表示未销售时，销售收入为0元. k2 表示每销售1吨产品的成本为500元. b2 表示未销售时，销售所花的成本为2000元. 13 例题练习 如图1是某景区游览路线示意图.甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙. 图2中l1，l2分别表示两人到观景台1的路程s(单位：m)与追赶时间t(单位：min)之间的关系. 14 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： (1)哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系？ 解：当t=0时，甲到观景台1的路程为0m， 即s=0， 故l1表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系. 例题练习 15 例题练习 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： (2)甲和乙哪个人的速度快？ 解：t从0增加到20时，l1上点的纵坐标增加了1000，l2上点的纵坐标增加了600， 即20 min内，甲行走了1000 m，乙行走了600 m，所以甲的速度快. 1000 600 16 例题练习 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： (3)30min内甲能否追上乙？ 解：延长l1，l2可以看出， 当t=30时，l1上对应点在l2上对应点的下方， 这表明，30min时甲尚未追上乙. l1 l2 P O 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 t/min s/m 2400 2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 17 例题练习 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： (4)到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙？ 解：如图，l1与l2交点P的纵坐标小于(800+1300=)2100， 这说明，甲能在到达观景台3前追上乙. O 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 t/min s/m l1 l2 2400 2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 P 18 例题练习 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： (5)设l1与l2对应的两个一次函数分别为 s=k1t+b1与s=k2t+b2，k1，k2的实际意义 各是什么？甲、乙两人的速度各是多少？ 解：k1表示甲的速度，k2表示乙的速度. 甲的速度是50 m/min， 乙的速度是30 m/min. 19 归纳总结 从两个相交的一次函数图象中获取信息 看图象 获取信息 x y O x0 y0 y2 y1 两个一次函数，当自变量的值为 x0 时，函数值都为 y0，或当函数值为 y0 时，自变量的值都为 x0. 当自变量的值 x>x0 时，函数值 y1>y2，即对同一自变量 x 的值，图象在上面的函数值大. 当自变量的值 x<x0 时，函数值 y1<y2，即对同一自变量 x 的值，图象在下面的函数值小. 1、看变量 2、看两轴 3、看交点 20 探究新知 应用一次函数解决问题的过程，对不同解决方法有什么体会？ 用一次函数解决问题，常见方法有关系式法(通过设函数表达式，代入已知点求参数，用表达式分析问题)、 图象法(画出函数图象，借助图象的增减性、交点等直观解题). 关系式法精准，适合定量计算； 图象法直观，利于分析变化趋势和交点意义； 不同方法各有优劣，结合使用可更全面高效解决问题，比如复杂计算用关系式，快速看趋势用图象. 21 C 22 23 C 24 25 300 26 27 16 28 29 30 31 32 33 34 小结 一次函数的应用(课时3) 利用图象给出的信息解决问题 两个一次函数的交点问题 35 谢谢同学们的聆听 36 练习1 电信公司的收费标准有A，B两类，已知每月应缴费用S（元）与通话时间t（分）之间的关系如图所示.当通话时间为200分钟时，按这两类收费标准应缴费用的差为( ) A.10元 B.15元 C.20元 D.30元 解析：设A类标准应缴费用 ， 将 ， 代入，得 ， ，解得 ， 所以A类标准应缴费用 . 设B类标准应缴费用 ， 将点 代入，得 ，解得 ， 所以B类标准应缴费用 . 当 时， ， . 因为 （元），所以按这两类收费标准应缴费用的差为20元，故选C. 练习2 甲从A地匀速骑电动车到B地，乙从B地匀速骑摩托车到A地，两人同时出发，到达目的地后，立即停止运动，甲、乙两人与A地的距离 与他们骑车的时间 之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是( ) A.A、B两地的距离为 B.甲的速度为 C.乙的速度为 D.乙骑车 到达A地 解析：由图象可知A、B两地的距离为 ，故选项A正确，不符合题意； 由图象可知，甲的速度为 ，故选项B正确，不符合题意； 由题易知，甲与A地的距离 与他们骑车的时间 之间的函数关系式为 ， 当 时， ，解得 ， 所以乙的速度为 ， 故选项C错误， 符合题意；乙骑车 到达A地， 故选项D正确，不符合题意.故选C. 练习3 某公司生产了A，B两款新能源电动汽车.如图， ， 分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量 与汽车行驶路程 的关系，当两款新能源电动汽车的行驶路程相等时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 ，则此时它们行驶的路程均为_____ . 解析：由图知， ， 过点 ， 设 ， 的函数解析式分别为 ， ， 又 过点 ， 过点 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ，解得 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 的函数解析式分别为 ， A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池 的剩余电量多 ， ，解得 ， 故答案为：300. 练习4 甲无人机从海拔10米处起飞，以10米/分的速度匀速上升，同时乙无人机从海拔30米处起飞，匀速上升，经过5分两架无人机位于同一海拔高度.无人机海拔高度y（米）与上升时间x（分）的关系如图，两架无人机都上升了20分.当甲无人机比乙无人机高44米时，两架无人机上升了__________分. 解析：由题意得 ， 甲无人机海拔y（米）与上升时间x（分）的函数关系式为 . 设乙无人机海拔y（米）与上升时间x（分）的函数关系式为 . 将 ， 代入得 ， ，解得 ， 故乙无人机海拔y（米）与上升时间x（分）的 函数关系式为 . 当甲无人机比乙无人机高44米时， 有 ，解得 ， 即当甲无人机比乙无人机高44米时，两架无人机上升了16分. 练习5 随着暑假临近,小明和小华打算假期一起去游泳.他们通过对离家最近的一家游泳馆的调查,发现该游泳馆推出了甲、乙两种消费方式.如图,直线甲、乙分别表示两种消费方式中所需费用y（元）与消费次数x（次）之间的关系,其中x为非负整数.请根据图象信息完成下列问题： (1)分别求出甲、乙两种消费方式所需费用y（元） 关于消费次数x（次）的函数表达式； (2)当消费15次时,选择哪种消费方式更合算？ 请通过计算说明理由. (2)选择乙种消费方式更合算, 当 时, （元）, （元）, , 选择乙种消费方式更合算. 解：(1)设甲种消费方式所需费用y关于消费次数x的函数表达式为 , 函数图象经过点 , ,解得 , 甲种消费方式所需费用y关于消费次数x的函数表达式为 , 设乙种消费方式所需费用y关于消费次数x的函数表达式为 , 函数图象经过点 和 , ,解得 , 乙种消费方式所需费用y关于消费次数x的函数表达式为 . 练习6 探空气球是人类研究平流层的重要工具，主要用于探测温度、压力、湿度和风等气象要素，在气象学发展和天气预报工作中起到了重要作用，某气象站施放了两个探空气球，1号气球从海拔高度 处出发，同时，2号气球从海拔高度 处出发，图中 ， 分别表示两个气球所在的海拔高度 与上升时间 的关系. (1)分别求 ， 对应的函数表达式； (2)当两气球之间的海拔高度相差 时， 求气球上升的时间. 解：(1)设 对应的函数表达式为 ，由图象得， ， 将 时， 代入 中，得 ，解得 . 所以， 对应的函数表达式为 . 设 对应的函数表达式为 ，由图象得， ， 将 时， 代入 中，得 ，解得 ， 所以， 对应的函数表达式为 . (2)当2号气球在1号气球上方时，由题意，得 .解得 . 当1号气球在2号气球上方时，由题意，得 .解得 . 所以，上升时间为 或 . $