4.5.1函数的零点与方程的解第三课时课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数零点与方程的解，通过旧知回顾零点存在定理“至少一个”的结论，引出判断方程lnx + 2x - 6 = 0解的个数问题，搭建从存在性到唯一性的学习支架，衔接新旧知识。 其亮点在于以“定义域—存在性—唯一性—结论”为主线，结合数学思维中的推理能力，先证存在（零点存在定理）再证唯一（单调性分析），并通过函数零点、图象交点、方程解三种语言统一结论。采用分步论证教学法，帮助学生养成逻辑推理习惯，也为教师提供清晰的教学思路。

第四章 · 指数函数与对数函数 4.5.1 函数的零点与方程的解 第三课时｜例1：从“存在”走向“唯一” 人教 A 版 · 必修第一册 · 教材第 143—144 页 本课完成教材例1，不进入练习和二分法。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第143—144页例1（本地PDF第150—151页）。 [/Sources] 旧知回顾 零点存在定理只保证“至少一个” 02 函数在闭区间上连续不断。 区间两个端点的函数值异号。 满足两项条件，可知开区间内至少有一个零点。 零点存在定理只保证“至少一个” [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第143—144页例1（本地PDF第150—151页）。 [/Sources] 提出问题 例1要判断的不是位置，而是解的个数 03 方程：ln x+2x-6=0。 把左边看成函数 f(x)=ln x+2x-6。 方程实数解的个数，就是函数零点的个数。 例1要判断的不是位置，而是解的个数 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第143—144页例1（本地PDF第150—151页）。 [/Sources] 确定范围 先看定义域，零点只能在正半轴 04 ln x有意义，必须满足x＞0。 所以函数定义域是(0，+∞)。 后面的连续性和单调性都在这个范围内讨论。 先看定义域，零点只能在正半轴 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第143—144页例1（本地PDF第150—151页）。 [/Sources] 计算取值 两个相邻整数给出一负一正 05 f(2)=ln 2-2≈-1.3069＜0。 f(3)=ln 3≈1.0986＞0。 因此f(2)f(3)＜0。 两个相邻整数给出一负一正 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第143—144页例1（本地PDF第150—151页）。 [/Sources] 判断存在 零点存在定理把零点锁在(2，3) 06 函数f在[2，3]上的图象连续不断。 又有f(2)f(3)＜0。 所以f在(2，3)内至少有一个零点。 零点存在定理把零点锁在(2，3) [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第143—144页例1（本地PDF第150—151页）。 [/Sources] 关键追问 “至少一个”还不能回答例1 07 定理只说明零点存在。 它没有排除区间外还有零点。 也没有排除区间内出现多个零点。 “至少一个”还不能回答例1 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第143—144页例1（本地PDF第150—151页）。 [/Sources] 策略形成 要证明只有一个，还要控制函数的变化方向 08 若函数始终递增，图象只会从低处走向高处。 穿过x轴之后，不会再次回到x轴。 因此接下来证明f在定义域上是增函数。 要证明只有一个，还要控制函数的变化方向 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第143—144页例1（本地PDF第150—151页）。 [/Sources] 单调性分析 ln x在正数范围内严格递增 09 当0＜x₁＜x₂时，ln x₁＜ln x₂。 对数项随x增大而增大。 这一结论适用于函数的整个定义域。 ln x在正数范围内严格递增 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第143—144页例1（本地PDF第150—151页）。 [/Sources] 单调性分析 一次函数2x-6也严格递增 10 当x₁＜x₂时，2x₁-6＜2x₂-6。 一次项同样随x增大而增大。 两个递增的变化方向一致。 一次函数2x-6也严格递增 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第143—144页例1（本地PDF第150—151页）。 [/Sources] 证明递增 两项分别变大，它们的和也变大 11 任取0＜x₁＜x₂。 ln x₁＜ln x₂，且2x₁-6＜2x₂-6。 相加得f(x₁)＜f(x₂)，所以f严格递增。 两项分别变大，它们的和也变大 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第143—144页例1（本地PDF第150—151页）。 [/Sources] 判断唯一 严格递增保证零点至多有一个 12 假设有两个零点x₁＜x₂。 严格递增应有f(x₁)＜f(x₂)。 但两个函数值都等于0，产生矛盾。 严格递增保证零点至多有一个 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第143—144页例1（本地PDF第150—151页）。 [/Sources] 完成解答 “至少一个”与“至多一个”合起来 13 零点存在定理：f至少有一个零点。 严格递增：f至多有一个零点。 因此f恰有一个零点，原方程恰有一个实数解。 “至少一个”与“至多一个”合起来 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第143—144页例1（本地PDF第150—151页）。 [/Sources] 结果解释 把三种语言连回同一个结论 14 函数f有且只有一个零点。 图象与x轴有且只有一个公共点。 方程ln x+2x-6=0有且只有一个实数解。 把三种语言连回同一个结论 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第143—144页例1（本地PDF第150—151页）。 [/Sources] 课堂小结 判断零点个数，要把存在性和唯一性分开 15 先用连续性与端点异号证明零点存在。 再用单调性证明零点不可能重复出现。 存在一个且至多一个，才能得到恰有一个。 判断零点个数，要把存在性和唯一性分开 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第143—144页例1（本地PDF第150—151页）。 [/Sources] 课后作业 课后整理：完整写出例1的论证链 16 必做：按“定义域—存在性—唯一性—结论”整理例1。 自查：为什么只由f(2)f(3)＜0不能说只有一个零点？ 预习：怎样进一步求出这个零点的近似值？ 本页不设置动画；只预告下一节问题，不讲二分法。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第143—144页例1（本地PDF第150—151页）。 [/Sources] $