专题25.3 一元二次方程的实际应用（八大题型）（题型训练+易错精练）-2026-2027学年九年级数学上册《知识解读·题型专练》（人教版）

**基本信息** 聚焦一元二次方程实际应用八大题型，以场景化问题为载体，构建从数学建模到方程求解的完整逻辑链，强化应用意识与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |变化率问题|4题|含增长率/降低率，涉及时间序列数据|基于“初始量×(1±x)ⁿ=终量”模型，培养数据意识| |传染/枝干问题|5题|传播/分支数量倍增，含两轮/三轮传播|通过“1+x+x(1+x)”等结构建立方程，发展抽象能力| |循环问题|7题|双循环(互送贺卡)与单循环(握手比赛)|运用排列组合思想构建n(n-1)或n(n-1)/2模型| |销售利润问题|6题|含价格-销量联动，结合一次函数关系|利润=(售价-成本)×销量，强化函数与方程综合应用| |几何问题|10题|含面积计算、动点轨迹，涉及图形变换|通过几何直观转化为方程，培养空间观念与推理能力|

专题25.3 一元二次方程的实际应用（八大题型） 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】..........................................................................1 【题型2一元二次方程应用-传染问题】..............................................................................3 【题型3一元二次方程应用-枝干问题】..............................................................................5 【题型4一元二次方程应用-双循环问题】..........................................................................6 【题型5 一元二次方程应用-单循环问题】.........................................................................7 【题型6 一元二次方程应用-销售利润问题】......................................................................8 【题型7 一元二次方程应用-几何面积问题】 ...................................................................13 【题型8 一元二次方程应用-动点与几何问题】..................................................................18 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】 1．在乡村振兴战略推动下，丹东某县的草莓特色产业蓬勃发展．2024年该县草莓电商销量为12.5万箱，预测2026年销量增至18万箱．设该县草莓电商销量每年的平均增长率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用问题的平均增长率的问题，公式为：初始量 最终量，其中为经过的年数，代入公式即可． 【详解】解：2024年初始销量为万箱，从2024年到2026年共经过年，2026年最终销量为万箱， 代入公式可得方程：． 2．海南自贸港全岛封关运作是我国坚定不移扩大高水平对外开放、推动建设开放型世界经济的标志性举措，某港口在1月份承接了200万吨的进关货物运输，随着国家政策红利的释放，进关货物逐月递增，已知该港口在第一季度共运输了662万吨的货物．若设运输货物的月平均增长率为，则有方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平均增长率问题，一元二次方程的应用，解题思路是先分别求出第一季度每个月的货物运输量，再根据第一季度总运输量列出方程． 【详解】∵设运输货物的月平均增长率为，1月份运输量为万吨， ∴2月份运输量为万吨，3月份运输量为万吨， ∵第一季度总运输量为万吨，第一季度总运输量是1、2、3月运输量的和， ∴可列方程为： ． 3．某电池厂2025年1～5月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，从折线统计图获取数据列出一元二次方程即可． 【详解】解：设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，根据题意得 ． 4．在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人． (1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率． (2)如果能保持这个月平均增长率，8月份该馆接待游客总人数能否达到17万人？ 【答案】(1) (2)能达到17万人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两个月接待游客人数的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）求出8月份接待游客的总人数，则可得出答案． 【详解】（1）解：设这两个月接待游客人数的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得，（舍去）； 答：这两个月接待游客人数的月平均增长率为； （2）解：8月份接待游客人数为（万人） ∵， ∴8月份该馆接待游客总量能达到17万人． 【题型2一元二次方程应用-传染问题】 5．某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数能否超过800？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染8个人 (2)经过三轮传染后，累计患流感的人数不能超过800 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据两轮传染后共有81个人患了流感，列出方程进行求解即可； （2）用81加上第三轮传染的人数，求出总人数，进行判断即可． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人．根据题意得， ， 解得（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人； （2）人， ， ∴经过三轮传染后，累计患流感的人数不能超过800． 6．张亮为了响应学校“爱校护校”活动号召，决定牵头成立“爱校护校志愿服务团”．并走入各班级号召大家加入“志愿服务团”．假定从张亮一个人开始号召，被他号召加入团队的人和他一起下一周继续号召，每人每周能够号召相同人数加入，两周后，共有121人成为“志愿服务团”成员，求每人每周能够号召多少人加入“志愿服务团”． 【答案】每人每周能够号召10人加入“志愿服务团” 【分析】设每人每周能够号召x人加入“志愿服务团”．根据每人每周能够号召相同人数加入列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每人每周能够号召x人加入“志愿服务团”．根据题意得： ， 即， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每人每周能够号召10人加入“志愿服务团”． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键． 7．今年4月，多国禽流感大暴发，大量蛋鸡被扑杀，导致世界级的“鸡蛋荒”，若某国有一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病． (1)每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了几只健康的蛋鸡？ (2)如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会不会超过500只？ 【答案】(1)每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了7只健康的蛋鸡； (2)如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会超过500只． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程和算式求解是解题的关键． （1）设每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了x只健康的蛋鸡，则第一轮中有x只健康的蛋鸡被传染，第二轮中有只健康的蛋鸡被传染，根据经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病列出方程求解即可； （2）根据（1）所求求出三轮传染后，患病的蛋鸡的数量即可得到答案． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了x只健康的蛋鸡，则第一轮中有x只健康的蛋鸡被传染，第二轮中有只健康的蛋鸡被传染， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了7只健康的蛋鸡； （2）解： （只）， ∵， ∴如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会超过500只． 【题型3一元二次方程应用-枝干问题】 8．春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设主干长出支支干，分别计算主干、支干、小分支的数量，根据三者总数为21列方程即可． 【详解】解：∵主干只有1根，设主干长出支支干， ∴支干的总数量为， ∵每根支干又分出支小分支， ∴小分支的总数量为， ∵主干、支干和小分支总数是21， ∴可列方程为． 9．网上流行一个游戏，发起游戏的人首先发出一个“祝福”链接，将这个“祝福”链接发给个人，收到链接的人也需把链接发给相同数量的新人，经过两轮传播后，共有91人参与了这个“祝福”链接的传播，则的值为__________． 【答案】9 【分析】一轮轮传播后，有参与；随后第二轮，新增人收到链接．据此即可求解． 【详解】解：由题意得： 解得：（舍去） 故答案为：9 【点睛】本题考查传播问题与一元二次方程．明确每轮新增的人数是解题关键． 【题型4一元二次方程应用-双循环问题】 10．某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，参加比赛的足球队有_____支． 【答案】 【分析】先设出参赛球队的数量，根据主客场双循环赛制得到总比赛场数的等量关系，列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负解，即可得到参赛球队的数量，正确建立方程是解题关键． 【详解】解：设参加比赛的足球队有支. 根据题意得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，（不符合实际意义，舍去）， 参加比赛的足球队有支． 11．三（六）班的同学毕业时每人都送了其他人一张自己的照片，全班共送了1560张，则三（六）班的人数是______． 【答案】40 【分析】设三（六）班有人，根据全班共送了1560张，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设三（六）班有人，由题意，， 解得或（舍去）； 答：三（六）班有人. 12．元旦节时，某学习小组每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则该学习小组有________人． 【答案】 12 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个人送出张贺卡建立方程是解题的关键．设这个小组有x个人，则每个人送出张贺卡，再根据全组共送贺卡132张建立方程求解即可． 【详解】解：设这个小组有x个人， 由题意得： 解得（舍去）， ∴这个小组有12人 故答案为：12． 13．国庆节放假了，为了活跃气氛，小明提议在他们的家族微信群里搞一个“发红包”活动，规定每个人都要发一个红包，并且保证群里所有人都能抢到，但是自己不能抢自己发的红包．最后，经过统计所有人共抢到红包132个，则他们这个家族群共有__________人． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设他们这个家族群共有人，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设他们这个家族群共有人， 由题意得，， 解得，（舍去）， ∴他们这个家族群共有12人． 故答案为：12． 【题型5 一元二次方程应用-单循环问题】. 14．在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，列出方程即可． 【详解】解：设邀请x个球队参加比赛， 由题意，得：； 故选：C． 15．某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两个人之间只握一次手，所有人共握了45次手，则参加同学聚会的人数为_________． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加聚会的人数为x，则每两人握一次手，总握手次数为，即可列出方程求解． 【详解】解：根据题意，， 整理得． 解得或（舍去）． 故答案为：10． 16．某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有______个商家参加了交易会． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有个商家参加了交易会，利用签订合同的总数参加会议的商家数参加会议的商家数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出参加交易会的商家数． 【详解】解：设共有个商家参加了交易会， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 【题型6 一元二次方程应用-销售利润问题】 17．某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个，调查表明：售价在元范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少个．为了实现平均每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 【答案】这种台灯售价定为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设这种台灯应涨价元，那么就少卖出个，根据利润每个台灯的利润销售量，可列方程求解． 【详解】解：设这种台灯应涨价元，依题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去） （元） 答：这种台灯售价定为元． 18．坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一，也是亚洲最大的水上摩天轮．为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮． (1)据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件98元，每天可售出24件．市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加4件．为配合“江甫文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1400元，售价应降低多少元？ 【答案】(1)若月平均增长率相同，月平均增长率为 (2)售价应降低元 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设增长率为，根据数量关系列式求解即可； （2）设降价元，则每天销量可增加件，由此得到降价后的售价为元，销量为件，降价后每件的利润为（元），由此列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到万件， ∴设增长率为， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴若月平均增长率相同，月平均增长率为； （2）解：售价每降低1元，每天销量可增加4件， ∴设降价元，则每天销量可增加件， ∴降价后的售价为元，销量为件， ∴降价后每件的利润为（元）， ∴， 整理得，， 解得，，即，， 当降价为时，每天的销量为件， 当降价为时，每天的销量为件， ∵尽量减少库存， ∴售价应降低元． 19．抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我市特产烙锅辣椒面的影响力，某电商在抖音平台上对某品牌袋装（500克/袋）烙锅辣椒面进行直播销售．成本价为40元/袋，如果按60元/袋销售，每天可卖出80袋．通过市场调查发现，每袋烙锅辣椒面售价每降低1元，日销售量可增加10袋． (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完库存烧锅辣椒面，每袋售价应定为多少元？ (2)钟珊珊在水城古镇的线下实体店售卖同品牌的烙锅辣椒面，标价为64元/袋．为提高市场竞争力，增加线下销售量，她决定实行打折销售，使其售价不超过（1）中的售价，则该品牌烙锅辣椒面至少打几折售卖？ 【答案】(1)48元 (2)七五折 【分析】（1）设每袋降价元，根据日利润保持不变列方程求解即可； （2）利用（1）中的售价列式计算即可． 【详解】（1）解：设每袋降价元， 由题意得：（60－40－）（80＋10）＝（60－40）×80， 解得：＝12，＝0（不符合题意）， ∴ 60－12＝48（元）， 答：每袋售价应定为48元； （2）×100%＝75%， 答：该品牌烙锅辣椒面至少打七五折． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 20．中秋节前夕，某批发部购入一批进价为5元/千克的阳光玫瑰葡萄，销售过程中发现：日销量（千克）与售价（元/千克）满足如图所示的一次函数关系． (1)求与之间的函数关系式； (2)若计划日销售利润为1440元，那么每千克葡萄的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)每千克葡萄的售价应定为11元 【分析】本题主要考查一元二次方程与一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设与之间的函数关系式为，然后由图象可把点代入进行求解即可； （2）由题意易得方程，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，由图象可把点代入得： ，解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由（1）及题意可得： ， 解得：， 答：每千克葡萄的售价应定为11元． 21．为响应乡村振兴政策，斑竹溪村大力发展经济作物，在苹果、桃李树种植已初具规模时，销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元． (1)请确定苹果、桃李的单价； (2)该村平均每天卖出苹果100千克和桃李120千克．经调查发现，苹果零售单价每降元，苹果每天可多销售10千克．桃李零售单价每降元，桃李每天可多销售5千克为了使每天获取更大的利润，该村 决定把苹果和桃李的零售单价同时下降元．在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入元？ 【答案】(1)苹果的单价为元，桃李的单价为元； (2)当a定为1时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入元． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设苹果的单价为元，桃李的单价为元，依题意，列式，解出，即可作答． （2）依题意，列式，解出，即可作答． 【详解】（1）解：设苹果的单价为元，桃李的单价为元； ∵销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元． ∴， ∴， ∴苹果的单价为元，桃李的单价为元； （2）解：依题意， ， 整理得， 即， 则（故舍去） ∴当a定为1时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入元． 22．7至9月份“衡阳南湖公园”有荷花的盛放期，来此观赏荷花的游客络绎不绝，由此带动了周边的餐饮服务业的发展；“听荷坊”宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数（间）与其价格（元）（）满足一次函数关系，部分对应值如表： （元） 180 260 280 300 （间） 100 60 50 40 (1)请求出与的函数关系式； (2)已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元，每日空置的客房需支出各种费用60元；当房价为多少元时，宾馆当日可获利8450元？ 【答案】(1) (2)当房价为210元时，宾馆当日可获利8450元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出该一次函数表达式； （2）设房价为元，依据“宾馆当日利润=当日房费收入当日支出”列出方程，解方程即可解决问题． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 把，分别代入解析式， 得， 解得， 所以与的函数关系式为：； （2）解：由题意可知：， 整理得：， 解得． 答：当房价为210元时，宾馆当日可获利8450元， 【题型7 一元二次方程应用-几何面积问题】 23．在一块宽，长的长方形空地上，修建3条宽度相等的小路（阴影部分）如图所示，剩余空白区域为花坛部分．已知花坛部分总面积为，求小路宽度是多少米？若设小路宽度是，下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设小路的宽为，根据花坛部分总面积为列方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽为，由题意得： ． 24．《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知、长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，则门的高度是（    ） A．7尺 B．8尺 C．9尺 D．10尺 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和一元二次方程，设门的高度为，门的宽度为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设门的高度为，则竹竿高为， 门的宽度比竹竿的长度少四尺， 门的宽度为：， 沿对角线斜着进，恰好通过，据此列方程： ， 即， 解得：或（舍）． 故选：B． 25．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四个角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为， 根据题意得：． 故选：A． 26．如图，一养殖户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为18m的住房墙，另外围建猪舍的建筑材料可以建造的围墙总长为32m，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个2m宽的门（门不占用建筑材料），所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为140m2？ 【答案】所围矩形猪舍的长为14m，宽为10m时，猪舍面积为 【分析】设出垂直住房墙一边长，再利用建造的围墙与门的总长为，用建造的围墙与门的总长减去两条垂直住房墙的边长，最后根据矩形面积公式列式求解． 【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为， 由题意得， 解得，， 当时，（舍去）， 当时，， 答：所围矩形猪舍的长为，宽为时，猪舍面积为． 27．某农户有一个养鸡场，据农户介绍，该养鸡场2023年养鸡只，2025年养鸡只． (1)求从2023年到2025年的年平均增长率； (2)为了改善养鸡场环境和扩大养殖规模，该农户又购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏围建一个靠墙（墙长且中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．能否建成一个面积为的矩形养鸡场，若能请求出鸡场的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1)从2023年到2025年的年平均增长率为 (2)鸡场的长和宽分别为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． （1）设从2023年到2025年的年平均增长率为，根据题意列出方程，解方程，即可求解． （2）设，则，根据矩形面积公式建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设从2023年到2025年的年平均增长率为，根据题意得， 解得（舍去） 答：从2023年到2025年的年平均增长率为； （2）解：设，则， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴鸡场的长和宽分别为． 28．如图，一个边长为的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点分别在上，且，在、五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． (1)当时，求小正方形种植花卉所需的费用； (2)试用含有的代数式表示五边形的面积； (3)当为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 【答案】(1)小正方形种植花卉所需的费用为190元 (2) (3) 【分析】本题考查正方形的性质，列代数式，一元二次方程的实际应用，正确的识图，准确的列出代数式和方程，是解题的关键． （1）先由题意得，再求出，然后算出小正方形面积、面积和面积，进而求解即可； （2）利用分割法求面积，列出代数式即可； （3）根据题意，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴当时，， ∴小正方形面积为； 面积：，则费用：元； 面积：，则费用：元， ∴五边形面积：，则费用：元 ∴总费用：元； （2）解：由（1）可知：小正方形的边长为， ，， ， 五边形的面积 ； （3）解：由题意，得： 解得：； 当时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元． 【题型8 一元二次方程应用-动点与几何问题】 29．如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)的值为2或8秒 (3)的面积不能达到，理由见解析 【分析】（1）根据，可得，的长，即可求解； （2）由题意得，，，则，即可求解； （3）由（2）可得，令，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴． （2）解：由题意得，，， ∴， 整理，得， 解得． 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意；∴ ∴的值为2或8秒． （3）解：不能．理由如下： 由（2）可知，， 令， 整理，得， ∵， ∴无实数根， ∴的面积不能达到． 30．在矩形中，，点P从点C开始以的速度沿边向点B移动，点Q从点D开始以的速度沿边向点C移动，P、Q分别从C、D同时出发，设运动时间为t秒（）. (1)经过几秒，是等腰三角形？ (2)是否存在某一时刻，使的面积是6？ (3)经过几秒，是等腰三角形？ 【答案】(1)4秒 (2)不存在某一时刻，使的面积是6，理由见解析 (3)或时，是等腰三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，列一元二次方程解决几何问题，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并掌握分类讨论的数学思想． （1）设经过秒，，即是等腰三角形，列出方程求解即可； （2）设经过秒，的面积是6，根据方程的根的情况进行判断即可； （3）分三种情况进行讨论，根据勾股定理列出一元二次方程求解，然后验证即可． 【详解】（1）解：设经过秒，，即是等腰三角形，根据题意得， ， 解得， ∴经过4秒，是等腰三角形； （2）解：设经过秒，的面积是6，根据题意得， ， ， 整理得， ∵， ∴该方程无解， ∴不存在某一时刻，使的面积是6； （3）解：①当时得， ， 由勾股定理得 解得，（负值已舍） ∵， 即， ∴符合题意； ②当时得， ， 由勾股定理得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴， ∴符合题意； ③当时得， ， 由勾股定理得 解得或 ∵， ∴，， ∴， ∴和不符合题意； 综上，或时，是等腰三角形． 31．如图，已知等腰直角三角形中，，点P从点A出发，沿的方向以的速度向终点B运动，同时点从点B出发，沿的方向以的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为秒，请解决下列问题： (1)若点P在边上，当为何值时，为直角三角形？ (2)是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在，或 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据等腰直角三角形的判定与性质列方程求解即可； （2）分若点P在边上和上两种情况讨论，根据等腰直角三角形的判定与性质及三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：若点P在边上，，，， ，， ，， （）， 当时，， ， ， 解得； 当时，， ， ， 解得； 综上所述，当或时为直角三角形； （2）解：若点P在边上，，，， 过点P作于点H， ， ， ， ， ， 解得，（舍去）； 若点P在边上，，（），（）， 过点P作于点M， ， ， （）， ， 解得，（舍去）； 综上所述，存在这样的值，使的面积为，且或． 【点睛】本题考查了几何动点问题，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的应用，根据动点的路径分情况讨论及利用方程思想列方程求解是解题的关键． 32．如图，在长方形中，，，点P以的速度从顶点A出发，沿折线向点C运动，同时点Q以的速度从顶点C出发，沿向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)两动点运动几秒时，四边形的面积是长方形面积的？ (2)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒 (2)存在，或 【分析】（1）要使四边形的面积是长方形面积的，此时点P应在上，才能构成四边形．根据路程速度时间，分别用t的代数式表示、的长，再根据梯形的面积公式列方程求解； （2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑． 【详解】（1）解：设两动点运动t秒，使四边形的面积是长方形面积的． 根据题意，得，，， 长方形的面积， ， ， 解得：， 所以，两动点运动秒时，四边形的面积是长方形面积的． （2）解：存在，理由如下： 设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为． 点P到达B时，；点P到达C时，，      ①当时，如图①，过点作于点， 四边形是长方形， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：，； ②当时，如图②， ， 由勾股定理得：， ， ， 此时，此方程无解． 综上所述，当两点运动时间为或时，点P与点Q之间的距离为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.3 一元二次方程的实际应用（八大题型） 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】..........................................................................1 【题型2一元二次方程应用-传染问题】..............................................................................2 【题型3一元二次方程应用-枝干问题】..............................................................................3 【题型4一元二次方程应用-双循环问题】..........................................................................3 【题型5 一元二次方程应用-单循环问题】.........................................................................4 【题型6 一元二次方程应用-销售利润问题】......................................................................4 【题型7 一元二次方程应用-几何面积问题】 ....................................................................6 【题型8 一元二次方程应用-动点与几何问题】..................................................................8 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】 1．在乡村振兴战略推动下，丹东某县的草莓特色产业蓬勃发展．2024年该县草莓电商销量为12.5万箱，预测2026年销量增至18万箱．设该县草莓电商销量每年的平均增长率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．海南自贸港全岛封关运作是我国坚定不移扩大高水平对外开放、推动建设开放型世界经济的标志性举措，某港口在1月份承接了200万吨的进关货物运输，随着国家政策红利的释放，进关货物逐月递增，已知该港口在第一季度共运输了662万吨的货物．若设运输货物的月平均增长率为，则有方程（    ） A． B． C． D． 3．某电池厂2025年1～5月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A．B．C．D． 4．在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人． (1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率． (2)如果能保持这个月平均增长率，8月份该馆接待游客总人数能否达到17万人？ 【题型2一元二次方程应用-传染问题】 5．某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数能否超过800？ 6．张亮为了响应学校“爱校护校”活动号召，决定牵头成立“爱校护校志愿服务团”．并走入各班级号召大家加入“志愿服务团”．假定从张亮一个人开始号召，被他号召加入团队的人和他一起下一周继续号召，每人每周能够号召相同人数加入，两周后，共有121人成为“志愿服务团”成员，求每人每周能够号召多少人加入“志愿服务团”． 7．今年4月，多国禽流感大暴发，大量蛋鸡被扑杀，导致世界级的“鸡蛋荒”，若某国有一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病． (1)每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了几只健康的蛋鸡？ (2)如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会不会超过500只？ 【题型3一元二次方程应用-枝干问题】 8．春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（     ） A． B． C． D． 9．网上流行一个游戏，发起游戏的人首先发出一个“祝福”链接，将这个“祝福”链接发给个人，收到链接的人也需把链接发给相同数量的新人，经过两轮传播后，共有91人参与了这个“祝福”链接的传播，则的值为__________． 【题型4一元二次方程应用-双循环问题】 10．某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，参加比赛的足球队有_____支． 11．三（六）班的同学毕业时每人都送了其他人一张自己的照片，全班共送了1560张，则三（六）班的人数是______． 12．元旦节时，某学习小组每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则该学习小组有________人． 13．国庆节放假了，为了活跃气氛，小明提议在他们的家族微信群里搞一个“发红包”活动，规定每个人都要发一个红包，并且保证群里所有人都能抢到，但是自己不能抢自己发的红包．最后，经过统计所有人共抢到红包132个，则他们这个家族群共有__________人． 【题型5 一元二次方程应用-单循环问题】. 14．在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（    ） A． B． C． D． 15．某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两个人之间只握一次手，所有人共握了45次手，则参加同学聚会的人数为_________． 16．某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有______个商家参加了交易会． 【题型6 一元二次方程应用-销售利润问题】 17．某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个，调查表明：售价在元范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少个．为了实现平均每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 18．坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一，也是亚洲最大的水上摩天轮．为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮． (1)据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件98元，每天可售出24件．市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加4件．为配合“江甫文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1400元，售价应降低多少元？ 19．抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我市特产烙锅辣椒面的影响力，某电商在抖音平台上对某品牌袋装（500克/袋）烙锅辣椒面进行直播销售．成本价为40元/袋，如果按60元/袋销售，每天可卖出80袋．通过市场调查发现，每袋烙锅辣椒面售价每降低1元，日销售量可增加10袋． (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完库存烧锅辣椒面，每袋售价应定为多少元？ (2)钟珊珊在水城古镇的线下实体店售卖同品牌的烙锅辣椒面，标价为64元/袋．为提高市场竞争力，增加线下销售量，她决定实行打折销售，使其售价不超过（1）中的售价，则该品牌烙锅辣椒面至少打几折售卖？ 20．中秋节前夕，某批发部购入一批进价为5元/千克的阳光玫瑰葡萄，销售过程中发现：日销量（千克）与售价（元/千克）满足如图所示的一次函数关系． (1)求与之间的函数关系式； (2)若计划日销售利润为1440元，那么每千克葡萄的售价应定为多少元？ 21．为响应乡村振兴政策，斑竹溪村大力发展经济作物，在苹果、桃李树种植已初具规模时，销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元． (1)请确定苹果、桃李的单价； (2)该村平均每天卖出苹果100千克和桃李120千克．经调查发现，苹果零售单价每降元，苹果每天可多销售10千克．桃李零售单价每降元，桃李每天可多销售5千克为了使每天获取更大的利润，该村 决定把苹果和桃李的零售单价同时下降元．在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入元？ 22．7至9月份“衡阳南湖公园”有荷花的盛放期，来此观赏荷花的游客络绎不绝，由此带动了周边的餐饮服务业的发展；“听荷坊”宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数（间）与其价格（元）（）满足一次函数关系，部分对应值如表： （元） 180 260 280 300 （间） 100 60 50 40 (1)请求出与的函数关系式； (2)已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元，每日空置的客房需支出各种费用60元；当房价为多少元时，宾馆当日可获利8450元？ 【题型7 一元二次方程应用-几何面积问题】 23．在一块宽，长的长方形空地上，修建3条宽度相等的小路（阴影部分）如图所示，剩余空白区域为花坛部分．已知花坛部分总面积为，求小路宽度是多少米？若设小路宽度是，下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 24．《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知、长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，则门的高度是（    ） A．7尺 B．8尺 C．9尺 D．10尺 25．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四个角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 26．如图，一养殖户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为18m的住房墙，另外围建猪舍的建筑材料可以建造的围墙总长为32m，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个2m宽的门（门不占用建筑材料），所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为140m2？ 27．某农户有一个养鸡场，据农户介绍，该养鸡场2023年养鸡只，2025年养鸡只． (1)求从2023年到2025年的年平均增长率； (2)为了改善养鸡场环境和扩大养殖规模，该农户又购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏围建一个靠墙（墙长且中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．能否建成一个面积为的矩形养鸡场，若能请求出鸡场的长和宽；若不能，请说明理由． 28．如图，一个边长为的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点分别在上，且，在、五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． (1)当时，求小正方形种植花卉所需的费用； (2)试用含有的代数式表示五边形的面积； (3)当为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 【题型8 一元二次方程应用-动点与几何问题】 29．如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 30．在矩形中，，点P从点C开始以的速度沿边向点B移动，点Q从点D开始以的速度沿边向点C移动，P、Q分别从C、D同时出发，设运动时间为t秒（）. (1)经过几秒，是等腰三角形？ (2)是否存在某一时刻，使的面积是6？ (3)经过几秒，是等腰三角形？ 31．如图，已知等腰直角三角形中，，点P从点A出发，沿的方向以的速度向终点B运动，同时点从点B出发，沿的方向以的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为秒，请解决下列问题： (1)若点P在边上，当为何值时，为直角三角形？ (2)是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 32．如图，在长方形中，，，点P以的速度从顶点A出发，沿折线向点C运动，同时点Q以的速度从顶点C出发，沿向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)两动点运动几秒时，四边形的面积是长方形面积的？ (2)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $