4.4 对数函数（十大重点题型）专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题4.4 对数函数 目录●重难点题型分布 重难点题型1 对数函数的判定与求值 1．（25-26高一上·上海·期中）函数为以a为底的对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】根据题意，由求解. 【详解】因为函数为对数函数， 所以，解得， 所以实数的值为2， 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】由对数函数的定义可得. 【详解】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】需要满足对数函数的系数为，同时对数函数的底数要满足大于且不等于，真数大于等条件，然后据此逐步求出的值. 【详解】由解得或，又，且，所以 故选：B. 4．（24-25高一上·山东·阶段检测）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、对数函数的概念判断与求值 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A 5．（多选题）函数中，实数的取值可能是（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】利用对数函数的定义列出不等式解出即可. 【详解】因为， 所以根据对数函数的定义得：， 即：，所以或， 故选：AC. 6．（多选题）下列函数中为对数函数的是（    ） A． B． C． D．（是常数） 【答案】CD 【难度】0.94 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】由对数函数的定义判断， 【详解】对于A，真数是，故A不是对数函数； 对于B，，真数是，不是，故B不是对数函数； 对于C，的系数为1，真数是，故C是对数函数； 对于D，底数，真数是，故D是对数函数． 故选：CD 7．（2026·上海·一模）若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、对数函数的概念判断与求值 【详解】由题意可知，，，，，， 则，， 若，则定义域为，符合题意； 若，则定义域为，符合题意； 若，则定义域为，符合题意， 所以整数n的取值集合为 8．（25-26高一上·广东河源·期末）已知函数，则________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】利用对数的运算性质计算可得所求函数值. 【详解】因为，则，故. 故答案为：. 重难点题型2 求对数函数的解析式 1．（2025高二上·河南许昌·学业考试）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、求对数函数的解析式 【分析】将点代入函数解析式计算求得，即，即，再代入，即可得到答案． 【详解】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 2．对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（    ） A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求对数函数的解析式 【分析】设对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，将点代入即可求解. 【详解】设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)． 由于对数函数的图像过点M(125，3)， 所以3＝loga125，得a＝5. 所以对数函数的解析式为y＝log5x. 故选：A. 3．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求对数函数的解析式 【分析】利用对数函数的定义结合过的点可求得解析式，再利用对数函数的单调性可求得最大值. 【详解】可设对数函数，由对数函数过点， 可得：， 所以对数函数， 由于 因为，根据对数函数是增函数，所以的最大值是 故答案为：；. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求对数函数的解析式 【分析】把已知点坐标代入解析式，可求出，即可求解. 【详解】由题可得，即， 因为，且，所以， 故函数解析式为． 故答案为：. 5．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数是对数函数，且，则_________． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求对数函数的解析式 【分析】根据，求得对数函数解析式，再将代入计算即可. 【详解】设，且， 因为， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 重难点题型3 对数型函数图像及应用 1．（25-26高一下·湖南·阶段检测）函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状、根据函数是指数函数求参数 【分析】先通过幂函数得出的值，再结合对数函数的平移规律与单调性，即可确定的图象特征. 【详解】由题意得函数满足，即，可得. 因为函数是偶函数，图象关于轴对称， 而函数的图象是由向左平移1个单位得到的， 因此图象关于直线对称， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，，图象过原点， 综上可得：函数的图象如图所示，故B正确. 2．（25-26高一上·湖北宜昌·期末）若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.76 【知识点】判断指数型函数的图象形状、判断对数型函数的图象形状 【分析】结合排除法，根据指数函数与对数函数的图象判断． 【详解】因为，所以， 所以是减函数，且时，，是增函数， 排除选项BD，又的定义域为，故排除选项A，只有选项C满足． 3．（25-26高一下·广西贵港·开学考试）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】对数型复合函数的单调性、判断对数型函数的图象形状 【分析】根据图象特征及对数函数的性质判断即可. 【详解】 因为，，所以，故的对称轴在轴左侧，排除A与C； 由选项BD可知，，所以， 所以在对称轴右侧单调递减，在对称轴左侧单调递增，故B满足，D不满足. 4．（25-26高一上·广东东莞·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断指数型函数的图象形状、判断对数型函数的图象形状 【分析】利用指数函数和对数函数的图象与性质即可得出结果. 【详解】根据函数都是指数函数且为减函数，过点， 又，结合图象可知①函数为，②函数为， 函数为单调递减的对数函数，过，，结合图象可知④函数图象符合. 所以③不是已知函数的图象. 故选：C 5．（25-26高一上·云南昆明·期末）函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状 【分析】判断函数的奇偶性，可排除A,D，将特殊值代入解析式验证，可排除C，由此可得答案. 【详解】由，可得为奇函数，排除A,D， 由于,，排除C， 故选：B 6．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数的图象是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数函数的图象和性质，分析已知函数的定义域、图象经过点及单调性，进而判断选项． 【详解】的定义域为，解得，渐近线为， ，，故函数过点， 的底数，单调递增， 综上，选项B中图象符合函数图象的性质，故B正确． 故选：B． 7．（25-26高一上·湖南张家界·期末）已知（且且），则函数与的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断指数型函数的图象形状、判断对数型函数的图象形状 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】当时，，函数与均为减函数，四个图象均不满足， 当时，，函数与均为增函数，排除ACD，在同一坐标系中的图象可能是B. 故选：B． 重难点题型4 对数型函数图像过定点问题 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.89 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【详解】由题意可知， 令，得，代入得， 故函数的图象恒过定点. 2．（25-26高一上·河南·期末）若函数（，）的图象恒过点，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】根据求出的值. 【详解】由题意得，，则，解得． 故选：C 3．（25-26高一上·广西柳州·期末）函数（，且）的图象恒过点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】对数型函数过定点，只要令真数部分值为1，解出的值，再将的值代入解析式求得的值. 【详解】令，解得，再将代入解析式得. 所以过定点，即. 故选：D 4．（2026·辽宁沈阳·一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】对数型函数图象过定点问题、求反函数 【分析】根据指数函数的反函数是对数函数，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为函数是且的反函数， 所以且， 令， 因为， 所以函数图象必过定点. 故选：D 重难点题型5 对数型复合函数的定义域 1．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的定义域 【详解】函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域是. 2．（25-26高二下·河南·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【详解】，根据分式函数和对数函数的性质， 可得，解得，即，B正确. 3．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）函数的定义域是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】直接由对数函数及幂函数的性质列不等式组，再解不等式组可得. 【详解】要使函数有意义，则， 由，得，解得或； 由，得，解得或. 因此不等式组的解集为或. 所以函数的定义域为或. 4．（25-26高一下·四川泸州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的定义域 【详解】由题意可得，解得，故函数的定义域为. 重难点题型6 对数型复合函数的单调性与值域 1．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域 【分析】先求得的定义域，根据复合函数单调性的求法，结合二次函数、对数函数的性质，即可得答案. 【详解】由题意得，令，解得或， 的定义域为， 设，， 根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又因为在为增函数， 根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为. 2．（25-26高二下·湖南岳阳·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.68 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数 【详解】令，函数的外层函数为， 又，则外层函数为单调递减函数. ∵ 函数在区间上单调递增， ∴ 内层函数在区间上单调递减，且在上恒成立. ∵ 是开口向上的二次函数，对称轴为， ∴ 要满足在上单调递减，需，解得. ∵ 在上单调递减，∴ 时，， 要满足在上恒成立，需，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 3．（2026·山西运城·二模）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】求对数型复合函数的值域、对数的运算性质的应用 【详解】由，得函数的定义域为， 所以， 所以为增函数，因此， 所以函数的值域为，故C正确. 4．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】求对数型复合函数的值域 【详解】依题意可知函数定义域为， 所以函数， 即的值域为. 5．（26-27高三上·北京·开学考试）函数在上单调递减，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】对数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【详解】复合函数：，其中 外层函数底数，外层函数单调递增， 所以在上单调递减，且在区间恒成立. 是开口向上抛物线，对称轴： 所以， 所以a的取值范围是 6．（25-26高一下·青海海东·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为________． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】结合复合函数单调性与定义域分情况建立不等式求解可得. 【详解】设，. 由函数 在上单调递减， 则函数在上单调递减，且在上恒成立， 当时，函数在上单调递减， ，符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上所述，的取值范围为. 7．（25-26高一上·上海·期末）函数，的最小值为_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、求对数型复合函数的值域 【分析】利用换元法结合对数运算、对数函数性质、二次函数性质求值即可. 【详解】设，则. . 函数是开口向上的二次函数，对称轴为. 所以. 故答案为：. 8．（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的值域是_____． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的值域 【分析】根据复合函数值域求解即可求得结果. 【详解】易知函数的定义域为， 且， 所以，即. 因此函数的值域为. 故答案为： 9．若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、根据对数函数的最值求参数或范围 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可得函数的单调性，从而求出函数在区间上的最值，再列不等式，即可得解. 【详解】令，则函数为减函数，又因为函数是增函数， 所以是减函数，所以函数在区间上的最大值为,最小值为， 由题意得, 则， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 10．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数 (1)求函数的单调递增区间； (2)若对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的值域、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据对数的运算法则，对进行化简整理，利用换元法，结合二次函数的性质及复合函数单调性，即可得答案. （2）根据已知定义域结合对数函数值域化简，再构造函数应用单调性得出最值进而得出参数范围. 【详解】（1）由题意 ， 令， 则为开口向上，对称轴为的抛物线， 又因为在上单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，解得， 所以根据复合函数单调性得函数的单调递增区间为. （2）因为对任意恒成立，且， 所以，化简得恒成立， 令， 则在上单调递增， 所以，即得， 又因为恒成立，所以，所以. 所以的取值范围为． 11．（25-26高一上·山东日照·期末）已知函数. (1)设，求的最小值，并求出当取得最小值时的值； (2)已知，对任意，，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)时，取得最小值，最小值为0 (2) 【难度】0.4 【知识点】求对数型复合函数的值域、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）应用换元法结合二次函数值域计算求解； （2）应用换元法得出，分和及结合二次函数单调性求解值域计算求解参数. 【详解】（1）当时， ， 令，，则， 当，即当时，即时，取得最小值，最小值为0 （2）当时，令， 可化为. 记函数在上的最大值为，最小值为， 由对任意、，恒成立，得恒成立. ，其图象开口向上且对称轴为直线. ①当时，，，由， 可得，则， 解得，此时； ②当时，，，由， 可得，解得，此时； ③当时，，， 由，可得，解得，此时无解. 综上，m的取值范围为. 重难点题型7 对数型函数的奇偶性问题 1．（25-26高三下·河南周口·开学考试）若函数是奇函数，则的值可能为（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、由奇偶性求参数、求对数型复合函数的定义域 【详解】因为函数是奇函数，所以，即， 所以，即， 化简整理得，解得或， 当时，的定义域为，故不是奇函数； 当时，，由，得或， 所以函数的定义域为， 又，故为奇函数，符合题意. 的值为. 2．（2016·河南洛阳·一模）已知函数为奇函数，则的值为 A．1 B．-1 C．0 D．1或-1 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数的奇偶性 【详解】试题分析：由题意得，选D. 考点：奇函数性质 3．若函数为奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、函数奇偶性的定义与判断 【分析】由奇函数的定义域关于原点对称，可得k。 【详解】由题得，函数的定义域为，整理得，又是奇函数，定义域关于原点对称，可得或，则有，解得. 故答案为：B 【点睛】本题考查奇函数的特点，不在定义域内，因此不能用求解。 4．（2026·北京海淀·一模）若函数是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】由奇偶性求参数、对数函数的概念判断与求值 【分析】利用奇函数的定义可得出关于的等式，求出实数的值，再结合奇函数的定义域验证即可. 【详解】因为函数是奇函数，则， 即，所以，即， 所以，解得， 当时，，由可得，该函数的定义域为， 此时函数的定义域不关于原点对称，该函数不是奇函数，不符合题意； 当时，，由可得或， 即函数的定义域为或，定义域关于原点对称，符合题意. 综上所述，. 5．（23-24高三上·河北唐山·期末）已知函数是偶函数，则（    ） A．3 B．0 C． D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】分式不等式、对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据偶函数的定义与性质结合对数运算分析求解. 【详解】因为函数是偶函数， 则， 结合的任意性可得，可得，则，即， 若，则，令，解得或， 可知的定义域为，关于原点对称，符合题意； 若，则， 可知的定义域为，不关于原点对称，不符合题意； 综上所述：. 故选：A. 6．（24-25高三上·山东日照·期末）若是奇函数，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据定义域先求出，再根据奇函数的性质求出，从而可求. 【详解】， 则自变量满足，则， 故函数定义域中不能有，故即， 此时， 而，故， 故，故. 故选：D 重难点题型8 指对幂比较大小 1．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知，，，则、、的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【详解】由题意可知，，， 所以. 2．（26-27高二上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知，，，则 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【详解】因为是增函数，是增函数，在区间上单调递增， 所以，，， 则. 3．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【详解】因为， 所以， ， ， 所以． 4．（25-26高二下·山东青岛·期末）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，分别将三个数和比较大小，再对比的大小即可得到结果. 【详解】由于函数在上单调递增，函数在上单调递减，那么 ，即, ，,即， 所以，. 5．（25-26高二下·天津南开·期末）设，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小 【详解】由于，故， 而，， 因此． 6．（25-26高二下·山东烟台·期末）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.78 【知识点】运用换底公式化简计算、比较对数式的大小 【分析】利用对数函数的单调性和对数换底公式化简比较求解. 【详解】当时，在上单调递增， 在上单调递减，所以，即， 因为， ，所以. 7．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.86 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、比较对数式的大小 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，分别判定、、与、的大小关系，即可比较三者大小. 【详解】，，， 故. 8．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【详解】单调递增，故， 单调递增，故， ， 对于，，设函数，， 故函数在上单调递增， 所以， 则，所以， 故． 重难点题型9 根据对数型复合函数的性质，求参数 1．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、由奇偶性求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】由偶函数定义结合对数运算可得，进而整理可得，利用换元法令，根据题意结合分类讨论解决二次函数的最值问题. 【详解】因为函数是偶函数，则， 则，则， 所以，则， 所以， 令，当且仅当，即时取等号，则， 由题意可得的最小值为，因的对称轴为， 则当，即时，在上单调递增，当时取到最小值， 则，解得：； 则当，即时，，在上单调递减，在上单调递增，当时取到最小值， 则，解得：（舍去）， 综上所述：，故B正确. 故选：B. 2．已知，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】对数型复合函数的单调性、根据对数函数的最值求参数或范围、复合函数的最值 【分析】利用对数型复合函数的单调性分析得的单调性，从而得到在上的最值，由条件得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】函数的定义域为， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，又， 所以在区间上单调递减，其最大值与最小值分别为，， 则， 即，则， 得，整理得， 令，则其图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 因为存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1， 所以存在，使得成立，即， 则，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 3．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.55 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据复合函数单调性及对数函数单调性条件可转化为函数在区间上有意义，且在上单调递减，讨论结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为函数在区间上单调递减，为增函数， 所以函数在区间上有意义，且在上单调递减， 当时，或，解得， 当时，，此时函数的定义域为， 因为函数在上单调递减，函数为增函数， 所以函数在上单调递减，满足条件， 所以的取值范围为. 4．（2026·山东聊城·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由对数（型）的单调性求参数、求对数型复合函数的定义域 【详解】设，则， 因为在区间上单调递增，且为减函数， 由复合函数单调性知在上单调递减， 则有解得， 故的取值范围是， 故选：B． 5．设函数，若存在，满足，则实数的最小值为______． 【答案】/0.8 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、根据对数函数的最值求参数或范围、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】先确定最大值与最小值，再将存在性问题转化为最值问题，最后解不等式得的取值范围，即得的最小值. 【详解】函数在上单调递减，函数在单调递增， 则函数在上单调递减， 由存在，满足，得， 即，则， 因此，解得，所以 故答案为： 6．（25-26高二下·天津南开·期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、根据函数的单调性求参数值、由对数（型）的单调性求参数、求对数型复合函数的定义域 【分析】利用复合函数单调性，对数函数底数和真数取值范围解题即可. 【详解】令，则函数可看成由 与复合而成， 因为对数的底数且，所以是单调递减函数， 又因为函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可以得到， 又在区间上，作为的真数要大于0恒成立， 所以，所以， 综上所述实数的取值范围为. 7．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数在单调递增，则的取值范围为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】令，分析可知在内单调递增，且在内恒成立，结合二次函数性质运算求解. 【详解】令，原题意等价于函数在单调递增， 可知在内单调递增，且在内恒成立， 则，解得， 所以的取值范围为. 重难点题型10 对数函数的最值与不等式的综合问题 1．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)求函数的值域． 【答案】(1)，偶函数 (2) 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的值域、求对数型复合函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）解不等式得定义域，再根据奇偶性的定义判断即可； （2）由题知，令，再结合复合函数的性质求解值域即可. 【详解】（1）由题意得，解得． 所以函数的定义域为． 所以函数定义域关于原点对称， 又． 为偶函数． （2），， 令，，则， 又函数为增函数，的最大值为0． 所以函数的值域为． 2．（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)求的单调区间及值域. （注：复合函数单调性的判断可由复合函数性质说明，不需要用单调性的定义证明.） 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为.值域为. 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的值域、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）解不等式，可得的定义域； （2）设，则.判断两个函数的单调性，由复合函数单调性同增异减的法则得到的单调区间，并得到其值域. 【详解】（1）由题可得，即，. 解得. 所以函数的定义域为. （2）设， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最大值，最大值为，所以. 因为是减函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，且在，即处取得最小值，最小值为. 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 值域为. 3．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.56 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据对数函数的值域求参数值或范围、由函数在区间上的单调性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由对数函数的值域可得真数对应的二次函数的判别式大于等于，从而可得所求取值范围； （2）令，并结合定义域可得函数单调递增区间，从而可得所求取值的范围； （3）将不等式转化为，由单调性可得，所以只需，进而转化为，方法一：根据二次函数的在闭区间的最值问题分类讨论可得；方法二：通过参数分离可得及，分别求两个函数的最值可得. 【详解】（1）因为函数的值域为，所以能取到大于的所有值， 所以，解得或， 因此实数的取值范围为． （2）当时，． 令，得或， 又， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上单调递增， 因为题中在上单调递增，所以实数的取值范围为． （3）因为，使得成立，所以． 因为在时单调递减， 所以， 即，即成立． 方法一：设，其图象的对称轴为直线． 当时，只需，解得； 当时，只需，解得； 当时，只需，无解． 综上，得，即实数的取值范围为． 方法二：成立，等价于成立， 所以． 记，则在上单调递增， 所以，所以. 成立，等价于成立，所以． 记，则（当且仅当时取等号）， 所以，所以， 综上，，即实数的取值范围为． 4．（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数. (1)求函数的定义域，并判断其奇偶性； (2)若，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间上单调递减.证明：恒成立. 【答案】(1)函数的定义域为，函数为奇函数. (2) (3)， ， 又因为函数在区间上单调递减， 所以当时， ，，所以， 所以恒成立. 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、根据函数的单调性解不等式、具体函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）由定义域的定义列不等式即可求得定义域，由奇偶函数的定义判断函数的奇偶性； （2）由函数解析式判断函数的单调性，结合（1）中的奇偶性和定义域，列出不等式即可求得的取值范围； （3）由对数的运算化简，然后通过构造，结合函数的单调性，即可证明结论. 【详解】（1）由，得，所以， 所以函数的定义域为， 又， 所以函数为奇函数. （2）由（1）可知，，则， 因为，函数在上单调递减， 所以， 解得，即. （3）略 5．（25-26高二下·江西九江·期末）已知函数的图象关于点对称，函数. (1)求的值； (2)若命题“，”是假命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.52 【知识点】求指数函数在区间内的值域、由函数对称性求函数值或参数、已知命题的真假求参数、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）利用对称性有求参数值，再验证函数定义域是否关于点对称，即可得； （2）问题化为“，”是真命题，即，结合指数函数、二次函数及分式型函数的性质求右侧的最小值，即可得. 【详解】（1）由题意得，，即， 所以，恒成立， 所以恒成立，则，解得，或（舍去）， 所以，此时， 由，得定义域为，满足关于点对称，故； （2）因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 即“，”是真命题， 即， 又，令，则， 所以，， 因为在区间上单调递增， 当，即时，， 易知函数在区间上单调递减， 所以， 所以时，取得最小值6， 所以，即的取值范围是. 6．（25-26高一下·湖南益阳·期中）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)已知当时，恒有意义． （Ⅰ）求在上的最小值； （Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）；（Ⅱ） 【难度】0.32 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、函数不等式恒成立问题、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）对数函数的值域为即真数可以取遍所有的正实数，因为的真数结构比较复杂，换元后通过分析真数的取值范围可求解. （2）（Ⅰ）首先根据当时，恒有意义，结合基本不等式求出的取值范围，对二次函数对称轴的位置分类讨论可求得在上的最小值；（Ⅱ）首先根据恒（能）成立问题得到，再求出在上的最小值，根据（Ⅰ）中结果解不等式即可得解. 【详解】（1）因为函数的值域为， 所以真数 需取遍所有的正实数， 令，则，构造函数 ， 所以可将 需取遍所有的正实数问题转化为 在时取遍所有的正实数. 对于 ，图象的开口向上，对称轴方程为， 由 在时取遍所有的正实数知在上的图象与x轴至少有一个交点，所以在上的最小值小于等于0， 所以，且对称轴（否则在上单调递增， ，无法取遍所有的正实数）， 由，解得，所以实数的取值范围是. （2）同（1）中的函数 ， 当时，，恒有意义，即在时恒成立， 当时，恒成立； 当时，将分离参数得， 由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立， 所以 ． （Ⅰ）当对称轴 ，即时，在上单调递增，所以 ， 因为函数是增函数，由复合函数的性质可知当真数取最小值时，取得最小值， 所以在上的最小值为（在时取得）； 当对称轴 ，即时，在上的最小值在顶点处取得， 所以，所以在上的最小值为（在时取得）. 综上，. （Ⅱ）对于任意，存在，使得不等式成立， 即在对应区间上. 因为 ，当时，， 所以，所以在上的最小值为， 所以. 由（Ⅰ）知，当时，在上， ，满足题意； 当时，在上，， 由，解得. 综上，实数的取值范围是． 7．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数（且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并证明； (3)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3)． 【难度】0.71 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）根据对数的真数为正数可求解； （2）为偶函数，根据偶函数的定义证明； （3）对和分类讨论，解不等式求解. 【详解】（1）要使函数的解析式有意义，则，解得． ∴函数的定义域为． （2）函数是偶函数， 证明如下：由（1）知函数的定义域为，关于原点对称．          ∵， ∴，             ∴ ∴函数是定义在上的偶函数． （3）的定义域为， ∵，∴，               当时，函数为上的增函数， ∴函数在上的最小值为， ∴，∴．                 当时，函数为上的减函数，                ∴函数在上的最小值为， ∴，∴，不符合题意 综上，a的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 对数函数 目录●重难点题型分布 重难点题型1 对数函数的判定与求值 1．（25-26高一上·上海·期中）函数为以a为底的对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25高一上·山东·阶段检测）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（多选题）函数中，实数的取值可能是（　　） A． B．3 C．4 D．5 6．（多选题）下列函数中为对数函数的是（    ） A． B． C． D．（是常数） 7．（2026·上海·一模）若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______. 8．（25-26高一上·广东河源·期末）已知函数，则________． 重难点题型2 求对数函数的解析式 1．（2025高二上·河南许昌·学业考试）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 2．对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（    ） A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x 3．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为______． 5．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数是对数函数，且，则_________． 重难点题型3 对数型函数图像及应用 1．（25-26高一下·湖南·阶段检测）函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖北宜昌·期末）若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广西贵港·开学考试）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东东莞·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 5．（25-26高一上·云南昆明·期末）函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数的图象是（    ） A．  B．  C．   D．   7．（25-26高一上·湖南张家界·期末）已知（且且），则函数与的图象可能是（   ） A．B． C． D． 重难点题型4 对数型函数图像过定点问题 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河南·期末）若函数（，）的图象恒过点，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（25-26高一上·广西柳州·期末）函数（，且）的图象恒过点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁沈阳·一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 重难点题型5 对数型复合函数的定义域 1．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）函数的定义域是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 4．（25-26高一下·四川泸州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 重难点题型6 对数型复合函数的单调性与值域 1．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南岳阳·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山西运城·二模）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·北京·开学考试）函数在上单调递减，则实数的取值范围是_________. 6．（25-26高一下·青海海东·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为________． 7．（25-26高一上·上海·期末）函数，的最小值为_________． 8．（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的值域是_____． 9．若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数a的取值范围是_______． 10．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数 (1)求函数的单调递增区间； (2)若对任意恒成立，求的取值范围． 11．（25-26高一上·山东日照·期末）已知函数. (1)设，求的最小值，并求出当取得最小值时的值； (2)已知，对任意，，恒成立，求实数的取值范围. 重难点题型7 对数型函数的奇偶性问题 1．（25-26高三下·河南周口·开学考试）若函数是奇函数，则的值可能为（   ） A． B． C．2 D．6 2．（2016·河南洛阳·一模）已知函数为奇函数，则的值为 A．1 B．-1 C．0 D．1或-1 3．若函数为奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 4．（2026·北京海淀·一模）若函数是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·河北唐山·期末）已知函数是偶函数，则（    ） A．3 B．0 C． D．2 6．（24-25高三上·山东日照·期末）若是奇函数，则（    ） A． B． C．1 D． 重难点题型8 指对幂比较大小 1．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知，，，则、、的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 2．（26-27高二上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知，，，则 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·山东青岛·期末）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·天津南开·期末）设，，，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·山东烟台·期末）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型9 根据对数型复合函数的性质，求参数 1．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数的值为（   ） A．3 B． C． D． 2．已知，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东聊城·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．设函数，若存在，满足，则实数的最小值为______． 6．（25-26高二下·天津南开·期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 7．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数在单调递增，则的取值范围为________． 重难点题型10 对数函数的最值与不等式的综合问题 1．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)求函数的值域． 2．（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)求的单调区间及值域. （注：复合函数单调性的判断可由复合函数性质说明，不需要用单调性的定义证明.） 3．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 4．（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数. (1)求函数的定义域，并判断其奇偶性； (2)若，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间上单调递减.证明：恒成立. 5．（25-26高二下·江西九江·期末）已知函数的图象关于点对称，函数. (1)求的值； (2)若命题“，”是假命题，求的取值范围. 6．（25-26高一下·湖南益阳·期中）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)已知当时，恒有意义． （Ⅰ）求在上的最小值； （Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 7．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数（且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并证明； (3)若，求a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $