25.3 一元二次方程的实际 应用专练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以六大实际应用类型系统整合一元二次方程建模，通过多样化情境培养数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何图形问题|12题|涉及面积、周长等几何量，含矩形、圆形等图形|从图形关系抽象等量关系，体现几何直观与空间观念| |变化率问题|3题|增长率/降低率情境，如票房、销量增长|基于“初始量×(1±率)^n”模型，培养推理意识| |每每问题|17题|销售利润与销量关系，含降价/涨价影响|构建“(售价-成本)×销量=利润”模型，发展应用意识| |握手/循环赛问题|7题|组合计数情境，如比赛场次、留言数量|运用“x(x-1)/2”等组合公式，强化抽象能力| |传播问题|2题|传染模型，如流感、病毒传播|建立“(1+x)^n”传播模型，培养数据观念| |其他问题|2题|综合情境，如月历数字、产量收入|融合多知识点，提升数学眼光的综合性|

一元二次方程的实际应用 类型一 几何图形问题 类型二 变化率问题 类型三 每每问题 类型四 握手、单循环赛问题 类型五 传播问题 类型六 其他问题 类型一 几何图形问题 1．（2026•牡丹区二模）为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的“圆中方”问题进行了实地模拟：在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为72平方米，从水池边到圆周，每边均相距3米．设水池的边长为x米，则下列方程能正确表示数量关系的是（　　） A．π（x+3）2﹣x2＝72 B． C．π（x+3）2﹣x2＝36 D． 【解析】根据题意可得：． 故选：B． 2.（2026春•肥城市期末）某校计划在一块长20米、宽15米的矩形空地上（如图）修建花坛．现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，其余部分种植花卉．若花坛的种植面积为248平方米，设小道的宽为x米，则可列方程为（　　） A．（20﹣2x）（15﹣x）＝248 B．20x+2×15x﹣2x2＝248 C．20×15﹣20x﹣15x+2x2＝248 D．（20﹣x）（15﹣x）＝248 【解析】解根据矩形的面积公式可列出关于x的一元二次方程：（20﹣2x）（15﹣x）＝248． 故选：A． 3.（2026春•下城区期中）如图，利用一面墙（墙的长度为20米），用34米长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道门，门宽为1米，若两个鸡场的总面积为96平方米，设AB＝x，则可列方程为（　　） A．（34﹣3x）x＝96 B．（32﹣3x）x＝96 C．（36﹣3x）x＝96 D． 【解析】设AB＝x米，则BC＝34+2﹣3x＝（36﹣3x）米， 根据题意得：（36﹣3x）x＝96． 故选：C． 4.（2026春•临淄区期末）如图是某公园在一长35m，宽23m的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖面面积的，若设人行观景曲桥的宽为xm，则x满足的方程为（　　） A． B．（35﹣x）（23﹣x）+2x2＝23×35 C． D．（35﹣x）（23﹣x）＝23×35 【解析】如图， 由平移性质可得， 故选：A． 5.（2026•楚雄市二模）“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图是在一幅长80cm，宽60cm的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是6300cm2．设边框的宽度为xcm，则列出的方程为（　　） A．（60+x）（80+x）＝6300 B．（60﹣x）（80﹣x）＝6300 C．（60+2x）（80+2x）＝6300 D．（60﹣2x）（80﹣2x）＝6300 【解析】当边框的宽度为xcm时，矩形挂图的长为（80+2x）cm，宽为（60+2x）cm， 根据题意得：（60+2x）（80+2x）＝6300． 故选：C． 6.（2026春•定海区期中）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？设长方形门宽为x尺，则所列方程为（　　） A．x2+（x+6.8）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝102 C．（x+6.8）2﹣x2＝102 D．x2+6.82＝102 【解析】设矩形门宽为x尺，所列方程为x2+（x+6.8）2＝102， 故选：A． 7.（2025秋•扶余市期末）如图，某小区计划用18m的铁栅栏，再借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚ABCD，为了方便存车，在CD（CD＞2）边上开了一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为96m2的车棚？ 解：设AB＝x米，则BC＝（18+2﹣x）米， 根据题意得：x（18+2﹣x）＝96， 整理得：x2﹣20x+96＝0， 解得：x1＝8，x2＝12， 当x＝8时，18+2﹣x＝18+2﹣8＝12（米）； 当x＝12时，18+2﹣x＝18+2﹣12＝8（米）． 答：当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为96m2的车棚． 8.（2026•宁明县二模）如图，一养殖户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为18m的住房墙，另外围建猪舍的建筑材料可以建造的围墙总长为32m，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个2m宽的门（门不占用建筑材料），所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为140m2？ 解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm， 由题意得x（32﹣2x+2）＝140， 解得x1＝7，x2＝10， 当x＝7时，32﹣2x+2＝20＞18（舍去）， 当x＝10时，32﹣2x+2＝14＜18， 答：所围矩形猪舍的长为14m，宽为10m时，猪舍面积为140m2． 9.（2026春•瑶海区校级期中）庐阳城管部门推进“口袋公园”建设，提升居民生活幸福感．某口袋公园外围规划为长方形，长30米，宽18米，内部设计等宽步行道，剩余区域为绿化种植区．工作人员发现，步行道宽度x直接影响绿化面积，若绿化种植区总占地面积为220平方米，求步行道的宽． 解：根据题意得，（30﹣x）（18﹣x）＝220， 解得x1＝40（舍去），x2＝8， 答：步行道的宽为8米． 10.（2026春•莒县期末）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为176cm2，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412cm2，请计算剪去的正方形的边长． 解：（1）设剪去的正方形的边长为xcm，则纸盒底面长方形的边长为（30﹣2x）cm，宽为（16﹣2x）cm． 由题意得：（30﹣2x）（16﹣2x）＝176， 整理，得 （x﹣4）（x﹣19）＝0． 解得x1＝4，x2＝19． 因为16﹣2x＞0，所以x＝19不符合题意，舍去． 所以剪去的正方形的边长为4cm． （2）设剪去的正方形的边长为acm，根据题意，剪去的矩形的长为15cm，宽为acm，则剪去部分的面积为： 2a2+15×a×2＝30×16﹣412， 2a2+30a﹣68＝0， a2+15a﹣34＝0， （a﹣2）（a+17）＝0， 解得a＝2或a＝﹣17，（a＝﹣17不符合题意，舍去）． 所以剪去的正方形的边长为2cm． 11．（2026春•丰满区校级期末）实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库ABCD如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为18米，且要在BC边上开一扇宽为2米的门，可用材料为30米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为120平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出AB的长；若不可以，请说明理由． 解：可以，理由如下： 设AB＝x米， ∴x（32﹣2x）＝120， ∴x1＝6，x2＝10， 当x＝6时，32﹣2x＝32﹣12＝20＞18，不符合题意，舍去， ∴x＝10，即AB＝10米． 12．（2026春•牟平区期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为42m），其他的边用总长73m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽AB为xm． （1）求车棚的长BC；（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚ABCD的面积为450m2，求车棚的长和宽； （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为525m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 解：（1）∵不锈钢栅栏的总长为73m，左右两侧各开一个1m的出口，且车棚的宽AB为xm， ∴车棚的长BC为（73+2﹣3x）m； （2）根据题意得：（73+2﹣3x）x＝450， 整理得：x2﹣25x+150＝0， 解得：x1＝10，x2＝15， 当x＝10时，73+2﹣3x＝73+2﹣3×10＝45＞42，不符合题意，舍去； 当x＝15时，73+2﹣3x＝73+2﹣3×15＝30＜42，符合题意． 答：车棚的长为30m，宽为15m； （3）不能围成面积为525m2的自行车车棚，理由如下： 假设能围成面积为525m2的自行车车棚，设AB＝ym，则BC＝（73+2﹣3y）m， 根据题意得：（73+2﹣3y）y＝525， 整理得：y2﹣25y+175＝0， ∵Δ＝（﹣25）2﹣4×1×175＝﹣75＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立， 即不能围成面积为525m2的自行车车棚． 类型二 变化率问题 13.（2025秋•金水区校级期末）电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约0.5亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达2亿元，设增长率为x，则方程可以列为（　　） A．0.5+0.5x+0.5x2＝2 B．0.5（1+x）3＝2 C．（1+x）2＝2 D．0.5+0.5（1+x）+0.5（1+x）2＝2 【解析】根据题意可得： 0.5+0.5（1+x）+0.5（1+x）2＝2． 故选：D． 14（2025秋•伊犁州期末）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆．销售量逐年增加，2024年预估销售量为28.6万辆．求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（　　） A．22（1+x2）＝28.6 B．22（1﹣x）2＝28.6 C．28.6（1﹣x）2＝22 D．22（1+x）2＝28.6 【解析】根据题意得：22（1+x）2＝28.6． 故选：D． 15.（2026•南岗区校级一模）某商品经过连续两次提价，售价由原来的每件16元提高到每件25元，则平均每次提价的百分率为（　　） A．25% B．40% C．18% D．36% 【解析】设提价的百分率为x，连续两次提价，售价由原来的每件16元提高到每件25元， 根据题意可列方程为16（1+x）2＝25， 解方程得x1＝0.25，x2＝﹣2.25（舍）． ∴每次降价得百分率为25%． 类型三 每每问题 16.（2026•天山区校级二模）某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（40﹣x）（200+8x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 【解析】当每件降低x元时，每件的销售利润为60﹣x﹣40＝（20﹣x）元，平均每周可售出（200+8x）件， 根据题意得：（20﹣x）（200+8x）＝8450． 故选：D． 17.（2025秋•黄浦区校级期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场调查，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意得：200×（1+x）2＝288， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设售价上涨y元，则每个的销售利润为（40+y﹣30）元，月销售量为6005＝（600﹣10y）个， 根据题意得：（40+y﹣30）（600﹣10y）＝10000， 整理得：y2﹣50y+400＝0， 解得：y1＝10，y2＝40， 当y＝10时，售价为40+10＝50（元/个）， 当y＝40时，售价为40+40＝80（元/个）， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 18.（2026春•建邺区校级期末）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用．若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入＝总收入﹣维护费用） 解：设每间客房的定价提高了x元，由题意得： ， 解得：x1＝320，x2＝100， 当x＝320时，有游客居住的客房数量是：（间）； 当x＝100时，有游客居住的客房数量是：（间）； 所以当x＝100时，能吸引更多的游客，则每间客房的定价为200+100＝300（元）． 答：每间客房的定价应为300元． 19．（2026春•宿松县期末）某学校八年级开展社会实践活动，如表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 2026.4.26 班级人员 802王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为2元/千克． 青菜售价为2.5元/千克时，每天可销售125千克． 每千克每涨价0.1元，每天少销售5千克． 解决问题 （1）某天超市正好销售105千克的青菜，则青菜的售价为多少元/千克？ （2）若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为多少元/千克？ 解：（1）设青菜的售价为x元/千克，根据题意可得： ， 整理得：2x＝5.8， 解得x＝2.9． 答：某天超市正好销售105千克的青菜，则青菜的售价为2.9元/千克． （2）设青菜的售价为y元/千克，根据题意可得： ， 解得y1＝3，y2＝4． 答：若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为3元/千克或4元/千克． 20．（2026春•雨花区校级期末）某地一种植户，2023年承包种植橙子树75亩，由于第一年收成不错，该种植户每年都增加种植面积，到2025年共种植108亩．假设每年的增长率相同． （1）求该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果店销售该种橙子，成本价是5元/千克，在销售中发现，当这种橙子的单价定为7元/千克时，每天可卖出160千克，在此基础上，单价每提高1元，每天就少卖20千克，若该水果店一天销售这种橙子所获得的利润是420元，为了让顾客得到实惠，单价应定为多少元/千克？ 解：（1）设该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为x， ∴根据题意，75（1+x）2＝108， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍）， 答：该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为20%； （2）设单价应定为x元/千克， 根据题意，（x﹣5）[160﹣（x﹣7）×20]＝420， 整理得：x2﹣20x+96＝0， 解得：x1＝8，x2＝12， ∵要让顾客得到实惠， ∴x＝8满足题意； 答：单价应定为8元/千克． 21.（2026春•苍梧县期中）某景区5月份的游客人数比4月份增加60%，6月份的游客人数比5月份减少10%． （1）设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式（结果化到最简）填表； 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 a ①　1.6a ②　1.44a （2）求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率； （3）景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件文化衫售价每降低1元，日销售量增加2件．若商家想要达到日利润432元，为尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 解：（1）该景区4月份的游客人数为a万人，由题意可得： ∴该景区5月份的游客人数为（1+60%）a＝1.6a万人， ∴6月份的游客人数为（1﹣10%）×（1+60%）a＝1.44a万人． ∴五月的人数为1.6a万人，六月的人数为1.44a万人； 填表如下： 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 a 1.6a 1.44a 故答案为：1.6a，1.44a； （2）设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为x， 根据题意得：a（1+x）2＝1.44a， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为20%； （3）设每件的售价定为y元，则每件的销售利润为（y﹣40）元，每天可卖出20+2（60﹣y）＝（140﹣2y）件， 根据题意得：（y﹣40）（140﹣2y）＝432， 整理得：y2﹣110y+3016＝0， 解得：y1＝52，y2＝58， ∵为尽快销售完该款商品， ∴y＝52． 答：每件售价应定为52元． 22．（2026春•下城区期中）杭州特产专卖店春季热销春笋干货，经销商统计了3月份到5月份的销量，3月份销2500千克，5月份销售3600千克，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． （1）求该专卖店春笋干货销售量的月增长率； （2）该春笋干货进价为每千克25元，按每千克45元出售，平均每天可售出100千克．市场调查发现：单价每降低1元，平均每天销量可增加10千克．若该专卖店想平均每天获利2090元，请回答： ①每千克春笋干货应降价多少元？ ②在每天获利不变的前提下，为尽可能让利于顾客，商店打折出售．应按原售价的　　 折出售． 解：（1）设该专卖店春笋干货销售量的月增长率为x， 根据题意得：2500（1+x）2＝3600， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该专卖店春笋干货销售量的月增长率为20%； （2）①设每千克春笋干货降价y元，则每千克春笋干的销售利润为（45﹣25﹣y）元，平均每天可售出（100+10y）千克， 根据题意得：（45﹣25﹣y）（100+10y）＝2090， 整理得：y2﹣10y+9＝0， 解得：y1＝1，y2＝9． 答：每千克春笋干货应降价1元或9元； ②∵要尽可能让利于顾客， ∴y＝9， ∴1010＝8， ∴应按原售价的八折出售． 故答案为：八． 23．（2026春•肥城市期末）为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． （1）该纪念品今年1月份的销售量为700件，3月份的销售量为1008件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． （2）该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价2元，每天可多售出4件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 解：（1）设月平均增长率为x， 根据题意，可得700（1+x）2＝1008， 解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， ∴x＝0.2＝20%， 答：月平均增长率为20%； （2）设降价2t元，则单件利润为90﹣2t﹣50＝40﹣2t（元），每日销量为30+4t（件）， 根据题意，可得（30+4t）（40﹣2t）＝1400， 解得，t2＝10， ∵要求尽快减少库存， ∴2×10＝20元， 答：售价应降低20元． 24.（2026•岳西县模拟）综合与实践 【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系 【素材呈现】 素材1：某商场以每件40元的成本价新进一批小家电，准备采用降价销售的方式尽快售出小家电，获取合理的利润； 素材2：在销售过程中发现，这种小家电的售价定为60元/件时，每天可卖出100件，在此基础上，这种小家电的价格每降低2元，该商场每天可多卖出5件； 素材3：假设该小家电的价格定为x元（40≤x≤60）． 【问题解决】 （1）用含x的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是　　 件； （2）已知该商场销售这种小家电每天的利润是1250元，求这种小家电的价格； （3）该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2500元？若能，求出这种小家电的价格；若不能，请说明理由． 解：（1）该商场每天售出小家电的数量是件， 故答案为：； （2）根据题意列一元二次方程得，， 解得x1＝50，x2＝90（不合题意，舍去）， 答：该商场销售这种小家电每天的利润是1250元时，这种小家电的价格为50元/件； （3）该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元． 理由：根据题意列一元二次方程得，， 整理得x2﹣140x+5000＝0， ∵Δ＝（﹣140）2﹣4×1×5000＝﹣400＜0， ∴此一元二次方程没有实数根， ∴该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元． 25.（2026春•亳州期中）综合与实践 【项目主题】科技文创产品的销售利润与定价策略 【素材呈现】 素材1：合肥某科技文创公司依托中科院合肥物质科学研究院“全超导托卡马克（人造太阳）”这一世界级科学装置IP，新开发了一款“人造太阳”科普拼装模型．该模型每件的生产成本为40元．公司计划采用降价促销的方式，让更多青少年了解可控核聚变这一前沿科技，同时获取合理利润． 素材2：市场调研发现，当这款模型的售价定为60元/件时，每天可售出200件．在此基础上，售价每降低2元，每天的销售量就会增加10件． 素材3：为保证可持续运营，模型的实际售价x元不能低于成本价，且为维持品牌科技感，最高不超过60元（即40≤x≤60）． 【问题解决】 （1）用含x的代数式表示该公司每天售出“人造太阳”模型的数量是　　 件； （2）若该公司销售该模型每天的利润恰好为2500元，求此时模型的实际售价； （3）为响应合肥市“科创科普两翼齐飞”的号召，公司决定每售出一件模型，就向市青少年科技创新奖励基金捐赠5元．问扣除捐赠后公司每天获得的实际利润能否达到3800元？若能，求出此时售价；若不能，请通过计算说明理由． 解：（1）由题意可得：每降1元，销量增5件， ∵降价（60﹣x）元， ∴销量＝200+5（60﹣x）＝500﹣5x； 故答案为：（500﹣5x）； （2）∵每件利润（x﹣40）元，销量（500﹣5x）件，利润2500元， ∴（x﹣40）（500﹣5x）＝2500， 解得x1＝90，x2＝50， ∵40≤x≤60， ∴x＝90舍去， ∴此时模型的实际售价为50元； （3）∵每售出一件捐赠5元， ∴每件实际利润为（x﹣40﹣5）＝（x﹣45）元， 假设利润能达到3800元，列方程：（x﹣45）（500﹣5x）＝3800， 展开并整理得x2﹣145x+5260＝0， ∵此方程中a＝1，b＝﹣145，c＝5260， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣145）2﹣4×1×5260＝﹣15＜0， ∴该一元二次方程无实数根， ∴不存在满足条件的售价x ∴扣除捐赠后，每天实际利润不能达到3800元． 26．（2026•利津县一模）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x， 根据题意得：32（1+x）2＝50， 解得：x1＝﹣2.25（不符合题意，舍去），x2＝0.25＝25%， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套， ∵1600×100＝160000＜240000元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 根据题意得：， 整理得：m2﹣500m+60000＝0， 解得：m1＝300，m2＝200， 当m＝300时，售价（不符合题意，舍去）； 当m＝200时，售价＝160040＝1200＞1000，符合题意； 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 27.（2026春•沙坪坝区校级同步）某水果店销售两种品牌的枇杷，一种是五星枇杷，一种是贵妃白枇杷．已知一箱贵妃白枇杷的售价比一箱五星枇杷的售价高50元，购买3箱贵妃白枇杷，2箱五星枇杷的总价不超过600元． （1）求每箱贵妃白枇杷的售价不高于多少元？ （2）当贵妃白枇杷按（1）问中的最高售价销售时，该水果店平均每周可销售贵妃白枇杷12箱，因市场不景气，水果店决定降价销售，经调查发现，一箱贵妃白枇杷的售价每降低20元，销量每周可增加3箱，若保证贵妃白枇杷每周的销售额为1800元，且尽可能减少库存，求每箱贵妃白枇杷的售价应该降低多少元． 解：（1）设每箱贵妃白枇杷的售价为x元，则每箱五星枇杷的售价为（x﹣50）元， 依题意得：3x+2（x﹣50）≤600， 解得：x≤140． 答：每箱贵妃白枇杷的售价不高于140元． （2）设每箱贵妃白枇杷的售价应该降低m元，则每周可售出（12+3）箱， 依题意得：（140﹣m）（12+3）＝1800， 整理得：m2﹣60m+800＝0， 解得：m1＝20，m2＝40， 又∵要尽可能减少库存， ∴m＝40． 答：每箱贵妃白枇杷的售价应该降低40元． 28．（2026春•萨尔图区校级期末）信阳浉河区浉河港镇被誉为“北国江南，江南北国”魅力茶乡，某村民在第一年承包种植茶叶树100亩，由于收成不错，于是每年都增加种植面积，到第三年共种植144亩． （1）求该村民种植茶叶树亩数的年平均增长率； （2）某茶叶旗舰店销售该品种茶叶，市场调查发现，当茶叶售价为300元/千克时，每周能售出50千克，售价每降低1元，每周可多售出2千克，为了尽量减少库存且让顾客得到实惠，该店决定降价促销，已知该茶叶的平均成本价为240元/千克，若使销售该种茶叶每周获利3600元，则售价应降低多少元？ 解：（1）设该村民种植茶叶树亩数的年平均增长率为x， 根据题意得：100（1+x）2＝144， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该村民种植茶叶树亩数的年平均增长率为20%； （2）设售价应降低m元，则每千克的销售利润为（300﹣m﹣240）元，每周能售出（50+2m）千克， 根据题意得：（300﹣m﹣240）（50+2m）＝3600， 整理得：m2﹣35m+300＝0， 解得：m1＝20，m2＝15， 又∵要尽量减少库存且让顾客得到实惠， ∴m＝20． 答：售价应降低20元． 29.（2026春•萨尔图区校级月考）吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意可得： 500（1+x）2＝720， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据题意可得： （y﹣40）[500﹣10（y﹣50）]＝8000， 整理得y2﹣140y+4800＝0， 解得y1＝60，y2＝80， 根据题意舍去y＝80， 所以y＝60， 答：该品牌头盔的实际售价应定为60元． 30.（2026春•雁塔区校级期末）2026年中国国际园林博览会在温州举办，其特色吉祥物玩偶深受游客喜爱．某商店购进一批吉祥物玩偶，进价每个15元，售价每个25元，第一周按此售价共卖出400个．经过市场调查发现，售价每涨4元，每周就少卖40个． （1）若商店要让第二周的利润达到6000元，并且最大程度让利消费者，售价应定为多少元？ （2）在（1）的条件下，商店为清除库存，从第三周开始推出促销活动，使销售量在第二周的基础上稳步提升，第四周的销售量达到了363个，求这两周销售量的平均增长率． 解：（1）设售价应定为x元，则单个玩偶的利润为（x﹣15）元， 这周的销售量为个， 整理得x2﹣80x+1575＝0，解得x1＝35，x2＝45． 因为要最大程度让利消费者，所以舍去x2＝45， 答：售价应定为35元． （2）设这两周销售量的平均增长率为y． 由（1）知售价为35元时，第二周的销售量为650﹣10×35＝300（个）， 则300（1+y）2＝363， 解得y1＝0.1＝10%，y2＝﹣2.1（舍去）． 答：这两周销售量的平均增长率为10%． 类型四 握手、循环赛、送礼物问题 31.（2026春•西湖区校级期末）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了870份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝870 D．x（x+1）＝870 【解析】根据题意得x（x﹣1）＝870， 故选：C． 32．（2025秋•临澧县期末）2025年，湖南省城市足球联赛（简称“湘超”）火爆出圈，不仅吸引了许多球迷亲临现场观赛，也掀起了“第二现场”观赛的热潮．在这股热潮中，足球爱好者小明深入了解后得知：“湘超”联赛常规赛采用单循环赛制（即每两队之间仅需对决一场），本赛季常规赛共进行了91场对决．若设参加该联赛的球队共有x支，则可列方程为（　　） A． B．x（x﹣1）＝91 C． D．x（x+1）＝91 【解析】根据题意得：x（x﹣1）＝91． 故选：A． 33．（2025秋•濠江区期末）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C． D． 【解析】根据每组安排比赛的场数＝每组邀请球队数×（每组邀请球队数﹣1）÷2可得： ， 故选：D． 34.（2026•安徽模拟）某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电路），实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接，比原计划的电路总数少15条．则原规划建设的充电桩个数为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【解析】设原规划建设的充电桩个数为n， ∵原计划为单循环连接，原总线路数为， 又∵其余n﹣1个充电桩已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路， ∴实际总线路满足方程：， 解得 n＝11（负值舍去）， 所以原规划建设的充电桩个数为11， 故选：C． 35.（2026春•西山区校级期末）在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则该参加小组赛的球队有（　　） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 【解析】设参加小组赛的球队有x支．∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为x（x﹣1）． 根据题意得x（x﹣1）＝56． 整理得x2﹣x﹣56＝0． 解得x1＝8，x2＝﹣7． ∵球队数量为正整数，舍去x2＝﹣7． ∴x＝8，即参加小组赛的球队有8支， 故选：C． 36（2026•东莞市校级一模）村“BA”是指乡村篮球赛，近年来，村“BA”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事．经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛110场，则参加比赛的球队有（　　） A．9支 B．10支 C．11支 D．12支 【解析】设参加比赛的球队有x支， 依题意得，x（x﹣1）＝110， 整理得：x2﹣x﹣110＝0， 解得：x1＝11，x2＝﹣10（不符合题意，舍去）， ∴共有11支球队参加比赛． 故选：C． 37．（2025秋•江西校级期末）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 解：设共有x个队参赛， 由题意列一元二次方程可得，， 整理得，x2﹣x﹣30＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不符合题意，舍去）， 答：共有6个队参赛． 类型五 传播问题 38．（2026•柳北区一模）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（　　） A．（1+x）2＝100 B．x2＝100 C．x（1+x）＝100 D．1+x+x2＝100 【解析】根据题意可列方程为：（1+x）2＝100， 故x满足的方程为（1+x）2＝100， 故选：A． 39.（2026春•江北区校级月考）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（　　） A．11 B．10 C．8 D．9 【解析】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑， ∵第一轮感染后，被感染的电脑总数为（1+x）台， 第二轮感染时，这些电脑每台又感染x台，新增x（1+x）台被感染电脑， ∴两轮后被感染的电脑总数为1+x+x（1+x）＝81， 解得x1＝8，x2＝﹣10， ∵感染的电脑数量不能为负数， ∴x＝﹣10舍去， ∴每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑， 故选：C． 类型六 其他问题 40．（2026•武进区校级一模）月历中的奥秘（九年级版）：如图是2025年10月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： （1）用矩形任意圈出的三行三列9个数中，若最小的数设为x，那么最中间的数可用x表示为　 ，最大的数可用x表示为　 ； （2）若矩形圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，这9个数的和是多少？（请列方程解决） 解：（1）∵每行的后一个数比前一个数大1，每列的下一个数比上一个数大7， ∴中间的数可用x表示为x+1+7＝x+8， 最大的数可用x表示为x+2+14＝x+16； 故答案为：x+8；x+16； （2）设最小数为x，最大数为x+16， 根据题意可列一元二次方程：x（x+16）＝192， 解得x＝8或x＝﹣24（不符合题意，舍去）， ∴最小数为8，最大数为8+16＝24， ∴9个数为8、9、10、15、16、17、22、23、24， 其和为8+9+10+15+16+17+22+23+24＝144． 41．（2026•大庆模拟）去年，黄坍村种植水稻200亩、玉米100亩，收获后售价分别为3元/千克、2.5元/千克，且水稻的平均亩产量比玉米高100千克，该村的水稻和玉米全部售出后总收入为40万元． （1）求该村去年水稻、玉米的平均亩产量分别是多少千克； （2）粮食安全事关国家安全．今年，通过改良品种和优化种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计水稻、玉米的平均亩产量将在去年的基础上增长的百分数分别为m和2m．由于粮食品质的提升，水稻的售价每千克上涨了0.2元，玉米的售价在去年的基础上上涨的百分数为m，这样今年的水稻和玉米全部售出后总收入将比去年增加21%，求m的值． 解：（1）设该村去年水稻的平均亩产量是x千克，玉米的平均亩产量是y千克， 由题意得：， 解得：， 答：该村去年水稻的平均亩产量是500千克，玉米的平均亩产量是400千克； （2）由题意得：200×500（1+m）×3.2+400（1+2m）×2.5×（1+m）×100＝400000×（1+21%）， 解得：m1＝0.1＝10%，m2＝﹣3.2（不合题意舍去）， 答：m的值为10%． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $一元二次方程的实际应用 类型一 几何图形问题 类型二变化率问题 类型三每每问题 类型四握手、单循环赛问题 类型五传播问题 类型六其他问题 类型一几何图形问题 1.(2026牡丹区二模)为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣探究”活动.同学们对《增 删算法统宗》中的“圆中方”问题进行了实地模拟：在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池， 打造“可耕可赏”的校园景观.己知除水池外，可种植绿植的面积恰好为72平方米，从水池边到圆周， 每边均相距3米.设水池的边长为x米，则下列方程能正确表示数量关系的是() 3 3 3 A.π(x+3)2-x2=72 B.π(5+3)2-x2=72 C.π(x+3)2-x2=36 D.π(5+3)2-x2=36 2.(2026春·肥城市期末)某校计划在一块长20米、宽15米的矩形空地上（如图）修建花坛.现要在中 间开辟一横两纵三条等宽的小道，其余部分种植花卉.若花坛的种植面积为248平方米，设小道的宽为 x米，则可列方程为() A.(20-2x)(15-x)=248 第1页（共16页） B.20x+2X15x-2x2=248 C.20×15-20x-15x+2x2=248 D.(20-x)(15-x)=248 3.(2026春·下城区期中)如图，利用一面墙（墙的长度为20米），用34米长的篱笆围成两个鸡场，中 间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道门，门宽为1米，若两个鸡场的总面积为96平方米，设AB=x, 则可列方程为() JD E A.(34-3x)x=96 B.(32-3x)x=96 C.(36-3x)x=96 D.236-3x)x=96 4.(2026春·临淄区期末)如图是某公园在一长35，宽23m的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥， 它的面积恰好为原矩形湖面面积的， 若设人行观景曲桥的宽为x,则x满足的方程为() ~m 23m 35m A.(35-x)(23-)=5×23×35 B.(35-x)（23-x)+2x2=23×35 C.35-x)(23-)=5×23×35 D.(35-x)(23-x)=23X35 5.（2026·楚雄市二模)“指尖上的非遗一一麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态.如图是在一幅长 80c,宽60c的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是 6300cm2.设边框的宽度为xc,则列出的方程为() 第2页（共16页） A.(60+x)(80+x)=6300 B.(60-x)(80-x)=6300 C.(60+2x)(80叶2x)=6300 D.(60-2x)(80-2x)=6300 6.(2026春·定海区期中)《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本 框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸， 两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它 的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少(1丈=10尺，1尺=10寸)？设长方形门宽为x尺，则所列 方程为() A.x2+(x+6.8)2=102 B.x2+(x-6.8)2=102 C.(x+6.8)2-x2=102 D.x2+6.82=102 7.(2025秋·扶余市期末)如图，某小区计划用18的铁栅栏，再借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩 形车棚ABCD,为了方便存车，在CD(CD>2)边上开了一个2L宽的门（建在EF处，另用其他材料）.当 车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为96的车棚？ D E A B 8.(2026·宁明县二模)如图，一养殖户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为18的住房墙，另外围 建猪舍的建筑材料可以建造的围墙总长为32m,为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个2宽的门 (门不占用建筑材料)，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为140？ 住房墙 2m 9.(2026春·瑶海区校级期中)庐阳城管部门推进“口袋公园”建设，提升居民生活幸福感.某口袋公园 外围规划为长方形，长30米，宽18米，内部设计等宽步行道，剩余区域为绿化种植区，工作人员发现， 第3页（共16页） 步行道宽度x直接影响绿化面积，若绿化种植区总占地面积为220平方米，求步行道的宽. 30米 出口 绿化种植区 步 18米 步行道 x米 绿化种植区 米 10.(2026春·莒县期末)综合实践一一用矩形硬纸片制作无盖纸盒 如图1，有一张长30cm,宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2 所示的无盖纸盒.（硬纸片厚度忽略不计） 底面 图1 图2 图3 (1)若纸盒的底面积为176c2,请计算剪去的正方形的边长： (2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考 他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的有盖长方体纸盒的 表面积为412c2,请计算剪去的正方形的边长. 第4页（共16页） 11.(2026春·丰满区校级期末)实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手.农业大学毕业 的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库ABCD如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的 最大可利用长度为18米，且要在BC边上开一扇宽为2米的门，可用材料为30米长的木板材料（全部 使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料)，请问可以围成一个面积为120平方米的矩形仓库吗？若可 以，请计算出AB的长；若不可以，请说明理由. 18m 12.(2026春·牟平区期末)如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚.搭建要求：一 边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为42），其他的边用总长73m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各 开一个1m的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形.设车棚的宽AB为xm. (1)求车棚的长BC;(用含x的代数式表示) (2)若矩形车棚ABCD的面积为4502，求车棚的长和宽； (3)在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为525m的自 行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. A 42m D 墙 B 类型二变化率问题 13.(2025秋·金水区校级期末)电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩.据不完全统计，全 国第一天票房约0.5亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达2亿元，设增长 率为x,则方程可以列为() A.0.5+0.5x+0.5x2=2 B.0.5(1+x)3=2 C.(1+x)2=2 D.0.5+0.5(1+x)+0.5(1+x)2=2 第5页（共16页） 14(2025秋·伊犁州期末)新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱.2022年某款新能源汽车销售量 为22万辆.销售量逐年增加，2024年预估销售量为28.6万辆.求这款新能源汽车的年平均增长率，可 设这款新能源汽车的年平均增长率为x,根据题意，下列方程正确的为() A.22(1+x2)=28.6 B.22(1-x)2=28.6 C.28.6(1-x)2=22 D.22(1+x)2=28.6 15.（2026·南岗区校级一模)某商品经过连续两次提价，售价由原来的每件16元提高到每件25元，则平 均每次提价的百分率为() A.25% B.40% C.18% D.36% 类型三每每问题 16.（2026·天山区校级二模)某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周 可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售.经市场调查发现，每件每降价1元，平均 每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为() A.(60-x)(200+8x)=8450 B.(20-x)(200+x)=8450 C.(40-x)(200+8x)=8450 D.(20-x)(200+8x)=8450 17.(2025秋•黄浦区校级期末)公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某 头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288 个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同， (1)求该品牌头盔销售量的月增长率： (2)若此种头盔的进价为30元/个，经市场调查，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上 涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则 该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 第6页（共16页） 18.(2026春·建邺区校级期末)某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天 200元时，所有客房都可以住满.客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房， 旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用.若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引 更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入-维护费用） 19.(2026春·宿松县期末)某学校八年级开展社会实践活动，如表是“遇数临风”小组的记录表，请根 据相关信息解决表中的两个问题. 学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 2026.4.26 班级人员 802王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠 调研信息 青菜的进价为2元/千克， 青菜售价为2.5元/千克时，每天可销售125千克. 每千克每涨价0.1元，每天少销售5千克. 解决问题 (1)某天超市正好销售105千克的青菜，则青菜的售价为多少元/千克？ (2)若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为多少元/千克？ 第7页（共16页） 20.(2026春•雨花区校级期末)某地一种植户，2023年承包种植橙子树75亩，由于第一年收成不错， 该种植户每年都增加种植面积，到2025年共种植108亩.假设每年的增长率相同 (1)求该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率. (2)某水果店销售该种橙子，成本价是5元/千克，在销售中发现，当这种橙子的单价定为7元/千克时， 每天可卖出160千克，在此基础上，单价每提高1元，每天就少卖20千克，若该水果店一天销售这种 橙子所获得的利润是420元，为了让顾客得到实惠，单价应定为多少元/千克？ 21.(2026春·苍梧县期中)某景区5月份的游客人数比4月份增加60%，6月份的游客人数比5月份减少 10%. (1)设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式（结果化到最简）填表： 月份 4月 5月 6月 游客人数万人 ①1.6a ②1.44g (2)求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率： (3)景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20 件.通过市场调查发现，每件文化衫售价每降低1元，日销售量增加2件.若商家想要达到日利润432 元，为尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 第8页（共16页） 22.(2026春·下城区期中)杭州特产专卖店春季热销春笋干货，经销商统计了3月份到5月份的销量，3 月份销2500千克，5月份销售3600千克，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同. (1)求该专卖店春笋干货销售量的月增长率： (2)该春笋干货进价为每千克25元，按每千克45元出售，平均每天可售出100千克.市场调查发现： 单价每降低1元，平均每天销量可增加10千克.若该专卖店想平均每天获利2090元，请回答： ①每千克春笋干货应降价多少元？ ②在每天获利不变的前提下，为尽可能让利于顾客，商店打折出售.应按原售价的 折出售. 23.(2026春·肥城市期末)为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念 品，深受青少年喜爱 （1)该纪念品今年1月份的销售量为700件，3月份的销售量为1008件.若1月份到3月份销售量的 月平均增长率都相同，求月平均增长率. (2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每 降价2元，每天可多售出4件.为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存.若使销售该 纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 第9页（共16页） 24.(2026·岳西县模拟)综合与实践 【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系 【素材呈现】 素材1：某商场以每件40元的成本价新进一批小家电，准备采用降价销售的方式尽快售出小家电，获 取合理的利润； 素材2：在销售过程中发现，这种小家电的售价定为60元/件时，每天可卖出100件，在此基础上，这 种小家电的价格每降低2元，该商场每天可多卖出5件； 素材3：假设该小家电的价格定为x元(40≤x≤60). 【问题解决】 (1)用含x的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是 件： (2)已知该商场销售这种小家电每天的利润是1250元，求这种小家电的价格： (3)该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2500元？若能，求出这种小家电的价格：若不能，请 说明理由. 第10页（共16页） 25.(2026春·毫州期中)综合与实践 【项目主题】科技文创产品的销售利润与定价策略 【素材呈现】 素材1：合肥某科技文创公司依托中科院合肥物质科学研究院“全超导托卡马克（人造太阳）”这一世 界级科学装置P,新开发了一款“人造太阳”科普拼装模型.该模型每件的生产成本为40元.公司计 划采用降价促销的方式，让更多青少年了解可控核聚变这一前沿科技，同时获取合理利润. 素材2：市场调研发现，当这款模型的售价定为60元/件时，每天可售出200件.在此基础上，售价每 降低2元，每天的销售量就会增加10件。 素材3：为保证可持续运营，模型的实际售价x元不能低于成本价，且为维持品牌科技感，最高不超过 60元（即40≤x≤60）. 【问题解决】 (1)用含x的代数式表示该公司每天售出“人造太阳”模型的数量是 件： (2)若该公司销售该模型每天的利润恰好为2500元，求此时模型的实际售价： (3)为响应合肥市“科创科普两翼齐飞”的号召，公司决定每售出一件模型，就向市青少年科技创新 奖励基金捐赠5元，问扣除捐赠后公司每天获得的实际利润能否达到3800元？若能，求出此时售价： 若不能，请通过计算说明理由. 第11页（共16页） 26.(2026·利津县一模)“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市 参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人· (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率： (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买不超 过100套，每套售价1600元：若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元.但最低售价不得 少于1000元.己知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数. 27.(2026春•沙坪坝区校级同步)某水果店销售两种品牌的枇杷，一种是五星枇杷，一种是贵妃白枇杷.已 知一箱贵妃白枇杷的售价比一箱五星枇杷的售价高50元，购买3箱贵妃白枇杷，2箱五星枇杷的总价 不超过600元. (1)求每箱贵妃白批杷的售价不高于多少元？ (2)当贵妃白枇杷按(1)问中的最高售价销售时，该水果店平均每周可销售贵妃白枇杷12箱，因市 场不景气，水果店决定降价销售，经调查发现，一箱贵妃白枇杷的售价每降低20元，销量每周可增加 3箱，若保证贵妃白枇杷每周的销售额为1800元，且尽可能减少库存，求每箱贵妃白枇杷的售价应该 降低多少元 第12页（共16页） 28.(2026春·萨尔图区校级期末)信阳狮河区浉河港镇被誉为“北国江南，江南北国”魅力茶乡，某村 民在第一年承包种植茶叶树100亩，由于收成不错，于是每年都增加种植面积，到第三年共种植144 亩 (1)求该村民种植茶叶树亩数的年平均增长率： (2)某茶叶旗舰店销售该品种茶叶，市场调查发现，当茶叶售价为300元/千克时，每周能售出50千 克，售价每降低1元，每周可多售出2千克，为了尽量减少库存且让顾客得到实惠，该店决定降价促销， 已知该茶叶的平均成本价为240元/千克，若使销售该种茶叶每周获利3600元，则售价应降低多少元？ 29.(2026春·萨尔图区校级月考)吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头 盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个， 且从4月份到6月份销售量的月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率： (2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500 个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个.为使月销售利润达到8000元，而且尽可能 让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 第13页（共16页） 30.(2026春·雁塔区校级期末)2026年中国国际园林博览会在温州举办，其特色吉祥物玩偶深受游客喜 爱.某商店购进一批吉祥物玩偶，进价每个15元，售价每个25元，第一周按此售价共卖出400个.经 过市场调查发现，售价每涨4元，每周就少卖40个. (1)若商店要让第二周的利润达到6000元，并且最大程度让利消费者，售价应定为多少元？ (2)在(1)的条件下，商店为清除库存，从第三周开始推出促销活动，使销售量在第二周的基础上稳 步提升，第四周的销售量达到了363个，求这两周销售量的平均增长率. 类型四握手、循环赛、送礼物问题 31.(2026春·西湖区校级期末)九年级(1)班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作 为纪念，全班学生共写了870份留言.如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为() A.x1) 2 =870 B.+D=870 2 C.x(x-1)=870 D.x(x+1)=870 32.(2025秋•临澧县期末)2025年，湖南省城市足球联赛（简称“湘超”）火爆出圈，不仅吸引了许多 球迷亲临现场观赛，也掀起了“第二现场”观赛的热潮.在这股热潮中，足球爱好者小明深入了解后得 知：“湘超”联赛常规赛采用单循环赛（即每两队之间仅需对决一场），本赛季常规赛共进行了91 场对决.若设参加该联赛的球队共有x支，则可列方程为() 1 A.2xt-1)=91 B.x(x-1)=91 1 C.2xx+1)=91 D.x(x+1)=91 33.(2025秋·濠江区期末)我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的 第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场），共安排28场比赛，设邀请x个球队参 加比赛，可列方程得() A.x(x+1)=28 B.x(x-1)=28 c.3xe+1)=28 D.2x-1)=28 第14页（共16页） 34.(2026·安徽模拟)某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电 路)，实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接，比原计划的电路总数少15 条.则原规划建设的充电桩个数为() A.10 B.11 C.12 D.13 35.(2026春·西山区校级期末)在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛， 在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），己知小组赛阶段共比赛56场， 则该参加小组赛的球队有() A.6支 B.7支 C.8支 D.9支 36(2026东莞市校级一模)村“BA”是指乡村篮球赛，近年来，村“BA”在多地火爆开展，己发展成为 一项全国性赛事.经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即 每两支球队之间进行两场比赛)，已知整个小组赛阶段共比赛110场，则参加比赛的球队有() A.9支 B.10支 C.11支 D.12支 37.(2025秋·江西校级期末)为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其 中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了5场比赛，问 共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 类型五传播问题 38.(2026·柳北区一模)秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加 强防范.疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有 100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为() A.(1+x)2=100 B.x2=100 C.x(1+x)=100 D.1+x+x2=100 39.(2026春·江北区校级月考)某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？() A.11 B.10 C.8 D.9 第15页（共16页） 类型六其他问题 40.(2026武进区校级一模)月历中的奥秘（九年级版）：如图是2025年10月的月历表，在此月历表 上用一个矩形圈出三行三列的9个数（如6,7,8,13,14,15,20,21,22）·试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列9个数中，若最小的数设为x,那么最中间的数可用x表示为一 最大的数可用x表示为一： (2)若矩形圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，这9个数的和是多少？（请列方程解决） 日 二 三 四 五 六 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 41.(2026·大庆模拟)去年，黄坍村种植水稻200亩、玉米100亩，收获后售价分别为3元/千克、2.5 元/千克，且水稻的平均亩产量比玉米高100千克，该村的水稻和玉米全部售出后总收入为40万元， (1)求该村去年水稻、玉米的平均亩产量分别是多少千克： (2)粮食安全事关国家安全.今年，通过改良品种和优化种植方法，在保持去年种植面积不变的情况 下，预计水稻、玉米的平均亩产量将在去年的基础上增长的百分数分别为和2.由于粮食品质的提 升，水稻的售价每千克上涨了0.2元，玉米的售价在去年的基础上上涨的百分数为，这样今年的水稻 和玉米全部售出后总收入将比去年增加21%，求m的值. 第16页（共16页） 一元二次方程的实际应用 类型一 几何图形问题 类型二 变化率问题 类型三 每每问题 类型四 握手、单循环赛问题 类型五 传播问题 类型六 其他问题 类型一 几何图形问题 1．（2026•牡丹区二模）为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的“圆中方”问题进行了实地模拟：在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为72平方米，从水池边到圆周，每边均相距3米．设水池的边长为x米，则下列方程能正确表示数量关系的是（　　） A．π（x+3）2﹣x2＝72 B． C．π（x+3）2﹣x2＝36 D． 2.（2026春•肥城市期末）某校计划在一块长20米、宽15米的矩形空地上（如图）修建花坛．现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，其余部分种植花卉．若花坛的种植面积为248平方米，设小道的宽为x米，则可列方程为（　　） A．（20﹣2x）（15﹣x）＝248 B．20x+2×15x﹣2x2＝248 C．20×15﹣20x﹣15x+2x2＝248 D．（20﹣x）（15﹣x）＝248 3.（2026春•下城区期中）如图，利用一面墙（墙的长度为20米），用34米长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道门，门宽为1米，若两个鸡场的总面积为96平方米，设AB＝x，则可列方程为（　　） A．（34﹣3x）x＝96 B．（32﹣3x）x＝96 C．（36﹣3x）x＝96 D． 4.（2026春•临淄区期末）如图是某公园在一长35m，宽23m的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖面面积的，若设人行观景曲桥的宽为xm，则x满足的方程为（　　） A． B．（35﹣x）（23﹣x）+2x2＝23×35 C． D．（35﹣x）（23﹣x）＝23×35 5.（2026•楚雄市二模）“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图是在一幅长80cm，宽60cm的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是6300cm2．设边框的宽度为xcm，则列出的方程为（　　） A．（60+x）（80+x）＝6300 B．（60﹣x）（80﹣x）＝6300 C．（60+2x）（80+2x）＝6300 D．（60﹣2x）（80﹣2x）＝6300 6.（2026春•定海区期中）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？设长方形门宽为x尺，则所列方程为（　　） A．x2+（x+6.8）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝102 C．（x+6.8）2﹣x2＝102 D．x2+6.82＝102 7.（2025秋•扶余市期末）如图，某小区计划用18m的铁栅栏，再借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚ABCD，为了方便存车，在CD（CD＞2）边上开了一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为96m2的车棚？ 8.（2026•宁明县二模）如图，一养殖户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为18m的住房墙，另外围建猪舍的建筑材料可以建造的围墙总长为32m，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个2m宽的门（门不占用建筑材料），所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为140m2？ 9.（2026春•瑶海区校级期中）庐阳城管部门推进“口袋公园”建设，提升居民生活幸福感．某口袋公园外围规划为长方形，长30米，宽18米，内部设计等宽步行道，剩余区域为绿化种植区．工作人员发现，步行道宽度x直接影响绿化面积，若绿化种植区总占地面积为220平方米，求步行道的宽． 10.（2026春•莒县期末）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为176cm2，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412cm2，请计算剪去的正方形的边长． 11．（2026春•丰满区校级期末）实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库ABCD如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为18米，且要在BC边上开一扇宽为2米的门，可用材料为30米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为120平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出AB的长；若不可以，请说明理由． 12．（2026春•牟平区期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为42m），其他的边用总长73m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽AB为xm． （1）求车棚的长BC；（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚ABCD的面积为450m2，求车棚的长和宽； （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为525m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 类型二 变化率问题 13.（2025秋•金水区校级期末）电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约0.5亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达2亿元，设增长率为x，则方程可以列为（　　） A．0.5+0.5x+0.5x2＝2 B．0.5（1+x）3＝2 C．（1+x）2＝2 D．0.5+0.5（1+x）+0.5（1+x）2＝2 14（2025秋•伊犁州期末）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆．销售量逐年增加，2024年预估销售量为28.6万辆．求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（　　） A．22（1+x2）＝28.6 B．22（1﹣x）2＝28.6 C．28.6（1﹣x）2＝22 D．22（1+x）2＝28.6 15.（2026•南岗区校级一模）某商品经过连续两次提价，售价由原来的每件16元提高到每件25元，则平均每次提价的百分率为（　　） A．25% B．40% C．18% D．36% 类型三 每每问题 16.（2026•天山区校级二模）某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（　　） A．（60﹣x）（200+8x）＝8450 B．（20﹣x）（200+x）＝8450 C．（40﹣x）（200+8x）＝8450 D．（20﹣x）（200+8x）＝8450 17.（2025秋•黄浦区校级期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场调查，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 18.（2026春•建邺区校级期末）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用．若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入＝总收入﹣维护费用） 19．（2026春•宿松县期末）某学校八年级开展社会实践活动，如表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 2026.4.26 班级人员 802王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为2元/千克． 青菜售价为2.5元/千克时，每天可销售125千克． 每千克每涨价0.1元，每天少销售5千克． 解决问题 （1）某天超市正好销售105千克的青菜，则青菜的售价为多少元/千克？ （2）若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为多少元/千克？ 20．（2026春•雨花区校级期末）某地一种植户，2023年承包种植橙子树75亩，由于第一年收成不错，该种植户每年都增加种植面积，到2025年共种植108亩．假设每年的增长率相同． （1）求该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果店销售该种橙子，成本价是5元/千克，在销售中发现，当这种橙子的单价定为7元/千克时，每天可卖出160千克，在此基础上，单价每提高1元，每天就少卖20千克，若该水果店一天销售这种橙子所获得的利润是420元，为了让顾客得到实惠，单价应定为多少元/千克？ 21.（2026春•苍梧县期中）某景区5月份的游客人数比4月份增加60%，6月份的游客人数比5月份减少10%． （1）设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式（结果化到最简）填表； 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 a ①　1.6a ②　1.44a （2）求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率； （3）景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件文化衫售价每降低1元，日销售量增加2件．若商家想要达到日利润432元，为尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 22．（2026春•下城区期中）杭州特产专卖店春季热销春笋干货，经销商统计了3月份到5月份的销量，3月份销2500千克，5月份销售3600千克，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． （1）求该专卖店春笋干货销售量的月增长率； （2）该春笋干货进价为每千克25元，按每千克45元出售，平均每天可售出100千克．市场调查发现：单价每降低1元，平均每天销量可增加10千克．若该专卖店想平均每天获利2090元，请回答： ①每千克春笋干货应降价多少元？ ②在每天获利不变的前提下，为尽可能让利于顾客，商店打折出售．应按原售价的　　 折出售． 23．（2026春•肥城市期末）为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． （1）该纪念品今年1月份的销售量为700件，3月份的销售量为1008件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． （2）该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价2元，每天可多售出4件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 24.（2026•岳西县模拟）综合与实践 【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系 【素材呈现】 素材1：某商场以每件40元的成本价新进一批小家电，准备采用降价销售的方式尽快售出小家电，获取合理的利润； 素材2：在销售过程中发现，这种小家电的售价定为60元/件时，每天可卖出100件，在此基础上，这种小家电的价格每降低2元，该商场每天可多卖出5件； 素材3：假设该小家电的价格定为x元（40≤x≤60）． 【问题解决】 （1）用含x的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是　　 件； （2）已知该商场销售这种小家电每天的利润是1250元，求这种小家电的价格； （3）该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2500元？若能，求出这种小家电的价格；若不能，请说明理由． 25.（2026春•亳州期中）综合与实践 【项目主题】科技文创产品的销售利润与定价策略 【素材呈现】 素材1：合肥某科技文创公司依托中科院合肥物质科学研究院“全超导托卡马克（人造太阳）”这一世界级科学装置IP，新开发了一款“人造太阳”科普拼装模型．该模型每件的生产成本为40元．公司计划采用降价促销的方式，让更多青少年了解可控核聚变这一前沿科技，同时获取合理利润． 素材2：市场调研发现，当这款模型的售价定为60元/件时，每天可售出200件．在此基础上，售价每降低2元，每天的销售量就会增加10件． 素材3：为保证可持续运营，模型的实际售价x元不能低于成本价，且为维持品牌科技感，最高不超过60元（即40≤x≤60）． 【问题解决】 （1）用含x的代数式表示该公司每天售出“人造太阳”模型的数量是　　 件； （2）若该公司销售该模型每天的利润恰好为2500元，求此时模型的实际售价； （3）为响应合肥市“科创科普两翼齐飞”的号召，公司决定每售出一件模型，就向市青少年科技创新奖励基金捐赠5元．问扣除捐赠后公司每天获得的实际利润能否达到3800元？若能，求出此时售价；若不能，请通过计算说明理由． 26．（2026•利津县一模）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 27.（2026春•沙坪坝区校级同步）某水果店销售两种品牌的枇杷，一种是五星枇杷，一种是贵妃白枇杷．已知一箱贵妃白枇杷的售价比一箱五星枇杷的售价高50元，购买3箱贵妃白枇杷，2箱五星枇杷的总价不超过600元． （1）求每箱贵妃白枇杷的售价不高于多少元？ （2）当贵妃白枇杷按（1）问中的最高售价销售时，该水果店平均每周可销售贵妃白枇杷12箱，因市场不景气，水果店决定降价销售，经调查发现，一箱贵妃白枇杷的售价每降低20元，销量每周可增加3箱，若保证贵妃白枇杷每周的销售额为1800元，且尽可能减少库存，求每箱贵妃白枇杷的售价应该降低多少元． 28．（2026春•萨尔图区校级期末）信阳浉河区浉河港镇被誉为“北国江南，江南北国”魅力茶乡，某村民在第一年承包种植茶叶树100亩，由于收成不错，于是每年都增加种植面积，到第三年共种植144亩． （1）求该村民种植茶叶树亩数的年平均增长率； （2）某茶叶旗舰店销售该品种茶叶，市场调查发现，当茶叶售价为300元/千克时，每周能售出50千克，售价每降低1元，每周可多售出2千克，为了尽量减少库存且让顾客得到实惠，该店决定降价促销，已知该茶叶的平均成本价为240元/千克，若使销售该种茶叶每周获利3600元，则售价应降低多少元？ 29.（2026春•萨尔图区校级月考）吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 30.（2026春•雁塔区校级期末）2026年中国国际园林博览会在温州举办，其特色吉祥物玩偶深受游客喜爱．某商店购进一批吉祥物玩偶，进价每个15元，售价每个25元，第一周按此售价共卖出400个．经过市场调查发现，售价每涨4元，每周就少卖40个． （1）若商店要让第二周的利润达到6000元，并且最大程度让利消费者，售价应定为多少元？ （2）在（1）的条件下，商店为清除库存，从第三周开始推出促销活动，使销售量在第二周的基础上稳步提升，第四周的销售量达到了363个，求这两周销售量的平均增长率． 类型四 握手、循环赛、送礼物问题 31.（2026春•西湖区校级期末）九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了870份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝870 D．x（x+1）＝870 32．（2025秋•临澧县期末）2025年，湖南省城市足球联赛（简称“湘超”）火爆出圈，不仅吸引了许多球迷亲临现场观赛，也掀起了“第二现场”观赛的热潮．在这股热潮中，足球爱好者小明深入了解后得知：“湘超”联赛常规赛采用单循环赛制（即每两队之间仅需对决一场），本赛季常规赛共进行了91场对决．若设参加该联赛的球队共有x支，则可列方程为（　　） A． B．x（x﹣1）＝91 C． D．x（x+1）＝91 33．（2025秋•濠江区期末）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C． D． 34.（2026•安徽模拟）某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电路），实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接，比原计划的电路总数少15条．则原规划建设的充电桩个数为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 35.（2026春•西山区校级期末）在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则该参加小组赛的球队有（　　） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 36（2026•东莞市校级一模）村“BA”是指乡村篮球赛，近年来，村“BA”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事．经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛110场，则参加比赛的球队有（　　） A．9支 B．10支 C．11支 D．12支 37． （2025秋•江西校级期末）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 类型五 传播问题 38．（2026•柳北区一模）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（　　） A．（1+x）2＝100 B．x2＝100 C．x（1+x）＝100 D．1+x+x2＝100 39.（2026春•江北区校级月考）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（　　） A．11 B．10 C．8 D．9 类型六 其他问题 40．（2026•武进区校级一模）月历中的奥秘（九年级版）：如图是2025年10月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： （1）用矩形任意圈出的三行三列9个数中，若最小的数设为x，那么最中间的数可用x表示为　 ，最大的数可用x表示为　 ； （2）若矩形圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，这9个数的和是多少？（请列方程解决） 41．（2026•大庆模拟）去年，黄坍村种植水稻200亩、玉米100亩，收获后售价分别为3元/千克、2.5元/千克，且水稻的平均亩产量比玉米高100千克，该村的水稻和玉米全部售出后总收入为40万元． （1）求该村去年水稻、玉米的平均亩产量分别是多少千克； （2）粮食安全事关国家安全．今年，通过改良品种和优化种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计水稻、玉米的平均亩产量将在去年的基础上增长的百分数分别为m和2m．由于粮食品质的提升，水稻的售价每千克上涨了0.2元，玉米的售价在去年的基础上上涨的百分数为m，这样今年的水稻和玉米全部售出后总收入将比去年增加21%，求m的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $