5.4二次函数与一元二次方程第1课时 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦九年级上册“二次函数与一元二次方程”第1课时，核心知识点为二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的关系。课堂导入通过竖直上抛小球的问题情境，先回顾一元二次方程判别式及二次函数图像，再探究具体函数图像与方程根的联系，搭建新旧知识的学习支架。 其亮点在于渗透数形结合思想，以小球上抛情境引导学生用数学眼光抽象数量关系，通过表格对比图像交点与方程根的关系培养几何直观，典例和练习中分类讨论（如含参数函数与x轴交点问题）发展推理能力。课堂小结梳理知识脉络，助力学生提升数学思维，教师可依托情境、探究、例题、练习的完整结构高效教学。

初中数学教学课件 北师大版新版九年级上册 仅供课堂教学使用 1.7.2013 这是我们课件的封面页母版。设计非常简洁，突出课题名称和教材版本。蓝色主标题显得专业稳重，符合教研资料的风格。底部的小字声明了使用范围，显得规范。 ‹#› 教材总览 第五章 二次函数 5.4二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程 学习目标： 1. 理解二次函数图象与 x 轴交点个数和一元二次方程根的关系，掌握判别式 Δ 的对应意义。 2. 会利用二次函数图象求对应一元二次方程的近似根，能实现函数与方程之间相互转化。 3. 体会数形结合思想，能用函数观点分析方程问题，解决简单实际情境问题。 5.4.1二次函数与一元二次方程 h/m t/s （1）h和t的关系式是什么？ （2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴交流。 [方法一]看图象 8秒落地 我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式 表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度。一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，观察并思考下列问题： [方法二]解方程 -5t2+40t=0 问题情境 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ =_ _. 2、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条_______，它与x轴的交点有几种可能的情况？ 当△﹥0时，方程根的情况是__________________ ； 当△= 0时，方程根的情况是__________________ ； 当△﹤0时，方程根的情况是______________。 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 无实数根 抛物线 知识回顾 b2-4ac 二次函数 的图象如下图所示，与同伴交流并回答问题. （1）每个图象与x轴有几个交点 ？ （2）一元二次方程 有几个实数根？能用判别式验证吗？ 探究新知 一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有三种情况： 有两个交点 有一个交点 没有交点 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 形 数 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？ 二次函数 的图象与x轴的交点有三种情况： 观察.思考 二次函数图象 图象与x轴的交点 一元二次方程 方程的根 与x轴没有交点 与x轴有一个交点 与x轴有两个交点 有两个不相等的实数根 方程无实数根 有两个相等的实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与方程ax2+bx+c=0根的关系 例1 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． (1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有交点； 典例精讲 解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0或mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝ . 当m为正整数1时，x2为整数且x1≠x2，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1. (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． 典例精讲 1、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点， 则a的范围是 。 2、利用方程x2-6x+9=0的根直接写出二次函数y=x2-6x+9与X轴 交点的横坐标是 . 3、抛物线 与X轴的交点有 个。 4、抛物线 与直线 只有一个交点，则b= . 5 、已知关于X的一元二次方程 的两个 根为-1和-5， 则二次函数 的关系式为 . 3 0 -1 随堂练习 6、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在轴下方的条件是（ ） （A）a＜0 b2-4ac≤0 （B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0 （D）a＜0 b2-4ac＜0 D 7、若关于X的函数 的图象与X轴仅有一个公共点， 则实数K的值为 。 0或-1 随堂练习 1.本节课你收获了哪些新知识？ 2.通过今天的学习你还有哪些疑惑？ 归纳小结 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系 y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数. 二次函数与一元二次方程根的情况 二次函数与x轴的交点个数 判别式 的符号 一元二次方程根的情况 Δ 课堂小结 1．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= ； -1 y O x 1 3 2.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2= ，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标是 . (-2，0) ( ，0) 课后练习 3.若一元二次方程 无实根， 则抛物线 的图象位于（ ） A.x轴上方 B.第一、二、三象限 C.x轴下方 D.第二、三、四象限 A 课后练习 4.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围． 解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数． ∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点， ∴k＝3； 当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数． ∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点， ∴Δ＝b2－4ac≥0. ∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16， ∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3. 综上所述，k的取值范围是k≤4. 课后练习 5.如图，某学生推铅球，铅球出手（点A处）的高度是0.6m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高3m时，水平距离x=4m． (1)求这个二次函数的解析式； (2)该同学把铅球推出去多远？ 解：(1)设二次函数的解析式为y=a（x-4）2+3，把（0，0.6）代入得 0.6=a（0-4）2+3， 课后练习 (2)当y=0时， 答：该男同学把铅球推出去(4+2 )m远． $