周周测10 4.3-4.4对数与对数函数 （数学人教A版必修第一册）

**基本信息** 聚焦对数与对数函数单元，通过纳皮尔对数发明史、寄生菌治理等情境，融合概念辨析、性质应用与实际问题，层次分明适配周测，培养数学抽象与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|定义域、集合运算、大小比较|基础概念辨析，如反函数对称中心| |多选|3/18|单调性、奇偶性、取值范围|综合判断，如分段函数单调区间| |填空|3/15|对数运算、实际应用|情境题，如玻璃板透光强度计算| |解答|5/77|换底公式证明、函数性质、零点问题|分层设计，如寄生菌治理应用题，突出逻辑推理与数学建模|

2026-2027学年高一上学期数学周周测 10 4.3-4.4 对数与对数函数 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据具体函数解析式有意义解不等式组可得. 【详解】由题意可得，解得，即定义域为. 故选：B 2．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数的定义域求得集合，由指数函数的值域求得集合，然后利用集合交集的定义得到. 【详解】∵，∴，∴， ∵，∴， ∴. 故选：D. 3．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性及指数运算，再借助“媒介数”判断作答. 【详解】，，，而，即， 所以. 故选：D 4．下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】， ， ， ， 故③④正确，①②错误， 其中正确的个数为2. 6．在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知，，设，则M所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质，结合题中所给的数据进行判断即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 6．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则在上单调递增 B．若，则的值域为 C．若，则在上单调递减 D．若，则的值域为 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，可判断A选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；利用对数函数的基本性质求出函数的值域，可判断BD选项. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为，A错； 当时，， 因为，则，所以，则， 故当时，的值域为，B错； 当时，内层函数在上为减函数，外层函数为减函数， 由复合函数法可知，若，则在上单调递增，C错； 若，因为，则，即函数的值域为，D对. 故选：D. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据对数的运算法则及换底公式一一计算可得. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为，所以，故B不正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，则，，故D正确. 故选：ACD. 8．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．若值域为，则 B．若定义域为，则 C．若最大值为0，则 D．若最小值为1，则 【答案】AC 【分析】结合对数函数的单调性和二次函数的性质逐项分析判断； 【详解】选项A：值域为，说明函数能取到所有大于0的数， 当时，不满足； 当时，，解得：，选项正确； 选项B：当定义域为时，函数恒成立， 当时，恒成立； 当时，，解得：， 综上，，选项错误； 选项C：若最大值为0，即的最小值为， 故有，解得：，选项正确； 选项D：若最小值为1，即的最大值为， 则有，无解，选项错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．设，则______（用数值表示），______.（用表示） 【答案】 9 【解析】利用对数的运算性质和换底公式求解． 【详解】， ， ， 故答案为：9，． 10．已知函数的值域为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用基本不等式求出函数的值域，根据题意可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】对任意的，，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为函数的值域为，则， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知函数且经过定点A，函数且的图象经过点. (1)求函数的反函数； (2)求函数的定义域与值域； (3)若函数在上有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)定义域为，值域为 (3) 【分析】（1）根据指数函数性质可得点，即可得，进而可得； （2）根据题意可得，求函数定义域，结合指数、对数函数的单调性求值域即可； （3）整理可得，设，原题意等价于函数在上有两个零点，结合二次函数零点分布运算求解. 【详解】（1）令，解得，可得， 所以函数过点， 将点的坐标代入函数，可得，解得， 即，所以. （2）因为函数， 令，解得， 可得函数的定义域为， 因为，则，，可得， 所以函数的值域为. （3）由（1）可知：函数， 设，可得，且为关于的单调递增函数， 原题意等价于函数在上有两个零点， ①当时，由，可得， 可知函数只有一个零点，所以不合题意； ②当时，由，解得； ③当时，由，此时不等式组的解集为空集； 综上所述：实数的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测 10 4.3-4.4 对数与对数函数 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知，，设，则M所在的区间为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则在上单调递增 B．若，则的值域为 C．若，则在上单调递减 D．若，则的值域为 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．若，则 8．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．若值域为，则 B．若定义域为，则 C．若最大值为0，则 D．若最小值为1，则 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．设，则______（用数值表示），______.（用表示） 10．已知函数的值域为，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知函数且经过定点A，函数且的图象经过点. (1)求函数的反函数； (2)求函数的定义域与值域； (3)若函数在上有两个零点，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测 10 4.3-4.4 对数与对数函数 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．已知的反函数图像的对称中心为，则的值为 A． B．2 C． D．3 5．下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知，，设，则M所在的区间为（    ） A． B． C． D． 7.若，，满足，且，则有序实数组可能是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则在上单调递增 B．若，则的值域为 C．若，则在上单调递减 D．若，则的值域为 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列选项正确的有（   ） A．若，则 B．若函数满足，当时，，则 C．若函数在上是单调函数，则实数的取值范围是 D．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是 10．下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．若，则 11．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．若值域为，则 B．若定义域为，则 C．若最大值为0，则 D．若最小值为1，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，则______（用数值表示），______.（用表示） 13.光线每透过一块玻璃板，其强度要减弱，要使光线减弱到原来的以下，至少要这样的玻璃板________块． 14．已知函数的值域为，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）证明对数换底公式：（其中且，且，）． （2）已知，试用表示． （3）化简： 16．由于某种寄生菌的大面积繁殖，某个池塘遭到了严重污染．塘主购买了杀菌剂，由于顾及池塘内鱼类的生存，杀菌剂一次只能投放一定的剂量．已知每投放1次杀菌剂能使池塘内的寄生菌减少． (1)投放3次杀菌剂可以使池塘内的寄生菌减少到最初的百分之多少？ (2)要使池塘内剩余的寄生菌少于最初的，则至少要投放多少次？ 参考数据：． 17．已知函数为偶函数. (1)求a的值； (2)若，求m的取值范围. 18．已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值； (2)判断的单调性并加以证明； (3)当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 19．已知函数且经过定点A，函数且的图象经过点. (1)求函数的反函数； (2)求函数的定义域与值域； (3)若函数在上有两个零点，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测 10 4.3-4.4 对数与对数函数 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据具体函数解析式有意义解不等式组可得. 【详解】由题意可得，解得，即定义域为. 故选：B 2．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数的定义域求得集合，由指数函数的值域求得集合，然后利用集合交集的定义得到. 【详解】∵，∴，∴， ∵，∴， ∴. 故选：D. 3．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性及指数运算，再借助“媒介数”判断作答. 【详解】，，，而，即， 所以. 故选：D 4．已知的反函数图像的对称中心为，则的值为 A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】试题分析：本题是根据反函数的性质来解答的，已知原函数和它的反函数图像关于直线对称， 可知，的对称中心为， 又因为， 所以的对称中心也为， 所以，解得，选择B. 考点：1.原函数和反函数的关系；（2）分离常数法；（3）对称中心. 5．下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】， ， ， ， 故③④正确，①②错误， 其中正确的个数为2. 6．在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知，，设，则M所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质，结合题中所给的数据进行判断即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 7.若，，满足，且，则有序实数组可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令且，应用指数、对数关系及换底公式、对数运算性质有，即可得. 【详解】令且，则， 所以，则， 结合各选项知、、不符合，符合. 故选：C 8．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则在上单调递增 B．若，则的值域为 C．若，则在上单调递减 D．若，则的值域为 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，可判断A选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；利用对数函数的基本性质求出函数的值域，可判断BD选项. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为，A错； 当时，， 因为，则，所以，则， 故当时，的值域为，B错； 当时，内层函数在上为减函数，外层函数为减函数， 由复合函数法可知，若，则在上单调递增，C错； 若，因为，则，即函数的值域为，D对. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列选项正确的有（   ） A．若，则 B．若函数满足，当时，，则 C．若函数在上是单调函数，则实数的取值范围是 D．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据对数函数的性质求出，即可判断A；根据对数的运算性质及函数关系计算即可判断B； 根据二次函数的性质判断C，函数在各段单调递增且在断点左侧函数值不大于右侧函数值，即可判断D. 【详解】对于A：因为，所以，则， 所以，故A正确； 对于B：因为， 当时，，， 所以，故B正确； 对于C：若函数在上是单调函数， 则或，解得或，即实数的取值范围是，故C错误； 对于D：因为函数是上的增函数， 所以，解得，即实数的取值范围是，故D正确. 故选：ABD 10．下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据对数的运算法则及换底公式一一计算可得. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为，所以，故B不正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，则，，故D正确. 故选：ACD. 11．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．若值域为，则 B．若定义域为，则 C．若最大值为0，则 D．若最小值为1，则 【答案】AC 【分析】结合对数函数的单调性和二次函数的性质逐项分析判断； 【详解】选项A：值域为，说明函数能取到所有大于0的数， 当时，不满足； 当时，，解得：，选项正确； 选项B：当定义域为时，函数恒成立， 当时，恒成立； 当时，，解得：， 综上，，选项错误； 选项C：若最大值为0，即的最小值为， 故有，解得：，选项正确； 选项D：若最小值为1，即的最大值为， 则有，无解，选项错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，则______（用数值表示），______.（用表示） 【答案】 9 【解析】利用对数的运算性质和换底公式求解． 【详解】， ， ， 故答案为：9，． 13.光线每透过一块玻璃板，其强度要减弱，要使光线减弱到原来的以下，至少要这样的玻璃板________块． 【答案】11 【分析】由题意得，再取对数，利用计算器算出答案. 【详解】设至少需要x块玻璃板，所以． 即至少要这样的玻璃板11块. 故答案为：11 14．已知函数的值域为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用基本不等式求出函数的值域，根据题意可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】对任意的，，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为函数的值域为，则， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）证明对数换底公式：（其中且，且，）． （2）已知，试用表示． （3）化简： 【答案】（1）证明:设，即． 两边取以为底的对数，得． 因为，，， 因此上式两边可除以，得． 所以，． （2）； （3） 【分析】（1）将对数式转化为指数式，利用对数的运算性质即可证明. （2）根据换底公式以及对数运算法则化简即得. （3）根据对数运算性质和法则化简计算即得. 【详解】（1）略； （2）因为，因此． （3） ． 16．由于某种寄生菌的大面积繁殖，某个池塘遭到了严重污染．塘主购买了杀菌剂，由于顾及池塘内鱼类的生存，杀菌剂一次只能投放一定的剂量．已知每投放1次杀菌剂能使池塘内的寄生菌减少． (1)投放3次杀菌剂可以使池塘内的寄生菌减少到最初的百分之多少？ (2)要使池塘内剩余的寄生菌少于最初的，则至少要投放多少次？ 参考数据：． 【答案】(1) (2)5次． 【分析】（1）应用已知结合指数幂求解； （2）应用已知列出指数式，再应用指对数运算得出，最后应用换底公式计算求解. 【详解】（1）投放3次杀菌剂可以使池塘内的寄生菌减少到最初的． （2）设投放次，可使池塘内剩余的寄生菌少于最初的， 则，即．     ， ∴要使池塘内剩余的寄生菌少于最初的，至少要投放5次． 17．已知函数为偶函数. (1)求a的值； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据偶函数的定义,由，求得; (2) 首先写出解析式,然后利用对数函数的单调性,结合定义域,得不等式组,求解即可. 【详解】（1）,的定义域为 为偶函数,的定义域一定关于原点对称，即 此时,,满足,. 故. （2）由（1）知,则, 故可转化为解得或, 故实数m的取值范围为 18．已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值； (2)判断的单调性并加以证明； (3)当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)在区间和单调递增，证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据奇函数的定义，结合对数的运算性质求解即可； （2）根据对数的单调性、单调性的定义进行求解即可； （3）根据奇函数的性质，结合换元法、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为是奇函数， 所以，即，则， 故，则，由于x不恒为常数，则，即， 当时，，不满足题意； 当时，由，得或， 所以的定义域为，关于原点对称， 又，所以满足题意， 综上，． （2）在区间和单调递增，证明如下： 的定义域为， 当时，因为， 令，则，取， 则，即， 因为在其定义域上单调递增，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. 因为是奇函数，所以在上也是单调递增， 因此在区间和单调递增； （3）因为为奇函数， 所以由，得， 因为在其定义域上单调递增， 所以在上恒成立，则恒成立， 令，则，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以． 19．已知函数且经过定点A，函数且的图象经过点. (1)求函数的反函数； (2)求函数的定义域与值域； (3)若函数在上有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)定义域为，值域为 (3) 【分析】（1）根据指数函数性质可得点，即可得，进而可得； （2）根据题意可得，求函数定义域，结合指数、对数函数的单调性求值域即可； （3）整理可得，设，原题意等价于函数在上有两个零点，结合二次函数零点分布运算求解. 【详解】（1）令，解得，可得， 所以函数过点， 将点的坐标代入函数，可得，解得， 即，所以. （2）因为函数， 令，解得， 可得函数的定义域为， 因为，则，，可得， 所以函数的值域为. （3）由（1）可知：函数， 设，可得，且为关于的单调递增函数， 原题意等价于函数在上有两个零点， ①当时，由，可得， 可知函数只有一个零点，所以不合题意； ②当时，由，解得； ③当时，由，此时不等式组的解集为空集； 综上所述：实数的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $