4.1 指数（四大重点题型）专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦指数核心概念与运算，以题型递进构建从根式化简到综合应用的知识逻辑链，培养数学抽象与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根式化简求值|10题|考查根式定义、性质及化简，含多选型辨析|从根式基本概念出发，建立数与式的抽象表达| |分数指数幂与根式化简|10题|聚焦根式与分数指数幂互化及正误判断|衔接根式与指数幂，构建概念间转化关系| |指数幂化简、求值|10题|通过已知条件求指数幂代数式值，含多选型运算|深化指数幂运算规则，培养推理与运算能力| |指数运算的综合应用|4题|结合化简与求值的综合解答题|整合前序知识，提升综合应用与问题解决能力|

专题4.1 指数 目录●重难点题型分布 重难点题型1 根式化简求值 1．化简（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D．（） 3．（25-26高一上·江西·阶段检测）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·陕西渭南·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（多选题）下列说法不正确的是（ ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C． D．1的立方根是 6．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）（多选题）下列说法正确的是（   ） A．的运算结果是 B．16的4次方根是2 C．当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义 D．当n为大于1的奇数时，对任意都有意义 7．（24-25高一上·广东·期中）（多选题）下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）已知，，给出下列4个式子，其中有意义的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·广西玉林·期中）求____________________． 10．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）化简：______． 重难点题型2 分数指数幂与根式化简 1．（25-26高一上·甘肃·期末）已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东济宁·期中）（   ） A．a B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知a，b为正实数，则可化简为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东佛山·期中）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江西赣州·期中）（多选题）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·广东汕尾·期末）（多选题）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 8．（多选题）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·天津·阶段检测）计算:   (式中字母均为正数)=_____________. 10．（25-26高一上·上海·期中）用分数指数幂表示：_____. 重难点题型3 指数幂化简、求值 1．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 3．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）已知，，则的值是（    ） A．3 B．8 C．11 D．14 4．（25-26高一上·广东·阶段检测）已知，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 5．（多选题）下列运算（化简）中正确的有（ ）． A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）（多选题）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（2026高一·全国·专题练习）已知，，则的值为______． 8．已知，则的值为______． 9．（25-26高一上·广西·期中）已知，则___________． 10．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知，则___________． 重难点题型4 指数运算的综合应用 1．（2026高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 2．（24-25高一上·北京·期中）计算: (1) (2)已知，求的值. 3．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）（1）计算: （2）计算: . 4．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1)； (2). 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 指数 目录●重难点题型分布 重难点题型1 根式化简求值 1．化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据根式运算求得正确答案. 【详解】因为有意义，所以，所以， 所以． 2．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D．（） 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】根式的化简求值、分数指数幂与根式的互化 【分析】利用分数指数幂与根式的关系可判断A；零的负分数指数幂没有意义，可判断B；根据根式的性质可判断C；D显然成立. 【详解】，故A错误； 零的负分数指数幂没有意义，故B错误； ，故C错误； ，故D 正确. 3．（25-26高一上·江西·阶段检测）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化 【分析】利用根式的运算性质计算可判断A；利用同底数的幂的运算计算可判断B；利用负分数指数幂的运算法则计算可判断C；利用根式与分数指数幂的互化计算可判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 4．（25-26高一上·陕西渭南·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算 【分析】根据根式与分数指数幂的关系及幂的运算法则计算可得. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D错误； 故选：B. 5．（多选题）下列说法不正确的是（ ） A．的平方根是 B．负数没有立方根 C． D．1的立方根是 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值 【分析】利用根式的性质化简判断即可. 【详解】A选项：因为＝9，所以9的平方根是，即的平方根是，故选项A不正确，符合题意; B选项：由立方根的性质可知负数的立方根是负数，故选项B不正确，符合题意； C选项：由题可得，故选项C正确，不符合题意； D选项：由立方根的性质可知1的立方根是1，故选项D不正确，符合题意． 故选：ABD． 6．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）（多选题）下列说法正确的是（   ） A．的运算结果是 B．16的4次方根是2 C．当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义 D．当n为大于1的奇数时，对任意都有意义 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值 【详解】对于A，偶次根式的结果只能是正数，故A错误；对于B，正数的偶次方根的结果有正有负，故B错误；对于C，D，根据指数幂的运算法则可知C，D正确． 7．（24-25高一上·广东·期中）（多选题）下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算 【分析】根据根式与指数幂的运算，可得答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 8．（多选题）已知，，给出下列4个式子，其中有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据根式的意义逐项分析判断即可. 【详解】对于选项AC：因为，，可知无意义，有意义； 对于选项BD：开3次方时，被开方数无限制，即 、均有意义； 故选：BCD. 9．（25-26高一上·广西玉林·期中）求____________________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算 【详解】由题意得． 10．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）化简：______． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算 【详解】设，则， ， ， ． 重难点题型2 分数指数幂与根式化简 1．（25-26高一上·甘肃·期末）已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】根据分数指数幂和根式的关系逐层转化即可. 【详解】. 故选：A 2．（25-26高一上·山东济宁·期中）（   ） A．a B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化 【分析】根式化为分数指数幂，再进行运算即可. 【详解】， 故选：D 3．（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知a，b为正实数，则可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化 【分析】根据指数幂的运算法则化简即可. 【详解】因为a，b为正实数， 所以. 故选：B. 4．（24-25高一上·广东佛山·期中）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】利用分数指数幂的运算法则求解. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 5．（25-26高一上·江西赣州·期中）（多选题）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】根据指数幂的运算法则及性质计算可得. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，，所以，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：AD 6．（24-25高一上·广东汕尾·期末）（多选题）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】根据指数运算的公式直接计算即可. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：CD 7．（多选题）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】BC 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】根据指数幂和根式的概念相互转化. 【详解】对于A，（），故A错误； 对于B，（），故B正确； 对于C，（），故C正确； 对于D，，而无意义，故D错误. 故选：BC 8．（多选题）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】A选项：负号的位置放错；B选项在的情况下，指数可以约分；CD选项利用根式与指数幂互化的公式即可求解； 【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误． 故选：BC 9．（25-26高一上·天津·阶段检测）计算:   (式中字母均为正数)=_____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化 【分析】将根式化为分数指数幂，然后由指数幂的运算性质可得. 【详解】 . 故答案为： 10．（25-26高一上·上海·期中）用分数指数幂表示：_____. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】根据分数指数幂运算法则求解即可． 【详解】原式． 故答案为：． 重难点题型3 指数幂化简、求值 1．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 【答案】D 【难度】0.92 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【详解】 3．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）已知，，则的值是（    ） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据题意结合指数幂运算可得，，即可得结果. 【详解】因为，得，即， 又因为，，则，所以. 故选：C. 4．（25-26高一上·广东·阶段检测）已知，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据得，再平方得，再结合立方和公式即可得出答案. 【详解】因为，所以，整理得，所以，整理得，所以. 故选：B. 5．（多选题）下列运算（化简）中正确的有（ ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据分数指数幂的运算法则，对四个选项分别计算、求值，从而得解． 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C： ，故C错误； 对于D： ，故D正确； 故选：ABD. 6．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）（多选题）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据题目条件，结合完全平方公式、立方和公式逐项判断可得答案. 【详解】A.，故A正确； B.，故B错误； C.由可知，故， 因为，所以，故C正确； D.因为， 又，所以原式，故D正确． 故选：ACD. 7．（2026高一·全国·专题练习）已知，，则的值为______． 【答案】 【难度】0.72 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值 【分析】利用完全平方公式与指数的运算法则化简求解. 【详解】因为， 所以， 故. 8．已知，则的值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据之间的关系，结合因式分解运算求解. 【详解】因为，则，可得， 则，可得， 又注意到， 所以. 9．（25-26高一上·广西·期中）已知，则___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】应用指数幂的运算性质得，即得. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为： 10．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知，则___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】根据立方和公式，即可化简代入求解. 【详解】已知，则， 所以. 故答案为： 重难点题型4 指数运算的综合应用 1．（2026高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.72 【知识点】指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化 【分析】（1）全部根式转化为分数指数，把根式运算转化为有理数指数的代数运算. （2）求代数式整体的值，用整体的值代入分式求值即可. 【详解】（1） （2）由，可得， 等式两边同时平方可得：，即， 等式两边同时平方可得：，即， 所以. 2．（24-25高一上·北京·期中）计算: (1) (2)已知，求的值. 【答案】(1); (2). 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）应用指数幂的运算性质化简求值； （2）由题设求得，代入目标式化简求值. 【详解】（1）由 ； （2）由，则. 3．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）（1）计算: （2）计算: . 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】根式的化简求值、分数指数幂与根式的互化 【分析】（1）根据次根式的性质化简即可； （2）根据分数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】(1)由得： 故原式 (2) 原式== 4．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则和运算性质，准确计算，即可求解. 【详解】（1）由指数幂的运算公式，可得： . （2）由指数幂的运算公式，可得： . 1 学科网（北京）股份有限公司 $