《1.3矩形的性质与判定》同步练习题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、中档应用、综合拓展三层设计，覆盖矩形性质与判定全知识点，梯度合理，适配新授课从概念理解到综合推理的巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|矩形定义、性质（对角线、直角）、判定条件|单选1（判定条件）、填空8（对角线计算），强化概念辨析与基础运算，培养抽象能力与几何直观| |中档|性质应用（折叠、动点、坐标）、简单推理|单选5（折叠面积）、填空13（动点矩形），结合图形变换与动态问题，发展推理意识与空间观念| |综合|与菱形结合、坐标系综合、多步证明|解答19（坐标系折叠）、20（综合证明），融合跨知识点应用，提升模型意识与创新意识|

2026-2027学年北师大版九年级数学上册《1.3矩形的性质与判定》同步练习题（附答案） 一、单选题 1.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是() A.AC=BD B.AB=BC C.AB‖CD D.AC⊥BD 2.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中点，连接OE.若 OE=3,则菱形的周长为() A.12 B.24 C.36 D.48 3.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD交于点O,则下列结论一定正确的是() A.∠BAC=∠DAC B.AC⊥BD C.BA=BO D. 1 BO=2AC 4.如图，四边形OACB是矩形，A,B两点的坐标分别是(6,0)，(0,4)，点C在第一象限， 则点C的坐标为() A.（4,0 B.（0,6) c.（4,6) D.(6,4 5.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E.若 AB=4,BC=8,则图中阴影部分的面积为() B A.12 B.10 C.8 D.20 6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,DE⊥AC于点E, ∠AOD=120°，则∠CDE的大小是() 0 A.55° B.40° c.30° D.20° 7.如图，点E为矩形ABCD的边BC长上的一点，作DF⊥AE于点F,且满足DF=AB. 下面结论：①△≌△DEC;②S△ABE=SAADF:③AF=AB;④BE=AF.其中正确的 结论是() A D B E C A.3个 B.2个 c.1个 D.0个 二、填空题 8.社区休闲花园计划修建一个矩形花圃，花圃的长为16m,宽为12m,则该矩形花圃的 对角线长为 m 9.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,若∠ABD=60°，则 ∠E= C 10.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线分别交AD、BC于点E、F. 若AB=3,BC=4,则图中阴影部分的面积为 E D 11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AE垂直且平分线段BO,垂足 为点E.已知BD=20Cm,则AB的长为 cm 12.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,R和P分别是DC,BC上的点，E和F分 别是AP,RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，CR=2时，线段EF的长是 R 13.如图，在四边形ABCD中，ADBC,∠B=90°，AB=8cm,AD=12cm BC=18cm,点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以 2cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动， 设运动的时间为ts,当t=时，四边形PQBA是矩形， 4 P- 14.如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止， 设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形 ABCD的周长是， 图1 图2 三、解答题 15.如图，在矩形ABCO中，延长AO到点D,使DO=AO,延长CO到点E,使 EO=CO,连接AC,AE,DC,DE. D (1)求证：四边形ACDE是菱形： (2)若AE=5,AO=3,求四边形ACDE的面积. 16.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点，EF⊥AB,F为 垂足，OG‖EF,OG交AB于点G D (1)求证：四边形OEFG是矩形： (2)若AD=34,EF=15,求BG的长. 17.如图，点E在矩形ABCD的CD边上，EA平分∠BED D B (1)求证：BE=CD: (2)过A作AF⊥BE于F,连接CF,若BE平分∠ABC,求∠CFE的大小 18.如图，在△ABC中，O是AC边上的动点，过O作MN‖BC,设MN交∠BCA平分 线于E,交△ABC外角∠ACD的平分线于F. E D (1)试探索OE与OF之间的数量关系： (2)点O运动到何处时，四边形AECF为矩形，说明理由. 19.综合运用. 如图，在平面直角坐标系中，放入一个矩形纸片ABCO,将纸片翻折后，点B恰好落在X 轴上，记为B,折痕为CE.直线CE的关系式是y=x+8,与x轴相交于点F,且 AE=3. B E B A F 1)求OC的长度： (2)求点B的坐标： (3)求矩形ABCO的面积 20.如图1，矩形ABCD中，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E,连接AE, DE」 B 图1 图2 (1)若∠CDE=20°，求∠AEB的度数： (2)若AD=10,AB=6,求DE的长： (3)如图2，作∠AEB的平分线交AB于点F,恰有EF=DE,求∠CDE的度数. 参考答案 1.A 解：选项A:矩形的判定定理为对角线相等的平行四边形是矩形，平行四边形ABCD中对 角线AC=BD,满足条件，可以判定它是矩形，该选项正确 选项B:邻边相等(AB=BC)的平行四边形是菱形，不能判定是矩形，该选项错误. 选项C:平行四边形本身就具有对边平行的性质，ABCD本来就是平行四边形的已有性 质，无法判定它是矩形，该选项错误， 选项D:对角线互相垂直(AC⊥BD)的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项错误. 2.B 解：，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, .AC⊥BD,AB=BC=CD=AD, ∠AOB=90°， 点E是AB的中点，OE=3, .AB=2OE=6, .菱形的周长=AB+BC+CD+AD=4AB=24. 3.D 解：四边形ABCD是矩形， n0=D0=A0=C0-AC-号BD.∠ADC-90,AD-BC,ADBC, ∴.AC1BD,∠BAC=∠DAC不-定成立，AB=AO不-定成立，BO=号AC,一定 成立， 故选：D. 4.D 解：A,B两点的坐标分别是6,0)，(0,4)， ∴.OA=6,OB=4, ,四边形OACB是矩形， ∴.CA⊥X轴，CB⊥y轴，AC=OB=4, 又点C在第一象限， ∴.C6,4. 5.B 解：，四边形ABCD是矩形， .ADBC,∠D=90°， .∠ACB=∠EAC, 由翻折的性质可得∠ACB=∠ACE, ∴.∠EAC=∠ACE, ∴.EA=EC, 假设EA=EC=x,则DE=8-x,在Rt△DCE中，由勾股定理得， EC2=DE2+CD2, 即X=8-x2+42 解得x=5, ∴.EA=EC=5, △AC的有积为号AE~6D-方×5×4=10， 故选：B. 6.C 解：，四边形ABCD是矩形， .AC=BD,∠ADC=90°， ∴.OA=OD=OG, ∴.∠OAD=∠ODA,∠ODC=∠OCD, .∠AOD=120°， ∴.∠OAD=∠ODA=30°， ∴.∠ODC=∠ADC-∠ODA=90°-30°=60°， ∴△ODC是等边三角形， .DE⊥AC, k0DE=∠CDr-3∠0DC=30, 故选：C 7.A 解：，四边形ABCD是矩形，DF⊥AE, .∠C=∠ABC=∠AFD=90°，AB=CD,AD‖BC, .DF=AB. .DF=CD. 在Rt△，Rt△DEC中， DE=DE DF=DC .Rt△≌Rt△DEC HL,①正确： .AD BC, .∠AEB=∠DAF, 在△ABE,△DFA中， ∠DAE=∠AEB ∠DFA=∠ABE, DF=AB ,△ABE≌△DFA AAS, ∴.S△ABE=S△ADF:②正确： ∴BE=AF,③不正确，④正确： 综上所述，正确的结论有3个， 故选A。 8.解：根据勾股定理可得该矩形花圃的对角线长为162+12=20m 9.解：如图，连接AC,与BD交于点O, D ABCD CE=BD E 四边形 是矩形，且 ABC=90,AC=BD,OA=AC.OB=BD. ∴.OA=OB,CE=AC, ∴.∠E=∠CAE, :∠ABD=60°， ∴.△AOB是等边三角形， .∴.∠OAB=60, ,'∠ACE是△ABC的一个外角， ∴.∠ACE=∠ABC+∠OAB=90°+60°=150°， ∠E=∠CAE=180°-∠ACE-180150°=150 2 2 故答案为：15° 10.解：，四边形ABCD是矩形， ∴.AB=DC=3,AO=CO,AD‖BC, ∴.∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO, 又，AO=C0 .△AOE≌△COF AAS, ∴.SAAOE=SACOF, S聪=Sa0E+SaBF+SACOD=SAc0F+SAmr+SACOD=SABD=号BCx CD-=号×4x3=6 11.解：，AE垂直且平分线段B0, ..AB=AO, ,四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O,BD=20cm, A0=2AC=号BD=10cm, ∴.AB=AO=10cm. 12.解：如图，连接AR, A D E R B P C 在矩形ABCD中，∠D=90°，DC=AB=3,AD=BC=5, .RC=2, ∴.DR=DC-RC=3-2=1, 在Rt△ADR中，AR=VAD2+DR2=V52+12=V26 ,点E、F分别是AP，RP的中点， EF=号AR=26 , 26 故答案为： 2 13.解：(1)由题意可知，AP=t,CQ=2t,BQ=18-2t,根据四边形PQBA是矩形， 得AP=BQ,即t=18-2t,即可求解. 运动时间为t,由题意可知，AP=t,CQ=2t, .BQ=18-2t, ,四边形PQBA是矩形， ∴.AP=BQ, 即：t=18-2t, 解得：t=6, 即当t=6时，四边形PQBA是矩形. 给答案为：6. 14.18 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出 AB,BC的长度是解决问题的关键，根据函数的图象、结合图形求出AB,BC的值，即可得 出矩形ABCD的周长， 【详解】解：，动点P从点B出发，沿BC,CD,DA运动至点A停止，而当点P运动到点 C,D之间时，△ABP的面积不变，函数图象上横轴表示点P运动的路程，X=4时，y开始 不变，说明BC=4,x=9时，接着变化，说明CD=9-4=5, ∴.AB=5,BC=4, .矩形ABCD的周长=2(AB+BC)=18 故答案为：18. 15.(1) 证明：.DO=AO,EO=CO, .四边形ACDE是平行四边形， ,四边形ABCO是矩形， ∴.∠AOC=90°， ∴.AD⊥CE, .四边形ACDE是菱形： (2)24 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容 是解题的关键， (1)先证明四边形ACDE是平行四边形，再结合矩形的性质得∠AOC=90°，故四边形 ACDE是菱形： (2)先运用勾股定理算出 E=√AE2-AO=4'再根据菱形的性质求出面积，即可作 答 【详略 (2)解：.AD⊥CE, ∴.∠AOE=90°， ,AE=5,A0=3, ∴.OE=VAE2-A02=41 .∴.CE=8,AD=6. 四边形ACDE的面积=AD·CE=×6×8=-24. 16.(1)证明：.四边形ABCD是菱形， ∴.OB=OD :E是AD的中点， ∴.AE=DE, ∴.OE是△ABD的中位线， ∴.OE‖FG .OG‖EF, ∴.四边形OEFG是平行四边形， ,EF⊥AB, ∴.∠EFG=90°， .∴.平行四边形OEFG是矩形： (2)解：四边形ABCD是菱形， ∴.AB=AD=34,AC⊥BD. ,AC⊥BD: ∴∠AOD=90°， ,E是AD的中点， 0E-AD-AE=17, 由（1)可知，四边形OEFG是矩形， ∴.FG=0E=17, ,EF⊥AB, .∴.∠EFA=90°， ∴.AF=VAE2-EF2=/172-152=8 .∴.BG=AB-AF-FG=34-8-17=9. 17.(1)证明：矩形ABCD, .AB=CD,AB‖CD .∠AED=∠BAE, ,EA平分∠BED, ∴.∠AED=∠AEB, .∠AEB=∠BAE, ..AB=BE, .BE=CD (2)解：，矩形ABCD ∴，∠ABC=∠D=∠BCD=90°，AD=BC, ,BE平分∠ABC, .∠ABF=∠CBF=45°， ,AF⊥BE .∠AFE=90°=∠D,∠FAB=∠ABF=45°， .AF=BF, ,∠AED=∠AEB,AE=AE, .△ADE≌△AFE AAS, .AD=AF, ∴BF=BC, ∠BFC=∠BCF=11800-45=67.5, .∠CFE=180°-67.5°=112.5 18.(1)解：OE=OF,理由： ,CE是∠BAC的平分线， ∴.∠ACE=∠BCE, :MN‖BC, ∴.∠OEC=∠BCE, .∠ACE=∠OEC, ∴.OC=OE, 同理：OF=OC, ..OE=OF (2)解：当O为AC中点时，四边形AECF是矩形. 证明：，O为AC中点， ..OA=OC. 又由(1)知，OE=OF ∴，四边形AECF是平行四边形. ,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD, :∠ACE=∠ACB,∠ACF=3∠ACD, 2ECF=2ACB+∠ACD=909 ∴四边形AECF是矩形 19.(1)解：，直线CE的关系式是y=- +8 1 .当x=0时，y=8 .点C0,8 .0C=8 (2)解：，四边形ABCD是矩形， .AB=OC=8,BC=OA,∠B=∠BAO=∠COA=90°， 由折叠可得，BE=BE=AB-AE,CB=BC, AE=3, ∴BE=BE=5, ..B E =AE2+AB2, .52=32+AB2, .AB=4: 设BC=X, ..OB=OA-AB=x-4,CB=BC=x, .CB2=0C2+0B2 X=82+x-42, 解得：x=10, ∴.CB=BC=OA=10, ∴.0B=6, ·点B6,0 (3)解：，OC=8,CB=BC=OA=10, .矩形ABCD的面积为：8×10=80. 20.（1)解：.矩形ABCD, ∴.∠ADC=∠C=90°， ,∠CDE=20°， .∴∠ADE=70°，∠CED=70°， 由作法可知，AD=AE, .∴.∠ADE=∠AED=70°， .∴.∠AEB=180°-∠AED-∠CED=40° (2)解：，矩形ABCD,AD=10,AB=6, ∴.∠B=∠C=90°，AB=CD=6,AD=BC=10, 由作法可知，AD=AE=10, :.在Rt△ABE中，BE=VAE-AB=8 .CE=2, :.在Rt△CDE中，DE=VCD2+CE-21o (3)解：.矩形ABCD, ∴.∠B=∠C=90°，AD‖BC,AB=CD, .∴.∠ADE=∠DEC, AD=AE, ∴.∠ADE=∠AED, ∴.∠AED=∠DEC, ,EF平分∠AEB, ∴.∠AEF=∠BEF, ,∠BEF+∠AEF+∠AED+∠DEC=180°， ,'∠BEF+∠DEC=90°， .∠DEC+∠CDE=90°， ∴.∠BEF=∠CDE, 在△BEF和△CDE中， ∠BEF=∠CDE ∠B=∠C EF=DE .∴.△BEF≌△CDE AAS, .'BE=CD=AB. ∴.∠BAE=∠AEB=45°， ∠BEF=AEB=2.5 ∴.∠CDE=∠BEF=22.5°.