第二章 有理数及其运算 单元卷 2026—2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦有理数概念与运算，通过选择、填空、解答题梯度设计，结合新能源汽车、水果销售等现实情境，适配初中数学第二章单元复习，强化运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|有理数大小比较、科学记数法、数轴、绝对值|基础概念辨析，如第2题科学记数法结合火星距离| |填空题|6/18|绝对值应用、整数和、实际质量差值、高斯新运算|第16题引入高斯定义运算，培养创新思维| |解答题|8/72|新定义运算、新能源汽车行驶问题、规律探究|第21题新能源汽车行驶费用计算，体现模型意识；第24题阅读理解题，发展推理能力|

第二章 有理数及其运算（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得 ， ∴最小的数为：； 2、火星和地球的距离约为3400000千米，此距离用科学记数法表示为（ ）千米． A. B. C. D. 【答案】B 【详解】， 3、如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（ ） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 【答案】C 【详解】解：被盖住的整数有， 共个． 4、下列各组数中，数值相等的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【详解】解：∵，，故选项A不符合题意； ∵，，故选项B不符合题意； ∵，，故选项C符合题意； ∵，，故选项D不符合题意； 5、下列语句：①一个数的绝对值一定是正数；②一定是一个负数；③没有绝对值为的数；④若，则a一定是一个正数；⑤离原点左边越远的数就越小；正确的有（   ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【详解】解：一个数的绝对值一定是正数或0，故①错误， 不一定是一个负数，故②错误， 没有绝对值为的数，故③正确， 若，则a一定是一个正数或0，故④错误， 离原点左边越远的数绝对值越大，而绝对值大的数反而小，则离原点左边越远的数就越小，故⑤正确， ∴正确的结论有③⑤， 6、下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 7、 下面的说法正确的是（　　） A. 正有理数和负有理数统称有理数 B. 整数和分数统称有理数 C. 正整数和负整数统称整数 D. 有理数包括整数、自然数、零、负数和分数 【答案】B 【详解】A、正有理数、0和负有理数统称有理数，故本选项错误； B、整数和分数统称为有理数，故本选项正确； C、整数还包括0，故本选项错误； D、零属于自然数的范围，这样的表达不正确，故本选项错误． 8、已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（　　） A. a＞0，b＞0 B. a＜0，b＞0 C. a、b同号 D. a、b异号，且正数的绝对值较大 【答案】D 【详解】∵ab＜0， ∴a，b异号， ∵a+b＞0， ∴正数的绝对值较大， 9、已知a、b、c三个有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断①；②；③；④中，结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【详解】解：根据题意得：，， ∴故①正确； ∴，故②错误； ∴，故③错误； ∴，故④正确； 所以结论正确的是①④，共2个． 10、如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，第1次输出的结果是，第次输出的结果是，依次继续下去……，第2026次输出的结果是（ ） A. 2 B. 3 C.4 D. 8 【答案】C 【详解】解：第次，， 第次，， 第次，， 第次，， 第次，， 第次，， 第次，， ∴每次一循环， ∴2026÷6=337 …4， ∴第2026次输出的结果于第4次的结果相同，即结果是4， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、若，则_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12、绝对值大于且小于的所有整数的和为______． 【答案】 【详解】解：∵绝对值大于且小于的所有整数为：，，，， ∴其和为：． 故答案为：． 13、 某超市出售的三种品牌月饼袋上，分别标有质量为，， 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差______． 【答案】40 【详解】解：每一袋质量最大分别为，，， 每一袋质量最小分别为，，， 所以从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差抽到最大的数是． 故答案为：40 14、比较大小：－______－，（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】> 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案： 15、 一种少年儿童的标准体重（单位：千克）的计算方式为：标准体重（年龄）． 下表是六位11岁同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 编号 1 2 3 4 5 6 体重情况 则这六位同学的总体重是______千克． 【答案】215 【详解】解：根据题意得，11岁同学的标准体重（千克）， ∴（千克）． ∴这六位同学的总体重是215千克． 故答案为：215． 16、高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过x的最大整数，例如，．现定义，例如．则_____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-20，每题8分,21-22，每题10分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，，π，． 正整数集合：{ }； 正数集合：{ }； 非负有理数集合：{ }． 【答案】见详解 【详解】解：正整数集合：{，，}； 正数集合：{，，，π，}； 非负有理数集合：{，，，，．}； 18、画一条数轴，在数轴上表示下列各数，并把它们按照从小到大的顺序用“”号排列起来． ，，，，0． 【答案】 【详解】解：，，在数轴上表示各数如图： 将各数用“”连接起来： 19、计算： （1） （2） 【答案】 （1） （2） 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20、在学习完“有理数的运算”后，小红对运算产生了浓厚的兴趣．她定义了一种新运算“*”，规则如下：，其中． （1）求的值； （2）求的值； 【答案】（1）3 （2）15 【小问1详解】 解：因为， 所以； 【小问2详解】 解： ． 21、最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 （1）这7天里，路程最多的一天和最少的一天路程分别是第几天？路程最多的一天比最少的一天多走几？ （2）求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少？ （3）已知汽油车每行驶100需用汽油5.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶100耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】（1）路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，最多的一天比最少的一天多走49 （2）小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400 （3）估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省146.8元 【小问1详解】 解：由题意得， ， 所以路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天， 所以， 故答案：49． 【小问2详解】 由题意得， ， ； 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． 【小问3详解】 用汽油的费用：（元， 用电的费用：（元， （元， 答：估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省146.8元． 22、有20袋某种水果，以每袋10千克为标准，超过记为正，不足记为负，记录如下； 与标准重量差值(千克) 0 1 袋数 5 4 3 1 3 2 2 （1）20袋水果中，最重的一袋比最轻的一袋重多少千克？ （2）与标准重量比较，20 袋水果的总重量超过或不足多少千克？ （3）若该种水果进价每千克8元，售价每千克13元．销售这 20袋水果的过程中有的水果坏掉不能出售．那么这20袋水果出售完后能否赚到钱？若能，可赚多少？若不能，亏多少？ 【答案】（1）千克 （2）不足8千克 （3）能赚钱，可赚元 小问1详解】 解：千克， 即最重的一袋比最轻的一袋重千克； 【小问2详解】 解：千克， 即与标准重量比较，20 袋水果的总重量不足8千克； 【小问3详解】 解：这 20袋水果总进价为元， 总售价为：元， 因为且， 所以这20袋水果出售完后能赚到钱，可赚元． 23、先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与 （1）通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； （2）根据（1）的结果猜想等于什么？ （3）用（2）的结论计算： 【答案】（1）相等 （2） （3）5 【小问1详解】 解：① ，，则； ② ，，则； 即每组两个算式的结果相等 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：． 24、【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则．在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考． 【探索】 （1）若，则的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是_____；（填序号） （2）若，且、为整数，则的最大值为_______； 【拓展】 （3）数轴上A、两点分别对应有理数、，若，试比较与0的大小． 【答案】（1）①②；（2）6；（3）见详解． 【详解】解：（1）， 、同号， 、同为正数时，； 、同为负数时，； 故答案为：①② （2）最大 、同号， ， 、同为负数， 、为整数， 、分别为和，此时；或、分别为和，此时， 故答案为：6； （3）， 、异号， 设，则， 若，则， 若，则， 若，则． 设，则， 若，则， 若，则， 若，则． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数及其运算（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 2、火星和地球的距离约为3400000千米，此距离用科学记数法表示为（ ）千米． A. B. C. D. 3、如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（ ） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 4、下列各组数中，数值相等的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5、下列语句：①一个数的绝对值一定是正数；②一定是一个负数；③没有绝对值为的数；④若，则a一定是一个正数；⑤离原点左边越远的数就越小；正确的有（   ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6、下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 7、 下面的说法正确的是（　　） A. 正有理数和负有理数统称有理数 B. 整数和分数统称有理数 C. 正整数和负整数统称整数 D. 有理数包括整数、自然数、零、负数和分数 8、已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（　　） A. a＞0，b＞0 B. a＜0，b＞0 C. a、b同号 D. a、b异号，且正数的绝对值较大 9、已知a、b、c三个有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断①；②；③；④中，结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10、如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，第1次输出的结果是，第次输出的结果是，依次继续下去……，第2026次输出的结果是（ ） A. 2 B. 3 C.4 D. 8 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、若，则_____． 12、绝对值大于且小于的所有整数的和为______． 13、 某超市出售的三种品牌月饼袋上，分别标有质量为，， 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差______． 14、比较大小：－______－，（填“＞”、“＜”或“＝”） 15、 一种少年儿童的标准体重（单位：千克）的计算方式为：标准体重（年龄）． 下表是六位11岁同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 编号 1 2 3 4 5 6 体重情况 则这六位同学的总体重是______千克． 16、高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过x的最大整数，例如，．现定义，例如．则_____________． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-20，每题8分,21-22，每题10分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，，π，． 正整数集合：{ }； 正数集合：{ }； 非负有理数集合：{ }． 18、画一条数轴，在数轴上表示下列各数，并把它们按照从小到大的顺序用“”号排列起来． ，，，，0． 19、计算： （1） （2） 20、在学习完“有理数的运算”后，小红对运算产生了浓厚的兴趣．她定义了一种新运算“*”，规则如下：，其中． （1）求的值； （2）求的值； 21、最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 （1）这7天里，路程最多的一天和最少的一天路程分别是第几天？路程最多的一天比最少的一天多走几？ （2）求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少？ （3）已知汽油车每行驶100需用汽油5.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶100耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 22、有20袋某种水果，以每袋10千克为标准，超过记为正，不足记为负，记录如下； 与标准重量差值(千克) 0 1 袋数 5 4 3 1 3 2 2 （1）20袋水果中，最重的一袋比最轻的一袋重多少千克？ （2）与标准重量比较，20 袋水果的总重量超过或不足多少千克？ （3）若该种水果进价每千克8元，售价每千克13元．销售这 20袋水果的过程中有的水果坏掉不能出售．那么这20袋水果出售完后能否赚到钱？若能，可赚多少？若不能，亏多少？ 23、先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与 （1）通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； （2）根据（1）的结果猜想等于什么？ （3）用（2）的结论计算： 24、【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则．在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考． 【探索】 （1）若，则的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是_____；（填序号） （2）若，且、为整数，则的最大值为_______； 【拓展】 （3）数轴上A、两点分别对应有理数、，若，试比较与0的大小． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $