专题05 圆锥曲线中的最值、范围问题（专项训练）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦圆锥曲线最值范围问题，通过10类题型系统覆盖几何量与代数量求解，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |高频重点题型|21题|线段和差/离心率/斜率相关|定义转化与几何性质应用| |常规综合题型|35题|弦长/面积/距离/数量积|方程思想与参数法结合| |创新拓展题型|12题|角度/参数/新定义问题|跨知识点综合与创新思维|

专题05 圆锥曲线中的最值、范围问题 常考题型·精准突破 题型01 线段和、差的最值问题 （高频） 题型02 弦长的最值、范围问题 题型03 离心率的最值、范围问题（重） 题型04 面积相关的最值、范围问题 题型05 距离有关的最值、范围问题 题型06 数量积的最值、范围问题 题型07 斜率相关的最值、范围问题（重） 题型08 角度相关的最值、范围问题 题型09 参数的最值、范围问题（重） 题型10 与最值、范围相关的新定义问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01 线段和、差的最值问题 1．（2027高二·全国·专题练习）已知点P在椭圆上，，，则的最大值是（   ） A．4 B． C． D．6 2．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 5．（多选）（2026·河北张家口·一模）已知抛物线C：的焦点为F，点，P为C上的动点，则（   ） A．满足的点P恰有两个 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．的最大值为3 6．（25-26高二下·上海·期末）已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 7．（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 题型02 弦长的最值、范围问题 1．已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知中心在坐标原点的椭圆的一个焦点为，且过点，过原点作两条互相垂直的射线交椭圆于、两点，则弦长的取值范围为_________． 4．已知椭圆的焦距为2，点在上，为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点. （i）若点的坐标为，证明：； （ii）若，当时，求弦长的取值范围. 5．已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 题型03 离心率的最值、范围问题 1．（25-26高二下·重庆·期中）已知为坐标原点，、、分别是椭圆：（）的右顶点、下顶点和左焦点，点在椭圆上，且．若，估计椭圆的离心率的值所在的区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南许昌·期中）如图，已知椭圆与双曲线（，）有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为（   ）    A． B．4 C．8 D． 3．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江西·期末）在平面直角坐标系中，若椭圆：上存在两点A，B，使得，且，则的离心率的取值范围是_______. 6．（25-26高二下·上海·期中）法国数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的蒙日圆为圆，若直线与圆没有公共点，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 7．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知分别是椭圆和双曲线的离心率，是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为___________． 题型04 面积相关的最值、范围问题 1．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知椭圆：，斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． (1)求直线在轴截距的取值范围； (2)求点的轨迹方程； (3)线段的垂直平分线交轴于点，当为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？ 2．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知椭圆经过点，其右焦点为，左、右顶点分别为，． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为椭圆上任意一点（不与左、右顶点，重合），求证：直线，的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)若过点的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． 3．（25-26高二下·四川自贡·期末）已知椭圆：的一个顶点，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点为椭圆上一动点，直线与坐标轴交于，两点，求面积的取值范围． 4．（25-26高二下·河南·期中）已知是离心率为的双曲线E：的左焦点，C，D两点在该双曲线上，且关于坐标原点O对称，． (1)求E的方程． (2)过点作斜率为k的动直线l与E的左、右两支分别交于点M，N，在y轴上存在点Q，使得直线QM与QN的斜率之和为0． （i）求点Q的坐标； （ii）求面积的最小值． 5．（25-26高三上·贵州·阶段检测）设抛物线，直线，直线.已知与的四个交点组成的四边形面积为12. (1)求的方程； (2)记四边形外接圆圆心为，以为圆心作圆，已知圆与有4个交点. （i）求圆半径的取值范围； （ii）求圆与的4个交点组成的四边形面积的最大值. 6．（25-26高二上·四川成都·期末）已知直线与抛物线交于两点，不同于的直线与交于两点，设直线与的交点为． (1)证明：点在直线上； (2)若的中点为． （ⅰ）求直线的斜率； （ⅱ）求四边形面积的最小值． 题型05 距离有关的最值、范围问题 1．（25-26高二上·天津南开·期末）已知椭圆，该椭圆上一点到直线距离的最大值为，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线过点且与直线平行，为抛物线上的动点，到的准线的距离为到的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·期末）在抛物线上有一动点，则到直线距离的最小值为______． 4．（25-26高二下·上海·期中）已知椭圆，点为椭圆的上顶点，点，为椭圆的左右焦点，点为椭圆上的一个动点. (1)求的周长； (2)若，求点的坐标； (3)求动点到点距离的最大值和最小值. 5．（26-27高二上·重庆·期末）已知椭圆的长轴为8，动圆的圆心在直线上运动，半径为，过椭圆上一点作圆的两条切线（点在圆外），交椭圆于另一个交椭圆于另一个，设的斜率分别为 (1)求椭圆的标准方程 (2)①求证：为定值；②过点作直线的垂线，垂足为，求点到直线的距离的最大值． 6．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，，分别为双曲线C的左、右焦点. (1)求双曲线C的标准方程; (2)P是双曲线C上异于左、右顶点的一点，过作平分线的垂线，垂足为M，求点M到直线的距离的最小值. 7．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知双曲线经过点，且右顶点为.过点作直线与交于、两点，直线、分别与轴交于点、. (1)求的方程； (2)若的方程为，求的面积； (3)设点、到的距离分别为、，求的最大值. 题型06 数量积的最值、范围问题 1．（2026·陕西渭南·三模）已知点P为椭圆上任意一点，直线l过的圆心且与交于A，B两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为________. 3．设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为线段的中点，求直线的方程； (3)当直线过点时，求的取值范围． 4．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知椭圆：（）经过，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为1的直线交椭圆于，两点． （i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）求的最小值． 5．（25-26高二下·四川成都·期中）设点，直线相交于点，且它们的斜率之积为. (1)求点的轨迹方程； (2)若， ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 题型07 斜率相关的最值、范围问题 1．已知抛物线为坐标原点，是抛物线上任意一点，为焦点，且，则直线的斜率的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（25-26高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点是，点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知点为抛物线上一点，为坐标原点，平面上一动点满足，求直线斜率的取值范围． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点． (1)若直线的斜率存在，求出直线斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求直线斜率的取值范围． 4．（25-26高二下·四川成都·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，． (1)若椭圆的离心率为． ①求椭圆的方程； ②若时，求的面积； (2)当时，求的取值范围． 5．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限． (1)若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e； (2)若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的斜率的取值范围． 题型08 角度相关的最值、范围问题 1．已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线C：的左焦点为，离心率为2． (1)求C的方程： (2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R． （ⅰ）若的面积是的面积的6倍，求l的方程； （ⅱ）求的取值范围． 3．（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）已知点在离心率为2的双曲线：上，直线：交双曲线的右支于，两点． (1)求双曲线的方程． (2)线段的垂直平分线过点． ①探究并写出与的关系式； ②求的取值范围． 4．（25-26高二上·山东临沂·期末）已知双曲线过点，且渐近线方程为，直线与交于不同的两点、（异于双曲线的顶点）. (1)求的方程； (2)为双曲线的下顶点，若以为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； (3)若、在双曲线的上支，且线段的垂直平分线过点，求的取值范围. 5．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，为坐标原点，点为椭圆C上的动点，椭圆C的离心率为，的面积的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)，为椭圆的左，右顶点，点，当不与，重合时，射线交椭圆于点，直线，交于点． （i）求点的轨迹方程； （ii）求的最大值. 6．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知椭圆：的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点. (1)求椭圆方程； (2)点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）当最大时，求直线方程. 题型09 参数的最值、范围问题 1．抛物线的焦点为，为坐标原点，，点为抛物线上任意一点，的平分线与轴的交点为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．抛物线：焦点为，准线与轴交于K，点P为抛物线上任意一点，的角平分线与轴交点为，则m最大值为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽·期末）已知点是椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一个动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为___________． 4．（25-26高二下·重庆·期中）椭圆：（）的焦点分别为，，上顶点是，是面积为的等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆相交于，两点，且，求实数的取值范围． 5．（25-26高二上·山东·期末）（1）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，若为的中点，求直线的方程； （2）设椭圆，弦过定点，且满足，若，求的取值范围. 题型10 与最值、范围相关的新定义问题 1．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）我们定义：如果焦点在坐标轴上的椭圆A过圆B某一直径的两个端点，且面积比圆大，则称椭圆A是圆B的“超椭”，设圆B的半径为r，椭圆A的长半轴长为a、短半轴长为b（），设为“超椭”的特征值，则“超椭”的特征值的取值范围为__________.（用椭圆A的离心率表示） 2．（25-26高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，若，则称点被直线分隔.若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线. (1)若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围； (2)已知动点到点的距离与到轴的距离之积为1.设点的轨迹为曲线，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线. 3．（25-26高二上·福建·阶段检测）中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线也称为卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中到两定点、距离之积为的点的轨迹是双纽线，其轨迹为一条连续的封闭曲线， (1)判断是否在曲线上； (2)若点在椭圆上，，证明：； (3)若直线与曲线只有一个交点，求的取值范围. 4．造型可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为    (1)求a的值; (2)当点在C上时，求证： (3)如图，过点F作两条互相垂直的弦，分别交曲线C于，，，，其中，求四边形面积的最小值. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二上·山东枣庄·期中）设是椭圆的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 2．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知双曲线的两条渐近线分别为，点为右支上任意一点，它到的距离分别为，到右焦点的距离为，则（   ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 5．（25-26高二上·北京东城·阶段检测）“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，，则就是“天问一号”在点时对火星的观测角．图（2）所示的四个点处，对火星的观测角最小的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高二下·云南昭通·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，的最大值为3，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为 C．当P为椭圆短轴端点时，的面积最大 D．的最大值为 7．（多选）（2026高二上·广东·专题练习）已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（    ） A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 8．（多选）（25-26高二上·福建莆田·期末）已知在抛物线上，F为E的焦点，为E上异于原点O的动点，E在点A处的切线l分别与x轴，y轴交于B，C两点，过B作AF的垂线，垂足为H，过O作的垂线与AF延长线交于点P，则（   ） A． B．，使得为锐角三角形 C． D．的最大值为3 9．（2026·四川雅安·二模）已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，点在抛物线：上运动，过点作曲线的切线，切点分别为，，则的最小值为______． 10．（25-26高二下·四川德阳·期末）双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为2，实轴长为2，点P在双曲线C上，过点P分别作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则|AB|的最小值为______． 11．（25-26高二下·浙江杭州·期末）已知双曲线，过点的直线与的上、下两支分别交于点，． (1)若点是上的动点，求的最小值； (2)设为坐标原点，直线，的斜率分别为，， （i）若，求直线的方程； （ii）求的取值范围． 12．（25-26高二下·安徽滁州·期末）已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为，，且． (1)求的方程； (2)点是直线：上的一点，直线交于另外一点（异于点），直线交于另外一点． （ⅰ）求证：直线经过定点； （ⅱ）记和的面积分别为，，求的最大值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆锥曲线中的最值、范围问题 常考题型·精准突破 题型01 线段和、差的最值问题 （高频） 题型02 弦长的最值、范围问题 题型03 离心率的最值、范围问题（重） 题型04 面积相关的最值、范围问题 题型05 距离有关的最值、范围问题 题型06 数量积的最值、范围问题 题型07 斜率相关的最值、范围问题（重） 题型08 角度相关的最值、范围问题 题型09 参数的最值、范围问题（重） 题型10 与最值、范围相关的新定义问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01 线段和、差的最值问题 1．（2027高二·全国·专题练习）已知点P在椭圆上，，，则的最大值是（   ） A．4 B． C． D．6 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义，将转换成到另一焦点的距离，再利用线段长度的临界位置进行求解. 【详解】如图，设椭圆的左焦点为F，射线交椭圆于点C，射线交椭圆于点D， 则，等号在点P，D重合时取到． ，等号在点P，C重合时取到． 因而的最大值是，最小值是． 2．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点坐标可求，结合双曲线的定义可得答案. 【详解】因为右焦点为，所以，即； 设双曲线的左焦点为，则；由双曲线的定义得， 所以，当三点共线时，有最小值， 最小值为，所以的最小值为. 3．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的左焦点为F，P为C的右支上一动点，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设双曲线右焦点为，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差小于第三边的几何性质求解即可． 【详解】设双曲线的右焦点为，则，， 而（渐近线斜率）， 故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 所以的最大值为， 故选：C 4．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】先利用抛物线定义，将 “点到坐标轴的距离” 转化为 “点到焦点的距离”，消去动点到坐标轴的距离；再将原目标式转化为 “动点到两个定点的距离和（差）” 的形式，最后利用 “两点之间线段最短”，通过三点共线求出转化后式子的最值，并还原为原问题的答案即可. 【详解】因为抛物线方程的标准形式为， 所以焦点，准线方程为：，延长交准线于，连接，如图： 根据抛物线的定义得， 当且仅当，，三点共线时， ， 的最小值为. 5．（多选）（2026·河北张家口·一模）已知抛物线C：的焦点为F，点，P为C上的动点，则（   ） A．满足的点P恰有两个 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．的最大值为3 【答案】BCD 【分析】先求出抛物线焦点坐标，再利用抛物线的定义，结合平面几何知识求解即可. 【详解】因为，所以焦点为， 因为，所以点位于线段的垂直平分线上，其直线方程为， 与抛物线C仅有一个交点，故A错误； 如图1，点在抛物线外，故的最小值为，故B正确； 如图2，过作轴的平行线，与准线交于点，与抛物线交于点， 根据抛物线定义，此时有最小值，故C正确； 因为，当且仅当三点共线且在之间时取等号，故D正确． 6．（25-26高二下·上海·期末）已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 【答案】/ 【分析】借助椭圆的定义将代换为，把目标式转化为定值与距离差的和，再利用三角不等式求解距离差的最大值，进而得到目标式的最大值. 【详解】椭圆中，，，故，焦点，. 由椭圆的定义得，即， 因此. 在中，由三角不等式得， 当且仅当三点共线且位于之间时取等号. 计算得，故. 经检验，直线与椭圆存在满足取等条件的交点，等号可取. 7．（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 【答案】 【详解】由题意可知双曲线的实半轴长，设右焦点为， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号. 的最大值为 题型02 弦长的最值、范围问题 1．已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式将表示成的函数即可求解. 【详解】设直线的方程为，由，得， 由，得， 则， 所以， 当时取到最大值，此时直线的方程为． 故选：B． 2．直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点、，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、韦达定理以及二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】直线与轴的交点为，所以，， 所以， 联立，整理得． ， 设、，则， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立． 因此，的最小值为. 故选：C. 3．已知中心在坐标原点的椭圆的一个焦点为，且过点，过原点作两条互相垂直的射线交椭圆于、两点，则弦长的取值范围为_________． 【答案】 【分析】先求出椭圆的标准方程，对直线的斜率是否同时存在进行分类讨论，当直线分别与两坐标轴重合时，直接求出的值；当直线的斜率都存在时，设直线，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】由题意焦点在轴上面，，所以， 所以椭圆的标准方程为， 当直线分别与两坐标轴重合时，； 当直线的斜率都存在时，设直线，联立，可得， 所以， 同理可得， 所以 ， 因为，则，令， 令， 因为函数在上为增函数，在上为减函数， 又因为，，则， 此时，则. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 4．已知椭圆的焦距为2，点在上，为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点. （i）若点的坐标为，证明：； （ii）若，当时，求弦长的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（i）分直线是否与轴重合，设，与椭圆方程联立，根据韦达定理求证即可； （ii）化简求出其范围，再利用韦达定理化简得出即可求出的范围，利用弦长公式化简，令即可. 【详解】（1）由题意得，，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）当直线与轴重合时，显然成立； 当直线与轴不重合时，设直线方程为. 联立，得， 则，. 则， 因为， 所以. 故的倾斜角互补，所以； 综上，. （ii）由，则. 可得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，所以， 由 ， 令，则， 因为，所以，则弦长的取值范围为. 5．已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率以及经过的点即可联立求解曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得，根据弦长公式，结合不等式即可求解， 【详解】（1）由题意可得，解得， 故双曲线方程为. （2）当直线斜率不存在时，可设， 则， 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线斜率存在时，设其方程为，设， 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，故， 因此， 综上可得. 题型03 离心率的最值、范围问题 1．（25-26高二下·重庆·期中）已知为坐标原点，、、分别是椭圆：（）的右顶点、下顶点和左焦点，点在椭圆上，且．若，估计椭圆的离心率的值所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件求出，进而得到，构造函数，根据导数与单调性的关系得到在上单调递减，结合零点存在定理判断即可. 【详解】由题意知，、、，设， 因为，所以， 代入椭圆方程解得，所以， 由已知可知点在第二象限，所以，则， 则，又，， 所以，整理得，则， 又，所以， 又（），则， 令（）， 则， 所以在上单调递减； 又，， ， ， ， 结合零点存在定理可知，椭圆的离心率. 2．（25-26高二下·河南许昌·期中）如图，已知椭圆与双曲线（，）有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为（   ）    A． B．4 C．8 D． 【答案】A 【分析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得的关系，由此可得，再利用三角换元求最大值. 【详解】为第一象限的交点，设、， 则、，解得、， 在中，由余弦定理得：， ∴，∴， ∴，∴，∴， 设，，则， 当时，即，时，取得最大值. 3．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）若双曲线：的两条渐近线均与圆：相交，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据双曲线方程求出渐近线方程，再利用圆心到渐近线距离小于半径列出不等式求出的范围，最后根据离心率公式求出离心率的范围. 【详解】双曲线：中，，则， 所以渐近线方程为，即， 又因为圆：的圆心为，半径， 由题意得，化简可得：，整理得：， 求解可得：，又因为，所以， 又因为，，则，即， 所以，即的离心率． 4．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与双曲线方程求出，根据题意列出关于的不等式，再转化为离心率即可. 【详解】将直线代入得， 所以， 因为大于的虚轴长，所以，即， 同时除以得， 解得，所以离心率， 所以的离心率的取值范围是. 5．（25-26高二下·江西·期末）在平面直角坐标系中，若椭圆：上存在两点A，B，使得，且，则的离心率的取值范围是_______. 【答案】 【分析】设，，将A，B的坐标分别代入C的方程， 法一：消去，得出，由椭圆的性质得到，，进而得到，最后根据椭圆的离心率求解； 法二：消去，得，根据，得到，最后根据椭圆的离心率求解； 法三：分直线斜率是否存在讨论，当斜率存在时，设直线，的方程分别为，，将直线与椭圆方程联立，求出，，得到，令，则，求出，由，得到，最后根据椭圆的离心率求解. 【详解】由题意，设，， 将A，B的坐标分别代入C的方程，得 法一：消去，可得，由椭圆的性质，得，，得， 整理得，即，又， 所以，故C的离心率的取值范围为. 法二：消去，可得，解得，考虑到，可得，即，下同法一. 法三：当直线斜率不存在，即，时，显然有； 当直线斜率存在时，设直线，的方程分别为，， 由与联立，解得，则， 所以，同理， 所以. 令，则，所以，解得， 由，解得， 所以，， 又，所以. 故的离心率的取值范围为. 6．（25-26高二下·上海·期中）法国数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的蒙日圆为圆，若直线与圆没有公共点，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据蒙日圆定义求得椭圆的蒙日圆方程，根据直线与圆的位置关系求出的取值范围，结合椭圆的离心率公式可求得结果. 【详解】因为，则椭圆的焦点在轴上， 因为直线，与椭圆都相切， 所以直线，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆， 且圆的圆心为坐标原点，半径为， 因为直线与圆没有公共点，所以，解得， 所以， 故椭圆的离心率为. 7．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知分别是椭圆和双曲线的离心率，是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义将几何条件转化为关于的代数关系，进而建立目标式与离心率的关系，最后利用柯西不等式求解最值. 【详解】 设椭圆的长半轴长为，半焦距为，根据椭圆的定义. 设双曲线的实半轴长为，半焦距为，根据双曲线的定义， 不妨设，则有. 联立得. 因为，所以根据勾股定理有， 化简得：，两边同除以可得：， 则根据柯西不等式得， 当且仅当 所以的最大值为. 题型04 面积相关的最值、范围问题 1．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知椭圆：，斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． (1)求直线在轴截距的取值范围； (2)求点的轨迹方程； (3)线段的垂直平分线交轴于点，当为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，三角形的面积有最大值，最大值为 【分析】（1）直线与椭圆交于，两点，联立方程组则，即可得到 m的取值范围为. （2）设直线与椭圆的交点，，并设，由韦达定理得到， 因为点M在直线上，得到， 消去m，再确定的范围即可求解. （3）先利用弦长公式得到 ，再由两点间的距离公式得到，则三角形的面积，可知当，三角形的面积有最大值. 【详解】（1）设这组平行直线的方程为， 把代入椭圆方程， 得， 这个方程的根的判别式． 由，得，所以的取值范围为． （2）设直线与椭圆的交点，，并设， 则，，             因为点在直线上，所以，         与联立，消去，得，             又由（1）可知，所以， 所以M的轨迹方程为． （3）由韦达定理，，， 则 ，                 由（2）知，， 所以线段的垂直平分线的方程为， 所以点的坐标为，             则，         三角形的面积， 当且仅当，即时等号成立， 所以当，即时，的面积有最大值，最大值为. 2．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知椭圆经过点，其右焦点为，左、右顶点分别为，． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为椭圆上任意一点（不与左、右顶点，重合），求证：直线，的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)若过点的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)设点，则，即， 由题意可知：，， 则， 所以直线，的斜率之积为定值，该定值为． (3) 【分析】（1）根据题意列方程求的值，即可得椭圆的标准方程； （2）设点，可得，结合斜率公式分析证明即可； （3）设，，，，与椭圆方程联立利用韦达定理可得，进而可得，换元利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由题意可得：，解得，，， 所以椭圆的标准方程为． （2）略 （3）由题意可知：直线不垂直于坐标轴，且过点， 设，，，， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 可得，， 则， 因为，则， 可得的面积． 设，则， 可得， 当且仅当，即，时，等号成立 所以的面积的最大值为． 3．（25-26高二下·四川自贡·期末）已知椭圆：的一个顶点，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点为椭圆上一动点，直线与坐标轴交于，两点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)结合椭圆顶点坐标、离心率及求解参数得标准方程. (2)先求线段长度，再通过椭圆参数方程将点到直线距离转化为三角函数最值问题，进而得到面积取值范围. 【详解】（1）由题意，椭圆短轴上顶点为，故，即. 已知离心率，即，结合椭圆参数关系， 代入得： ， 解得， 因此椭圆的标准方程为. （2）对直线，令得，即，令得，即， 故. 设椭圆上点的参数坐标为， 由点到直线距离公式，到直线的距离为： ， 因，故，取绝对值得，因此. 的面积，代入的范围得. 4．（25-26高二下·河南·期中）已知是离心率为的双曲线E：的左焦点，C，D两点在该双曲线上，且关于坐标原点O对称，． (1)求E的方程． (2)过点作斜率为k的动直线l与E的左、右两支分别交于点M，N，在y轴上存在点Q，使得直线QM与QN的斜率之和为0． （i）求点Q的坐标； （ii）求面积的最小值． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）利用双曲线的定义与离心率即可求解结果； （2）（i）设，，l：，与双曲线联立方程，得到根与系数关系，设，由化简即可得到点Q的坐标； （ii）利用弦长公式得到，利用点到直线的距离公式得到到直线的距离，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）设双曲线的右焦点为，连接，， 由题意知，四边形是平行四边形，∴， ∴，∴， ∵离心率，∴半焦距， ∴， ∴E的方程为； （2）（i）设，，l：， 代入，整理得， ∴，解得， ∴，， 设，则 ， ∴ ， 即， 要使上式在时恒成立，则，， ∴； （ii）由（i）知， ， 点到直线l的距离为， ∴， 设，∵，∴，， ∴； 设，由对勾函数的性质知，单调递增， ∴， ∴，， ∴， 故面积的最小值为． 5．（25-26高三上·贵州·阶段检测）设抛物线，直线，直线.已知与的四个交点组成的四边形面积为12. (1)求的方程； (2)记四边形外接圆圆心为，以为圆心作圆，已知圆与有4个交点. （i）求圆半径的取值范围； （ii）求圆与的4个交点组成的四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）先求得与相交弦的弦长和与相交弦的弦长，然后利用得四边形面积为设，利用导数研究其单调性，注意到，求得，即可得解； （2）（i）先求得，由对称性知圆与在第一象限内必存在两个交点，设交点坐标为，则，将问题转化为直线与在上有两解，结合二次函数性质求解即可； （ii）由对称性易知圆与的4个交点组成的四边形为梯形，设圆与在第一象限内交于，两点，且设.则.则，设，且，则，利用导数法求得的最大值为，即可得解. 【详解】（1）设与抛物线交于两点， 联立与，解得，即， 则， 所以 则与相交弦的弦长， 与相交弦的弦长， 注意到，则四边形面积为    设，且， ，故单调递增， 故有且仅有一个解， 故. （2）（i）由（1），， 由两条直线的倾斜角对称性易知在轴上， 将代入得到PQ中点坐标为， 则过该中点且垂直于直线PQ的直线方程为， 令解得，故.       由于在轴上，由对称性知圆与在第一象限内必存在两个交点， 设交点坐标为，则， 当方程有两解时， 等价于直线与在上有两解， 故，则.       （ii）由对称性易知圆与的4个交点组成的四边形为梯形，且上底与下底均与轴垂直， 故不妨设圆与在第一象限内交于，两点，且设. 其中由（2）（i），为的解，则， 则， 其中将代入得.       设，且， 则，       设，， 则， ，则在上单调递减， 又，故，使得. 所以，即单调递增； ，即单调递减；故的最大值为.          令，即，解得， 则， 故，则， 即四边形面积的最大值为. 6．（25-26高二上·四川成都·期末）已知直线与抛物线交于两点，不同于的直线与交于两点，设直线与的交点为． (1)证明：点在直线上； (2)若的中点为． （ⅰ）求直线的斜率； （ⅱ）求四边形面积的最小值． 【答案】(1) 与的交点为， 由得 点在直线上； (2)（ⅰ）0；（ⅱ） 【分析】（1）根据两直线方程求得其交点坐标为，即可得出结论； （2）（ⅰ）设，利用分别求得的坐标为，再结合韦达定理即可求得斜率为0； （ⅱ）利用中位线性质以及三角形相似可得四边形的面积为，求出其面积表达式再由二次函数性质即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）不妨设，由（1）知点的坐标为，如下图所示： 又，即为的中点，点的坐标为， 又点在曲线上，， 整理得， 同理可得， 是关于的方程的两根， ， 又， 点的坐标为，即， 直线的斜率； （ⅱ）设四边形的面积为， 为的中点，为的中点，， 又由（ⅰ）知：直线平行于轴或与轴重合， ， 又，， ， 可得四边形面积的最小值为． 题型05 距离有关的最值、范围问题 1．（25-26高二上·天津南开·期末）已知椭圆，该椭圆上一点到直线距离的最大值为，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取椭圆上任意一点，利用点到直线的距离公式以及辅助角公式计算求出，即可求出离心率. 【详解】根据题意可设椭圆上任意一点， 则点到直线的距离如下， 为，其中； 易知，可得， 又，所以； 因此离心率为. 故选：B 2．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线过点且与直线平行，为抛物线上的动点，到的准线的距离为到的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，垂足为，利用抛物线的定义得到，可知当三点共线时有最小值，再利用点到直线的距离公式计算. 【详解】过点作，垂足为， 由题意可知，直线的方程为，抛物线的焦点为， 由抛物线的定义可知，， 则，等号成立时三点共线， 点到直线的距离为， 故的最小值为. 故选：C 3．（25-26高二上·上海·期末）在抛物线上有一动点，则到直线距离的最小值为______． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求出曲线在点处且与直线平行的切线的斜率，结合点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】由，得，设， 则， 所以曲线在点处且与直线平行的切线的斜率为， 又，所以，解得，所以， 此时点到直线的距离最小，如图，    距离为. 故答案为：. 4．（25-26高二下·上海·期中）已知椭圆，点为椭圆的上顶点，点，为椭圆的左右焦点，点为椭圆上的一个动点. (1)求的周长； (2)若，求点的坐标； (3)求动点到点距离的最大值和最小值. 【答案】(1) (2) (3)最大值为​​​，最小值为 【分析】（1）结合椭圆的定义即可求解； （2）设，由向量垂直确定轨迹方程，再联立椭圆方程即可求解； （3）设，结合两点间距离公式和二次函数性质即可求解. 【详解】（1） 椭圆，得，，​， 上顶点，焦点， ， 根据椭圆的定义：，焦距， 周长； （2）设，由垂直性质得， ， ， 点积展开得： ， 又在椭圆上，满足， 代入上式得： ，得， 回代得​，即， 故的坐标为； （3）设， ，则， 距离平方为： ， 这是开口向下的二次函数，对称轴为， 最大值在对称轴处取得：即时，，得， 最小值在端点处取得：即时， ，得 故动点到点距离的最大值为​​​，最小值为. 5．（26-27高二上·重庆·期末）已知椭圆的长轴为8，动圆的圆心在直线上运动，半径为，过椭圆上一点作圆的两条切线（点在圆外），交椭圆于另一个交椭圆于另一个，设的斜率分别为 (1)求椭圆的标准方程 (2)①求证：为定值；②过点作直线的垂线，垂足为，求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1) (2) ①设圆心为，直线，直线， 将合并设为，则圆心到直线的距离 ，平方得： ，则， 且，由韦达定理：. ② 【分析】（1）根据椭圆的长轴长和经过的点坐标求出，进而可求出椭圆方程. （2）①先列出直线的方程，列出圆心到直线的距离表达式，化简，结合韦达定理即可证明结论；②设直线，联立直线与椭圆方程，化简，根据①的结论，结合韦达定理求解计算即可. 【详解】（1）由题意得，即椭圆的方程为，将代入， 即，则椭圆的标准方程为. （2）①略 ②设直线，联立， 得，所以， 由①可得：， 所以， 所以， 将代入，得， 化简得，即， 所以或. 当时，直线，过，舍去； 当时，直线， 此时直线过定点，则的轨迹是以的中点为圆心， 为半径的圆，其标准方程为：， 点到直线的距离为，故点到直线的距离的最大值为. 6．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，，分别为双曲线C的左、右焦点. (1)求双曲线C的标准方程; (2)P是双曲线C上异于左、右顶点的一点，过作平分线的垂线，垂足为M，求点M到直线的距离的最小值. 【答案】(1). (2)1 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，结合标准方程，可得答案； （2）根据角平分线性质，结合双曲线的概念可得各线段长，可得动点的轨迹，利用圆上点到定直线的距离性质，可得答案. 【详解】（1）由双曲线的渐近线方程为，得， 又，分别为双曲线C的左、右焦点， 所以，所以， 故双曲线的标准方程为. （2）由题意，延长，且与交于一点，如图所示. 由于，且为的平分线，所以， 且M点为线段的中点.不妨假设点P在双曲线C的右支上， 由于，故， 由于O，M分别为，的中点，所以， 故点M的轨迹是以原点为圆心，4为半径的圆，轨迹方程为， 点M到直线的距离的最小值为原点到直线的距离减去半径4， 即.    7．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知双曲线经过点，且右顶点为.过点作直线与交于、两点，直线、分别与轴交于点、. (1)求的方程； (2)若的方程为，求的面积； (3)设点、到的距离分别为、，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的方程； （2）设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出，并求出点到直线的距离，结合三角形的面积公式可求得的面积； （3）解法一：设的方程为，设、，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出直线的方程，可得出点的方程，同理可得出点的坐标，进而可求得线段的中点的坐标，即可求得的最大值； 解法二：设、，不妨设，可得出直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理求出点的坐标，同理得出点的坐标，根据，可得出，即可得出线段的中点的坐标，即可求得的最大值. 【详解】（1）因为双曲线的右顶点为，且经过点， 所以，解得，所以的方程为. （2）联立得， 设、，则，， 所以， 所以. （3）方法一：由题意可知，直线不与轴平行，故其斜率存在， 设的方程为， 联立，得， 设、，则，， 直线的方程为，所以，同理可得， 所以的中点的纵坐标为 ， 所以的中点为定点. 设到的距离为，由图易知、两点在的同侧，所以， 又过定点，所以， 所以最大值为； 方法二：设、，不妨设. 则直线的方程为， 与联立得：， 则，，， 则，，同理，. 而，， 又、、三点共线，则有， 则， 等式两边同时乘以可得， 即，即， 因为，故，即，所以的中点为定点. 设到的距离为，由图易知、两点在的同侧，所以， 又过定点，所以， 所以最大值为. 题型06 数量积的最值、范围问题 1．（2026·陕西渭南·三模）已知点P为椭圆上任意一点，直线l过的圆心且与交于A，B两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量运算化简，再根据椭圆性质得到，最后求解范围即可. 【详解】对方程配方得，因此圆心，半径，是的直径， 故，. ，， 因此. 椭圆中，，，， 恰好是椭圆的右焦点. 根据椭圆性质，， 代入得，因此. ，即取值范围为. 2．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为________. 【答案】 【分析】由题意易得是双曲线的切线，切点为，线段的中点为，再根据平面向量的数量积的运算律可得，结合双曲线的性质即可得解. 【详解】因为为双曲线上的动点， 所以，则，， 由题意，直线是双曲线的切线，切点为， 而双曲线的渐近线方程为，则， 联立，解得， 所以点的坐标为， 联立，解得， 所以点的坐标为， 所以线段的中点为， 则 （当且仅当时取等号）， 由题意可得直线的斜率大于零或不存在， 故，当且仅当为双曲线右顶点时取等号， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 3．设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为线段的中点，求直线的方程； (3)当直线过点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，解方程即可得出答案； （2）由“点差法”可得直线的斜率为，再由点斜式方程求解即可； （3）讨论直线的斜率存不存在，存在时设直线的方程为，，联立直线与双曲线的方程，将韦达定理代入，由反比例函数的单调性即可得出答案. 【详解】（1）由题意可得：，解得：. 所以椭圆的方程为：. （2）设，因为在椭圆上， 所以，两式相减可得： ， 则，因为为线段的中点， 所以， 所以，所以直线的方程为：， 化简可得：. （3）当直线的斜率不存在时，，， 此时，所以， 当直线的斜率存在时，设，因为直线过点， 设直线的方程为：， 联立可得：， 当时，， ， ， 令，则， 令，在在上单调递减， 又，所以， 所以的取值范围为. 4．（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知椭圆：（）经过，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为1的直线交椭圆于，两点． （i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）由椭圆过，椭圆离心率以及求解即可； （2）（i）由直线经过椭圆的右焦点以及斜率为1，直线与椭圆联立，解得交点，的坐标，即可求解； （ii）设直线的方程，与椭圆联立，再由韦达定理代入，由一元二次方程性质即可求解. 【详解】（1）因为椭圆：（）经过，所以，因为椭圆离心率为， 所以，因为，所以解得，所以椭圆：. （2）（i）由题意可得，，因为直线的斜率为，所以直线：，所以联立， 可得，化简可得，解得或， 所以，，故点到直线的距离为， 所以. （ii）设直线：，设，， 所以联立，可得， 可得，由韦达定理可得， 则，， 所以， 因为，， 所以， 即， 所以， 当时，取得最小值，即此时. 5．（25-26高二下·四川成都·期中）设点，直线相交于点，且它们的斜率之积为. (1)求点的轨迹方程； (2)若， ①当时，求的面积； ②求的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）设出点的坐标，表示出直线、的斜率，求出它们的斜率之积，利用斜率之积是，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点的轨迹方程； （2）①设，，由余弦定理得，根据公式求的面积； ②设，分别用向量表示，，由题意求的取值范围. 【详解】（1）设点的坐标为，因为点的坐标是， 所以直线的斜率是， 同理，直线的斜率是， 由已知，有， 化简，得点的轨迹方程是， 点的轨迹是除去，两点的椭圆； （2） ①由（1）知椭圆的焦点， 其中， 设，， ，， 在中，当时，由余弦定理得： ， ； ②设，则，即， ，，，， ， ，， ， 即的取值范围为. 题型07 斜率相关的最值、范围问题 1．已知抛物线为坐标原点，是抛物线上任意一点，为焦点，且，则直线的斜率的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】首先设点的坐标，再表示点的坐标，并表示，利用基本不等式求最值. 【详解】设，，由可知，， 直线斜率最大，则点是第一象限的点，即， 所以， 当，即时，等号成立， 所以直线斜率的最大值为1. 故选：B 2．（25-26高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点是，点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知点为抛物线上一点，为坐标原点，平面上一动点满足，求直线斜率的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，在中由勾股定理得到，即可求出； （2）设，用含、的式子表示、，从而表示出，再根据基本不等式计算可得. 【详解】（1）抛物线的焦点是，准线方程为，在抛物线上，故，解得， 如图，在中，， 则，即，解得（负值已舍去）， 所以抛物线的方程为．    （2）设，故， ， ， 所以， 当时，； 当时，，设， 当时，当且仅当，即时取等号； 当时，当且仅当，即时取等号； 所以，则或， 则或，即； 综上所述的取值范围为.    3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点． (1)若直线的斜率存在，求出直线斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求直线斜率的取值范围． 【答案】(1) (2)是， (3) 【分析】（1）设，，直线的方程为，与双曲线方程联立利用韦达定理可得答案； （2）由韦达定理代入可得答案； （3）设直线与直线的方程分别为，，联立两直线方程可得交点的横坐标为1，可得，即可求出的范围，从而得解. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的渐近线方程为，所以， 易知直线的斜率不为，设，，直线的方程为， 联立双曲线与直线消元整理得， 所以，解得， 再由斜率存在以及可得，的取值范围为； （2）依题意，，，结合（1）由韦达定理可知， ，， 于是， 因此 ， 即是定值，定值为； （3）由（2）可知，， 令，则， 所以直线与直线的方程分别为，， 由，解得，即交点的横坐标为， 故 ， 又，即，即， 又，即，解得或， 又，所以， 故的取值范围为. 4．（25-26高二下·四川成都·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，． (1)若椭圆的离心率为． ①求椭圆的方程； ②若时，求的面积； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据椭圆焦点在轴得到、，结合离心率，列方程求解，代入得到椭圆方程； ②设直线的方程并联立椭圆方程，由韦达定理计算弦长，根据且得到直线的斜率，同理得，由解出，再代入直角三角形面积公式计算面积； （2）联立直线与椭圆方程，通过韦达定理分别表示出弦长和，结合整理得到关于的表达式，利用椭圆焦点在轴的条件列不等式求解，即可得到的取值范围. 【详解】（1）①已知椭圆焦点在轴上，故，，所以， 又离心率，所以，解得， 因此椭圆的方程为. ②因为是的左顶点，所以，设直线， 则由得， 已知是方程的一个根（对应点），由韦达定理得， 因此，因为，且，故， 同理得，由，得，整理得， 即，因，故， 此时，为等腰直角三角形，面积为. （2）已知椭圆焦点在轴上，故，左顶点， 设直线的方程为，，由得直线斜率为， 将代入椭圆方程，整理得， 该方程一个根为，由韦达定理得， 由弦长公式得， 将上式中替换为，得， 由，即，化简得 ，整理得， 由椭圆条件，代入得，移项整理， 即，等价于，所以或，解得， 故的取值范围是. 5．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限． (1)若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e； (2)若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的斜率的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，，结合离心率的公式，即可求解； （2）根据题意，得到双曲线，设直线的方程为，联立方程组，结合和韦达定理，得到，，再由，化简得到，结合对勾函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由双曲线，可得， 因为双曲线C的焦距为，可得，所以， 所以双曲线的离心率为. （2）由双曲线C的一条渐近线方程为，即，可得， 因为，可得，所以双曲线， 当直线的斜率不存在时，根据双曲线的对称性，，不满足， 所以直线的斜率一定存在， 因为，说明三点共线，且都在双曲线的右支上， 所以直线的斜率不为0，且， 设直线的方程为，、，且，， 联立方程组，整理得， 显然，则，可得， 且，， 由，可得，且，所以， 可得， 根据对勾函数的性质知，函数在上单调递减， 可得， 又因为， 所以，可得， 所以直线斜率的取值范围为. 题型08 角度相关的最值、范围问题 1．已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相切的性质可得，利用二倍角公式可得，利用两点距离，结合二次函数的性质可得的最小值求解. 【详解】设圆心为，由题意作图如图，由与圆相切， 则，且， 故. 设，则，可得 故当取最小值，且最小值为， 所以的最小值为， 故选：C. 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线C：的左焦点为，离心率为2． (1)求C的方程： (2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R． （ⅰ）若的面积是的面积的6倍，求l的方程； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）根据焦点及离心率的定义即可求解； （2）（ⅰ）通过联立直线与双曲线的方程，利用根与系数的关系以及三角形面积公式即可求解；（ⅱ）由于是直线与的夹角，列出的表达式即可求解. 【详解】（1）已知双曲线C：的左焦点为，离心率． 则，，解得，，因此双曲线的方程为． （2）（ⅰ）如图所示，设直线l的方程为，其中斜率， 设点，点，且，根据双曲线的中心对称性可知，点， 联立直线与双曲线方程，得，化简得， 其中. 由根与系数的关系，可得，， 因为Q点在第三象限，所以，所以． 因为R是P关于原点O的对称点，所以O是线段PR的中点， 因此，所以， 由于，所以， ，， 所以，由于，，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线l的方程为，即. （ⅱ）由题意，即为直线QP与直线QR的夹角， 直线QP即直线l，方程为， 点，点，点，直线QP的斜率， 直线QR的斜率， 由于P，Q在直线上，有，， 则，代入， 则， 设直线QP的倾斜角为，直线QR的倾斜角为，则， 因此， 即， 又因为单调递减，所以的取值范围． 3．（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）已知点在离心率为2的双曲线：上，直线：交双曲线的右支于，两点． (1)求双曲线的方程． (2)线段的垂直平分线过点． ①探究并写出与的关系式； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)① ，；② 【分析】（1）由双曲线离心率以及点在双曲线上，即可求解双曲线方程. （2）①设，，联立方程与双曲线，由韦达定理与的关系，求解线段的中点，再由线段的垂直平分线过点，可得，求解即可. ②由，得到与的关系，求解，，，由，再由，求解即可. 【详解】（1）由双曲线：的离心率为2，得，解得． 又因为点在双曲线：上，则，解得，， 所以双曲线的方程为． （2）①设，， 联立消去得， 所以，即， 且，，由，得，所以． 则． 因为线段的中点为，所以． 因为线段的垂直平分线过点， 则，整理得． 结合，得，所以，． ②由①知，， 则，，． 因为点，是直线与双曲线的右支的交点，所以，，则，， 则，解得． 因为 ， 所以． 又因为， 所以，即． 因为， 所以的取值范围为，即的取值范围为． 4．（25-26高二上·山东临沂·期末）已知双曲线过点，且渐近线方程为，直线与交于不同的两点、（异于双曲线的顶点）. (1)求的方程； (2)为双曲线的下顶点，若以为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； (3)若、在双曲线的上支，且线段的垂直平分线过点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)直线过定点，该定点坐标为. (3) 【分析】（1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的方程； （2）将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，由题意可得，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可得出、所满足的关系式，即可求出定点坐标； （3）解法一：求出线段的垂直平分线方程，将点的坐标代入此直线方程，可得出，由此可得出线段的中点的坐标，求出的取值范围，结合弦长公式可求出的取值范围，即可得出的取值范围，即可得出的取值范围； 解法二：由结合点、都在双曲线的上支上可求出的取值范围，结合弦长公式可求出的取值范围，即可得出的取值范围，即可得出的取值范围. 【详解】（1）渐近线方程为， ，由双曲线过点，得， ，， 双曲线的方程为. （2）由（1）知，由，得， 由题意得，① 设、，则，，   ， 由，， 则 ， 由以为直径的圆恒过点，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 直线过定点，该定点坐标为. （3）解法一：设线段的中点为， 由（2）得，点， 线段的垂直平分线方程为， 点在线段的垂直平分线上， ，，② 点，    把②代入①，解得或， 又、在双曲线的上支，， 即，，， ， ， ， ， 令，， 由，得，解得，， ，，， 即的取值范围是. 解法二：设线段的中点为， 由（2）得，点， 线段的垂直平分线方程为， 点在线段的垂直平分线上， ，，② 点， 由（2）知， 解得或， 、在双曲线的上支， ，， ， ， ， ， ，， ，，， 即的取值范围是. 5．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，为坐标原点，点为椭圆C上的动点，椭圆C的离心率为，的面积的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)，为椭圆的左，右顶点，点，当不与，重合时，射线交椭圆于点，直线，交于点． （i）求点的轨迹方程； （ii）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，即可求解； （2）（i）设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并利用坐标表示直线的方程，并且联立方程求点的轨迹方程；（ii）利用两直线的倾斜角表示，利用斜率表示，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由椭圆的性质，可知的面积的最大值为， 又，解得，，， 所以椭圆的方程为. （2）（i）由题知不与轴重合，设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得， ， 设、，则，， 因为的方程为，的方程为， 两直线方程联立得：， 因为， 所以，解得. 所以动点的轨迹方程为. （ii）由椭圆的对称性不妨设，直线、的倾斜角为，， 由图可知，且，因为，则， 因为，， 所以， 当且仅当时等号成立， 此时，，所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，动点轨迹，第二问的关键是根据韦达定理，联立两直线方程可化简求得点的轨迹，再利用倾斜角表示. 6．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知椭圆：的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点. (1)求椭圆方程； (2)点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）当最大时，求直线方程. 【答案】(1) (2)（ⅰ）为定值（ⅱ） 【分析】（1）根据题意列出方程组求出得解； （2）（ⅰ）列出两个斜率，再利用点在椭圆上，将转化为关于的式子，通过化简运算得出定值； （ⅱ）利用直线斜率之积为常数，转化为斜率之间的关系，再由两角差的正切公式及基本不等式求解即可． 【详解】（1）由题意短轴长为2，，即，因为椭圆经过点， 所以，则.所以椭圆方程为 （2）（ⅰ）证明：由题意可得，因为点关于原点的对称点为，所以,点，点为中点，即，设. 直线的斜率为， 直线的斜率为， 所以①， 因为在椭圆上，所以，解得②， 同理因为点在椭圆上，所以③， 将②③代入①式，得（为定值）. 综上，为定值. （ⅱ）又因为既在椭圆上又在的延长线上， 所以， 又因为 所以，则， 设，直线倾斜角为，直线倾斜角为， ，， 所以， 则， 当且仅当，即，解得（因为）时等号成立，即此时最大. 所以直线方程为． 题型09 参数的最值、范围问题 1．抛物线的焦点为，为坐标原点，，点为抛物线上任意一点，的平分线与轴的交点为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对点的位置进行分类讨论，当点与坐标原点重合时，可求得；当点不与原点重合时，不妨设点在第一象限，过点作垂直准线于点，利用角平分线的性质可得出，可得出，结合题意可求出的取值范围，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由题意得，焦点，准线方程为，为准线与轴的交点. 当点与坐标原点重合时，的平分线与轴交点为，即. 当点不与原点重合时，由抛物线的对称性，不妨设点在第一象限， 过点作垂直准线于点， 如图，由抛物线的定义可得， 记的平分线与轴交于点，则，. 根据角平分线定理可得，即. 因为， 所以，解得. 综上. 故选：B. 2．抛物线：焦点为，准线与轴交于K，点P为抛物线上任意一点，的角平分线与轴交点为，则m最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，，求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解． 【详解】解：由题意可得，焦点F，准线方程为x＝−1，过点P作PM垂直于准线，M为垂足， 由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1， 记∠KPF的平分线与轴交于，， 根据角平分线定理可得， ， 当时，， 当时，， ， 综上：． 故选：B． 3．（25-26高二上·安徽·期末）已知点是椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一个动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】设，计算，结合二次函数性质和题意即可分析求解. 【详解】由题可知，设，则， 所以， 因为函数的图象对称轴为，图象开口向上， 又由题意知当即时有，且， 所以，即，故满足题意的实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（25-26高二下·重庆·期中）椭圆：（）的焦点分别为，，上顶点是，是面积为的等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与椭圆相交于，两点，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）设，根据得出坐标关系，代入椭圆方程中求出，根据求解. 【详解】（1）由题意得，，，， 得， 故椭圆的标准方程为； （2）设， 由且可知， 则，得，即， 由，得，得， 即， 即，即，得， 因为，所以， 故实数的取值范围为. 5．（25-26高二上·山东·期末）（1）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于两点，若为的中点，求直线的方程； （2）设椭圆，弦过定点，且满足，若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据点差法求得直线的斜率，再根据点斜式方程求解即可； （2）设，进而根据向量关系得，再将其代入椭圆方程得，根据求解即可. 【详解】（1）如图，作出符合题意的图形， 设，均在椭圆上，故：①，②； 得，因式分解； 因为中点，故， 代入得，化简， 斜率；由点斜式得直线方程，整理. 所以直线的方程为 （2）如图，做符合题意的图形， 设，，， 所以 可得，即； 代入椭圆方程与，得：③，④； 得； 因为在椭圆上，，故， 设，解得，所以， 当，三点重合，不构成弦，故舍去； 所以，即的取值范围为 题型10 与最值、范围相关的新定义问题 1．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）我们定义：如果焦点在坐标轴上的椭圆A过圆B某一直径的两个端点，且面积比圆大，则称椭圆A是圆B的“超椭”，设圆B的半径为r，椭圆A的长半轴长为a、短半轴长为b（），设为“超椭”的特征值，则“超椭”的特征值的取值范围为__________.（用椭圆A的离心率表示） 【答案】 【分析】通过椭圆过圆直径两端点建立参数方程，代入标准方程得到关于半径、半长轴和角度参数的关系式，再利用椭圆面积大于圆的条件化为不等式，联立两个约束，结合离心率公式消去角度参数，最终推导出特征值关于离心率的范围. 【详解】设圆的圆心在原点，半径为，方程为：， 椭圆的焦点在坐标轴上，中心在原点，其标准方程为：， 离心率为，则. 椭圆经过圆的某一条直径的两个端点， 设该直径的一个端点对应的圆心角为， 则两端点为， 将代入椭圆方程，得：① 整理得， 记为特征值，② 代入到①式，有， 两边同乘以得， 令，则，于是 解得，. 由②知，当从到变化时，从减小至， 即直径条件给出. 又椭圆面积大于圆面积，即 代入及，得： 联立与，得, 其中，， 因此，特征值的取值范围为. 故答案为：. 2．（25-26高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，若，则称点被直线分隔.若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线. (1)若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围； (2)已知动点到点的距离与到轴的距离之积为1.设点的轨迹为曲线，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线. 【答案】(1) (2) 点被直线分隔，即， 设点，则由题意可得， 故曲线的方程为①. 对任意的，不是上述方程的解，即轴(即)与曲线没有公共点. 又曲线上的点、对于轴(即)对称，满足， 即点和被轴分隔，所以轴，即为曲线的分隔线. 若过原点的直线不是轴，设为，代入， 可得， 令， 当时，， 所以在区间有实数解， 当时，有实数解. 与有公共点，所以不是的分隔线. 所以通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线，即. 【分析】（1）联立可得，根据此方程无解，可得，验证曲线上的点和被分隔，从而求得的范围. （2）设点，与条件求得曲线的方程为①.由于轴为，显然与方程①联立无解.把的坐标代入，由，可得轴，即是一条分隔线. 【详解】（1）联立，可得. 根据题意，此方程无解，故有，所以. 当时，对于直线， 点被直线分隔，即， 曲线上的点和满足，即点和被分隔. 故实数的取值范围是. （2）略 3．（25-26高二上·福建·阶段检测）中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线也称为卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中到两定点、距离之积为的点的轨迹是双纽线，其轨迹为一条连续的封闭曲线， (1)判断是否在曲线上； (2)若点在椭圆上，，证明：； (3)若直线与曲线只有一个交点，求的取值范围. 【答案】(1)在，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用题中定义判断即可； （2）利用椭圆的定义和勾股定理可求出的值，即可证得结论成立； （3）求出曲线的方程，可知直线在曲线必有一个定点为原点，然后将直线的方程与曲线的方程联立，结合题意可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）记点，则， 故点在曲线上. （2）对于椭圆，，，则， 故、分别为椭圆的左、右焦点， 由椭圆的定义可得， 因为，由勾股定理可得， 因为， 所以，故. （3）任取曲线上一点，则， 即，即， 整理可得，故曲线的方程为， 易知原点在曲线上，所以直线与曲线一定有公共点， 联立，结合题意可知无非零实数解， 即无非零实数解，则，可得，解得或， 因此实数的取值范围是. 4．造型可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为    (1)求a的值; (2)当点在C上时，求证： (3)如图，过点F作两条互相垂直的弦，分别交曲线C于，，，，其中，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 方法一：因为，所以曲线C的方程为， 可化为，即， 因此， 所以，当且仅当且时取等号. 方法二：同上曲线C的方程为， 因此， 所以，当且仅当且时取等号. 方法三：如图设点P在x轴，直线上的射影分别为Q，R， 则根据定义， 因此，即， 所以，当且仅当且时取等号.    (3) 【分析】（1）根据曲线C上的点满足的条件，结合可求a的值； （2）当点在C上时，方法一：利用解不等式求解；方法二：利用求解；方法三：设点P在x轴与直线上的射影分别为Q，R，利用求解即可. （3）讨论直线的斜率，当斜率存在时，设直线AB的方程为，其中，利用弦长公式，三角形面积公式可得，再结合换元法以及三角函有界性可求四边形面积的最小值. 【详解】（1）因为O在曲线上，所以O到的距离为，而， 所以有，即 （2）略 （3）由，得 当其中一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，此时 当两条直线斜率均存在且不为0时，设直线AB的斜率为k，倾斜角为，由对称性不妨设， ，则直线AB的方程为，其中，直线的方程为， 联立 化简得到， 所以 则， 故， ， 同理，所以， 令， 令， 因为， 所以，即， 所以在上单调递增，当，即时，， 此时， 综上所述四边形面积的最小值为 【点睛】方法点睛：解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二上·山东枣庄·期中）设是椭圆的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可知，则，则求的最小值，即求的最小值，再结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 即定点到直线距离最小即可， 根据点到直线的距离公式可得， 所以. 故选：C 2．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用椭圆、双曲线的定义求周长的最小值. 【详解】取，则，为椭圆和双曲线的公共焦点. 根据椭圆和双曲线的定义，可得， 即. 又，当三点共线时取等号. 所以，即周长的最小值为4. 3．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知双曲线的两条渐近线分别为，点为右支上任意一点，它到的距离分别为，到右焦点的距离为，则（   ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离及两点间的距离公式，结合函数单调性逐项确定范围即可． 【详解】对于， 不妨取，右焦点， 设，则，即， ， 在上单调递增， 当， ，故A错误； ， ，，故B错误； 而，， 即的取值范围为，故C正确； 设焦点到渐近线的距离为， ，，故D错误． 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【详解】如图，作出符合题意的图形，设， 则，， 当且仅当时取等号，此时， ，. 5．（25-26高二上·北京东城·阶段检测）“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，，则就是“天问一号”在点时对火星的观测角．图（2）所示的四个点处，对火星的观测角最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接点和椭圆的左焦点，由对称性和椭圆上点到焦点距离的特征得点位于图中点处，对火星的观测角最小. 【详解】设火星半径为，椭圆左焦点为，连接，如图所示： 则， 因为， 所以越大，越小，越小， 所以当点位于点处时，对火星的观测角最小， 故选：C. 6．（多选）（25-26高二下·云南昭通·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，的最大值为3，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为 C．当P为椭圆短轴端点时，的面积最大 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】由题设列式求出、、根据椭圆的离心率公式计算可判断A；结合椭圆的定义求出的周长即可判断B；设由可判断C；利用余弦定理以及椭圆的定义，结合基本不等式可判断D. 【详解】由题可知，得；因为的最大值为，所以，得，故 对于A选项,离心率，A选项正确； 对于B选项,由椭圆的定义可得的周长，B选项错误； 对于C选项,设，因为，所以当P为椭圆短轴端点时，的面积最大，故C选项正确； 对于D选项，设，由余弦定理可得 ，当且仅当时，即当点P位于短轴端点时，等号成立， 又因为余弦函数在上为减函数，且，故， 即当P为椭圆短轴端点时，取得最大值，故D选项正确． 7．（多选）（2026高二上·广东·专题练习）已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（    ） A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】求出双曲线方程及其渐近线方程判断A；求出点的轨迹方程，与双曲线方程联立由解的情况判断B；利用圆的性质，结合两点间距离公式求解判断CD. 【详解】设双曲线半焦距为，则，由双曲线经过点，得， 而，解得，因此双曲线的方程为， 对于A，双曲线的渐近线方程为，即，A正确； 对于B，由对称性不妨令，设，由， 得，整理得， 点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，由， 消去得，，因此动点的轨迹与无公共点，B正确； 对于C，点到圆心的距离，因此的最大值为，C错误； 对于D，设双曲线上任一点，则，到圆心的距离为： ， 当且仅当时取等号，因此的最小值为，D正确. 故选：ABD 8．（多选）（25-26高二上·福建莆田·期末）已知在抛物线上，F为E的焦点，为E上异于原点O的动点，E在点A处的切线l分别与x轴，y轴交于B，C两点，过B作AF的垂线，垂足为H，过O作的垂线与AF延长线交于点P，则（   ） A． B．，使得为锐角三角形 C． D．的最大值为3 【答案】ACD 【详解】因为在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线的方程为，准线方程为，焦点. 对于A，由，得，所以，所以， 所以抛物线在点A处的切线l的方程为，即， 即，所以， 由抛物线的定义可得，，所以，故A正确； 由切线，令，得，所以， 所以， ，， 所以，所以为直角三角形， 所以不存在，使得为锐角三角形，故B错误； 过作的垂线，垂足为， 因为，所以直线的方程为， 又，所以直线的方程为， 解得点，所以，所以，故C正确； 过作的垂线，斜率为，所以直线的方程为， 与直线的方程联立解得， 所以， 设， 当时，；当时，， 所以，所以，当且仅当，即时取等号，故D正确. 9．（2026·四川雅安·二模）已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，点在抛物线：上运动，过点作曲线的切线，切点分别为，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据题意，求得曲线的方程，得出，结合两点间距离公式和函数的性质，即可求得的最小值，得到答案. 【详解】设，已知，，则，整理得， 所以点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，所以. 如图所示：设，连接，，根据题意可知,, 且，,连接，可得四边形的面积为直角面积的2倍，且， 所以,可得, 设，则， 当，即与坐标原点重合时，取得最小值3，故的最小值为. 10．（25-26高二下·四川德阳·期末）双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为2，实轴长为2，点P在双曲线C上，过点P分别作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则|AB|的最小值为______． 【答案】 【分析】根据条件求出双曲线的方程为，根据四点共圆，直径为，由正弦定理得，，转化为求的最小值. 【详解】由，所以.，所以，所以， 因此双曲线的方程为，两条渐近线方程分别为：，：. 不妨设点在第一象限，如图，，显然四点共圆，直径为. 设与的夹角为，因为渐近线的斜率为，所以. 在中，由正弦定理得，，所以. 设，由，所以， ，因为， 所以，即的最小值为1，因此的最小值为. 11．（25-26高二下·浙江杭州·期末）已知双曲线，过点的直线与的上、下两支分别交于点，． (1)若点是上的动点，求的最小值； (2)设为坐标原点，直线，的斜率分别为，， （i）若，求直线的方程； （ii）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）利用两点间的距离公式，结合配方法，可求的最小值. （2）设直线：，与双曲线方程联立，利用韦达定理，表示出，，进而用表示出， （i）根据，求出，可得直线的方程； （ii）利用的取值范围，可确定的取值范围. 【详解】（1）设，则， 所以， 即当时，. （2）如图： 设与联立，有， 由，得， 设，，则，， 得， 则， （i）当时，，直线的方程为； （ii）因为直线，存在斜率，所以， 故， 所以， 即的取值范围． 12．（25-26高二下·安徽滁州·期末）已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为，，且． (1)求的方程； (2)点是直线：上的一点，直线交于另外一点（异于点），直线交于另外一点． （ⅰ）求证：直线经过定点； （ⅱ）记和的面积分别为，，求的最大值． 【答案】(1)； (2)（i）证明：由题可知，，设，. 当时，直线的方程为， 联立，消去整理得， 已知是方程的一个根，设，由韦达定理得， ∴ ，代入直线方程得，即. 同理，直线的方程为， 联立，消去整理得， 已知是方程的一个根，设，由韦达定理得， ∴ ，代入直线方程得，即. . 直线的方程为. 整理得 ， 当时，，即直线过点. （ii） 【分析】（1）由椭圆顶点距离求出，结合离心率求出，再利用椭圆中的关系求出，即可得到椭圆方程. （2）（i）设出点坐标，分别写出直线、的方程，与椭圆方程联立，通过韦达定理求出点、的坐标，推导直线的方程，确定定点坐标. （ii）将转化为关于直线参数的函数，结合函数单调性求解最大值. 【详解】（1）∵ 椭圆的左、右顶点为，且，∴ ，解得. ∵ 椭圆离心率，∴ ， ∴ ， ∴ 椭圆的方程为. （2）（i）略 （ii）设直线的方程为，，， 联立，消去整理得， 由韦达定理得，. ∵ ，，其中为到直线的距离，为到直线的距离， 计算得，，， ∴ . ∵ ， ∴ . 令，，则，代入得. 由对勾函数的性质可得在上单调递增， 所以当时，取得最小值，取得最大值. 即的最大值为. 【点睛】方法归纳：求解直线过定点时，常先求出动直线含参数的方程，再寻找与参数无关的点即为定点；求解面积最值时，通常将面积表示为单一参数的函数，结合函数单调性或基本不等式求解. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆锥曲线中的最值、范围问题 常考题型·精准突破 题型01 线段和、差的最值问题 1． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义，将转换成到另一焦点的距离，再利用线段长度的临界位置进行求解. 【详解】如图，设椭圆的左焦点为F，射线交椭圆于点C，射线交椭圆于点D， 则，等号在点P，D重合时取到． ，等号在点P，C重合时取到． 因而的最大值是，最小值是． 2． 【答案】B 【分析】根据焦点坐标可求，结合双曲线的定义可得答案. 【详解】因为右焦点为，所以，即； 设双曲线的左焦点为，则；由双曲线的定义得， 所以，当三点共线时，有最小值， 最小值为，所以的最小值为. 3． 【答案】C 【分析】设双曲线右焦点为，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差小于第三边的几何性质求解即可． 【详解】设双曲线的右焦点为，则，， 而（渐近线斜率）， 故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 所以的最大值为， 故选：C 4． 【答案】B 【分析】先利用抛物线定义，将 “点到坐标轴的距离” 转化为 “点到焦点的距离”，消去动点到坐标轴的距离；再将原目标式转化为 “动点到两个定点的距离和（差）” 的形式，最后利用 “两点之间线段最短”，通过三点共线求出转化后式子的最值，并还原为原问题的答案即可. 【详解】因为抛物线方程的标准形式为， 所以焦点，准线方程为：，延长交准线于，连接，如图： 根据抛物线的定义得， 当且仅当，，三点共线时， ， 的最小值为. 5． 【答案】BCD 【分析】先求出抛物线焦点坐标，再利用抛物线的定义，结合平面几何知识求解即可. 【详解】因为，所以焦点为， 因为，所以点位于线段的垂直平分线上，其直线方程为， 与抛物线C仅有一个交点，故A错误； 如图1，点在抛物线外，故的最小值为，故B正确； 如图2，过作轴的平行线，与准线交于点，与抛物线交于点， 根据抛物线定义，此时有最小值，故C正确； 因为，当且仅当三点共线且在之间时取等号，故D正确． 6． 【答案】/ 【分析】借助椭圆的定义将代换为，把目标式转化为定值与距离差的和，再利用三角不等式求解距离差的最大值，进而得到目标式的最大值. 【详解】椭圆中，，，故，焦点，. 由椭圆的定义得，即， 因此. 在中，由三角不等式得， 当且仅当三点共线且位于之间时取等号. 计算得，故. 经检验，直线与椭圆存在满足取等条件的交点，等号可取. 7． 【答案】 【详解】由题意可知双曲线的实半轴长，设右焦点为， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号. 的最大值为 题型02 弦长的最值、范围问题 1． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式将表示成的函数即可求解. 【详解】设直线的方程为，由，得， 由，得， 则， 所以， 当时取到最大值，此时直线的方程为． 故选：B． 2． 【答案】C 【分析】设点、，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、韦达定理以及二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】直线与轴的交点为，所以，， 所以， 联立，整理得． ， 设、，则， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立． 因此，的最小值为. 故选：C. 3． 【答案】 【分析】先求出椭圆的标准方程，对直线的斜率是否同时存在进行分类讨论，当直线分别与两坐标轴重合时，直接求出的值；当直线的斜率都存在时，设直线，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】由题意焦点在轴上面，，所以， 所以椭圆的标准方程为， 当直线分别与两坐标轴重合时，； 当直线的斜率都存在时，设直线，联立，可得， 所以， 同理可得， 所以 ， 因为，则，令， 令， 因为函数在上为增函数，在上为减函数， 又因为，，则， 此时，则. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 4． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）（i）分直线是否与轴重合，设，与椭圆方程联立，根据韦达定理求证即可； （ii）化简求出其范围，再利用韦达定理化简得出即可求出的范围，利用弦长公式化简，令即可. 【详解】（1）由题意得，，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）当直线与轴重合时，显然成立； 当直线与轴不重合时，设直线方程为. 联立，得， 则，. 则， 因为， 所以. 故的倾斜角互补，所以； 综上，. （ii）由，则. 可得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，所以， 由 ， 令，则， 因为，所以，则弦长的取值范围为. 5． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率以及经过的点即可联立求解曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得，根据弦长公式，结合不等式即可求解， 【详解】（1）由题意可得，解得， 故双曲线方程为. （2）当直线斜率不存在时，可设， 则， 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线斜率存在时，设其方程为，设， 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，故， 因此， 综上可得. 题型03 离心率的最值、范围问题 1． 【答案】B 【分析】结合已知条件求出，进而得到，构造函数，根据导数与单调性的关系得到在上单调递减，结合零点存在定理判断即可. 【详解】由题意知，、、，设， 因为，所以， 代入椭圆方程解得，所以， 由已知可知点在第二象限，所以，则， 则，又，， 所以，整理得，则， 又，所以， 又（），则， 令（）， 则， 所以在上单调递减； 又，， ， ， ， 结合零点存在定理可知，椭圆的离心率. 2． 【答案】A 【分析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得的关系，由此可得，再利用三角换元求最大值. 【详解】为第一象限的交点，设、， 则、，解得、， 在中，由余弦定理得：， ∴，∴， ∴，∴，∴， 设，，则， 当时，即，时，取得最大值. 3． 【答案】A 【分析】先根据双曲线方程求出渐近线方程，再利用圆心到渐近线距离小于半径列出不等式求出的范围，最后根据离心率公式求出离心率的范围. 【详解】双曲线：中，，则， 所以渐近线方程为，即， 又因为圆：的圆心为，半径， 由题意得，化简可得：，整理得：， 求解可得：，又因为，所以， 又因为，，则，即， 所以，即的离心率． 4． 【答案】B 【分析】联立直线与双曲线方程求出，根据题意列出关于的不等式，再转化为离心率即可. 【详解】将直线代入得， 所以， 因为大于的虚轴长，所以，即， 同时除以得， 解得，所以离心率， 所以的离心率的取值范围是. 5． 【答案】 【分析】设，，将A，B的坐标分别代入C的方程， 法一：消去，得出，由椭圆的性质得到，，进而得到，最后根据椭圆的离心率求解； 法二：消去，得，根据，得到，最后根据椭圆的离心率求解； 法三：分直线斜率是否存在讨论，当斜率存在时，设直线，的方程分别为，，将直线与椭圆方程联立，求出，，得到，令，则，求出，由，得到，最后根据椭圆的离心率求解. 【详解】由题意，设，， 将A，B的坐标分别代入C的方程，得 法一：消去，可得，由椭圆的性质，得，，得， 整理得，即，又， 所以，故C的离心率的取值范围为. 法二：消去，可得，解得，考虑到，可得，即，下同法一. 法三：当直线斜率不存在，即，时，显然有； 当直线斜率存在时，设直线，的方程分别为，， 由与联立，解得，则， 所以，同理， 所以. 令，则，所以，解得， 由，解得， 所以，， 又，所以. 故的离心率的取值范围为. 6． 【答案】 【分析】根据蒙日圆定义求得椭圆的蒙日圆方程，根据直线与圆的位置关系求出的取值范围，结合椭圆的离心率公式可求得结果. 【详解】因为，则椭圆的焦点在轴上， 因为直线，与椭圆都相切， 所以直线，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆， 且圆的圆心为坐标原点，半径为， 因为直线与圆没有公共点，所以，解得， 所以， 故椭圆的离心率为. 7． 【答案】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义将几何条件转化为关于的代数关系，进而建立目标式与离心率的关系，最后利用柯西不等式求解最值. 【详解】 设椭圆的长半轴长为，半焦距为，根据椭圆的定义. 设双曲线的实半轴长为，半焦距为，根据双曲线的定义， 不妨设，则有. 联立得. 因为，所以根据勾股定理有， 化简得：，两边同除以可得：， 则根据柯西不等式得， 当且仅当 所以的最大值为. 题型04 面积相关的最值、范围问题 1． 【答案】(1) (2) (3)当时，三角形的面积有最大值，最大值为 【分析】（1）直线与椭圆交于，两点，联立方程组则，即可得到 m的取值范围为. （2）设直线与椭圆的交点，，并设，由韦达定理得到， 因为点M在直线上，得到， 消去m，再确定的范围即可求解. （3）先利用弦长公式得到 ，再由两点间的距离公式得到，则三角形的面积，可知当，三角形的面积有最大值. 【详解】（1）设这组平行直线的方程为， 把代入椭圆方程， 得， 这个方程的根的判别式． 由，得，所以的取值范围为． （2）设直线与椭圆的交点，，并设， 则，，             因为点在直线上，所以，         与联立，消去，得，             又由（1）可知，所以， 所以M的轨迹方程为． （3）由韦达定理，，， 则 ，                 由（2）知，， 所以线段的垂直平分线的方程为， 所以点的坐标为，             则，         三角形的面积， 当且仅当，即时等号成立， 所以当，即时，的面积有最大值，最大值为. 2． 【答案】(1) (2)设点，则，即， 由题意可知：，， 则， 所以直线，的斜率之积为定值，该定值为． (3) 【分析】（1）根据题意列方程求的值，即可得椭圆的标准方程； （2）设点，可得，结合斜率公式分析证明即可； （3）设，，，，与椭圆方程联立利用韦达定理可得，进而可得，换元利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由题意可得：，解得，，， 所以椭圆的标准方程为． （2）略 （3）由题意可知：直线不垂直于坐标轴，且过点， 设，，，， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 可得，， 则， 因为，则， 可得的面积． 设，则， 可得， 当且仅当，即，时，等号成立 所以的面积的最大值为． 3． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)结合椭圆顶点坐标、离心率及求解参数得标准方程. (2)先求线段长度，再通过椭圆参数方程将点到直线距离转化为三角函数最值问题，进而得到面积取值范围. 【详解】（1）由题意，椭圆短轴上顶点为，故，即. 已知离心率，即，结合椭圆参数关系， 代入得： ， 解得， 因此椭圆的标准方程为. （2）对直线，令得，即，令得，即， 故. 设椭圆上点的参数坐标为， 由点到直线距离公式，到直线的距离为： ， 因，故，取绝对值得，因此. 的面积，代入的范围得. 4． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）利用双曲线的定义与离心率即可求解结果； （2）（i）设，，l：，与双曲线联立方程，得到根与系数关系，设，由化简即可得到点Q的坐标； （ii）利用弦长公式得到，利用点到直线的距离公式得到到直线的距离，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）设双曲线的右焦点为，连接，， 由题意知，四边形是平行四边形，∴， ∴，∴， ∵离心率，∴半焦距， ∴， ∴E的方程为； （2）（i）设，，l：， 代入，整理得， ∴，解得， ∴，， 设，则 ， ∴ ， 即， 要使上式在时恒成立，则，， ∴； （ii）由（i）知， ， 点到直线l的距离为， ∴， 设，∵，∴，， ∴； 设，由对勾函数的性质知，单调递增， ∴， ∴，， ∴， 故面积的最小值为． 5． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）先求得与相交弦的弦长和与相交弦的弦长，然后利用得四边形面积为设，利用导数研究其单调性，注意到，求得，即可得解； （2）（i）先求得，由对称性知圆与在第一象限内必存在两个交点，设交点坐标为，则，将问题转化为直线与在上有两解，结合二次函数性质求解即可； （ii）由对称性易知圆与的4个交点组成的四边形为梯形，设圆与在第一象限内交于，两点，且设.则.则，设，且，则，利用导数法求得的最大值为，即可得解. 【详解】（1）设与抛物线交于两点， 联立与，解得，即， 则， 所以 则与相交弦的弦长， 与相交弦的弦长， 注意到，则四边形面积为    设，且， ，故单调递增， 故有且仅有一个解， 故. （2）（i）由（1），， 由两条直线的倾斜角对称性易知在轴上， 将代入得到PQ中点坐标为， 则过该中点且垂直于直线PQ的直线方程为， 令解得，故.       由于在轴上，由对称性知圆与在第一象限内必存在两个交点， 设交点坐标为，则， 当方程有两解时， 等价于直线与在上有两解， 故，则.       （ii）由对称性易知圆与的4个交点组成的四边形为梯形，且上底与下底均与轴垂直， 故不妨设圆与在第一象限内交于，两点，且设. 其中由（2）（i），为的解，则， 则， 其中将代入得.       设，且， 则，       设，， 则， ，则在上单调递减， 又，故，使得. 所以，即单调递增； ，即单调递减；故的最大值为.          令，即，解得， 则， 故，则， 即四边形面积的最大值为. 6． 【答案】(1) 与的交点为， 由得 点在直线上； (2)（ⅰ）0；（ⅱ） 【分析】（1）根据两直线方程求得其交点坐标为，即可得出结论； （2）（ⅰ）设，利用分别求得的坐标为，再结合韦达定理即可求得斜率为0； （ⅱ）利用中位线性质以及三角形相似可得四边形的面积为，求出其面积表达式再由二次函数性质即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）不妨设，由（1）知点的坐标为，如下图所示： 又，即为的中点，点的坐标为， 又点在曲线上，， 整理得， 同理可得， 是关于的方程的两根， ， 又， 点的坐标为，即， 直线的斜率； （ⅱ）设四边形的面积为， 为的中点，为的中点，， 又由（ⅰ）知：直线平行于轴或与轴重合， ， 又，， ， 可得四边形面积的最小值为． 题型05 距离有关的最值、范围问题 1． 【答案】B 【分析】取椭圆上任意一点，利用点到直线的距离公式以及辅助角公式计算求出，即可求出离心率. 【详解】根据题意可设椭圆上任意一点， 则点到直线的距离如下， 为，其中； 易知，可得， 又，所以； 因此离心率为. 故选：B 2． 【答案】C 【分析】过点作，垂足为，利用抛物线的定义得到，可知当三点共线时有最小值，再利用点到直线的距离公式计算. 【详解】过点作，垂足为， 由题意可知，直线的方程为，抛物线的焦点为， 由抛物线的定义可知，， 则，等号成立时三点共线， 点到直线的距离为， 故的最小值为. 故选：C 3． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求出曲线在点处且与直线平行的切线的斜率，结合点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】由，得，设， 则， 所以曲线在点处且与直线平行的切线的斜率为， 又，所以，解得，所以， 此时点到直线的距离最小，如图，    距离为. 故答案为：. 4． 【答案】(1) (2) (3)最大值为​​​，最小值为 【分析】（1）结合椭圆的定义即可求解； （2）设，由向量垂直确定轨迹方程，再联立椭圆方程即可求解； （3）设，结合两点间距离公式和二次函数性质即可求解. 【详解】（1） 椭圆，得，，​， 上顶点，焦点， ， 根据椭圆的定义：，焦距， 周长； （2）设，由垂直性质得， ， ， 点积展开得： ， 又在椭圆上，满足， 代入上式得： ，得， 回代得​，即， 故的坐标为； （3）设， ，则， 距离平方为： ， 这是开口向下的二次函数，对称轴为， 最大值在对称轴处取得：即时，，得， 最小值在端点处取得：即时， ，得 故动点到点距离的最大值为​​​，最小值为. 5． 【答案】(1) (2) ①设圆心为，直线，直线， 将合并设为，则圆心到直线的距离 ，平方得： ，则， 且，由韦达定理：. ② 【分析】（1）根据椭圆的长轴长和经过的点坐标求出，进而可求出椭圆方程. （2）①先列出直线的方程，列出圆心到直线的距离表达式，化简，结合韦达定理即可证明结论；②设直线，联立直线与椭圆方程，化简，根据①的结论，结合韦达定理求解计算即可. 【详解】（1）由题意得，即椭圆的方程为，将代入， 即，则椭圆的标准方程为. （2）①略 ②设直线，联立， 得，所以， 由①可得：， 所以， 所以， 将代入，得， 化简得，即， 所以或. 当时，直线，过，舍去； 当时，直线， 此时直线过定点，则的轨迹是以的中点为圆心， 为半径的圆，其标准方程为：， 点到直线的距离为，故点到直线的距离的最大值为. 6． 【答案】(1). (2)1 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，结合标准方程，可得答案； （2）根据角平分线性质，结合双曲线的概念可得各线段长，可得动点的轨迹，利用圆上点到定直线的距离性质，可得答案. 【详解】（1）由双曲线的渐近线方程为，得， 又，分别为双曲线C的左、右焦点， 所以，所以， 故双曲线的标准方程为. （2）由题意，延长，且与交于一点，如图所示. 由于，且为的平分线，所以， 且M点为线段的中点.不妨假设点P在双曲线C的右支上， 由于，故， 由于O，M分别为，的中点，所以， 故点M的轨迹是以原点为圆心，4为半径的圆，轨迹方程为， 点M到直线的距离的最小值为原点到直线的距离减去半径4， 即.    7． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的方程； （2）设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出，并求出点到直线的距离，结合三角形的面积公式可求得的面积； （3）解法一：设的方程为，设、，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出直线的方程，可得出点的方程，同理可得出点的坐标，进而可求得线段的中点的坐标，即可求得的最大值； 解法二：设、，不妨设，可得出直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理求出点的坐标，同理得出点的坐标，根据，可得出，即可得出线段的中点的坐标，即可求得的最大值. 【详解】（1）因为双曲线的右顶点为，且经过点， 所以，解得，所以的方程为. （2）联立得， 设、，则，， 所以， 所以. （3）方法一：由题意可知，直线不与轴平行，故其斜率存在， 设的方程为， 联立，得， 设、，则，， 直线的方程为，所以，同理可得， 所以的中点的纵坐标为 ， 所以的中点为定点. 设到的距离为，由图易知、两点在的同侧，所以， 又过定点，所以， 所以最大值为； 方法二：设、，不妨设. 则直线的方程为， 与联立得：， 则，，， 则，，同理，. 而，， 又、、三点共线，则有， 则， 等式两边同时乘以可得， 即，即， 因为，故，即，所以的中点为定点. 设到的距离为，由图易知、两点在的同侧，所以， 又过定点，所以， 所以最大值为. 题型06 数量积的最值、范围问题 1． 【答案】C 【分析】根据向量运算化简，再根据椭圆性质得到，最后求解范围即可. 【详解】对方程配方得，因此圆心，半径，是的直径， 故，. ，， 因此. 椭圆中，，，， 恰好是椭圆的右焦点. 根据椭圆性质，， 代入得，因此. ，即取值范围为. 2． 【答案】 【分析】由题意易得是双曲线的切线，切点为，线段的中点为，再根据平面向量的数量积的运算律可得，结合双曲线的性质即可得解. 【详解】因为为双曲线上的动点， 所以，则，， 由题意，直线是双曲线的切线，切点为， 而双曲线的渐近线方程为，则， 联立，解得， 所以点的坐标为， 联立，解得， 所以点的坐标为， 所以线段的中点为， 则 （当且仅当时取等号）， 由题意可得直线的斜率大于零或不存在， 故，当且仅当为双曲线右顶点时取等号， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 3． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，解方程即可得出答案； （2）由“点差法”可得直线的斜率为，再由点斜式方程求解即可； （3）讨论直线的斜率存不存在，存在时设直线的方程为，，联立直线与双曲线的方程，将韦达定理代入，由反比例函数的单调性即可得出答案. 【详解】（1）由题意可得：，解得：. 所以椭圆的方程为：. （2）设，因为在椭圆上， 所以，两式相减可得： ， 则，因为为线段的中点， 所以， 所以，所以直线的方程为：， 化简可得：. （3）当直线的斜率不存在时，，， 此时，所以， 当直线的斜率存在时，设，因为直线过点， 设直线的方程为：， 联立可得：， 当时，， ， ， 令，则， 令，在在上单调递减， 又，所以， 所以的取值范围为. 4． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）由椭圆过，椭圆离心率以及求解即可； （2）（i）由直线经过椭圆的右焦点以及斜率为1，直线与椭圆联立，解得交点，的坐标，即可求解； （ii）设直线的方程，与椭圆联立，再由韦达定理代入，由一元二次方程性质即可求解. 【详解】（1）因为椭圆：（）经过，所以，因为椭圆离心率为， 所以，因为，所以解得，所以椭圆：. （2）（i）由题意可得，，因为直线的斜率为，所以直线：，所以联立， 可得，化简可得，解得或， 所以，，故点到直线的距离为， 所以. （ii）设直线：，设，， 所以联立，可得， 可得，由韦达定理可得， 则，， 所以， 因为，， 所以， 即， 所以， 当时，取得最小值，即此时. 5． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）设出点的坐标，表示出直线、的斜率，求出它们的斜率之积，利用斜率之积是，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点的轨迹方程； （2）①设，，由余弦定理得，根据公式求的面积； ②设，分别用向量表示，，由题意求的取值范围. 【详解】（1）设点的坐标为，因为点的坐标是， 所以直线的斜率是， 同理，直线的斜率是， 由已知，有， 化简，得点的轨迹方程是， 点的轨迹是除去，两点的椭圆； （2） ①由（1）知椭圆的焦点， 其中， 设，， ，， 在中，当时，由余弦定理得： ， ； ②设，则，即， ，，，， ， ，， ， 即的取值范围为. 题型07 斜率相关的最值、范围问题 1． 【答案】B 【分析】首先设点的坐标，再表示点的坐标，并表示，利用基本不等式求最值. 【详解】设，，由可知，， 直线斜率最大，则点是第一象限的点，即， 所以， 当，即时，等号成立， 所以直线斜率的最大值为1. 故选：B 2． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，在中由勾股定理得到，即可求出； （2）设，用含、的式子表示、，从而表示出，再根据基本不等式计算可得. 【详解】（1）抛物线的焦点是，准线方程为，在抛物线上，故，解得， 如图，在中，， 则，即，解得（负值已舍去）， 所以抛物线的方程为．    （2）设，故， ， ， 所以， 当时，； 当时，，设， 当时，当且仅当，即时取等号； 当时，当且仅当，即时取等号； 所以，则或， 则或，即； 综上所述的取值范围为.    3． 【答案】(1) (2)是， (3) 【分析】（1）设，，直线的方程为，与双曲线方程联立利用韦达定理可得答案； （2）由韦达定理代入可得答案； （3）设直线与直线的方程分别为，，联立两直线方程可得交点的横坐标为1，可得，即可求出的范围，从而得解. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的渐近线方程为，所以， 易知直线的斜率不为，设，，直线的方程为， 联立双曲线与直线消元整理得， 所以，解得， 再由斜率存在以及可得，的取值范围为； （2）依题意，，，结合（1）由韦达定理可知， ，， 于是， 因此 ， 即是定值，定值为； （3）由（2）可知，， 令，则， 所以直线与直线的方程分别为，， 由，解得，即交点的横坐标为， 故 ， 又，即，即， 又，即，解得或， 又，所以， 故的取值范围为. 4． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据椭圆焦点在轴得到、，结合离心率，列方程求解，代入得到椭圆方程； ②设直线的方程并联立椭圆方程，由韦达定理计算弦长，根据且得到直线的斜率，同理得，由解出，再代入直角三角形面积公式计算面积； （2）联立直线与椭圆方程，通过韦达定理分别表示出弦长和，结合整理得到关于的表达式，利用椭圆焦点在轴的条件列不等式求解，即可得到的取值范围. 【详解】（1）①已知椭圆焦点在轴上，故，，所以， 又离心率，所以，解得， 因此椭圆的方程为. ②因为是的左顶点，所以，设直线， 则由得， 已知是方程的一个根（对应点），由韦达定理得， 因此，因为，且，故， 同理得，由，得，整理得， 即，因，故， 此时，为等腰直角三角形，面积为. （2）已知椭圆焦点在轴上，故，左顶点， 设直线的方程为，，由得直线斜率为， 将代入椭圆方程，整理得， 该方程一个根为，由韦达定理得， 由弦长公式得， 将上式中替换为，得， 由，即，化简得 ，整理得， 由椭圆条件，代入得，移项整理， 即，等价于，所以或，解得， 故的取值范围是. 5． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，，结合离心率的公式，即可求解； （2）根据题意，得到双曲线，设直线的方程为，联立方程组，结合和韦达定理，得到，，再由，化简得到，结合对勾函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由双曲线，可得， 因为双曲线C的焦距为，可得，所以， 所以双曲线的离心率为. （2）由双曲线C的一条渐近线方程为，即，可得， 因为，可得，所以双曲线， 当直线的斜率不存在时，根据双曲线的对称性，，不满足， 所以直线的斜率一定存在， 因为，说明三点共线，且都在双曲线的右支上， 所以直线的斜率不为0，且， 设直线的方程为，、，且，， 联立方程组，整理得， 显然，则，可得， 且，， 由，可得，且，所以， 可得， 根据对勾函数的性质知，函数在上单调递减， 可得， 又因为， 所以，可得， 所以直线斜率的取值范围为. 题型08 角度相关的最值、范围问题 1． 【答案】C 【分析】根据相切的性质可得，利用二倍角公式可得，利用两点距离，结合二次函数的性质可得的最小值求解. 【详解】设圆心为，由题意作图如图，由与圆相切， 则，且， 故. 设，则，可得 故当取最小值，且最小值为， 所以的最小值为， 故选：C. 2． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）根据焦点及离心率的定义即可求解； （2）（ⅰ）通过联立直线与双曲线的方程，利用根与系数的关系以及三角形面积公式即可求解；（ⅱ）由于是直线与的夹角，列出的表达式即可求解. 【详解】（1）已知双曲线C：的左焦点为，离心率． 则，，解得，，因此双曲线的方程为． （2）（ⅰ）如图所示，设直线l的方程为，其中斜率， 设点，点，且，根据双曲线的中心对称性可知，点， 联立直线与双曲线方程，得，化简得， 其中. 由根与系数的关系，可得，， 因为Q点在第三象限，所以，所以． 因为R是P关于原点O的对称点，所以O是线段PR的中点， 因此，所以， 由于，所以， ，， 所以，由于，，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线l的方程为，即. （ⅱ）由题意，即为直线QP与直线QR的夹角， 直线QP即直线l，方程为， 点，点，点，直线QP的斜率， 直线QR的斜率， 由于P，Q在直线上，有，， 则，代入， 则， 设直线QP的倾斜角为，直线QR的倾斜角为，则， 因此， 即， 又因为单调递减，所以的取值范围． 3． 【答案】(1) (2)① ，；② 【分析】（1）由双曲线离心率以及点在双曲线上，即可求解双曲线方程. （2）①设，，联立方程与双曲线，由韦达定理与的关系，求解线段的中点，再由线段的垂直平分线过点，可得，求解即可. ②由，得到与的关系，求解，，，由，再由，求解即可. 【详解】（1）由双曲线：的离心率为2，得，解得． 又因为点在双曲线：上，则，解得，， 所以双曲线的方程为． （2）①设，， 联立消去得， 所以，即， 且，，由，得，所以． 则． 因为线段的中点为，所以． 因为线段的垂直平分线过点， 则，整理得． 结合，得，所以，． ②由①知，， 则，，． 因为点，是直线与双曲线的右支的交点，所以，，则，， 则，解得． 因为 ， 所以． 又因为， 所以，即． 因为， 所以的取值范围为，即的取值范围为． 4． 【答案】(1) (2)直线过定点，该定点坐标为. (3) 【分析】（1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的方程； （2）将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，由题意可得，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可得出、所满足的关系式，即可求出定点坐标； （3）解法一：求出线段的垂直平分线方程，将点的坐标代入此直线方程，可得出，由此可得出线段的中点的坐标，求出的取值范围，结合弦长公式可求出的取值范围，即可得出的取值范围，即可得出的取值范围； 解法二：由结合点、都在双曲线的上支上可求出的取值范围，结合弦长公式可求出的取值范围，即可得出的取值范围，即可得出的取值范围. 【详解】（1）渐近线方程为， ，由双曲线过点，得， ，， 双曲线的方程为. （2）由（1）知，由，得， 由题意得，① 设、，则，，   ， 由，， 则 ， 由以为直径的圆恒过点，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 直线过定点，该定点坐标为. （3）解法一：设线段的中点为， 由（2）得，点， 线段的垂直平分线方程为， 点在线段的垂直平分线上， ，，② 点，    把②代入①，解得或， 又、在双曲线的上支，， 即，，， ， ， ， ， 令，， 由，得，解得，， ，，， 即的取值范围是. 解法二：设线段的中点为， 由（2）得，点， 线段的垂直平分线方程为， 点在线段的垂直平分线上， ，，② 点， 由（2）知， 解得或， 、在双曲线的上支， ，， ， ， ， ， ，， ，，， 即的取值范围是. 5． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，即可求解； （2）（i）设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并利用坐标表示直线的方程，并且联立方程求点的轨迹方程；（ii）利用两直线的倾斜角表示，利用斜率表示，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由椭圆的性质，可知的面积的最大值为， 又，解得，，， 所以椭圆的方程为. （2）（i）由题知不与轴重合，设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得， ， 设、，则，， 因为的方程为，的方程为， 两直线方程联立得：， 因为， 所以，解得. 所以动点的轨迹方程为. （ii）由椭圆的对称性不妨设，直线、的倾斜角为，， 由图可知，且，因为，则， 因为，， 所以， 当且仅当时等号成立， 此时，，所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，动点轨迹，第二问的关键是根据韦达定理，联立两直线方程可化简求得点的轨迹，再利用倾斜角表示. 6． 【答案】(1) (2)（ⅰ）为定值（ⅱ） 【分析】（1）根据题意列出方程组求出得解； （2）（ⅰ）列出两个斜率，再利用点在椭圆上，将转化为关于的式子，通过化简运算得出定值； （ⅱ）利用直线斜率之积为常数，转化为斜率之间的关系，再由两角差的正切公式及基本不等式求解即可． 【详解】（1）由题意短轴长为2，，即，因为椭圆经过点， 所以，则.所以椭圆方程为 （2）（ⅰ）证明：由题意可得，因为点关于原点的对称点为，所以,点，点为中点，即，设. 直线的斜率为， 直线的斜率为， 所以①， 因为在椭圆上，所以，解得②， 同理因为点在椭圆上，所以③， 将②③代入①式，得（为定值）. 综上，为定值. （ⅱ）又因为既在椭圆上又在的延长线上， 所以， 又因为 所以，则， 设，直线倾斜角为，直线倾斜角为， ，， 所以， 则， 当且仅当，即，解得（因为）时等号成立，即此时最大. 所以直线方程为． 题型09 参数的最值、范围问题 1． 【答案】B 【分析】对点的位置进行分类讨论，当点与坐标原点重合时，可求得；当点不与原点重合时，不妨设点在第一象限，过点作垂直准线于点，利用角平分线的性质可得出，可得出，结合题意可求出的取值范围，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由题意得，焦点，准线方程为，为准线与轴的交点. 当点与坐标原点重合时，的平分线与轴交点为，即. 当点不与原点重合时，由抛物线的对称性，不妨设点在第一象限， 过点作垂直准线于点， 如图，由抛物线的定义可得， 记的平分线与轴交于点，则，. 根据角平分线定理可得，即. 因为， 所以，解得. 综上. 故选：B. 2． 【答案】B 【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，，求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解． 【详解】解：由题意可得，焦点F，准线方程为x＝−1，过点P作PM垂直于准线，M为垂足， 由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1， 记∠KPF的平分线与轴交于，， 根据角平分线定理可得， ， 当时，， 当时，， ， 综上：． 故选：B． 3． 【答案】 【分析】设，计算，结合二次函数性质和题意即可分析求解. 【详解】由题可知，设，则， 所以， 因为函数的图象对称轴为，图象开口向上， 又由题意知当即时有，且， 所以，即，故满足题意的实数的取值范围为. 故答案为：. 4． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）设，根据得出坐标关系，代入椭圆方程中求出，根据求解. 【详解】（1）由题意得，，，， 得， 故椭圆的标准方程为； （2）设， 由且可知， 则，得，即， 由，得，得， 即， 即，即，得， 因为，所以， 故实数的取值范围为. 5． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据点差法求得直线的斜率，再根据点斜式方程求解即可； （2）设，进而根据向量关系得，再将其代入椭圆方程得，根据求解即可. 【详解】（1）如图，作出符合题意的图形， 设，均在椭圆上，故：①，②； 得，因式分解； 因为中点，故， 代入得，化简， 斜率；由点斜式得直线方程，整理. 所以直线的方程为 （2）如图，做符合题意的图形， 设，，， 所以 可得，即； 代入椭圆方程与，得：③，④； 得； 因为在椭圆上，，故， 设，解得，所以， 当，三点重合，不构成弦，故舍去； 所以，即的取值范围为 题型10 与最值、范围相关的新定义问题 1． 【答案】 【分析】通过椭圆过圆直径两端点建立参数方程，代入标准方程得到关于半径、半长轴和角度参数的关系式，再利用椭圆面积大于圆的条件化为不等式，联立两个约束，结合离心率公式消去角度参数，最终推导出特征值关于离心率的范围. 【详解】设圆的圆心在原点，半径为，方程为：， 椭圆的焦点在坐标轴上，中心在原点，其标准方程为：， 离心率为，则. 椭圆经过圆的某一条直径的两个端点， 设该直径的一个端点对应的圆心角为， 则两端点为， 将代入椭圆方程，得：① 整理得， 记为特征值，② 代入到①式，有， 两边同乘以得， 令，则，于是 解得，. 由②知，当从到变化时，从减小至， 即直径条件给出. 又椭圆面积大于圆面积，即 代入及，得： 联立与，得, 其中，， 因此，特征值的取值范围为. 故答案为：. 2． 【答案】(1) (2) 点被直线分隔，即， 设点，则由题意可得， 故曲线的方程为①. 对任意的，不是上述方程的解，即轴(即)与曲线没有公共点. 又曲线上的点、对于轴(即)对称，满足， 即点和被轴分隔，所以轴，即为曲线的分隔线. 若过原点的直线不是轴，设为，代入， 可得， 令， 当时，， 所以在区间有实数解， 当时，有实数解. 与有公共点，所以不是的分隔线. 所以通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线，即. 【分析】（1）联立可得，根据此方程无解，可得，验证曲线上的点和被分隔，从而求得的范围. （2）设点，与条件求得曲线的方程为①.由于轴为，显然与方程①联立无解.把的坐标代入，由，可得轴，即是一条分隔线. 【详解】（1）联立，可得. 根据题意，此方程无解，故有，所以. 当时，对于直线， 点被直线分隔，即， 曲线上的点和满足，即点和被分隔. 故实数的取值范围是. （2）略 3． 【答案】(1)在，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用题中定义判断即可； （2）利用椭圆的定义和勾股定理可求出的值，即可证得结论成立； （3）求出曲线的方程，可知直线在曲线必有一个定点为原点，然后将直线的方程与曲线的方程联立，结合题意可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）记点，则， 故点在曲线上. （2）对于椭圆，，，则， 故、分别为椭圆的左、右焦点， 由椭圆的定义可得， 因为，由勾股定理可得， 因为， 所以，故. （3）任取曲线上一点，则， 即，即， 整理可得，故曲线的方程为， 易知原点在曲线上，所以直线与曲线一定有公共点， 联立，结合题意可知无非零实数解， 即无非零实数解，则，可得，解得或， 因此实数的取值范围是. 4． 【答案】(1) (2) 方法一：因为，所以曲线C的方程为， 可化为，即， 因此， 所以，当且仅当且时取等号. 方法二：同上曲线C的方程为， 因此， 所以，当且仅当且时取等号. 方法三：如图设点P在x轴，直线上的射影分别为Q，R， 则根据定义， 因此，即， 所以，当且仅当且时取等号.    (3) 【分析】（1）根据曲线C上的点满足的条件，结合可求a的值； （2）当点在C上时，方法一：利用解不等式求解；方法二：利用求解；方法三：设点P在x轴与直线上的射影分别为Q，R，利用求解即可. （3）讨论直线的斜率，当斜率存在时，设直线AB的方程为，其中，利用弦长公式，三角形面积公式可得，再结合换元法以及三角函有界性可求四边形面积的最小值. 【详解】（1）因为O在曲线上，所以O到的距离为，而， 所以有，即 （2）略 （3）由，得 当其中一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，此时 当两条直线斜率均存在且不为0时，设直线AB的斜率为k，倾斜角为，由对称性不妨设， ，则直线AB的方程为，其中，直线的方程为， 联立 化简得到， 所以 则， 故， ， 同理，所以， 令， 令， 因为， 所以，即， 所以在上单调递增，当，即时，， 此时， 综上所述四边形面积的最小值为 【点睛】方法点睛：解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可知，则，则求的最小值，即求的最小值，再结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 即定点到直线距离最小即可， 根据点到直线的距离公式可得， 所以. 故选：C 2． 【答案】B 【分析】利用椭圆、双曲线的定义求周长的最小值. 【详解】取，则，为椭圆和双曲线的公共焦点. 根据椭圆和双曲线的定义，可得， 即. 又，当三点共线时取等号. 所以，即周长的最小值为4. 3． 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离及两点间的距离公式，结合函数单调性逐项确定范围即可． 【详解】对于， 不妨取，右焦点， 设，则，即， ， 在上单调递增， 当， ，故A错误； ， ，，故B错误； 而，， 即的取值范围为，故C正确； 设焦点到渐近线的距离为， ，，故D错误． 4． 【答案】B 【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【详解】如图，作出符合题意的图形，设， 则，， 当且仅当时取等号，此时， ，. 5． 【答案】C 【分析】连接点和椭圆的左焦点，由对称性和椭圆上点到焦点距离的特征得点位于图中点处，对火星的观测角最小. 【详解】设火星半径为，椭圆左焦点为，连接，如图所示： 则， 因为， 所以越大，越小，越小， 所以当点位于点处时，对火星的观测角最小， 故选：C. 6． 【答案】ACD 【分析】由题设列式求出、、根据椭圆的离心率公式计算可判断A；结合椭圆的定义求出的周长即可判断B；设由可判断C；利用余弦定理以及椭圆的定义，结合基本不等式可判断D. 【详解】由题可知，得；因为的最大值为，所以，得，故 对于A选项,离心率，A选项正确； 对于B选项,由椭圆的定义可得的周长，B选项错误； 对于C选项,设，因为，所以当P为椭圆短轴端点时，的面积最大，故C选项正确； 对于D选项，设，由余弦定理可得 ，当且仅当时，即当点P位于短轴端点时，等号成立， 又因为余弦函数在上为减函数，且，故， 即当P为椭圆短轴端点时，取得最大值，故D选项正确． 7． 【答案】ABD 【分析】求出双曲线方程及其渐近线方程判断A；求出点的轨迹方程，与双曲线方程联立由解的情况判断B；利用圆的性质，结合两点间距离公式求解判断CD. 【详解】设双曲线半焦距为，则，由双曲线经过点，得， 而，解得，因此双曲线的方程为， 对于A，双曲线的渐近线方程为，即，A正确； 对于B，由对称性不妨令，设，由， 得，整理得， 点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，由， 消去得，，因此动点的轨迹与无公共点，B正确； 对于C，点到圆心的距离，因此的最大值为，C错误； 对于D，设双曲线上任一点，则，到圆心的距离为： ， 当且仅当时取等号，因此的最小值为，D正确. 故选：ABD 8． 【答案】ACD 【详解】因为在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线的方程为，准线方程为，焦点. 对于A，由，得，所以，所以， 所以抛物线在点A处的切线l的方程为，即， 即，所以， 由抛物线的定义可得，，所以，故A正确； 由切线，令，得，所以， 所以， ，， 所以，所以为直角三角形， 所以不存在，使得为锐角三角形，故B错误； 过作的垂线，垂足为， 因为，所以直线的方程为， 又，所以直线的方程为， 解得点，所以，所以，故C正确； 过作的垂线，斜率为，所以直线的方程为， 与直线的方程联立解得， 所以， 设， 当时，；当时，， 所以，所以，当且仅当，即时取等号，故D正确. 9． 【答案】 【分析】根据题意，求得曲线的方程，得出，结合两点间距离公式和函数的性质，即可求得的最小值，得到答案. 【详解】设，已知，，则，整理得， 所以点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，所以. 如图所示：设，连接，，根据题意可知,, 且，,连接，可得四边形的面积为直角面积的2倍，且， 所以,可得, 设，则， 当，即与坐标原点重合时，取得最小值3，故的最小值为. 10． 【答案】 【分析】根据条件求出双曲线的方程为，根据四点共圆，直径为，由正弦定理得，，转化为求的最小值. 【详解】由，所以.，所以，所以， 因此双曲线的方程为，两条渐近线方程分别为：，：. 不妨设点在第一象限，如图，，显然四点共圆，直径为. 设与的夹角为，因为渐近线的斜率为，所以. 在中，由正弦定理得，，所以. 设，由，所以， ，因为， 所以，即的最小值为1，因此的最小值为. 11． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）利用两点间的距离公式，结合配方法，可求的最小值. （2）设直线：，与双曲线方程联立，利用韦达定理，表示出，，进而用表示出， （i）根据，求出，可得直线的方程； （ii）利用的取值范围，可确定的取值范围. 【详解】（1）设，则， 所以， 即当时，. （2）如图： 设与联立，有， 由，得， 设，，则，， 得， 则， （i）当时，，直线的方程为； （ii）因为直线，存在斜率，所以， 故， 所以， 即的取值范围． 12． 【答案】(1)； (2)（i）证明：由题可知，，设，. 当时，直线的方程为， 联立，消去整理得， 已知是方程的一个根，设，由韦达定理得， ∴ ，代入直线方程得，即. 同理，直线的方程为， 联立，消去整理得， 已知是方程的一个根，设，由韦达定理得， ∴ ，代入直线方程得，即. . 直线的方程为. 整理得 ， 当时，，即直线过点. （ii） 【分析】（1）由椭圆顶点距离求出，结合离心率求出，再利用椭圆中的关系求出，即可得到椭圆方程. （2）（i）设出点坐标，分别写出直线、的方程，与椭圆方程联立，通过韦达定理求出点、的坐标，推导直线的方程，确定定点坐标. （ii）将转化为关于直线参数的函数，结合函数单调性求解最大值. 【详解】（1）∵ 椭圆的左、右顶点为，且，∴ ，解得. ∵ 椭圆离心率，∴ ， ∴ ， ∴ 椭圆的方程为. （2）（i）略 （ii）设直线的方程为，，， 联立，消去整理得， 由韦达定理得，. ∵ ，，其中为到直线的距离，为到直线的距离， 计算得，，， ∴ . ∵ ， ∴ . 令，，则，代入得. 由对勾函数的性质可得在上单调递增， 所以当时，取得最小值，取得最大值. 即的最大值为. 【点睛】方法归纳：求解直线过定点时，常先求出动直线含参数的方程，再寻找与参数无关的点即为定点；求解面积最值时，通常将面积表示为单一参数的函数，结合函数单调性或基本不等式求解. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $