4.5.1　函数的零点与方程的解课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的零点与方程的解，系统讲解零点定义、与方程解及图象交点的关系，零点存在定理，以及零点求法、个数判断和综合应用。课堂从学习目标导入，通过定义和定理构建知识支架，衔接函数单调性等前置知识，引导学生逐步深入。 其亮点在于融合直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养，通过典例一题多解（如零点个数判断结合图象与单调性）、即学即练和明辨是非互动环节。采用问题驱动教学，“解题有招”系统总结方法，帮助学生提升思维能力，也为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

4.5　函数的应用(二) 4.5.1　函数的零点与方程的解 【学习目标】 1.了解函数的零点、方程的解与图象与x轴交点的关系.(直观想象、逻辑推理) 2.能根据零点存在定理判断函数零点大致所在区间.(逻辑推理、数学运算) 3.会借助函数图象与单调性判断零点的个数.(直观想象、数学运算) 一、函数的零点 1.定义:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的_____. 2.函数的零点、方程的解、函数的图象之间的关系 函数y=f(x)有_____⇔方程f(x)=0有_______⇔函数y=f(x)的图象与x轴有 _______. 零点 零点 实数解 公共点 二、函数零点存在定理 1.前提:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有 _________; 2.结论:函数y=f(x)在区间_____内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得 ______,这个c也就是方程f(x)=0的解. f(a)f(b)<0 (a,b) f(c)=0 [思考] 1.为什么由f(a)·f(b)<0不能说明y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点?举例说明. 提示: 2.如何理解f(a)·f(b)<0是方程f(x)=0在区间(a,b)内有解的充分不必要条件? 提示:在区间(a,b)内,方程f(x)=0至少有一个解, 只说明了方程f(x)=0解的存在, 并不能判断具体有多少个解. 当f(a)·f(b)>0时,方程f(x)=0也可能有解,如图所示.  所以f(a)·f(b)<0是方程f(x)=0在区间(a,b)内有解的充分不必要条件. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若f(a)·f(b)>0,则f(x)在[a,b]内无零点.( ) 提示:如f(x)=x2在[-1,1]上有f(-1)f(1)=1>0,但是存在零点0. (2)函数f(x)=x2+x+1有零点.( ) 提示:因为方程x2+x+1=0的Δ=1-4=-3<0,方程无根,所以函数没有零点,故错误. × × (3)若f(x)在[a,b]上为单调函数,且f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)内有且只有一个零 点.( ) 提示:由f(a)f(b)<0可知在(a,b)内有零点,又因为函数f(x)在[a,b]上为单调函数, 所以只有一个零点. (4)若函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)f(b)>0,则在区间(a,b)上一定没有零 点.( ) 提示:如f(x)=x2在区间[-1,1]上有f(-1)f(1)=1×1=1>0,但是在区间[-1,1]上有零 点0,故错误. √ × 类型1 求函数的零点(数学运算) 【典例1】(1)函数f(x)=lg(x2-2)-lg x的零点为　　　.  【解析】,解得x>,由lg(x2-2)-lg x=0得lg(x2-2)=lg x, 则x2-2=x,即x2-x-2=0,解得x=2或x=-1(舍去).故函数f(x)的零点为2. 答案:2 (2)函数f(x)=的零点是　　　　.  【解析】由已知可得,当x≥0时,f(x)≥3; 当x<0时,由f(x)=x+7=0,得x=-7,故f(x)的零点是-7. 答案:-7 【解题有招】 函数零点的求法 (1)转化为求方程f(x)=0的解,对于分段函数的零点要注意自变量的取值范围; (2)转化为求函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标. 【即学即练】 1.函数f(x)=(lg x)2-lg x的零点为　　　　　.  【解析】由(lg x)2-lg x=0,得lg x(lg x-1)=0,所以lg x=0或lg x=1, 所以x=1或x=10. 答案:1和10 2.已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3,则函数g(x)=bx2+ax的零点为　　　.  【解析】由已知得f(3)=0,即3a-b=0,则b=3a,故g(x)=3ax2+ax=ax(3x+1). 令g(x)=0,即ax(3x+1)=0,解得x=0或x=-. 所以函数g(x)=bx2+ax的零点为0和-. 答案:0和- 类型2 零点个数的判断(直观想象、数学运算) 【典例2】(一题多解)求函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数. 【解析】方法一:因为f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+lg 2-2>0, 所以f(x)在(0,1)上必定存在零点. 又显然f(x)=2x+lg(x+1)-2在(-1,+∞)上为增函数, 故函数f(x)有且只有一个零点. 方法二:在同一坐标系下作出h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的草图.如图, 由图象知g(x)=lg(x+1)的图象和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点, 即f(x)=2x+lg (x+1)-2有且只有一个零点. 【解题有招】 判断函数零点个数的常用方法 (1)利用方程根,转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点; (2)画出函数y=f(x)的图象,判断函数图象与x轴的交点个数,从而判定零点的个数; (3)结合单调性,利用函数零点存在定理,可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个数; (4)转化成两个函数图象的交点问题. 【即学即练】 1.函数f(x)=2x-2的零点个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选A.函数f(x)=2x-2在R上单调递增,且f(1)=2-2=0, 所以函数f(x)=2x-2只有一个零点. √ 2.函数f(x)=的零点个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选C.当x≤0时,令f(x)=x2+4x+3=0,解得x=-1或x=-3; 当x>0时,令f(x)=log2(x+1)-3=0,解得x=7; 综上:函数f(x)共有3个零点. √ 类型3 零点的综合应用(逻辑推理) 角度1　判断零点所在区间 【典例3】(1)若m为函数f(x)=log2x+x-2的零点,则m所在区间为(　　) A.(,1) B.(1,2) C.(2,) D.(,3) 【解析】选B.由于y=log2x,y=x-2在(0,+∞)上均单调递增,故f(x)=log2x+x-2 在(0,+∞)上单调递增,又f()=log2+-2=-<0,f(1)=log21+1-2=-1<0, f(2)=log22=1>0,故f(x)=log2x+x-2在(1,2)上有唯一零点,即m∈(1,2). √ (2)(2025·天津高考)已知函数f(x)=0.3x-,则该函数的零点落在以下哪个区间内(　　) A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) C.(0.5,1) D.(1,2) 【解析】选B.由题意可知,f(x)在定义域[0,+∞)上单调递减, 由于f(0.3)=0.30.3-0.30.5>0, f(0.5)=0.30.5-0.50.5<0,由零点存在定理得,零点所在区间为(0.3,0.5). √ 【即学即练】 方程2x-2+2x=0的根所在的区间是(　　) A.(-1,0)　 B.(0,1) C.(1,2)　 D.(2,3) 【分析】设f(x)=2x-2+2x,根据零点存在定理,判断区间两个端点函数值异号,即可求出结果. 【解析】选B.设f(x)=2x-2+2x,f(0)=-1,f(1)=2,所以函数的零点在(0,1)上, 即方程2x-2+2x=0的根在区间(0,1)上. √ 角度2　求参数的取值范围 【典例4】(2025·南京高一检测)已知函数f(x)=,若函数g(x)=f(x)-有三个零点,则实数m的取值范围为　　　　　　　.  【解析】若函数g(x)=f(x)-有三个零点,则y=f(x)与y=的图象有3个交点, f(x)=,当x≤0时,y=ln |x-1|≥0, 当x>0时,y=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1, f(x)的大致图象如图, 要使y=f(x)与y=的图象有3个交点,则1<<2, 解得<m<2或-2<m<-. 答案:(-2,-)∪(,2) 【解题有招】 利用零点存在定理求参数的取值范围 (1)直接法:适用于已知二次函数有几个零点求参数的取值范围,可以转化为含参一元二次方程有几个解,通过研究一元二次方程根的分布得到参数的取值范围. (2)间接法:通常针对较为复杂的函数,可以拆分为两个简单函数的差,从而转化为两个简单函数有几个交点,结合图象得到满足条件的参数的取值范围. 【即学即练】 (2026·上海高一检测)已知函数f(x)=,若方程xf(x)-ax=0有且仅有3个根,则实数a的取值范围为　　　　　.  【解析】方程xf(x)-ax=0即x[f(x)-a]=0,显然x=0为方程xf(x)-ax=0的一个根, 由题意方程f(x)-a=0有2个非零根,则函数y=f(x)与y=a有两个交点, 画出函数f(x)的图象,如图所示: 由图可知0<a≤1,故实数a的取值范围为(0,1]. 答案:(0,1] $