福建省福州第一中学2026-2027学年高三上学期第一次质量检测数学试题

福州一中2027届高三第一学期第一次质量检测 高三数学试卷 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．样本数据6，7，8，4，5，12的中位数为（ ） A．5.5 B．6 C．6．5 D．7 2．设，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．曲线在A点处的切线与直线垂直，则切线方程为（ ） A． B． C． D． 5．已知椭圆，M为椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点P的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线 6．已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（ ） A．1 B． C． D．2 7．已知等差数列，的前项和分别为和，若，且是整数，则n的值为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 8．已知函数的最小值为0，则a的值为（ ） A． B．0 C． D．1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数（其中i为虚数单位），则（ ） A．的虚部为 B． C． D． 10．在正方体中，动点在线段上，则（ ） A．直线与所成的角大于 B．对任意的点，都有平面 C．存在点，使得平面平面 D．不存在点，使得平面平面 11．在平面直角坐标系中，与轴分别交于，两点（点在点的左侧），为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域记作，则下列说法正确的是（ ） A．若，则与轴公共点坐标为和 B．若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为 C．内的点到轴距离的最大值为 D．与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．双曲线的离心率为___________． 13．已知函数（，）的一条对称轴为，且对任意，都有，则___________；若对于任意的，，都有成立，则实数的最大值是___________． 14．设正实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，…，是公差为的等差数列，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）福州一中学生联合会试卖一款文创纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 （1）已知两个变量线性相关，请建立关于的经验回归方程； （2）若希望把销量提升到2000件左右，则该纪念品的定价应为多少？（保留整数） 参考公式：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为： ，． 16．（15分）设的内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，，且，求的面积． 17．（15分）已知函数． （1）当时，求函数的单调区间和最值． （2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围． 18．（17分）如图1，抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点（点在第一象限）．当时，． （1）求抛物线的方程； （2）如图2，把沿翻折得，使得二面角的大小为． （ⅰ）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）当变化时，三棱锥的体积是否为定值；若是，求出这个值；若不是，说明理由． 19．（17分）若数列（，，）满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合． （1）若是16项数列，当且仅当（，）时，，求数列的所有项的和； （2）已知且，，，记随机变量． （ⅰ）当时，求随机变量的分布列及期望； （ⅱ）若，是两个不同的数列；求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州一中2027届高三第一学期第一次质量检测 数学试卷参考答案 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分． 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B A B D C C 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD BCD ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．（2分） （3分） 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）【解】（1）由题可知：， ；计算得， 所以，， 关于的经验回归方程为． 9分 （2）当时，． 答：若把销量提升到2000件左右，则该纪念品的定价应为10元． 13分 16．（15分）【解】（1）由正弦定理：， 所以， 所以， 得． 因为为三角形内角，所以，所以． 又，所以． 7分 （2）如图：因为，所以为的重心． 延长交与点，则为中点．因为，所以． 因为，所以， 即① 在中，由余弦定理得：② 由①②得：． 所以． 15分 17．（15分）【解】的定义域 （1）当时，， 当时，；当时，；当时，； 所以的单调增区间，的单调减区间； 的最大值为，无最小值． 6分 （2）， 若，当时，，， 所以，在上无零点，舍去； 若，则， 令，则， 则在上单调递减，且， ①若，即，此时，在上单调递减， 又，所以，不合题意，舍去； ②若，即，此时，则存在，使得，即， 故在上单调递增，在上单调递减，所以， 当时，， 令，解得， 因为，且，所以存在唯一的，使得，满足条件； 综上所述，实数的取值范围为． 15分 18．（17分）【解】（1）设，依题意，； 当时，设的方程为：， 代入得：； 所以； 依题意：，解得， 所以抛物线的方程为． 4分 （也可设的方程为，答案正确亦同样给分） （2）①在平面直角坐标系中，若，则直线的方程为， 联立，得：，解得，或； 所以点，的坐标分别为，． 过点作平面的垂线为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，， 当二面角的大小为时，点， 即；所以，，， 设面的法向量为，则，即， 取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 10分 ②由题意得 ， 当时，，此时， 当时，在平面直角坐标系中，设直线的斜率为，则直线的方程为， 设点，的坐标分别为，， 联立，得 则，，， 因为，，所以，得， 所以 ， 综上所述，三棱锥的体积为定值． 17分 19．（17分）【解】（1）因为是16项数列，当且仅当时，， 所以当，和时，． 又，所以数列即； 设的所有项的和为， 则 所以数列的所有项的和为． 4分 （2）（i）因为数列，是从集合中任意取出的两个数列，所以数列，为3项数列，所以的可能取值为：0，1，2，3．根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有个，当时，则数列，中有项取值不同，有项取值相同， 所以，，；；； 随机变量的分布列 X 0 1 2 3 所以． 9分 （ii）证明：因为数列，是从集合中任意取出的两个不同数列，所以数列，为项数列，所以的可能取值为：1，2，3，…，k．根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有 个，当时，则数列，中有项取值不同，有项取值相同，从项中选择项，和在项的某一项数字相反，其余项，两者均在同一位置数字相同，由于，此问题为组合问题，故所有的情况会重复1次，故共有种情况，所以， 因为， 所以 ， 即． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $