《1.2一定是直角三角形吗》同步练习题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以勾股定理逆定理为核心，分基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，覆盖概念理解到实际问题解决，适配新授课分层教学需求 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点（判断直角三角形、勾股数）|如单选1直接验证三边关系，夯实概念理解，培养运算能力| |综合|综合应用（情境问题、规律探究）|如填空13分析勾股数组规律，提升推理意识与符号意识| |拓展|复杂情境（跨知识整合、实际应用）|如解答20房梁安全判断，融合几何直观与模型意识，发展应用能力|

2026-2027学年北师大版八年级数学上册《1.2一定是直角三角形吗》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．3，3，6 C．6，8，10 D．5，7，9 2．在中，若，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各数中，能与，组成一组勾股数的是（     ） A． B． C． D． 4．数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，正方形，，，的边长分别是，，，，则最大正方形的面积是（    ）． A． B． C． D． 6．如图，某社区要在三角形健身区边上安装一个饮水点P，经测量米，米，米，则饮水点到三角形顶点C的最小距离为（     ） A．6米 B．4.8米 C．4米 D．9.6米 7．如图，某海警舰艇A在海岛O的北偏西，处，遇险渔船B与海警舰艇A相距，渔船B与海岛O相距，则渔船B在海岛O的（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 二、填空题 8．已知一个三角形三边之比为，周长为，则最长边上的高为___________ 9．如图，在中，，，，则的面积为______． 10．如图，在中，，，，若于D，则CD的长______． 11．如果的三边长分别是，则这个三角形中最大的内角的度数是___________． 12．在中，，，上的中线，则________． 13．如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组．古希腊哲学家柏拉图发现了蕴含某种共性规律的勾股数组：①，，；②，，；③，，；④，，；…，分析其中的规律，第⑤个勾股数组为________． 14．如图，中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当周长最小时，的长为__________． 三、解答题 15．设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形．若是，指出哪一条边所对的角是直角． (1)12，16，20； (2)1.5，2，2.5． 16．阅读理解并解答问题 如果、、为正整数，且满足 那么，、、叫做一组勾股数． (1)请你根据勾股数的意思，说明为什么是一组勾股数； (2)如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的意思，说明、、为勾股数． 17．如图，在中，．延长到点D，连接． (1)求证：； (2)若命题“线段比线段长8”是真命题，求线段的长． 18．如图，，垂足为D． (1)若，，，那么是直角三角形吗？证明你的结论． (2)若，设，，．求证：． 19．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)的长为____________； (3)为______三角形； (4)根据所画的图形，可以求出四边形的面积为______（平方单位）． 20． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 解：A选项，∵，∴不能构成直角三角形； B选项，∵，∴不能构成三角形，∴不能构成直角三角形； C选项，∵，∴能构成直角三角形； D选项，∵，∴不能构成直角三角形． 2．B 解：∵ ， ∴  ， 根据勾股定理的逆定理，可知为斜边，斜边所对的角为， ∴ ． 3．C 解：A选项：，且， 不是一组勾股数，该选项不合题意； B选项：，且， 不是一组勾股数，该选项不合题意； C选项：，三个数均为正整数， 是一组勾股数，该选项符合题意； D选项：，且， 不是一组勾股数，该选项不合题意． 4．B 解：∵，， ∴长度为7，24，25的三根小棒构成一个直角三角形，其中长度为25的小棒是斜边； 长度为15，20，25的三根小棒构成一个直角三角形，长度为25的小棒是斜边． 符合条件的图形为选项B． 5．B 解：如图， 根据勾股定理的几何意义， 可知 ， 故选：． 6．B 解：∵米，米，米， ∴， ∴， ∵点P在上， ∴当时，的值最小， ∴此时， ∴， ∴， ∴饮水点到三角形顶点C的最小距离为4.8米． 7．B 解：由题意，， ， ，， 是直角三角形，且， 舰艇在海岛的北偏西方向 与正北方向的夹角为， 与正北方向的夹角为， 渔船在海岛的北偏东方向 上. 8．解：∵一个三角形三边之比为，周长为， ∴，，， ∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的面积， 则最长边上的高， ∴这个三角形的最长边上的高为， 故答案为： 9．解：已知在中，，，， ，， ， 是直角三角形，且， 的面积为． 10．解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．解：∵，， ∴，满足勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形， ∴最大内角为． 故答案为：． 12．解：是上的中线， ， ， 是直角三角形，， ， ， 是的垂直平分线， ． 故答案为：17． 13．解：观察已知勾股数组第一个数的规律： 第①组第一个数： 第②组第一个数： 第③组第一个数： 第④组第一个数： 可得第组勾股数组的第一个数为，因此第⑤组第一个数为； 观察第二个数和第三个数的规律，可得：第二个数为，第三个数为， 验证规律： 第①组：，，符合； 第②组：，，符合； 第③组：，，符合； 第④组：，，符合； 将第⑤组第一个数代入得： 第二个数： 第三个数： 故答案为 ． 14．解：如图，连接，设与交于点，设， 由折叠的性质可知，，，，， ∴，， ∴周长为， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即周长最小，此时点与点重合， ∵， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 15．（1）解：∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，长为20的边所对的角是直角． （2）∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，长为2.5的边所对的角是直角． 16．解：(1)∵都是正整数， 且，， ∴， ∴是一组勾股数； (2)∵表示大于1的整数， ∴，，都是正整数， ∵，， ∴， ∴、、是一组勾股数． 17．(1)证明：∵，，， ， 即， ∴是直角三角形，， ∴． （2）解：设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴, ∴． 19．（1）解：是，证明如下： ∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴； ∴是直角三角形； （2）∵， ∴， ∵，，， ∴，，； ∵， ∴， ∴， ∴． 19．(1)解：如图所示，即为所求； （2）解：由勾股定理和网格的特点可得； （3）解：由勾股定理和网格的特点可得，，， ∴， ∴是直角三角形； （4）解：． 20．（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． $