第四章 一次函数 回顾与思考 (课件) 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一次函数的概念、表达式、性质及应用，通过知识框架图将函数定义、k和b的意义、图象特征与实际应用等核心内容串联，帮助学生构建完整的函数知识网络。 其亮点在于融入实际情境例题，如运动距离与时间的函数图象分析，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过一次函数概念辨析和表达式推理题发展数学思维，分层练习设计让不同水平学生提升，助力教师高效复习教学。

北师版八年级上册 回顾与思考 第四章 一次函数 ①表格 ②关系式 ③图象 概念 丰富的现实背景 某些变量间存在着一定的关系，给定其中某一变量的值，相应的就确定了另一变量的值。 变量 函数不是数， 它是一种关系。 函数 一次函数 表示 方式 概念 图象 性质 应用 ①建模思想 ②数形结合思想 ③分类讨论思想 数学思想（核心素养） 知识回顾 概念 表示 方式 一次 函数 函数 如果在一个变化过程中有两个变量x和y ，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么称 y是x的函数 ①表格 ②关系式 ③图象（列表、描点、连线） 【表达式】 【性质】 【表达式的 确定】 【应用】 y＝kx＋b (k，b为常数，k≠0) ; 正比例函数y＝kx (k≠0) 当k＞0时，y随着x的增大而增大 当k＜0时，y随着x的增大而减小 k、b的取值决定 图象所在的象限 正比例函数需一个条件 一次函数需两个条件 与一元一次方程的关系 实际应用 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y ，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量。 函数 如果两个变量 x，y 间的对应关系可以表示成 y =kx+b( k，b为常数，k≠0)的形式，那么称 y是 x的一次函数。特别地，当b=0时，称 y 是 x 的正比例函数。 一次函数 已知 y=(m－2) x |m|－1+1是关于x 的一次函数,求m 的值. 例 1 解：因为y=(m－2) x |m|－1+1是关于x 的一次函数 所以|m|－1＝1，且m－2≠0，所以m＝－2. 甲、乙两地之间是一条直路,在全民健身活动中,赵明阳跑步从甲地前往乙地,王浩月骑自行车从乙地前往甲地,两人同时出发,王浩月先到达目的地,两人之间的距离 s ( km)与运动时间t(h)的函数关系大致如图所示,下列说法中错误的是( ) A.两人出发0.5 h后相遇 B.赵明阳跑步的速度为6 km/ h C.王浩月到达目的地时两人相距4 km D.王浩月比赵明阳提前0.75 h到达目的地 例 2 C 6 解决获取图象信息问题的一般方法: (1)理解题意,注意问题中变量之间的数量关系; (2)观察图象,注意图象中的交点﹑转折点及两坐标轴表示的意义等; ( 3)对这些信息进行处理,解决问题. 解题策略 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图象 性质 与y轴交点的位置 经过的象限 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点 y的值随着x值的增大而增大 y的值随着x值的增大而减小 第一、二、三象限 第一、三象限 第二、四象限 第一、三、四象限 第二、三、四象限 第一、二、四象限 一次函数 y = k x + b 的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A. k<0 B. b=－1 C. y 的值随着 x 值的增大而减小 D.当 x>2 时, k x+ b<0 B 例 3 (1)一次函数y= k x+ b 的图象和性质是由k , b的符号决定的;同样地, k ,b的符号也可由一次函数y = kx+ b的图象和性质确定. (2)图象在x轴上方的部分对应y>0,图象在x轴下方的部分对应y<0. 技巧点拨 确定一次函数的表达式y =kx+b (k，b为常数，k≠0)， 需要两个独立的条件, 这两个条件通常是 两个点的坐标 或 两对 x , y 的值。 只需求出 k，b的值即可 ④“写” ①“设” ②“代” ③“求” 设一次函数的表达式为y = kx+b ( k ≠ 0 )(正比例函数设 y = kx) 将已知的两组对应 x,y的值或两个点(通常情况下,其中一个点是与y轴的交点)的坐标分别代入表达式,建立关于k,b的两个方程; 解这两个方程，求出k，b的值； 将所求得的系数k,b代回所设表达式，写出一次函数的表达式。 “一 般 步 骤 ”： (1)已知 y是x的一次函数,x与y的部分对应值如下表,则这个一次函数的表达式是( ) A . y=－2x B . y=x＋4 C . y=－x＋2 D . y = 2x－2 C (2)已知点P(1,2)关于x轴的对称点为P',且P'在直线 y =kx+3上,把直线 y =kx+3向上平移2个单位长度,所得直线的表达式为_____________. y =－5x+5 例 4 一次函数与一元一次方程 数 形 一次函数y=kx+b(k≠0)的函数值为0时x的值 一元一次方程 kx+b=0(k≠0)的解 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标 一元一次方程 kx+b=0(k≠0)的解 13 一次函数 y = k x+ b 的图象如图所示,则 关于 x 的方程 k x+ b=2 的解为( ) A . x =1 B . x =2 C . x =3 D . 无法判断 例 5 A 数:一次函数y = kx +b中,函数值y=n时对应的自变量的值m就是一元一次方程kx+b=n 的解. 形:一次函数y=kx+b的图象中,纵坐标为n的点所对应的横坐标m就是一元一次方程kx+b=n的解. 解题策略 为让更多的学生学会游泳,少年宫新建了一个游泳池,其容积为480 m3,该游泳池有甲、乙两个进水口,注水时每个进水口各自的注水速度保持不变.某次同时打开甲、乙两个进水口注水,游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t(h)之间满足一次函数关系,其图象如图所示. 例 6 (1)根据图象求此次游泳池的蓄水量y(m3)与注水时间t(h)之间的函数关系式,并求同时打开甲、乙两个进水口的注水速度; 解: 设y与t之间的函数关系式为y=kt+b. 将(0,100), (2,380)分别代入,得100=b,380=2k+b ,所以k=140. 所以y 与t 之间的函数关系式是 y =140t+100. 同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是(380-100)÷2=140 (m3/h). 15 (2)现将游泳池的水全部排空,对池内消毒后再重新注水.已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的倍.则单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时? 解：设甲、乙两个进水口的注水速度分别为v甲 m3/h, v乙 m3/h,单独打开乙进水口注满游泳池所用时间为t1 h,则单独打开甲进水口注满游泳池所用时间为t1 h. 所以v甲·t1 = v乙· t1,所以v乙 =v甲. 因为v甲+v乙= 140，即v甲+v甲= 140，所以v甲=60. 所以单独打开甲进水口注满游泳池需480÷60=8( h). 利用一次函数的图象解决实际问题时,关键要紧扣图象上关键点的实际意义,利用关键点的坐标解决问题. 解题策略 16 书籍是人类进步的阶梯.为了鼓励全民阅读,某图书馆开展了两种方式的租书业务:一种是使用租书卡，另一种是使用会员卡，图中l1 ，l2分别表示使用租书卡和会员卡时租书金额 y(元) 与租书时间 x(天) 之间的关系. (1)直接写出使用租书卡和会员卡时租书金额 y(元) 与租书时间 x(天)之间的函数表达式; 例 7 解:(1)使用租书卡时，y=0.3x；使用会员卡时，y=0.2x+20. 技巧点拨：解决一次函数的方案选择问题，可结合图象直接进行比较，也可根据表达式先计算再比较，从而选出最优方案. (2)小红准备租某本名著50天,选择哪种租书方式比较合算?小明准备花费90元租书，选择哪种租书方式比较合算？ 解：由图象可知,当 x = 50<200 时,选用租书卡租书的租金较少,所以小红准备租某本名著50天,选择租书卡租书比较合算. 由图象可知,当 y = 90>60 时,选用会员卡租书的时间较长,所以小明准备花费90元租书,选择会员卡租书比较合算.  考点1　函数的相关概念 1. 下列式子中，y不是x的函数的是(　D　) A. y＝2x2 B. y＝x＋1 C. y＝3x D. y2＝x D 考点练习 考点过关 2. 下列曲线中不能表示y是x的函数的是(　C　) A　　　　　　B C　　　　　　D C 考点过关 3. 小邢到单位附近的加油站加油，如图是小邢所用的加油机 上的数据显示牌，则数据中的变量是(　D　) A. 金额 B. 数量 C. 单价 D. 金额和数量 D 考点过关 4. 函数y＝ 中自变量x的取值范围是(　B　) A. x＞2 B. x≥2 C. x≠2 D. x＜2 B 考点过关  考点2　函数的三种表示方法 5. 某数学气象小组为了较直观地了解当地某天24 h的气温与时 间的关系，应选择的比较好的方法是(　B　) A. 列表法 B. 图象法 C. 关系式法 D. 以上三种方法均可 B 考点过关  考点3　函数值的确定 6. 当x＝1时，函数y＝2x2－4的值是(　A　) A. －2 B. －4 C. 2 D. 4 A 考点过关 7. 用如图所示的程序框图来计算函数y的值，当输入x为－1和 7时，输出y的值相等，则b的值是(　D　) A. －4 B. －2 C. 4 D. 2 D 考点过关  考点4　正比例函数与一次函数的概念 8. 下列函数中是正比例函数的是(　A　) A. y＝－7x B. y＝ C. y＝2x2＋1 D. y＝0.6x－5 A 考点过关 9. 下列函数中，不是一次函数的是(　B　) A. y＝ x B. y＝ C. y＝ －3x D. y＝ B 考点过关  考点5　列一次函数表达式 10. 已知等腰三角形的周长为18，设腰长为x，底边长为y。 求y关于x的函数表达式。 解：∵等腰三角形的周长为18，腰长为x，底边长为y， ∴2x＋y＝18。 ∴y关于x的函数表达式为y＝18－2x。 解：∵等腰三角形的周长为18，腰长为x，底边长为y， ∴2x＋y＝18。 ∴y关于x的函数表达式为y＝18－2x。 考点过关  考点6　正比例函数和一次函数的图象与性质 11. 关于函数y＝－5x，下列判断错误的是(　D　) A. 图象经过第二、四象限 B. y随x的增大而减小 C. 图象经过点(－1，5) D. 无论x为何值，总有y＜0 D 考点过关 12. 已知一次函数y＝5x－2，下列说法正确的是(　D　) A. 它的图象经过点(2，0) B. 它的图象经过第一、二、四象限 C. y随x的增大而减小 D. 当x＞1时，y＞3 D 考点过关  考点7　确定正比例函数和一次函数的表达式 13. 已知y与x成正比例，且x＝－2时，y＝6。 (1)求y与x之间的关系式； 解：(1)设y＝kx(k≠0)。 ∵当x＝－2时，y＝6，∴6＝－2k。 解得k＝－3。 ∴y＝－3x。 (2)若点(a，－3)在这个函数的图象上，求a的值。 解：(2)∵点(a，－3)在这个函数的图象上，∴－3＝－3a。 解得a＝1。 解：(1)设y＝kx(k≠0)。 ∵当x＝－2时，y＝6，∴6＝－2k。 解得k＝－3。 ∴y＝－3x。 解：(2)∵点(a，－3)在这个函数的图象上，∴－3＝－3a。 解得a＝1。 考点过关 14. 《武经总要》是我国北宋时期的一部军事著作，其中记载了用 “硝石淋洗法”，从硝石(主要成分为硝酸钾，含有氯化钾等杂质) 中提取硝酸钾。如图是硝酸钾、氯化钾在水中的溶解度s(单位：g) 与温度t(单位：℃)之间的对应关系，则下列说法正确的是(　C　) A. 硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 B. 随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐降低 C. 当40≤t≤60时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 D. 当溶解度为40 g时，氯化钾溶液的温度比硝酸钾溶液的温度低 C 重难点突破 重难点突破 15. 将一次函数y＝2x－2的图象向上平移3个单位长度，若平 移后的图象经过点(－6，a)，则a的值为(　D　) A. 13 B. 7 C. －8 D. －11 D 重难点突破 16. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝ x＋k的图 象可能是(　A　) A B C D A 重难点突破 17. 已知P1(－3，y1)，P2(2，y2)是一次函数y＝2x＋1的图象 上的两个点，则y1，y2的大小关系是 。(用“＜” 连接) 18. 已知直线y＝ x－6与坐标轴交于A，B两点，那么线段 AB的长是 ⁠。 y1＜y2　 10　 重难点突破 19. 已知一次函数y＝(m＋1)x－(2m＋4)(m为常数，且m≠－1)。 (1)当函数图象经过第二、三、四象限时，直接写出一个符合条 件的m的值： ⁠； (2)当－2≤x≤4时，一次函数的最大值为4，则m的值为 ⁠ ⁠。 －1.5(答案不唯一)　 2或－2.5　 重难点突破 20. 手机快充是通过提升充电功率实现快速补电的技术，核心是“提高电 压”或“增大电流”。进行快充时，手机当前电量占比Q与充电时间t(单 位：min)的关系式为Q＝20％＋5％t。 (1)从关系式可看出，该手机的初始电量占比为 ⁠。 (2)当充电时间为0.1 h时，求该手机的可用电量占比。 解：(2)当t＝0.1 h＝6 min时，Q＝20％＋5％×6＝50％。 ∴该手机的可用电量占比为50％。 (3)预计多长时间可充满电？ (3)当充满电时Q＝100％，此时100％＝20％＋5％t。解得t＝16。 ∴预计16 min可充满电。 20％　 解：(2)当t＝0.1 h＝6 min时，Q＝20％＋5％×6＝50％。 ∴该手机的可用电量占比为50％。 (3)当充满电时Q＝100％，此时100％＝20％＋5％t。解得t＝16。 ∴预计16 min可充满电。 重难点突破 21. 某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售 价如表所示： 类型 A B 进价(万元/套) 3 2.4 售价(万元/套) 3.3 2.8 (1)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元， 则该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？ 解：(1)设购进A种多媒体a套，则购进B种多媒体(50－a)套。 由题意，得3a＋2.4(50－a)＝132。 解：(1)设购进A种多媒体a套，则购进B种多媒体(50－a)套。 由题意，得3a＋2.4(50－a)＝132。 解得a＝20。则50－a＝50－20＝30。 答：购进A种多媒体20套，B种多媒体30套。 解得a＝20。则50－a＝50－20＝30。 答：购进A种多媒体20套，B种多媒体30套。 重难点突破 21. 某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示： 类型 A B 进价(万元/套) 3 2.4 售价(万元/套) 3.3 2.8 (2)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套(10＜ m＜20)，当把购进的两种多媒体全部售出，则购进A种多媒体多少套时，能获得最 大利润，最大利润是多少万元？ (2)设利润为w万元。 由题意，得w＝(3.3－3)m＋(2.8－2.4)×(50－m)＝－0.1m＋20。 ∴w随m的增大而减小。 ∵10＜m＜20，m为整数， ∴当m＝11时，w取得最大值，此时w＝－0.1×11＋20＝18.9。 答：购进A种多媒体11套时，能获得最大利润，最大利润是18.9万元。 (2)设利润为w万元。 由题意，得w＝(3.3－3)m＋(2.8－2.4)×(50－m)＝－0.1m＋20。 ∴w随m的增大而减小。 ∵10＜m＜20，m为整数， ∴当m＝11时，w取得最大值，此时w＝－0.1×11＋20＝18.9。 答：购进A种多媒体11套时，能获得最大利润，最大利润是18.9万元。 重难点突破 22. 正比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意不同的两点A(x1，y1)， B(x2，y2)，记： ＝ 。 (1)当A(3，2)，B(6，4)时，k＝ 　 　， ＝ 　 　； 　 　 (2)证明：∵正比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意不同的两点A(x1， y1)，B(x2，y2)， ∴y1＝kx1，y2＝kx2。∴y2－y1＝kx2－kx1＝k(x2－x1)。 ∴k＝ 。 又∵ ＝ ，∴ ＝k。 (2)求证： ＝k； (2)证明：∵正比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意不同的两点A(x1， y1)，B(x2，y2)， ∴y1＝kx1，y2＝kx2。∴y2－y1＝kx2－kx1＝k(x2－x1)。∴k＝ 。 又∵ ＝ ，∴ ＝k。 素养大挑战 22. 正比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意不同的两点A(x1，y1)， B(x2，y2)，记： ＝ 。 (3)我们知道物体的质量m与它的体积V之间，有关系式m＝ρV， 其中ρ为该物体的密度(单位：g/cm3)，当一物体的体积增加1 cm3 时，该物体的质量增加7.9 g，求该物体的密度。 (3)解：由(2)可知 ＝ρ， ∵ΔV＝1 cm3，Δm＝7.9 g， ∴该物体的密度为ρ＝ ＝7.9(g/cm3)。 (3)解：由(2)可知 ＝ρ， ∵ΔV＝1 cm3，Δm＝7.9 g， ∴该物体的密度为ρ＝ ＝7.9(g/cm3)。 素养大挑战 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y＝－ x ＋b，它与坐标轴分别交于A，B两点，已知点B的纵坐标为4。 (1)求出点A的坐标； 解：(1)∵点B的纵坐标为4，且点B在y轴上，∴B(0，4)。 将点B(0，4)代入y＝－ x＋b，得b＝4。 ∴直线l的函数表达式为y＝－ x＋4。 令y＝0，即0＝－ x＋4，得x＝3。 ∴A(3，0)。 解：(1)∵点B的纵坐标为4，且点B在y轴上，∴B(0，4)。 将点B(0，4)代入y＝－ x＋b，得b＝4。 ∴直线l的函数表达式为y＝－ x＋4。 令y＝0，即0＝－ x＋4，得x＝3。 ∴A(3，0)。 素养大挑战 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y＝－ x＋b，它与坐标轴分别交于A，B两点，已知点B的纵坐标为4。 (2)在第一象限的角平分线上是否存在点Q，使得∠QBA＝90°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (2)存在。理由如下： 由A(3，0)，B(0，4)，得BA＝ ＝5。 ∵点Q在第一象限的角平分线上， 设点Q的坐标为(x，x)，则x＞0。 在△QBA中，∵∠QBA＝90°， 根据勾股定理，得QB2＋BA2＝QA2。 ∴x2＋(x－4)2＋52＝x2＋(x－3)2。解得x＝16。 ∴存在点Q(16，16)，使得∠QBA＝90°。 (2)存在。理由如下： 由A(3，0)，B(0，4)，得BA＝ ＝5。 ∵点Q在第一象限的角平分线上， 设点Q的坐标为(x，x)，则x＞0。 在△QBA中，∵∠QBA＝90°， 根据勾股定理，得QB2＋BA2＝QA2。 ∴x2＋(x－4)2＋52＝x2＋(x－3)2。解得x＝16。 ∴存在点Q(16，16)，使得∠QBA＝90°。 素养大挑战 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y＝－ x＋b，它与坐标 轴分别交于A，B两点，已知点B的纵坐标为4。 (3)点P为y轴上一点，连接AP，若∠APO＝2∠ABO，求点P的坐标。 (3)当点P在y轴正半轴上时， ∵∠APO＝2∠ABO，∴点P在点B下方，且∠PAB＝∠PBA。∴PA＝PB。 设P(0，y)。 又A(3，0)，B(0，4)，PA2＝OP2＋OA2，∴(4－y)2＝y2＋32。 (3)当点P在y轴正半轴上时， ∵∠APO＝2∠ABO，∴点P在点B下方，且∠PAB＝∠PBA。∴PA＝PB。 设P(0，y)。 又A(3，0)，B(0，4)，PA2＝OP2＋OA2，∴(4－y)2＝y2＋32。 解得y＝ 。 ∴P 。 根据对称性可得另一个点P的坐标为P 。 综上所述，点P的坐标为 或 。 解得y＝ 。 ∴P 。 根据对称性可得另一个点P的坐标为P 。 综上所述，点P的坐标为 或 。 素养大挑战 $