专题2.3 有理数的乘除运算15大题型（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦有理数乘除运算核心知识点，系统梳理乘法法则（两数及多个数相乘符号规律）、乘法运算律、倒数概念及求法、除法法则（转化为乘法）、乘除混合运算顺序，构建从基础运算到综合应用的学习支架。 资料通过15类题型（含实际应用、规律探究等）培养运算能力与推理意识，“即学即练”及时巩固，实际问题情境（如低碳出行）发展模型意识，错题分析提升批判性思维，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺。

专题2.3 有理数的乘除运算 教学目标 1. 理解有理数乘除法的意义，熟记有理数乘除法符号法则及运算公式。 2. 掌握有理数乘法、除法运算法则，能正确判断运算结果的正负符号。 3. 熟练进行有理数乘除单独运算及混合运算，规范书写解题步骤。 4. 掌握倒数的概念，会求各类有理数的倒数，理解乘除互逆关系。 5. 运用乘除法解决简单实际问题，培养严谨的数学运算思维能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握有理数乘除法运算法则，准确判定结果符号并完成基础运算。 （2）理解倒数的定义，熟练求有理数倒数，掌握除法化乘法的运算技巧。 （3）规范有理数乘除混合运算顺序，准确完成分步计算与化简。 2.难点 （1）灵活掌握多个有理数相乘的符号规律，准确判断积的正负性。 （2）熟练将除法转化为乘法运算，规避符号出错、倒数误用问题。 （3）结合运算律简化混合运算，规避运算顺序混乱、计算失误问题。 知识点01 有理数的乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 【即学即练】 1．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 2．计算： (1)； (2)． 知识点02 有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 【即学即练】 3．运用合适的方法简便计算 (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2)． 知识点03 倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 【即学即练】 5．的倒数是___________． 6．已知与互为相反数． (1)求a、b的值； (2)求的倒数． 知识点04 有理数的除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 【即学即练】 7．计算： (1)； (2)； (3)． 8．计算． (1)； (2)； (3)． 知识点05 有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 【即学即练】 9．计算： ． 10．老师在黑板上写了一道计算题： 计算： 下面是小丽的解答过程： 解：原式（第一步） （第二步） ．（第三步） (1)小丽的解答过程从第_______步开始是错误的． (2)请你写出这道题正确的解答过程． 题型01 两个有理数的乘法运算 1．计算的结果等于（     ） A．4 B． C．1 D． 2．计算： ______． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型02 多个有理数的乘法运算 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．计算： (1)； (2)． 题型03 有理数乘法的实际应用 9．某公司天内货品进出仓库的吨数如下：（“”表示进库，“”表示出库） ，，，，． (1)经过这天，仓库里的货品是______（填“增多了”还是“减少了”）． (2)经过这天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品吨，那么天前仓库里存有货品多少吨? (3)如果进出货的装卸费都是每吨元，那么这天一共要付多少元装卸费? 10．2020年爆发的“新冠肺炎”疫情，人们对口罩的需求大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求，计划每天生产口罩5000个，由于各种原因实际每天生产量与原计划每天生产量相比有出入，下表是10月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个？ (2)与原计划产量比较，这周产量超产或减产多少个？ (3)若口罩加工厂实行计件工资，每生产一个口罩0.2元，则本周口罩加工厂需支付工人的工资总额为多少元？ 11．2023年9月23日至10月8日，杭州成功举办第19届亚运会．在前期准备中，各个部门不断调试，某检修小组驾车从地出发，在东西方向的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，． (1)检修小组最终停在距地多远的地方？ (2)若汽车每千米耗油升，当天从出发到收工回到地共耗油多少升？若油价为元/升，该检修小组这一天的油费是多少？ 12．学校在科技节中举办了一场“无人机编程挑战赛”．参赛选手需要编写程序控制无人机在一条东西方向的直线上完成飞行任务．无人机从起点O（主席台中心位置）出发，规定向东飞行记为正方向．其飞行程序设置为：先向东飞行6个单位到达A点（第一检查点），然后向西飞行9个单位到达B点，接着再向东飞行5个单位到达C点（最终目标点）． (1)以起点O为原点，向东为正方向，写出A，B两点所表示的数． (2)无人机最终位置C位于起点O的哪个方向？距离起点多少个单位长度？ (3)已知该型号无人机每飞行1个单位长度，平均消耗的电量．若忽略悬停、转向等其他能耗，仅考虑飞行耗电，完成上述全程飞行后，无人机总共消耗了多少百分比电量？ 题型04 倒数 13．2026的倒数是（    ） A． B．2026 C． D． 14．已知、互为相反数，、互为倒数，，则的值为________． 15．若a，b互为倒数，则的值为__________． 16．已知与互为相反数，与互为倒数，，是最大的负整数．求的值． 题型05 有理数乘法运算律 17．计算： (1)； (2)． 18．用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．用简便方法计算： (1)． (2) 20．用简便方法计算： (1)； (2)． (3) 题型06 有理数的除法运算 21．计算： (1)； (2)． 22．在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法：“除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．”请根据所学知识完成下列问题． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______； (2)计算：； (3)根据以上信息可知：______． 23．已知、、是有理数，且，则的值是___________． 24．学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，注意到与互为倒数． （1）若，则的值为_____． （2）计算的值为_____． 题型07 有理数除法的应用 25．监管部门抽查10袋某种食品的质量，每袋这种食品的标准质量是100，超出标准质量的部分记为正，不足标准质量的部分记为负，统计结果记录如下： 每袋与标准质量的差值/g 0 袋数/袋 2 3 3 1 1 则这10袋食品的平均质量是________g/袋． 26．刘畅同学去参加数学竞赛，共有20道题，做对一道题得5分，做错一道题扣2分，结果刘畅同学考了72分，他做对了________道题． 27．哈尔滨红肠是全国驰名的哈尔滨特产．某品牌哈尔滨红肠计划在国庆节期间开展一系列优惠活动，其中，针对一款原价48元/盒的哈尔滨红肠推出了两种优惠方案（两种方案只能选择一种）．方案一：每盒按九折销售．方案二：每买5盒，送1盒． (1)李阿姨需要买4盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案一，李阿姨节约多少钱？ (2)王阿姨需要买8盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案二，相当于每盒单价多少元？ (3)刘阿姨有一张满888元减168元的优惠券，这张优惠券不可与上述方案同享．刘阿姨需要买20盒哈尔滨红肠，怎样买最划算？写出判断过程． 28．阅读材料 随着全社会生态环保意识不断提升，绿色、低碳、节能的生活方式已经成为城市发展的主流趋势．为持续推进节能减排工作，有效降低机动车尾气污染，减少城市温室气体排放量，各大城市全面推行绿色通勤政策，积极引导广大市民在日常上下班过程中，主动放弃传统燃油私家车，优先选择地铁、新能源代步车等低能耗、零排放的公共交通和绿色交通工具． 材料一：相关环境监测部门经过长期的数据跟踪与统计分析得出：传统燃油汽车在行驶过程中会产生大量二氧化碳，对空气质量和生态环境造成较大影响．经精准测算，燃油汽车每行驶1千米，将排放150克二氧化碳，长期高频次的私家车通勤出行，是城市碳排放居高不下的重要原因之一． 材料二：某市民日常需要自驾通勤上班，其居住地与工作单位之间的单程固定路程为18千米．为积极响应低碳号召，该市民计划更换绿色出行方式．城市地铁运行稳定、速度较快，全程平均行驶速度为36千米/时；新能源电动车灵活便捷、不受拥堵影响，全程平均行驶速度为24千米/时，两种出行方式均不会产生二氧化碳排放，属于纯绿色通勤方式．该市民所在单位全年常规上班月份，每月固定按照22个工作日执行，每日均需完成早晚往返一次通勤路程． 材料三：为进一步鼓励全民参与低碳出行、普及绿色通勤习惯，当地交通集团联合出行平台，面向市民推出绿色出行月卡优惠活动与低碳积分激励政策．其中地铁专属通勤月卡原价每张90元，新能源电动车通勤月卡原价每张120元．市民在日常通勤中产生的绿色出行次数可自动累积低碳积分，积分可直接抵扣现金费用，并且积分抵扣权益能够与官方打折优惠叠加使用，最大程度降低市民通勤成本． 请同学们根据上面相关材料回答下列问题： (1)分别求出该市民乘坐地铁、驾驶新能源电动车完成单程通勤各需要多少小时？ (2)若该市民整月工作日全部选择新能源电动车通勤，完全替代燃油汽车出行，请计算相比燃油通勤，全月一共减少多少千克二氧化碳排放？ (3)官方优惠规则如下： ①地铁月卡享受原价七五折优惠； ②新能源电动车月卡先在原价基础上降价，再打八折； ③绿色出行乘坐一次可获得低碳积分2分，每8个积分可抵扣1元现金； ④只能从地铁月卡与新能源电动车月卡中选择一种绿色出行月卡． 请分别计算两种月卡的最终实际花费，并通过计算说明办理哪一种出行月卡更加划算． 题型08 有理数乘除混合运算 29．计算：． 30．计算： (1) (2) (3) (4) 31．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 32．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型09 有理数乘除中的简便运算 33．用简便方法计算下列各题 (1) (2) 34．用运算律简便运算 (1) (2) 35．数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 36．选择合适的方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型10 有理数四则混合运算 37．计算． (1) (2) (3) (4) 38．计算下列各题： (1) (2) 39．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 40．计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型11 有理数四则混合运算的实际应用 41．介休103路内环公交车从起点站（火车站）开出，下面是它经过几个停靠站时上下车人数的记录表．（上车人数记为正） 车站名 火车站北 定阳饭店 政务中心 介休三中 介纺社区 北坛公园东 上车人数 ﹢6 0 下车人数 ﹣ 0 (1)从火车站北到北坛公园东站，途中无人上车的站是__________，无人下车的站是__________． (2)这辆公交车从介休三中站开出时，车上有（    ）名乘客，从北坛公园东站开出时，车上有（   ）名乘客． (3)介休103路所有乘客统一票价为1元，那么这趟公交车从北坛公园东站开出时，已经收入多少钱？ 42．国家邮政局关于信函邮资的收费标准如下： 业务种类 计费单位 资费标准/元 本埠资费 外埠资费 信函 首重内，每重 （不足按计算） 续重，每重 （不足按计算） (1)一封信重，寄往本地，需付邮资多少元？ (2)一封的信函，寄往外地，需付邮资多少元？ 43．下面是李老师今年8月份收入和支出的记录． 8月10日领取工资2400元；    8月13日交电话费88元； 8月15日交水电费120元；    8月24日买服装花467元； 8月26日收到稿费450元；    8月30日得加班费100元； 8月份伙食费支出合计800元 (1)领取工资2400元记作：元，请你将李老师的各项收支用正数和负数记录在下表中． 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支/元 (2)李老师8月份一共收入多少钱？ (3)李老师这个月的总支出占总收入的百分之几？ 44．张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 题型12 根据点在数轴的位置判断式子的正负 45．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 46．如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_______． 47．有理数a、b、c在数轴上的位置如图．化简_______． 48．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A，B，C． (1)填空：A，B之间的距离为_____，B，C之间的距离为_____； (2)化简：． 题型13 数轴上的翻折 49．如图，、两点在数轴上，表示的数为，表示的数为． (1)、两点间的距离是______． (2)若把点先向右移动个单位，再向左移动个单位，然后又向左移动个单位，此时点表示的数是______； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点和点之间的距离是，则点表示的数是______． 50．综合与探究 【概念呈现】 大家知道在数轴上的意义是表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离；式子在数轴上的意义是表示5的点与表示2的点之间的距离；式子在数轴上的意义是表示—1的点与表示—2的点之间的距离．若点在数轴上分别表示数，则两点之间的距离可表示为． 【初步探究】 （1）数轴上表示3和1的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ． （2）请计算表示的点和表示的点之间的距离与表示的点和表示的点之间的距离之和． 【类比学习】 （3）若点在数轴上表示数，则在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离；在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离． （4）的最小值为 ． 【拓展应用】 （5）若，则 ． （6）如图，将一条数轴沿点折叠，若表示的点的重合点与表示4的点之间的距离为1，则点表示的数为 ． 51．数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．翻折是初中数学重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题． [问题情境1] 经过翻折数轴上表示1的点与表示5的点重合． ①表示10的点与表示__________的点重合； ②若数轴上，两点之间的距离为18（点在点的左侧），，两点经折叠后重合，则点表示的数为__________，点表示的数为__________； [问题情境2] 一条数轴上有，，三点，其中点，表示的数分别是和8，现以为折点，将数轴向右对折．若对折后点对应的点为，且点与点之间的距离为3，求点表示的数． 52．综合与探究 数轴的概念最早由法国数学家勒内·笛卡尔在其对数学的研究中系统引入．在此之前，数学家们对“数”的理解多停留在抽象的运算层面，缺乏直观的几何表示．数轴的出现，将数与几何图形（直线上的点）紧密结合，开创了“数形结合”的数学思想方法． 如图所示数轴上，点，，分别表示的数字为，，． 【知识应用】 （1）若数轴上有一点，满足到，两点距离相等，则点表示的数是____________； 【初步分析】 （2）将数轴折叠后，点与点重合，点与点重合，则点表示的数是____________； 【深入探究】（3）①当对折点为点时，与点重合的点表示的数为____________； 此时，对折点左侧一个点表示的数为，则与它重合的点表示的数为____________；（用代数式表示） ②当对折点为之间任意一点，且它表示的数为时，左侧表示数的点与右侧表示数____________的点重合．（用代数式表示） 题型14 有理数四则混合运算中的规律计算 53．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)按以上规律，第④个等式为：_____； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 54．观察下列等式： 等式1：； 等式2：； 等式3：； …． (1)根据规律可得 ； (2)根据规律可得 ；（n为正整数） (3)根据规律计算：． 55．如图是“分数三角形”数表，记第i行从左往右数第j个数为（其中i、j均为正整数且），如，；请认真观察此数表的规律并完成下列作答． (1)第10行的第一个数为______，第10行的第二个数为______； (2)我发现了此数表有以下规律： ①第i行的第一个数与最后一个数均为______；（用字母i来表示） ②请仔细观察每行相邻两个数与它们头顶上的那个数的关系，并完成下面填空：=______；（其中i为正整数且） (3)请利用第（2）问②的规律计算：．（请给出运算过程） 56．春秋时期，孔子有一天对他的弟子们说道：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”这句话的意思是说：“教书先生举出一个墙角，学生就应该会独立思考，融会贯通，从而类推到其余三个墙角，然后用三个墙角反证老师先前提出的墙角，如果每个学生都这样学习和思考，教书先生就不用再费力气教学生了”． 【规律探索】用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形： 第（1）个图形中有2张正方形纸片： 第（2）个图形中有张正方形纸片： 第（3）个图形中有张正方形纸片； 第（4）个图形中有张正方形纸片： 请你观察图形与算式，完成下列问题： 【规律归纳】 （1）第（7）个图形中有______张正方形纸片（直接写出结果）； （2）根据上面的发现我们可以猜想：______（用含的代数式表示）： 【规律应用】根据你的发现计算： （3）①； ②． 题型15 有理数四则混合运算的新定义问题 57．我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 58．我们规定一种新定义：，其中符号“※”是我们规定的一种新定 义，如． (1)根据新定义计算：； (2)已知，求b的值． (3)若，求的值． 59．定义一种新运算，观察下列各式并完成问题，现定义一种新运算：，如．求 60．【概念学习】 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ； ； ； ； ； ． 小丽看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)归纳※（加乘）运算的运算法则： ①两数进行※（加乘）运算时，______． ②特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，______． (2)计算：______．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 1．（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）下列选项中，的倒数是（     ） A． B． C．2 D． 2．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算得，则是（     ） A．2 B． C． D． 3．（2022·山东泰安·模拟预测）计算：得（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）内蒙古奶茶，是鄂尔多斯牧民待客的常见饮料，煮一锅内蒙古奶茶，其中牛奶占整锅奶茶质量左右，砖茶汤占左右，如果整锅奶茶的总质量为千克，那么牛奶的质量可能是（     ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 5．（2026·湖南·中考真题）水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算：________． 7．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）大于而小于7的所有整数的积是________． 8．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于任意两个数、，规定，则________． 9．（2026·陕西安康·二模）《九章算术》中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其大意：“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”问题：现有4斗（1斗=10升）的粟，若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米_______升． 10．（2022·江西赣州·模拟预测）结绳计数又名结绳记事，起源于大约300万年前．如图所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满8个则在左边的绳子上打一个结，请计算该部落在这段时间内所擒获的猎物总数为_______． 11．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算：． 12．（26-27七年级上·四川成都·开学考试） 13．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 14．（25-26九年级下·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 15．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）科技改变世界，快递分拣机器人发展迅猛．据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物，自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入．下表是该仓库月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） 0 (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期几，最少的一天是星期几，最多的一天比最少的一天多分拣了多少万件包裹？ (2)该仓库本周实际总共分拣了多少万件包裹？ 16．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（     ）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏差/克 A．420.3克 B．423克 C．420克 D．417克 17．（26-27七年级·全国·暑假作业）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 18．（2022·天津河西·模拟预测）下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 19．（2022·湖南娄底·模拟预测）若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中： ①  ②  ③  ④  ⑤ 其中正确的说法有________（填序号）． 20．（2022七年级下·湖南长沙·竞赛）已知六个整数的积，、、、、、互不相等，则的值是__________． 21．（25-26七年级下·重庆·开学考试）公园个人票每张5元，团体票每张30元，供不超过10人入园，买10张以上的团体票，可优惠，某单位秋游，原来准备的钱刚好够145人的门票用，临时又加了两个人，幸好两人每人都带了相同多的钱，这样147人刚好都能购票入园，这两人共带了_______元． 22．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）计算：______． 23．（25-26七年级下·河南南阳·开学考试）若，，且，则_________ ． 24．（25-26七年级上·四川达州·期末）已知a、b、c为非零有理数，的值为________． 25．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 26．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）为切实做好校园周边的安保工作，一辆巡逻车从西安某菁英学校出发，在东西向的笔直的马路上巡视，中午到达A地，若规定以学校为原点，向东行驶为正，向西行驶为负，则巡逻车的行驶记录如下表：（单位：千米） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 行驶情况 (1)请你帮忙确定A地在学校的什么方向？距离学校多远？ (2)出发时李警官发现汽车油表显示余油27升，当第四次行驶结束时发现油表显示余油7.8升，请通过计算说明，巡逻车平均每千米耗油多少升？ 27．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______； (2)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米? (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱? 28．（2026·河北邯郸·二模）淇淇在计算时，产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 = = 思路二： 解：原式= = (1)在“思路一”的“□”填上合适的数，并完成计算； (2)在“思路二”的“〇”内填上运算符号（“+”、“-”、“×”、“÷”中的一个），使得运算过程正确，并完成计算． 29．（2026·河北沧州·模拟预测）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否被7整除． 方法：三位数割掉末位数字c得两位数，再用减去c的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 【类比解决】 (1)试用“割尾法”判断：735_____被7整除（填“能”或“不能”）； 【推理验证】 (2)已知三位数，现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证． 30．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）综合与实践 问题情境：下列A、B、C、D四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余均相同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）： (1)求卡片A与卡片B的差，卡片B与卡片D的商． (2)求四张卡片上数的绝对值的和． (3)聪明的小涵提出了这样一个问题： 已知卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d． ①求a，b，c，d的值； ②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果． 请你选择其中一种方法求式子的值． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 有理数的乘除运算 教学目标 1. 理解有理数乘除法的意义，熟记有理数乘除法符号法则及运算公式。 2. 掌握有理数乘法、除法运算法则，能正确判断运算结果的正负符号。 3. 熟练进行有理数乘除单独运算及混合运算，规范书写解题步骤。 4. 掌握倒数的概念，会求各类有理数的倒数，理解乘除互逆关系。 5. 运用乘除法解决简单实际问题，培养严谨的数学运算思维能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握有理数乘除法运算法则，准确判定结果符号并完成基础运算。 （2）理解倒数的定义，熟练求有理数倒数，掌握除法化乘法的运算技巧。 （3）规范有理数乘除混合运算顺序，准确完成分步计算与化简。 2.难点 （1）灵活掌握多个有理数相乘的符号规律，准确判断积的正负性。 （2）熟练将除法转化为乘法运算，规避符号出错、倒数误用问题。 （3）结合运算律简化混合运算，规避运算顺序混乱、计算失误问题。 知识点01 有理数的乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 【即学即练】 1．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【答案】(1) (2)0 (3)2 (4) (5)11 (6) 【分析】主要考查有理数的乘法，绝对值的定义，熟记有理数乘法法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则，异号相乘得负，计算即可求解； （2）根据有理数的乘法法则，任何数与0相乘都得0，计算即可求解； （3）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，计算即可求解； （4）根据有理数的乘法法则，异号相乘得负，计算即可求解； （5）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，计算即可求解； （6）先去绝对值，再根据有理数的乘法法则计算即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据“乘以任何数都等于” 计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 知识点02 有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4. 拓展： （1） 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； （2） 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 【即学即练】 3．运用合适的方法简便计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据乘法运算律简便计算即可； （2）根据乘法运算律简便计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法的运算法则和运算律是解题的关键； （1）先确定符号，再绝对值相乘； （2）根据乘法分配律解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点03 倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 【即学即练】 5．的倒数是___________． 【答案】 【详解】解：将化为分数，得， ∵互为倒数的两个数乘积为， ∴的倒数为． 6．已知与互为相反数． (1)求a、b的值； (2)求的倒数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查绝对值与平方数的非负性，解题的关键是利用“互为相反数的两个数和为0”，并结合非负性求解． （1）根据互为相反数的两数和为0，结合绝对值与平方数的非负性，列方程求解； （2）代入的值计算，再求其倒数． 【详解】（1）解：由题意可得：． 解得； （2）解：将代入，得： ， 5的倒数是， 的倒数是． 知识点04 有理数的除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1） 两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2） 有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 【即学即练】 7．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是本题的关键，注意能用简便方法的要用简便方法． （1）根据两数相除，同号得正，并把绝对值相除的法则直接计算即可； （2）根据两数相除，异号得负，并把绝对值相除的法则直接计算即可； （3）先把除法转化成乘法，再把提取出来，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 8．计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是本题的关键，除以一个数等于乘以这个数的倒数，一定掌握好运算顺序． （1）按照“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”的法则直接计算即可； （2）把除法转化成乘法，再进行约分即可； （3）先把小数转化成分数，再把除法转化成乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 知识点05 有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 【即学即练】 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，先计算中括号内的加法，再把除法变成乘法后计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 10．老师在黑板上写了一道计算题： 计算： 下面是小丽的解答过程： 解：原式（第一步） （第二步） ．（第三步） (1)小丽的解答过程从第_______步开始是错误的． (2)请你写出这道题正确的解答过程． 【答案】(1)二 (2)27 【分析】本题考查有理数的四则运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题目中的解答过程可以解答； （2）先算括号内的式子，然后将除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：小丽的解答过程从第二步开始是错误的，错误的原因是没有按照运算顺序计算， 故答案为：二； （2）解： ． 题型01 两个有理数的乘法运算 1．计算的结果等于（     ） A．4 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解：. 2．计算： ______． 【答案】1 【详解】解：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查两个有理数的乘法，根据“同号得正，异号得负”的法则求解即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘法法则． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可； （5）根据有理数的乘法法则计算即可； （6）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 题型02 多个有理数的乘法运算 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）根据乘法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2) (3)11 (4) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)5 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （4）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正”． （1）根据有理数乘法法则求解即可； （2）根据有理数乘法法则求解即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． ． 题型03 有理数乘法的实际应用 9．某公司天内货品进出仓库的吨数如下：（“”表示进库，“”表示出库） ，，，，． (1)经过这天，仓库里的货品是______（填“增多了”还是“减少了”）． (2)经过这天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品吨，那么天前仓库里存有货品多少吨? (3)如果进出货的装卸费都是每吨元，那么这天一共要付多少元装卸费? 【答案】(1)减少了； (2)天前仓库里存有货品吨； (3)这天一共要付元装卸费． 【分析】（）求出这天的进出货的总和，根据总和的结果，判断货品的增多或减少； （）根据现在的货品的吨数，逆推出天前的货品的吨数； （）计算进出货的绝对值的和，再乘以即可． 【详解】（1）解：（吨）， ∴经过这天，仓库里的货品是减少了； （2）解：由（）得， ∴（吨）， 答：天前仓库里存有货品吨； （3）解： （元）， 答：这天一共要付元装卸费． 10．2020年爆发的“新冠肺炎”疫情，人们对口罩的需求大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求，计划每天生产口罩5000个，由于各种原因实际每天生产量与原计划每天生产量相比有出入，下表是10月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个？ (2)与原计划产量比较，这周产量超产或减产多少个？ (3)若口罩加工厂实行计件工资，每生产一个口罩0.2元，则本周口罩加工厂需支付工人的工资总额为多少元？ 【答案】(1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产550个 (2)与原计划产量比较，这周超产300个 (3)本周口罩加工厂需支付工人的工资7060元 【分析】（1）根据正负数的意义确定星期五超产最多，星期三减产最多，然后用记录相减计算即可得解； （2）求出一周记录的和即可求出这周产量超产或减产多少个； （3）求出一周记录的和，然后根据工资总额的计算方法列式计算即可得解． 【详解】（1）解：（个） 产量最多的一天比产量最少的一天多生产550个； （2）解：（个）   与原计划产量比较，这周超产300个； （3）解：（元） 本周口罩加工厂需支付工人的工资7060元． 11．2023年9月23日至10月8日，杭州成功举办第19届亚运会．在前期准备中，各个部门不断调试，某检修小组驾车从地出发，在东西方向的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，． (1)检修小组最终停在距地多远的地方？ (2)若汽车每千米耗油升，当天从出发到收工回到地共耗油多少升？若油价为元/升，该检修小组这一天的油费是多少？ 【答案】(1)检修小组最终停在距地2千米的地方 (2)当天从出发到收工回到地共耗油升，该检修小组这一天的油费是元 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义，将各数相加并计算即可； （2）先将行驶记录的各数绝对值相加，再加上（1）中求得的回到地的路程求得总路程，然后将其与相乘并计算求得耗油量，最后把它与8相乘求得油费即可． 【详解】（1）解： （千米）， 答：检修小组最终停在距地2千米的地方. （2）解： （千米）， （千米）， （升）， （元）， 答：当天从出发到收工回到地共耗油6.3升，该检修小组这一天的油费是50.4元； 12．学校在科技节中举办了一场“无人机编程挑战赛”．参赛选手需要编写程序控制无人机在一条东西方向的直线上完成飞行任务．无人机从起点O（主席台中心位置）出发，规定向东飞行记为正方向．其飞行程序设置为：先向东飞行6个单位到达A点（第一检查点），然后向西飞行9个单位到达B点，接着再向东飞行5个单位到达C点（最终目标点）． (1)以起点O为原点，向东为正方向，写出A，B两点所表示的数． (2)无人机最终位置C位于起点O的哪个方向？距离起点多少个单位长度？ (3)已知该型号无人机每飞行1个单位长度，平均消耗的电量．若忽略悬停、转向等其他能耗，仅考虑飞行耗电，完成上述全程飞行后，无人机总共消耗了多少百分比电量？ 【答案】(1)点表示的数为，点表示的数为． (2)无人机最终位置位于起点的正东方向，距离起点个单位长度． (3)无人机总共消耗了电量． 【分析】本题主要考查有理数的应用： （1）点表示的数，点表示的数； （2）点表示的数； （3）求出无人机飞行的长度，再乘以单位长度耗电量即可得． 【详解】（1）根据题意可知，点表示的数，点表示的数． 所以，点表示的数为，点表示的数为． （2）根据题意可知，点表示的数． 所以，无人机最终位置位于起点的正东方向，距离起点个单位长度． （3）无人机飞行的长度． ． 所以，无人机总共消耗了电量． 题型04 倒数 13．2026的倒数是（    ） A． B．2026 C． D． 【答案】D 【分析】根据倒数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴的倒数为． 14．已知、互为相反数，、互为倒数，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，相反数和倒数的定义，绝对值的意义．根据相反数和倒数的定义，得，，代入表达式化简，再结合计算的值，最后求结果． 【详解】解：、互为相反数，； 、互为倒数，； ， ∴， 故答案为： 15．若a，b互为倒数，则的值为__________． 【答案】 【分析】本道题主要考查了倒数的定义及性质，解题的关键是熟记倒数的定义与性质； 根据倒数的定义，a与b互为倒数则，代入计算即可． 【详解】因为a，b互为倒数， 所以． 所以． 故答案为：． 16．已知与互为相反数，与互为倒数，，是最大的负整数．求的值． 【答案】4或 【分析】本题考查了相反数、倒数的性质，绝对值的意义，有理数的分类，代数式求值．根据已知分别求得，，，，进而分和分别代入求值，即可求解． 【详解】解：由已知得，，，， 当时，； 当时，， 故的值是4或． 题型05 有理数乘法运算律 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1680 (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)12 (4) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 19．用简便方法计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察计算式发现与相乘可以凑整，与相乘可以约分，故可用乘法交换律交换这几个乘数，进一步计算即可得答案． （2）观察计算式发现，前两个乘法中都有，可用乘法分配律先计算得，观察发现还可用乘法分配律，进一步计算即可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 20．用简便方法计算： (1)； (2)． (3) 【答案】(1) (2)1 (3)0 【分析】（1）利用加法结合律将同分母的分数先计算，即可实现简便计算； （2）将带分数和带分数计算，小数与小数计算，即可实现简便计算； （3）将转化为，可先用乘法分配律计算，即可实现简便计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 题型06 有理数的除法运算 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的除法运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）先转化为乘法运算，然后利用有理数乘法运算法则即可解答； （2）先转化为乘法运算，再利用乘法分配律运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法：“除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．”请根据所学知识完成下列问题． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______； (2)计算：； (3)根据以上信息可知：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的除法运算以及倒数，理解并掌握倒数的意义是解题的关键． （1）由题意直接根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律进行计算即可求解； （3）直接根据（2）的结果结合倒数的定义即可求解． 【详解】（1）解：，即， ， 即， 故答案为：； （2）解：原式， ， ； （3）解：由（2）可知，， ， 故答案为：． 23．已知、、是有理数，且，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘法，有理数加法和绝对值，学生必须熟练掌握才能正确解答． 根据，可得a，b，c三个数一定是两正一负，然后再进行化简计算即可． 【详解】解：∵，， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为： 24．学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，注意到与互为倒数． （1）若，则的值为_____． （2）计算的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查有理数的除法法则（除以一个数等于乘它的倒数），涉及知识点：倒数的定义、有理数的混合运算． （1）根据有理数除法的意义，是的倒数； （2）先计算，再求结果的倒数，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴． （2） ， ． 故答案为：，． 题型07 有理数除法的应用 25．监管部门抽查10袋某种食品的质量，每袋这种食品的标准质量是100，超出标准质量的部分记为正，不足标准质量的部分记为负，统计结果记录如下： 每袋与标准质量的差值/g 0 袋数/袋 2 3 3 1 1 则这10袋食品的平均质量是________g/袋． 【答案】100.1 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算在实际问题中的应用，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 先根据每袋超出或不足标准质量的数值以及对应的袋数，分别计算出超出或不足的总质量，进而计算10袋食品的总质量，再求平均质量，即可解题． 【详解】解：标准总质量为（g）， 超出部分总和为（g）， 总质量为（g）， 平均质量为（g/袋）， 故答案为：100.1． 26．刘畅同学去参加数学竞赛，共有20道题，做对一道题得5分，做错一道题扣2分，结果刘畅同学考了72分，他做对了________道题． 【答案】16 【分析】先假设20道题全部做对，计算出假设总得分，求出实际得分与假设得分的差，再得出做错一道题比做对一道题少得的分数，用总分数差除以做错一道少得的分数，得到做错的题数，最后计算得到做对的题数． 【详解】解：假设20道题全做对，则总分为（分）， 实际比假设少得的分数为（分）， 做错一道题比做对一道题少得的分数为（分）， 做错的题数为（道）， 做对的题数为（道）． 27．哈尔滨红肠是全国驰名的哈尔滨特产．某品牌哈尔滨红肠计划在国庆节期间开展一系列优惠活动，其中，针对一款原价48元/盒的哈尔滨红肠推出了两种优惠方案（两种方案只能选择一种）．方案一：每盒按九折销售．方案二：每买5盒，送1盒． (1)李阿姨需要买4盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案一，李阿姨节约多少钱？ (2)王阿姨需要买8盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案二，相当于每盒单价多少元？ (3)刘阿姨有一张满888元减168元的优惠券，这张优惠券不可与上述方案同享．刘阿姨需要买20盒哈尔滨红肠，怎样买最划算？写出判断过程． 【答案】(1)李阿姨节约19.2元 (2)相当于每盒单价42元 (3)使用满888元减168元优惠券购买最划算 【分析】（1）分别计算出原价和按照方案一的价格，然后作差求解即可； （2）首先求出王阿姨只需要花费7盒的钱，然后计算出总价，再除以8即可求解； （3）分别求出三种方案的花费，然后判断即可． 【详解】（1）解：（元） （元） 节约钱数为（元） 答：李阿姨节约19.2元． （2）解：∵方案二每买5盒，送1盒，王阿姨需要买8盒， ∴可参与1次“买5送1”活动得到6盒（支付5盒的钱），再另购2盒，共需支付盒的钱， ∴（元） ∴（元） 答：相当于每盒单价42元． （3）解：①方案一总价：（元） ②方案二：可参与3次“买5送1”活动得到18盒（支付15盒的钱），再另购2盒，共需支付盒的钱， （元）； ③优惠券方案：（元）， ，可减168元． （元） ∵， ∴使用满888元减168元优惠券最划算． 答：使用满888元减168元优惠券购买最划算． 28．阅读材料 随着全社会生态环保意识不断提升，绿色、低碳、节能的生活方式已经成为城市发展的主流趋势．为持续推进节能减排工作，有效降低机动车尾气污染，减少城市温室气体排放量，各大城市全面推行绿色通勤政策，积极引导广大市民在日常上下班过程中，主动放弃传统燃油私家车，优先选择地铁、新能源代步车等低能耗、零排放的公共交通和绿色交通工具． 材料一：相关环境监测部门经过长期的数据跟踪与统计分析得出：传统燃油汽车在行驶过程中会产生大量二氧化碳，对空气质量和生态环境造成较大影响．经精准测算，燃油汽车每行驶1千米，将排放150克二氧化碳，长期高频次的私家车通勤出行，是城市碳排放居高不下的重要原因之一． 材料二：某市民日常需要自驾通勤上班，其居住地与工作单位之间的单程固定路程为18千米．为积极响应低碳号召，该市民计划更换绿色出行方式．城市地铁运行稳定、速度较快，全程平均行驶速度为36千米/时；新能源电动车灵活便捷、不受拥堵影响，全程平均行驶速度为24千米/时，两种出行方式均不会产生二氧化碳排放，属于纯绿色通勤方式．该市民所在单位全年常规上班月份，每月固定按照22个工作日执行，每日均需完成早晚往返一次通勤路程． 材料三：为进一步鼓励全民参与低碳出行、普及绿色通勤习惯，当地交通集团联合出行平台，面向市民推出绿色出行月卡优惠活动与低碳积分激励政策．其中地铁专属通勤月卡原价每张90元，新能源电动车通勤月卡原价每张120元．市民在日常通勤中产生的绿色出行次数可自动累积低碳积分，积分可直接抵扣现金费用，并且积分抵扣权益能够与官方打折优惠叠加使用，最大程度降低市民通勤成本． 请同学们根据上面相关材料回答下列问题： (1)分别求出该市民乘坐地铁、驾驶新能源电动车完成单程通勤各需要多少小时？ (2)若该市民整月工作日全部选择新能源电动车通勤，完全替代燃油汽车出行，请计算相比燃油通勤，全月一共减少多少千克二氧化碳排放？ (3)官方优惠规则如下： ①地铁月卡享受原价七五折优惠； ②新能源电动车月卡先在原价基础上降价，再打八折； ③绿色出行乘坐一次可获得低碳积分2分，每8个积分可抵扣1元现金； ④只能从地铁月卡与新能源电动车月卡中选择一种绿色出行月卡． 请分别计算两种月卡的最终实际花费，并通过计算说明办理哪一种出行月卡更加划算． 【答案】(1)地铁单程用时0.5小时，新能源电动车单程用时0.75小时 (2)全月一共减少118.8千克二氧化碳排放 (3)解：办理地铁月卡更划算，理由如下： 积分抵扣：（元） 地铁出行：（元） 新能源电动车出行：（元） 因为，所以办理地铁月卡更划算 答：地铁月卡实际花费56.5元，新能源电动车月卡实际花费61元，办理地铁月卡更划算． 【分析】（1）该市民上班单程固定路程为18千米．根据地铁的行驶速度以及新能源电动车行驶的速度求解时间即可； （2）先计算出该市民全月通勤的千米数，再由每行驶1千米，将排放150克二氧化碳，求解即可； （3）先求解积分可以抵扣11元，再计算乘坐地铁和新能源电动车的实际花费，比较大小即可得到哪种方式更划算． 【详解】（1）解：（小时），（小时） 答：地铁单程用时0.5小时，新能源电动车单程用时0.75小时； （2）解：该市民全月共通勤千米， ∵每行驶1千米，将排放150克二氧化碳， ∴（千克） 答：全月一共减少118.8千克二氧化碳排放； （3）略 题型08 有理数乘除混合运算 29．计算：． 【答案】 【分析】先把除法转化为乘法，再进行计算即可． 【详解】解：． 30．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 31．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)9 (2)0 (3) (4)1 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 32．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型09 有理数乘除中的简便运算 33．用简便方法计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)23 (2) 【分析】本题主要考查有理数乘除中的简便运算； （1）先把除法变乘法，再根据有理数乘法运算律计算即可； （2）把2020变为，再根据有理数乘法运算律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 34．用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 35．数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 的倒数为，求出其值，再求倒数即可． 【详解】解：的倒数为， ， 所以． 36．选择合适的方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （）利用乘法分配律逆用进行简便运算即可； （）利用有理数除法法则进行简便运算即可； （）利用加法运算律进行简便运算即可； （）利用乘法分配律逆用进行简便运算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解：； ； （3）解： ； （4）解： ． 题型10 有理数四则混合运算 37．计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 38．计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 39．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)10 (2) (3)8 (4) (5) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 40．计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】先用括号内两项分别乘，消去分母简化计算，最后算加法； 先算除法，再依次算小括号、中括号；百分数，最后从左到右算加减； 先统一数的形式：带分数、小数全部化成分数，从内到外逐层算括号，再依次计算乘除； 先算小括号内除法，再算小括号减法，然后算中括号加法，再算乘法，最后算减法； 先化简第一项算式，再统一提取公因数，逆用乘法分配律简便计算； 拆分个模块分步计算：带分数化简、中括号乘法、凑整简便运算、小数分数统一后乘法分配律计算，最后全部合并求和． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： （6）解： ． 题型11 有理数四则混合运算的实际应用 41．介休103路内环公交车从起点站（火车站）开出，下面是它经过几个停靠站时上下车人数的记录表．（上车人数记为正） 车站名 火车站北 定阳饭店 政务中心 介休三中 介纺社区 北坛公园东 上车人数 ﹢6 0 下车人数 ﹣ 0 (1)从火车站北到北坛公园东站，途中无人上车的站是__________，无人下车的站是__________． (2)这辆公交车从介休三中站开出时，车上有（    ）名乘客，从北坛公园东站开出时，车上有（   ）名乘客． (3)介休103路所有乘客统一票价为1元，那么这趟公交车从北坛公园东站开出时，已经收入多少钱？ 【答案】(1)介休三中；政务中心． (2)15；13 (3)28元 【分析】（1）正数与负数表示意义相反的两种量，规定上车人数记为正，则和它意义相反的下车人数就为负，无人上车和下车记为0； （2）用火车站北、定阳饭店、政务中心、介休三中的上车人数，减去下车的人数即可知道这辆公交车从介休三中站开出时，车上的乘客人数；同理计算出从北坛公园东站开出时，车上的乘客人数； （3）计算出从火车站北到北坛公园东站所有的上车总人数，再乘1（票价为1元），即可求出收入总钱数． 【详解】（1）解：从火车站北到北坛公园东站，途中无人上车的站是介休三中，无人下车的站是政务中心． （2）解：（人）； （人）； 这辆公交车从介休三中站开出时，车上有15名乘客，从北坛公园东站开出时，车上有13名乘客． （3）解： （元）． 答：已经收入28元． 42．国家邮政局关于信函邮资的收费标准如下： 业务种类 计费单位 资费标准/元 本埠资费 外埠资费 信函 首重内，每重 （不足按计算） 续重，每重 （不足按计算） (1)一封信重，寄往本地，需付邮资多少元？ (2)一封的信函，寄往外地，需付邮资多少元？ 【答案】(1)元 (2)元 【分析】（1）根据“每重”计算价格即可； （2）先计算不超过的价格，再计算超过的价格，相加即可． 【详解】（1）解：∵， ∵不足按计算， ∴需按个计算， ∴元 答：需付邮资元； （2）解：首重内：， 需付费元， 续重：，， ∵不足按计算， ∴需付费元， ∴共需付费元， 答：需付邮资元． 43．下面是李老师今年8月份收入和支出的记录． 8月10日领取工资2400元；    8月13日交电话费88元； 8月15日交水电费120元；    8月24日买服装花467元； 8月26日收到稿费450元；    8月30日得加班费100元； 8月份伙食费支出合计800元 (1)领取工资2400元记作：元，请你将李老师的各项收支用正数和负数记录在下表中． 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支/元 (2)李老师8月份一共收入多少钱？ (3)李老师这个月的总支出占总收入的百分之几？ 【答案】(1) 项目 工资 电话费 水电费 服装费 稿费 加班费 伙食费 收支/元 (2)元； (3) 【分析】（1）收入用正数表示，支出用负数表示，据此求解即可； （2）将所有收入项目相加，计算得到总收入即可； （3）先将所有支出项目相加得到总支出，再用总支出除以总收入，计算即可得到对应的百分比． 【详解】（1）解：略 （2）解：元， 答：李老师8月份一共收入2950元； （3）解：， 答：李老师这个月的总支出占总收入的． 44．张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 【答案】(1)六，，五， (2)元 【分析】（1）根据正负数的意义，结合表格数据得出销售量最多的和最少的是哪一天，进而用加上与计划量的差值，即可求解； （2）先计算猕猴桃的销售总量，再根据利润售价成本，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期六，有；最少的一天是星期五，有． （2）解：猕猴桃的销售总量为 （元） 答：张明当周销售猕猴桃获得的总利润是元． 题型12 根据点在数轴的位置判断式子的正负 45．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴上a、b的位置确定其取值范围，再据此分析各选项即可． 【详解】解：由数轴可知，a对应的点在和之间，b对应的点在0和1之间， ∴，， A项：∵，， ∴，， ∴，故A正确； B项：∵，， ∴，故B错误； C项：∵，， ∴，故C错误； D项：∵，， ∴故D错误. 46．如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_______． 【答案】①②④ 【详解】解：由数轴图可知，， 对于①：∵， ∴，故①正确； 对于②：∵， ∴，故②正确； 对于③：∵， ∴，， ∴，故③错误； 对于④：∵，， ∴，故④正确． 47．有理数a、b、c在数轴上的位置如图．化简_______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减、绝对值的化简，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． 观察数轴可得，且，从而得到，再根据绝对值的性质化简，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：，且， ∴， ∴ ． 故答案为： 48．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A，B，C． (1)填空：A，B之间的距离为_____，B，C之间的距离为_____； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了数轴和绝对值、合并同类项等知识点，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键． （1）根据数轴得出，，求出距离即可； （2）根据数轴得出，，去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：从数轴可知：，， ∴A，B之间的距离为；B，C之间的距离为； 故答案为：；； （2）解：∵从数轴可知：，， ∴，，， ∴ ． 题型13 数轴上的翻折 49．如图，、两点在数轴上，表示的数为，表示的数为． (1)、两点间的距离是______． (2)若把点先向右移动个单位，再向左移动个单位，然后又向左移动个单位，此时点表示的数是______； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点和点之间的距离是，则点表示的数是______． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】根据数轴上两点间的距离公式即可求解； 根据题意列出算式，然后通过有理数运算法则即可求解； 分点在点左侧时和点在点右侧时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：因为表示的数为，表示的数为， 所以、两点间的距离是， 故答案为：； （2）解：因为把点先向右移动个单位，再向左移动个单位，然后又向左移动个单位， 所以此时点表示的数是， 故答案为：； （3）解：当点在点左侧时，则对折后点表示为， 所以折点表示的数为， 当点在点右侧时，则对折后点表示为， 所以折点表示的数为， 故答案为：或． 50．综合与探究 【概念呈现】 大家知道在数轴上的意义是表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离；式子在数轴上的意义是表示5的点与表示2的点之间的距离；式子在数轴上的意义是表示—1的点与表示—2的点之间的距离．若点在数轴上分别表示数，则两点之间的距离可表示为． 【初步探究】 （1）数轴上表示3和1的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ． （2）请计算表示的点和表示的点之间的距离与表示的点和表示的点之间的距离之和． 【类比学习】 （3）若点在数轴上表示数，则在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离；在数轴上的意义是表示的点与表示 的点之间的距离． （4）的最小值为 ． 【拓展应用】 （5）若，则 ． （6）如图，将一条数轴沿点折叠，若表示的点的重合点与表示4的点之间的距离为1，则点表示的数为 ． 【答案】（1）2；3；（2）；（3）；4；（4）5；（5）1或3；（6）0或1 【分析】本题考查绝对值的几何意义，两点间的距离，数轴上的折叠问题，熟练掌握绝对值的几何意义，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据距离公式进行求解即可； （2）根据距离公式进行求解即可； （3）根据绝对值的几何以及作答即可； （4）根据绝对值的几何意义，得到当在和4之间时，的值最小，进行求解即可； （5）根据绝对的几何意义，进行求解即可； （6）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）；； （2）； （3）在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离；在数轴上的意义是表示的点与表示4的点之间的距离； （4）由（3）可知，当在和4之间时，的值最小，为表示的点与表示4的点之间的距离，即为； （5），表示数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为1， 故或； （6）由题意，折叠后表示数的点与表示的点或的点重合， 当表示数的点与表示3的点重合时，点表示的数为； 当表示数的点与表示5的点重合时，点表示的数为； 故答案为：0或1． 51．数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．翻折是初中数学重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题． [问题情境1] 经过翻折数轴上表示1的点与表示5的点重合． ①表示10的点与表示__________的点重合； ②若数轴上，两点之间的距离为18（点在点的左侧），，两点经折叠后重合，则点表示的数为__________，点表示的数为__________； [问题情境2] 一条数轴上有，，三点，其中点，表示的数分别是和8，现以为折点，将数轴向右对折．若对折后点对应的点为，且点与点之间的距离为3，求点表示的数． 【答案】[问题情境1]①；②，；[问题情境2]点表示的数为或 【分析】本题考查了数轴及数轴上两点间的距离，有理数加法、减法、除法运算，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． [问题情境1] ①根据数轴上表示1的点与表示5的点重合，则折点表示的数为，再根据数轴上两点间的距离公式从而求解； ②根据题意，，两点到折点的距离为，则点表示的数为左侧个单位，点表示的数为右侧个单位，然后由有理数加减运算即可求解； [问题情境2]分当点落在点左边时，当点落在点右边时两种情况分析即可． 【详解】解：[问题情境1] ①∵数轴上表示1的点与表示5的点重合， ∴折点表示的数为， ∴，， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； ②∵数轴上，两点之间的距离为18，，两点经折叠后重合， ∴，两点到折点的距离为， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； [问题情境2] ①当点落在点左边时， 点与点之间的距离为3， 点表示的数为． 点表示的数为． ②当点落在点右边时， 点与点之间的距离为3， 点表示的数为． 点表示的数为， 综上可知，点表示的数为或． 52．综合与探究 数轴的概念最早由法国数学家勒内·笛卡尔在其对数学的研究中系统引入．在此之前，数学家们对“数”的理解多停留在抽象的运算层面，缺乏直观的几何表示．数轴的出现，将数与几何图形（直线上的点）紧密结合，开创了“数形结合”的数学思想方法． 如图所示数轴上，点，，分别表示的数字为，，． 【知识应用】 （1）若数轴上有一点，满足到，两点距离相等，则点表示的数是____________； 【初步分析】 （2）将数轴折叠后，点与点重合，点与点重合，则点表示的数是____________； 【深入探究】（3）①当对折点为点时，与点重合的点表示的数为____________； 此时，对折点左侧一个点表示的数为，则与它重合的点表示的数为____________；（用代数式表示） ②当对折点为之间任意一点，且它表示的数为时，左侧表示数的点与右侧表示数____________的点重合．（用代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）①8；；② 【分析】本题主要考查列代数式，数轴上两点距离及数轴上折叠问题、有理数的运算，熟练掌握数轴上两点距离及数轴上折叠问题、有理数的运算是解题的关键． （1）根据数轴上的两点距离可进行求解． （2）①由点与点重合可知折叠点表示的数为； ②设点表示的数是，由题意得，进而问题可求解； （3）①设与点重合的点表示的数为，由题意得，即可求解；设与它重合的点表示的数为，由题意得，据此求解即可； ②设左侧表示数的点与右侧表示数为，由题意得，即可求解． 【详解】解：（1）∵点到，两点距离相等， ∴点表示的数是， 故答案为：； （2）∵将数轴折叠后，点与点重合， ∴折叠点表示的数为， 设点表示的数是， 由题意得，解得， ∴点表示的数是， 故答案为：； （3）①设与点重合的点表示的数为， 由题意得，解得， ∴与点重合的点表示的数为， 对折点左侧一个点表示的数为，则设与它重合的点表示的数为， 由题意得，解得， ∴对折点左侧一个点表示的数为，则与它重合的点表示的数为， 故答案为：；； ②设左侧表示数的点与右侧表示数为， 由题意得，解得， 故答案为：． 题型14 有理数四则混合运算中的规律计算 53．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)按以上规律，第④个等式为：_____； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了通过观察规律进行分数的简便运算． （1）观察已知的等式，可以发现：等式左边是两个连续偶数乘积的倒数，等式右边是这两个连续偶数倒数差的，按照此规律，第④个等式中，两个连续偶数应该是8和10，所以第④个等式为； （2）根据前面发现的规律，将原式中的每一项进行转化后代入原式，可以发现括号内很多项可以相互抵消，最后可计算得出结果； （3）先对原式中的每一项进行变形，将原式变形后发现，每一项都可以写成的形式，随即可计算得出结果． 【详解】（1）解：根据第①②③个等式规律可知：， 故答案为：． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 54．观察下列等式： 等式1：； 等式2：； 等式3：； …． (1)根据规律可得 ； (2)根据规律可得 ；（n为正整数） (3)根据规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算规律的探究，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题干提示两个因数的规律求解即可． （2）利用（1）的特点，总结归纳即可． （3）利用（1）中的规律，拆项求解即可． 【详解】（1）解：等式1：； 等式2：； 等式3：； ∴； （2）解：由（1）归纳可得： ； （3）解： ． 55．如图是“分数三角形”数表，记第i行从左往右数第j个数为（其中i、j均为正整数且），如，；请认真观察此数表的规律并完成下列作答． (1)第10行的第一个数为______，第10行的第二个数为______； (2)我发现了此数表有以下规律： ①第i行的第一个数与最后一个数均为______；（用字母i来表示） ②请仔细观察每行相邻两个数与它们头顶上的那个数的关系，并完成下面填空：=______；（其中i为正整数且） (3)请利用第（2）问②的规律计算：．（请给出运算过程） 【答案】(1)， (2)①，② (3) 【分析】此题考查了有理数的混合运算． （1）根据已知数表写出答案即可； （2）①根据已知数表可知第i行的第一个数与最后一个数均为，②根据已知数表可知； （3）根据（2）中规律可得，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知，第10行的第一个数为，第10行的第二个数为； 故答案为：， （2）解：①第i行的第一个数与最后一个数均为， ②由题意可得，， 故答案为：， （3）由题意可得， 56．春秋时期，孔子有一天对他的弟子们说道：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”这句话的意思是说：“教书先生举出一个墙角，学生就应该会独立思考，融会贯通，从而类推到其余三个墙角，然后用三个墙角反证老师先前提出的墙角，如果每个学生都这样学习和思考，教书先生就不用再费力气教学生了”． 【规律探索】用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形： 第（1）个图形中有2张正方形纸片： 第（2）个图形中有张正方形纸片： 第（3）个图形中有张正方形纸片； 第（4）个图形中有张正方形纸片： 请你观察图形与算式，完成下列问题： 【规律归纳】 （1）第（7）个图形中有______张正方形纸片（直接写出结果）； （2）根据上面的发现我们可以猜想：______（用含的代数式表示）： 【规律应用】根据你的发现计算： （3）①； ②． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】（1）根据前四个图形的排列规律，第七个图形有张正方形纸片，计算得出答案． （2）根据前面的发现，，可以写成：的形式，化简计算得出答案． （3）①直接用发现的规律代入计算求解； ②运用添项法，原式加上然后再减去，计算结果不变；原式可变为：，运用发现的规律计算求解． 【详解】解：（1）由题意观察可得：， 故答案为； （2） 故答案为； （3）① ②原式 ． 题型15 有理数四则混合运算的新定义问题 57．我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据※，可以计算出所求式子的值； （2）根据※，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：由题意可得，※4； （2）解：由题意可得，※． 58．我们规定一种新定义：，其中符号“※”是我们规定的一种新定 义，如． (1)根据新定义计算：； (2)已知，求b的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、解一元一次方程、求代数式的值，理解题中的新运算是解此题的关键． （1）根据列式计算即可； （2）根据得出方程，解方程即可； （3）根据得出，整体代入进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 解得：； （3）解：，， ． 59．定义一种新运算，观察下列各式并完成问题，现定义一种新运算：，如．求 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的四则混合计算，先根据新定义计算出，进一步计算出的值即可得到答案． 【详解】解： ， ， ∴ 60．【概念学习】 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ； ； ； ； ； ． 小丽看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)归纳※（加乘）运算的运算法则： ①两数进行※（加乘）运算时，______． ②特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，______． (2)计算：______．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 【答案】(1)①同号得正，异号得负，并把绝对值相加；②结果等于这个数的绝对值 (2)10 (3)见详解 【分析】此题考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先括号内的运算． （1）首先根据※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式，归纳出※（加乘）运算的运算法则即可；然后根据：；，可得：0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，等于这个数的绝对值． （2）根据（1）中总结出的※（加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可． （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：归纳※（加乘）运算的运算法则： ①两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加． ②特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，结果等于这个数的绝对值． （2） （3）加法交换律和加法结合律在有理数的※（加乘）运算中还适用． 由※（加乘）运算的运算法则可知： ， ， 所以， 即加法交换律在有理数的※（加乘）运算中还适用． 1．（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）下列选项中，的倒数是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据倒数的定义解答即可； 【详解】解：； 2．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算得，则是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，，， 故是． 3．（2022·山东泰安·模拟预测）计算：得（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数混合运算的法则求解即可； 【详解】解：原式， ． 4．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）内蒙古奶茶，是鄂尔多斯牧民待客的常见饮料，煮一锅内蒙古奶茶，其中牛奶占整锅奶茶质量左右，砖茶汤占左右，如果整锅奶茶的总质量为千克，那么牛奶的质量可能是（     ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【答案】C 【分析】结合砖茶汤占比条件先排除牛奶质量过大的选项，再计算牛奶占比时的基准质量，匹配最接近的选项． 【详解】解：砖茶汤占整锅奶茶质量左右，总质量为千克，则砖茶汤质量约千克． 牛奶占比左右，小于砖茶占比，故牛奶质量小于千克，排除A、B选项．（千克），剩余选项中千克更接近千克，C符合要求． 5．（2026·湖南·中考真题）水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 6．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算：________． 【答案】6 【详解】解： ． 7．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）大于而小于7的所有整数的积是________． 【答案】 【分析】根据有理数乘法法则计算．注意到，在这个范围内有整数0，故它们的积为0． 【详解】解：大于而小于的所有整数为，，，，，，，，，，， ． 8．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于任意两个数、，规定，则________． 【答案】 【分析】根据题中已知运算规则计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 9．（2026·陕西安康·二模）《九章算术》中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其大意：“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”问题：现有4斗（1斗=10升）的粟，若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米_______升． 【答案】24 【分析】本题主要考查了有理数乘法及除法的实际应用．按照题意列式并进行计算即可． 【详解】解：根据题意，得（升）． 10．（2022·江西赣州·模拟预测）结绳计数又名结绳记事，起源于大约300万年前．如图所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满8个则在左边的绳子上打一个结，请计算该部落在这段时间内所擒获的猎物总数为_______． 【答案】726 【分析】把八进制转换十进制计算即可； 【详解】解：根据题意，得这段时间内所擒获的猎物总数为： ． 11．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算：． 【答案】 【分析】本题为同级乘除运算，所以按照从左到右的顺序计算，再将除法转化为乘法，统一为分数乘法运算即可． 【详解】解： ． 12．（26-27七年级上·四川成都·开学考试） 【答案】41 【详解】解： ． 13．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 14．（25-26九年级下·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 15．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）科技改变世界，快递分拣机器人发展迅猛．据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物，自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入．下表是该仓库月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） 0 (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期几，最少的一天是星期几，最多的一天比最少的一天多分拣了多少万件包裹？ (2)该仓库本周实际总共分拣了多少万件包裹？ 【答案】(1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期六，最少的一天是星期日，最多的一天比最少的一天多分拣了万件包裹 (2)该仓库本周实际总共分拣了万件包裹 【分析】（1）比较表中数据得到分拣最多和最少的星期，再由有理数加减运算得出最多比最少多分拣件数； （2）根据表中记录数据，由有理数加减及乘法运算计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴本周内分拣最多的一天是周六，最少的一天是周日， ∴最多比最少多分拣（万件）， 答：该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期六，最少的一天是星期日，最多的一天比最少的一天多分拣了万件包裹； （2）解：（万件）， （万件）， 答：该仓库本周实际总共分拣了万件包裹． 16．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（     ）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏差/克 A．420.3克 B．423克 C．420克 D．417克 【答案】A 【分析】先计算6枚月饼的标准总质量，再计算所有质量偏差的和，两者相加得到实际总质量． 【详解】解：∵由题意得，每枚月饼标准质量为70克，共6枚， ∴6枚月饼的标准总质量为克， 计算6枚月饼的质量偏差和： ， ∴这六枚月饼的实际总质量为克． 17．（26-27七年级·全国·暑假作业）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数乘法的运算法则，几个非0的有理数的乘法，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、原式有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、原式有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、原式有一个因数为0，故积为0，不符合题意； D、原式有3个负号，积的符号为负，符合题意． 18．（2022·天津河西·模拟预测）下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法法则逐一判断即可． 【详解】解：①两数之积为正，这两数同为正或同为负，原说法错误； ②三数相乘，积为负，这三个数都是负数或一个数是负数，两个数是正数，原说法错误； ③两数之积为负，这两数为异号，原说法正确； ④几个数相乘，若因数中没有0，则积的符号由负因数的个数决定，若因数中有0，则积为0，原说法错误； ∴说法正确的只有③，共1个． 19．（2022·湖南娄底·模拟预测）若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中： ①  ②  ③  ④  ⑤ 其中正确的说法有________（填序号）． 【答案】④ 【分析】根据数轴的意义，得到，计算判断即可； 【详解】解：根据题意，得，， ，，，，， 故①②③⑤错误；④正确； 20．（2022七年级下·湖南长沙·竞赛）已知六个整数的积，、、、、、互不相等，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据六个整数的积，可得，确定六个数后计算和即可． 【详解】解：∵六个整数的积，、、、、、互不相等， ∴， ∴符合条件的六个整数为， ∴． 21．（25-26七年级下·重庆·开学考试）公园个人票每张5元，团体票每张30元，供不超过10人入园，买10张以上的团体票，可优惠，某单位秋游，原来准备的钱刚好够145人的门票用，临时又加了两个人，幸好两人每人都带了相同多的钱，这样147人刚好都能购票入园，这两人共带了_______元． 【答案】2 【分析】先计算优惠后的团体票单价，对比不同购票方案的花费得到145人入园时单位原准备的钱数，再计算147人入园的最低总花费，两者的差就是两人共带的钱数． 【详解】解：优惠后每张团体票价格为：元， 计算145人不同购票方案的花费： 方案1：买14张团体票（容纳140人）5张个人票，总花费为元， 方案2：买15张团体票（可容纳150人），总花费为元， ∵，原来准备的钱刚好够145人门票， ∴单位原来准备的钱为403元， 计算147人不同购票方案的花费： 方案1：买14张团体票7张个人票，总花费为 元， 方案2：买15张团体票，总花费为 元， ∵， ∴147人入园的最低总花费为405元， 两人共带的钱为：元． 22．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 23．（25-26七年级下·河南南阳·开学考试）若，，且，则_________ ． 【答案】7或 【分析】直接利用绝对值的性质以及有理数乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴时；时， 则或． 24．（25-26七年级上·四川达州·期末）已知a、b、c为非零有理数，的值为________． 【答案】4或或0 【分析】本题考查有理数的运算，分三个有理数同正，同负，一正两负，一负两正，四种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当a、b、c同正时，原式； 当a、b、c同负时，原式； 当a、b、c一正两负时，不妨设a为正，则原式； 当a、b、c一负两正时，不妨设a为负，则原式； 综上：的值为4或或0； 故答案为：4或或0． 25．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 26．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）为切实做好校园周边的安保工作，一辆巡逻车从西安某菁英学校出发，在东西向的笔直的马路上巡视，中午到达A地，若规定以学校为原点，向东行驶为正，向西行驶为负，则巡逻车的行驶记录如下表：（单位：千米） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 行驶情况 (1)请你帮忙确定A地在学校的什么方向？距离学校多远？ (2)出发时李警官发现汽车油表显示余油27升，当第四次行驶结束时发现油表显示余油7.8升，请通过计算说明，巡逻车平均每千米耗油多少升？ 【答案】(1) A地在学校的东边，距离学校2千米 (2) 巡逻车平均每千米耗油升 【分析】（1）将各数相加，再根据有理数的加法法则计算即可； （2）先求出前四次巡逻车行驶的总路程，再求出总的耗油量，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 所以A地在学校的东边，距离学校2千米； （2）解：， 则， 所以巡逻车平均每千米耗油0.96升． 27．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______； (2)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米? (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱? 【答案】(1) (2)千米 (3)元 【分析】（1）找出路程偏差的最大值与最小值，计算二者的差值即可得到结果； （2）先计算7天路程偏差的总和，再加上7天的标准总路程，得到总行驶路程； （3）分别计算汽油车和新能源车行驶总路程的费用，作差得到节省的费用． 【详解】（1）解： ∵ 7天的路程偏差中，最大值为，最小值为， ∴ 路程最多的一天比最少的一天多走 ． （2）解：∵ 7天的路程偏差总和为 ， 7天的标准总路程为 ， ∴ 七天总行驶路程为 ． （3）解：汽油车行驶的费用为 （元）， 新能源车行驶的费用为 （元）， 节省的费用为 （元）； 答：这7天的行驶费用比原来节省146.8元． 28．（2026·河北邯郸·二模）淇淇在计算时，产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 = = 思路二： 解：原式= = (1)在“思路一”的“□”填上合适的数，并完成计算； (2)在“思路二”的“〇”内填上运算符号（“+”、“-”、“×”、“÷”中的一个），使得运算过程正确，并完成计算． 【答案】(1) “”里应填， ∴原式 (2) ∴“”内填“”， ∴原式 【分析】（1）先把带分数拆成整十数加剩余部分的形式，因为要凑出整数方便计算，所以可将其改写为，根据带分数的拆分规则确定的数值，再运用乘法分配律展开计算； （2）先明确带分数的定义，因为带分数是整数部分与分数部分的和的简写，所以判断中整数和分数部分的运算符号，确定的内容，再运用乘法分配律展开计算． 【详解】（1）略 （2）略 29．（2026·河北沧州·模拟预测）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否被7整除． 方法：三位数割掉末位数字c得两位数，再用减去c的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 【类比解决】 (1)试用“割尾法”判断：735_____被7整除（填“能”或“不能”）； 【推理验证】 (2)已知三位数，现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证． 【答案】(1)能 (2) 证明：对于三位数，割掉末位数字c得， 若是7的倍数，则设（k为整数）， 即：， ∴， ∴， ∵k、c为整数， ∴为整数， ∴能被7整除， ∴能被7整除． 【分析】（1）根据题干举例进行解答即可； （2）先设，将表示成即可证明． 【详解】（1）解：对于三位数735，割掉末位数字5得73，， ∵63是7的倍数， ∴735能被7整除． （2）略 30．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）综合与实践 问题情境：下列A、B、C、D四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余均相同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）： (1)求卡片A与卡片B的差，卡片B与卡片D的商． (2)求四张卡片上数的绝对值的和． (3)聪明的小涵提出了这样一个问题： 已知卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d． ①求a，b，c，d的值； ②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果． 请你选择其中一种方法求式子的值． 【答案】(1)， (2) (3)①，，，，②139 【分析】（1）根据绝对值的定义求出各数的绝对值再求和； （2）①依据倒数和相反数的定义求出a，b，c，d的值； ②可按照先算括号内再算乘法的顺序，也可利用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解：， ． ∴卡片A与卡片B的差为，卡片B与卡片D的商为． （2）解：， ∴四张卡片上数的绝对值的和为． （3）解：①∵卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片A为，卡片B为15， ∴，， 又∵卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d，卡片C为，卡片D为， ∴，． ② ； ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $