专题06 有理数的乘方 重难点专题提升精讲精练-2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦有理数的乘方与科学记数法两大核心知识点，系统梳理乘方的概念、运算、逆运算、符号规律及应用，衔接科学记数法的表示与还原，构建从基础到应用的完整知识支架。 资料通过基础题型（7类）与提高题型（规律探究、二进制）分层设计，结合即时训练与实例（如结绳记数、对折纸张），培养学生抽象能力、运算能力与应用意识。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

专题06 有理数的乘方重难点题型专训（2个知识点+7大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、有理数幂的概念理解 1 题型二、有理数的乘方运算 2 题型三、有理数乘方逆运算 3 题型四、乘方运算的符号规律 4 题型五、乘方的应用 5 题型六、用科学记数法表示绝对值大于1的数 6 题型七、将用科学记数法表示的数变回原数 7 第二部分·练提高题型 题型一、有理数乘方中规律探究问题 1 题型二、二进制问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广东深圳·期末）能写成一个整数的平方的数称为平方数，下列整数不是平方数的是（     ） A．1 B．4 C．8 D．121 【答案】C 【分析】根据平方数的定义，判断各选项的数能否写成某个整数的平方，即可得到答案． 【详解】解：∵，1是整数， ∴A是平方数； ∵，2是整数， ∴B是平方数； ∵不存在整数，使得，且， ∴8不是平方数； ∵，11是整数， ∴D是平方数． 2．（25-26七年级上·福建福州·期末）________． 【答案】1 【详解】解：． 知识点02 科学计数法 （1）把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即），n是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。 （2）把还原成原数时，只需把a的小数点往前移动n位。 【即时训练】 1．（2026·安徽合肥·二模）据预测，到2026年，安徽省常住人口约6113万人，6113万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，比原整数位数少1，解答即可． 【详解】解： 万， ． 2．（2026七年级上·安徽合肥·专题练习）中国的森林面积大约为公顷，将其还原为原数是__________． 【答案】128600000 【详解】解：． 【基础题型一 有理数幂的概念理解】 【例1】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据有理数幂的意义得：． 【例2】（25-26七年级上·河北保定·期末）为了简便，可以将记为_____． 【答案】 【分析】n个相同因数相乘可以写成该数的n次方形式，据此进行解答． 【详解】解：根据乘方的定义， n个相同的因数5相乘，记为5的n次方，即． 1．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）表示（    ） A．4乘以 B．5个连乘 C．5个连加 D．4个连乘 【答案】B 【分析】本题考查幂的概念理解．根据表示个连乘，即可得出结果． 【详解】解：表示5个连乘； 故选：B． 2．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测），，说说它们的意义与读法． ，表示4个相乘，读作____________． 表示4个2相乘的相反数，读作__________或____． 【答案】 负2的4次方 负的2的4次方 2的4次方的相反数 【分析】根据有理数乘方的定义，表示底数为的4次幂，读法强调底数是负数；表示2的4次幂的相反数，读法有两种，一种强调负号与指数的关系，另一种强调相反数的意义． 【详解】解：中，括号表示底数是，指数4表示4个相乘，即，读作“负2的4次方”； 中，没有括号，指数运算优先于负号，即4个2相乘的积的相反数，结果为，读作“负的2的4次方”或“2的4次方的相反数”． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）请指出下列各式表示的意义： ，，，，． 【答案】表示3个4相乘． 表示10个3相乘． 表示4个5相乘． 表示10个相乘． 表示4个相乘． 【分析】本题考查幂的意义，即乘方运算表示多个相同因数相乘． 【详解】解：∵ 表示 n 个 a 相乘， ∴表示3个4相乘． 表示10个3相乘． 表示4个5相乘． 表示10个相乘． 表示4个相乘． 【基础题型二 有理数的乘方运算】 【例1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【例2】（25-26七年级上·全国·期末）计算： ______． 【答案】4 【分析】先算乘方，再算加减即可解答． 【详解】 解： ． 1．（2026·河北沧州·二模）可以记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：表示有个相乘，故记作． 2．（25-26六年级上·山东淄博·阶段检测）观察下列等式：；；；；；…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是____ ． 【答案】4 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是发现个位数字的变化特点，总结规律进一步求出的个位数字．观察所给前几个算式，我们可以发现各数的末位数字分别为2、4、8、6，2；于是得出2的乘方的末位数字以2、4、8、6四个一组循环出现，再结合即可解答． 【详解】解：∵；；；； 这些数的个位数字依次以2，4，8，6循环出现， ， 的个位数字是4； 故答案为：． 3．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【基础题型三 有理数乘方逆运算】 【例1】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方及其逆运算． 按照运算法则，将原式转化为，计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·四川成都·期末）若，，则______． 【答案】 【详解】解：，则， ，则， ． 1．（2026·重庆·三模）下列四个数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ，即最小的数是． 2．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段检测）已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 【答案】(1)3，2，1 (2)216 【分析】本题主要考查了有理数乘方的运算，熟知乘方运算法则是正确解决本题的关键． （1）先根据，可得，即可求出n，a； （2）将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵，即，且a为正整数， ∴． 故答案为：3，2，1； （2）解：原式． 【基础题型四 乘方运算的符号规律】 【例1】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A．25 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方运算，掌握乘方运算的运算法则是解题的关键．遵循先计算乘方再处理符号的运算顺序计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·甘肃白银·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是_____． 【答案】5 【分析】本题考查了尾数特征的应用，先分别得出前几个的末位数字，得出末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 1的末位数字为1， 的末位数字为3， 的末位数字为7， 的末位数字为5， 的末位数字为1， 末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5， ， 则该式末位数字为第506组的第四个数字， 的末位数字是5， 故答案为：5． 1．（25-26七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方中的符号问题，判断每个数的正负号即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，，0中，只有0是非负数． 故选：A． 2．（2026·甘肃武威·模拟预测）观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 【答案】4 【分析】观察已知等式可知，以2为底的幂的个位数字按，，，依次循环，计算得到余数，根据余数即可确定的个位数字． 【详解】解：观察给出的等式，，，，，…， ∴以2为底的幂的个位数字每4个数为一个循环组依次循环，循环顺序为，，，． ， ∴的个位数字与的个位数字相同，是． 3．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 【答案】(1)相等 (2) (3)5 【分析】本题考查有理数的乘方， （1）根据乘方的定义分别计算可得； （2）根据（1）中计算结果可得； （3）根据所得结论计算可得． 【详解】（1）解：① ，，则； ② ，，则； 即每组两个算式的结果相等 （2）解：； （3）解：． 【基础题型五 乘方的应用】 【例1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】C 【分析】根据题意明确第n次对折后的厚度为，根据，求出n的最小整数值即可． 【详解】解：设对折次后整叠纸总厚度为． 由题意得， ． ，，， ， 至少要对折8次． 【例2】（2026·河南周口·二模）我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 【答案】38 【分析】由题意可知满五进一符合五进制计数规则，将各数位的打结数乘以对应数位的权重，再求和即可得到总天数． 【详解】解：根据满五进一的计数规则，从右起第位的权重为，因此总天数为： 天． 1．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1．将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成0或1与基数2的幂的乘积之和的形式．如为二进制下的5位数，则十进制数2049是二进制下的（    ） A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，通过比较2049与2的整数次幂的大小关系，即可确定其二进制的位数． 【详解】解：∵，，且 ∴十进制数2049的二进制位数为12． 故选：C． 2．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，．．．，则第1天到第5天一共截取的长度为___________米． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方的应用，由题意可得第n天操作后剩余全长的，则第1天到第n天一共截取的长度为米． 【详解】解：由题意知，第1天操作后剩余全长的， 第2天操作后剩余全长的， 第3天操作后剩余全长的， 第4天操作后剩余全长的， 第5天操作后剩余全长的， 第1天到第5天一共截取的长度为（米）， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·福建南平·期末）我们知道，十进制是逢十进一，十进制数3742中的3表示3个千，7表示7个百，4表示4个十，2表示2个一，于是得到下面的式子：．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1． 为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数．将(1011)2转换为十进制数，如下：． 小明设计一种游戏：将十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”按顺序分别编号为1到12．四张卡片A，B，C，D上的数字为0或1（顺序为），如：A．1，B．1，C．0，D．0，记为，然后将二进制数转换为十进制数，就可能得到对应生肖的编号． （1）请将二进制数转换为十进制数； （2）若A，D卡片上的数字都为0，B，C卡片上的数字都为1，对应的生肖是什么？请说明理由． 【拓展应用】 （3）小华设计一个“猜生日”的游戏，用5张卡片A，B，C，D，E组成的二进制数来表示1号到31号中的一天，五张卡片A，B，C，D，E上的数字为0或1（顺序为）．他的生日是八月的某天，若A，D卡片上的数字都为1，其他卡片上的数字都为0，他的生日是八月几号？请说明理由． 【答案】（1）12； （2）对应的生肖是蛇．理由如下： 因为    所以对应的生肖是蛇． （3）他的生日是八月18号．理由如下： 因为     所以他的生日是八月18号． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解二进制、十进制数的定义以及计算方法是正确解答的关键． （1）根据二进制与十进制的计算方法进行计算即可； （2）根据二进制的定义以及与十进制的计算方法进行计算即可； （3）根据二进制的定义以及与十进制的计算方法进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）略 （3）略 【基础题型六 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例1】（25-26七年级上·四川乐山·期末）2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正整数指数科学记数法， “对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）将数字302000用科学记数法表示为______． 【答案】 【详解】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 解：302000用科学记数法表示为：． 故答案为． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）赫兹是频率的单位，常用的频率单位还有“千赫、兆赫、吉赫”．某国产芯片的频率为，其中一兆赫等于一百万赫兹．则该芯片的频率用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法，有理数的乘法的实际应用，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：． 答：该芯片的频率用科学记数法可表示为． 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·单元复习）已知的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤所产生的能量，那么我国约万的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧_______千克煤所产生的能量． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知1cm3的氢气质量约为0.00009g，请用科学记数法表示下列计算结果． （1）求一个容积为8000000cm3的氢气球所充氢气的质量； （2）一块橡皮重45g，这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的多少倍． 【答案】（1）7.2×102g；（2）5×105倍． 【详解】试题分析: （1）先用乘法求出氢气球所充氢气的质量, 再用科学记数法表示最终结果.（2）先用除法计算出这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的多少倍，再用科学记数法表示最终结果. 试题解析:（1）8000000×0.00009=7.2×102 (g)    （2）45÷0.00009=500000=5×105，故这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的5×105倍. 【基础题型七 将用科学记数法表示的数变回原数】 【例1】（2026七年级上·安徽合肥·专题练习）表示的原数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据科学记数法的定义，移动小数点即可得到原数． 【详解】解：科学记数法形式为（，为正整数），还原原数时需将的小数点向右移动位， 本题中，，将的小数点向右移动位， 得到原数为． 【例2】（2026七年级上·安徽合肥·专题练习）北京故宫的占地面积大约为平方米，用科学记数法表示的数，原来是__________ 【答案】720000 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为正整数，将其还原为原数，只需将的小数点向右移动位即可． 【详解】解：． 1．（2026·河南周口·三模）2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原为原数，根据科学记数法定义，将还原时，只需把的小数点向右移动位即可得到原数． 【详解】中， 将的小数点向右移动位，得到原数为，故选B． 2．（2026七年级上·安徽合肥·专题练习）全球每年大约有立方米的水从海洋和陆地转化为大气中的水蒸气，将科学记数法表示的数还原为原数是__________ 【答案】577000000000000 【详解】解：． 3．（25-26七年级上·全国·随堂练习）下列用科学记数法表示的数，原来分别是什么数？ ． 【答案】10000000，4000，8500000，704000，39600000 【分析】本题主要考查了绝对值较大的科学记数法，熟练掌握其中正整数）表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向右移动位所得的数是解题的关键．据此即可求解． 【详解】解：； ； ； ； ． 【提高题型一 有理数乘方中规律探究问题】 【例1】（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）按一定的规律排列的一列数依次为：1、4、9、、、…，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，数字类规律探索等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 观察数列，发现每个数都是其序号的平方，由此求解即可． 【详解】解：∵按一定的规律排列的一列数依次为：1、4、9、、、…， 依次可写为、、、、、、…， ∴第7个数为， 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 【答案】 11 15 【分析】此题主要考查了含乘方的数字变化规律，得出数字之间的运算规律是解题关键． （1）根据所给等式两边数字变化规律可得答案； （2）根据所给等式两边数字变化规律列出等式即可． 【详解】解：（1）∵； ； ； ； … 故，， 故答案为：11，15； （2）第n个等式为； 故答案为：． 1．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为（   ） A．271 B．143 C．141 D．75 【答案】A 【分析】本题考查了数字变化规律，观察出上边的数与左边的数的和正好等于右边的数是解题的关键．由图可知：上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，上边的数为连续的奇数，左边的数为，，，…，由此可得，． 【详解】解：由图可知，图片上方的数为连续的奇数，，，，，…， 图片下方左边的数为，，，…， 图片下方右边的数为上方的数与左边数的和，，，…， 由，解得． ∴， ∴． 故选． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）大衍数列：，…，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，对于按一定规律排列的数：，…，依此规律排列，则大衍数列的第11个数是________． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律，乘方的运算，理解材料的计算方法，找出规律是关键，根据材料提示的计算方法，设为序号（的正整数），即第个数，其计算规律为：当序号是奇数时，第个数为，当序号是偶数时，第个数为，第11个数为奇数，由此代入计算即可求解． 【详解】解：设为序号（的正整数），即第个数， ∴，即第1个数，序号为奇数，对应的数字为：， ，即第2个数，序号为偶数，对应的数字为：， ，即第3个数，序号为奇数，对应的数字为：， ，即第4个数，序号为偶数，对应的数字为：， ，即第5个数，序号为奇数，对应的数字为：， ， 当，即第11个数，序号为奇数，对应的数字为：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·广东汕头·阶段检测）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题： (1)观察算式：；；；．请根据你发现的规律填空：______； (2)用含的等式表示上面的规律：______；（为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题： 计算：． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，有理数的计算： （1）先计算出，再根据乘方的逆运算法则求解即可； （2）观察可知等式左边第一个乘数为序号，第二个乘数为序号加2，加数为1，等式右边为序号加1的平方，据此规律求解即可； （3）先把括号内的式子通分，再根据（2）的规律求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：9； （2）解：； ； ； ； ……， 以此类推可知，第n个等式为， 故答案为：； （3）解： ， ． 【提高题型二 二进制问题】 【例1】（25-26七年级上·广西玉林·期末）计算机使用二进制，它共有两个数码．将十进制数转化为二进制，只需把该数写成若干个数的和，依次写出或即可．如，为二进制下的五位数，则十进制是二进制下的（   ） A．7位数 B．8位数 C．9位数 D．10位数 【答案】B 【分析】本题主要考查十进制数与二进制数的转换，读懂题意，理解题中十进制转换为二进制的方法是解决问题的关键． 按照题中方法，先将十进制数拆分为若干个数的和，再转化为二进制数表示方法，即可判断其位数． 【详解】解：∵，，， ∴ ， 则十进制是二进制下的位数， 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·河南开封·期中）我们常用的十进制，如：，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中．相当于十进制中的7，又如：．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的___________． 【答案】11001 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．本题的关键点是考生要在十进制的基础上理解二进制的表示方式，发现规律，应用规律，此题较为新颖，是近几年的常考题.根据题意，结合题意，将十进制数25表示为，继而得解． 【详解】解：，因此最高位为1，剩余； ，因此下一位为1，剩余； ，因此下一位为0； ，因此下一位为0； ，因此最后一位为1， ∴， ∴二进制表示为11001， 故答案为：11001． 1．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用下标表示二进制数，例如，就是二进制数1011的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，爱国查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 根据以上材料，把234转换为五进制数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算． 根据十进制数转化为五进制数的方法可以将234转换为五进制数． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）生活在数字时代的我们，很多场合都使用二维码来表示不同的信息，二维码的工作原理基于二进制算法．如图是王强工号的二维码的简易编码，其中黑色方块代表二进制数值“1”，白色方块代表“0”．第一行代表二进制的数字11000，转化成十进制数为：，第二行代表二进制的数字1100，转化成十进制数为12；第三行代表二进制的数字1111，转化成十进制数为15；…将每行编码分别转化为十进制数后，从左到右排序组成一个数字串，就是王强的工号，则王强的工号为_______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，将第四行和第五行的二进制数字转化为十进制数，即可得出结果． 【详解】解：由题意，第四行代表二进制的数字为，转化为十进制数为； 第五行代表二进制的数字为，转化为十进制数为； ∴王强的工号为； 故答案为：． 3．（2026·湖北襄阳·三模）请完成以下数学活动： 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． （十六进制数使用0—9和A—F来表示，其中10，11，12，13，14，15这五个数分别用字母A，B，C，D，E，F表示）． n（，且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1： (1)将下列进制数转化为十进制数： ①______；②______； (2)现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小． 任务2： (3)十进制数21转化为二进制数得． (4)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数． 根据小勤的思路可以得出：． 【答案】(1)①13 ，②435 (2) (3)10101 (4)2D 【分析】（1）根据进制数的位值表示法，将每一位数字乘以对应基数的幂次后求和，即可转化为十进制． （2）分别将三进制数和二进制数转化为十进制数，再比较大小． （3） 采用“除二余法”将十进制数反复除以，记录余数，倒序排列即为二进制结果． (4) 先将二进制数按位值展开转化为十进制数，再用“除十六取余法”将十进制数转化为十六进制数． 【详解】（1）解：① ． ② ． （2）解：， ， ， ． （3）解：用除取余法， ， ， ， ， ， 将余数从下往上倒序排列，得． （4）解：第一步，将二进制数转化为十进制数： ． 第二步，用除16取余法将45转化为十六进制数： ， ， 将余数从下往上倒序排列，得， ． 1．（2026·河南周口·三模）2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原原数，根据科学记数法的定义，对于（，为正整数），还原时只需将的小数点向右移动位即可得到原数。 【详解】解：∵题目中给出的科学记数法为，其中， ∴将的小数点向右移动位，得到原数为． 2．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算． 按照运算法则，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，原等式不成立，不符合题意； B．，原等式不成立，不符合题意； C．，，原等式不成立，不符合题意； D．，原等式成立，符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）所表示的含义是（      ） A．乘以12 B．5个12 相乘 C．12个相加 D．12个相乘 【答案】D 【分析】本题考查了乘方的意义，表示个相乘． 根据乘方的意义作答即可． 【详解】所表示的含义是12个相乘． 故选：D． 4．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）若是负数，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方的定义即可依次判断． 【详解】解：A、是负数，则，不符合题意； B、是负数，则，不符合题意； C、是负数，则，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方，解题的关键是熟知乘方的运算法则． 5．（25-26七年级上·河北唐山·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 【答案】C 【分析】根据已知条件可以得到这样的规律：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成． 【详解】解：根据已知条件可以得到这样的规律： 11的平方是121，中间的数字是2，111的平方是12321，中间的数字是3，…… 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成；所以的结果是1234567654321， 故选C． 【点睛】本题主要考查了观察式子找规律，找到对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成的规律是解题的关键． 6．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）用激光测距仪测得两地之间的距离为米，将用科学记数法表示为___ 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法的运用，根据其形式，本题确定的方法是，当原数变为时，小数点向左移动的位数即为的值，由此即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·河南焦作·期中）________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算．根据有理数的乘方运算法则计算，即可． 【详解】解：． 故答案为： 8．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 【答案】3 【分析】本题考查了新定义运算． 根据题目给出的新定义计算即可． 【详解】解：根据新定义，若，则． ∵， ∴， 即． 故答案为：3． 9．（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，对于任意正整数，有，令，，即可求得答案． 【详解】根据题意可知，对于任意正整数，有． 令，，可得 ． 即 ． 故答案为： 10．（25-26七年级上·北京·期中）某聊天软件的客户等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一个星星为1级，4个星星升级为1个月亮（即1个月亮为4级），4个月亮升级为1个太阳，4个太阳升级为1个皇冠（如图1）．小军一家的聊天软件等级标识图如图2所示，其中小军的等级为级．那么妈妈的等级为__________级，爸爸的等级为__________级． 【答案】 13 103 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，根据题意列出算式，然后求解即可． 【详解】解：由题意得，妈妈的等级为级， 爸爸的等级为级， 故答案为：13，103． 11．（25-26七年级上·全国·随堂练习）（1）中，底数、指数各是什么？ （2）中叫做什么数？8叫做什么数？是正数还是负数？ 【答案】（1）底数是，指数是8；（2）中叫做底数，8叫做指数，是正数． 【分析】（1）根据乘方的定义，a•a•...•a（n个a）=an，a是底数，n是指数，进而解决本题； （2）根据有理数的乘方的概念即可回答． 【详解】解：（1）中，底数是，指数是8； （2）中叫做底数，8叫做指数，是正数． 【点睛】本题考查有理数的乘方，关键是根据有理数的乘方的概念解答．注意：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． 12．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、有理数乘方的逆运算等知识点，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键． （1）根据阅读材料中的运算过程变形即可解答； （2）根据阅读材料，结合根据（1）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：，． （2）解：由（1）的结论可得：． 13．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； (2)请探索出的个位数字． 【答案】(1)3，2 (2)7 【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算． （1）此题不难发现：的个位数字是7，9，3，1四个一循环，所以，则的个位数字是3；的个位数字是8，4，2，6四个一循环，所以，则的个位数字是2； （2）分别找出，，的个位数字，然后个位数字相加所得个位数字就是的个位数字． 【详解】（1）解：∵， ∴7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为3； ∵， ∴8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现．因为， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为2； （2）解：∵， ∴2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ∴的个位数字与相同，是2， 根据（1）可知，的个位数字是7，的个位数字是8，， ∴的个位数字是7． 14．（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)29 (2) (3)存在， 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵a为负数， ∴； （3）解：存在，理由如下， ， ∵，， ∴，， 解得，，． 15．（25-26七年级上·广东江门·期末）【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 【答案】（1）10；（2）25；（3）69天 【分析】本题考查有理数乘方的应用，理解二进制、五进制的意义是解题的关键． （1）根据题干中的方法计算即可； （2）分别将和转化为十进制数，相加即可； （3）仿照二进制数转化成十进制数的方法计算． 【详解】解：（1）， 故答案为：10； （2） ； （3）由题意知，图示中的五进制数为， ， 即孩子已经出生69天． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 有理数的乘方重难点题型专训（2个知识点+7大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、有理数幂的概念理解 1 题型二、有理数的乘方运算 2 题型三、有理数乘方逆运算 3 题型四、乘方运算的符号规律 4 题型五、乘方的应用 5 题型六、用科学记数法表示绝对值大于1的数 6 题型七、将用科学记数法表示的数变回原数 7 第二部分·练提高题型 题型一、有理数乘方中规律探究问题 1 题型二、二进制问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广东深圳·期末）能写成一个整数的平方的数称为平方数，下列整数不是平方数的是（     ） A．1 B．4 C．8 D．121 2．（25-26七年级上·福建福州·期末）________． 知识点02 科学计数法 （1）把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即），n是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。 （2）把还原成原数时，只需把a的小数点往前移动n位。 【即时训练】 1．（2026·安徽合肥·二模）据预测，到2026年，安徽省常住人口约6113万人，6113万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2026七年级上·安徽合肥·专题练习）中国的森林面积大约为公顷，将其还原为原数是__________． 【基础题型一 有理数幂的概念理解】 【例1】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·河北保定·期末）为了简便，可以将记为_____． 1．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）表示（    ） A．4乘以 B．5个连乘 C．5个连加 D．4个连乘 2．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测），，说说它们的意义与读法． ，表示4个相乘，读作____________． 表示4个2相乘的相反数，读作__________或____． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）请指出下列各式表示的意义： ，，，，． 【基础题型二 有理数的乘方运算】 【例1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·全国·期末）计算： ______． 1．（2026·河北沧州·二模）可以记作（    ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·山东淄博·阶段检测）观察下列等式：；；；；；…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是____ ． 3．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【基础题型三 有理数乘方逆运算】 【例1】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·四川成都·期末）若，，则______． 1．（2026·重庆·三模）下列四个数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段检测）已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 【基础题型四 乘方运算的符号规律】 【例1】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A．25 B． C．1 D． 【例2】（24-25七年级上·甘肃白银·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是_____． 1．（25-26七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026·甘肃武威·模拟预测）观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 3．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 【基础题型五 乘方的应用】 【例1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【例2】（2026·河南周口·二模）我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 1．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1．将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成0或1与基数2的幂的乘积之和的形式．如为二进制下的5位数，则十进制数2049是二进制下的（    ） A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 2．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，．．．，则第1天到第5天一共截取的长度为___________米． 3．（25-26七年级上·福建南平·期末）我们知道，十进制是逢十进一，十进制数3742中的3表示3个千，7表示7个百，4表示4个十，2表示2个一，于是得到下面的式子：．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1． 为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数．将(1011)2转换为十进制数，如下：． 小明设计一种游戏：将十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”按顺序分别编号为1到12．四张卡片A，B，C，D上的数字为0或1（顺序为），如：A．1，B．1，C．0，D．0，记为，然后将二进制数转换为十进制数，就可能得到对应生肖的编号． （1）请将二进制数转换为十进制数； （2）若A，D卡片上的数字都为0，B，C卡片上的数字都为1，对应的生肖是什么？请说明理由． 【拓展应用】 （3）小华设计一个“猜生日”的游戏，用5张卡片A，B，C，D，E组成的二进制数来表示1号到31号中的一天，五张卡片A，B，C，D，E上的数字为0或1（顺序为）．他的生日是八月的某天，若A，D卡片上的数字都为1，其他卡片上的数字都为0，他的生日是八月几号？请说明理由． 【基础题型六 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例1】（25-26七年级上·四川乐山·期末）2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）将数字302000用科学记数法表示为______． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）赫兹是频率的单位，常用的频率单位还有“千赫、兆赫、吉赫”．某国产芯片的频率为，其中一兆赫等于一百万赫兹．则该芯片的频率用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·单元复习）已知的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤所产生的能量，那么我国约万的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧_______千克煤所产生的能量． 3．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知1cm3的氢气质量约为0.00009g，请用科学记数法表示下列计算结果． （1）求一个容积为8000000cm3的氢气球所充氢气的质量； （2）一块橡皮重45g，这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的多少倍． 【基础题型七 将用科学记数法表示的数变回原数】 【例1】（2026七年级上·安徽合肥·专题练习）表示的原数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026七年级上·安徽合肥·专题练习）北京故宫的占地面积大约为平方米，用科学记数法表示的数，原来是__________ 1．（2026·河南周口·三模）2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026七年级上·安徽合肥·专题练习）全球每年大约有立方米的水从海洋和陆地转化为大气中的水蒸气，将科学记数法表示的数还原为原数是__________ 3．（25-26七年级上·全国·随堂练习）下列用科学记数法表示的数，原来分别是什么数？ ． 【提高题型一 有理数乘方中规律探究问题】 【例1】（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）按一定的规律排列的一列数依次为：1、4、9、、、…，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 1．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为（   ） A．271 B．143 C．141 D．75 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）大衍数列：，…，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，对于按一定规律排列的数：，…，依此规律排列，则大衍数列的第11个数是________． 3．（24-25七年级上·广东汕头·阶段检测）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题： (1)观察算式：；；；．请根据你发现的规律填空：______； (2)用含的等式表示上面的规律：______；（为正整数） (3)利用找到的规律解决下面的问题： 计算：． 【提高题型二 二进制问题】 【例1】（25-26七年级上·广西玉林·期末）计算机使用二进制，它共有两个数码．将十进制数转化为二进制，只需把该数写成若干个数的和，依次写出或即可．如，为二进制下的五位数，则十进制是二进制下的（   ） A．7位数 B．8位数 C．9位数 D．10位数 【例2】（25-26七年级上·河南开封·期中）我们常用的十进制，如：，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中．相当于十进制中的7，又如：．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的___________． 1．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用下标表示二进制数，例如，就是二进制数1011的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，爱国查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 根据以上材料，把234转换为五进制数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）生活在数字时代的我们，很多场合都使用二维码来表示不同的信息，二维码的工作原理基于二进制算法．如图是王强工号的二维码的简易编码，其中黑色方块代表二进制数值“1”，白色方块代表“0”．第一行代表二进制的数字11000，转化成十进制数为：，第二行代表二进制的数字1100，转化成十进制数为12；第三行代表二进制的数字1111，转化成十进制数为15；…将每行编码分别转化为十进制数后，从左到右排序组成一个数字串，就是王强的工号，则王强的工号为_______． 3．（2026·湖北襄阳·三模）请完成以下数学活动： 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． （十六进制数使用0—9和A—F来表示，其中10，11，12，13，14，15这五个数分别用字母A，B，C，D，E，F表示）． n（，且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1： (1)将下列进制数转化为十进制数： ①______；②______； (2)现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小． 任务2： (3)十进制数21转化为二进制数得． (4)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数． 根据小勤的思路可以得出：． 1．（2026·河南周口·三模）2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 2．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）所表示的含义是（      ） A．乘以12 B．5个12 相乘 C．12个相加 D．12个相乘 4．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）若是负数，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·河北唐山·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 6．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）用激光测距仪测得两地之间的距离为米，将用科学记数法表示为___ 7．（25-26七年级上·河南焦作·期中）________． 8．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 9．（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 10．（25-26七年级上·北京·期中）某聊天软件的客户等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一个星星为1级，4个星星升级为1个月亮（即1个月亮为4级），4个月亮升级为1个太阳，4个太阳升级为1个皇冠（如图1）．小军一家的聊天软件等级标识图如图2所示，其中小军的等级为级．那么妈妈的等级为__________级，爸爸的等级为__________级． 11．（25-26七年级上·全国·随堂练习）（1）中，底数、指数各是什么？ （2）中叫做什么数？8叫做什么数？是正数还是负数？ 12．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 13．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； (2)请探索出的个位数字． 14．（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 15．（25-26七年级上·广东江门·期末）【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 学科网（北京）股份有限公司 $