16.3.1 平方差公式-课件-2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦平方差公式，通过“97×103转化为(100-3)(100+3)”的实例导入，承接多项式乘多项式法则，构建从一般到特殊的学习支架，为整式化简及后续因式分解奠定基础。 其亮点是融合几何直观与分层训练，通过大正方形截小正方形的面积推导公式，培养数学眼光，探究过程从具体计算到规律验证，发展推理意识，易错总结针对性强，助力学生掌握“一同一反”结构，提升运算能力，也为教师提供系统教学资源。

人教版（新教材）数学八年级上册 第16章 整式的乘法 16.3.1 平方差公式 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/1 16.3.1 平方差公式 专项练习（人教版八年级上册） 一、核心知识点梳理 平方差公式是初中整式乘法中首个重要乘法公式，是整式化简、简便运算、后续因式分解的核心基础，承接多项式与多项式相乘的运算规则，实现特殊结构整式的快速运算。本节核心公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，字母表达式为$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$。公式结构特征极为关键：等式左边必须是一项完全相同、一项互为相反数的两个二项式相乘；等式右边为相同项的平方减去相反项的平方。公式中的$$a$$、$$b$$可代表数字、单项式、多项式等整体代数式，应用范围广泛。核心解题思路：先识别式子结构，找准“同项”和“反项”，再套公式运算，同时可逆向运用公式$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$，用于后续因式分解与简便计算。 二、基础专项练习（选择+填空） 1. 下列算式中，能使用平方差公式计算的是（）A.$$(a+b)(a+b)$$ B.$$(a-b)(b-a)$$ C.$$(a+2b)(a-2b)$$ D.$$(2a+b)(a-2b)$$ 2. 计算$$(x+3)(x-3)$$的结果是（）A.$$x^2-9$$ B.$$x^2+9$$ C.$$x^2-6x+9$$ D.$$x^2+6x-9$$ 3. 填空：$$(2a+1)(2a-1)=$$______；$$(x-5y)(x+5y)=$$______。 4. 化简：$$(-m+2n)(-m-2n)=$$______。 5. 若$$x^2-16=(x+a)(x-4)$$，则a的值为______。 三、提升专项练习（计算+解答） 1. 基础计算题：（1）$$(3x+2y)(3x-2y)$$ （2）$$(-2a-b)(-2a+b)$$ （3）$$(4m+n)(4m-n)$$ 2. 简便运算题：（1）$$99\times101$$ （2）$$59.8\times60.2$$ 3. 整式化简题：$$(x+2)(x-2)-(x-1)(x+3)$$ 4. 代数式求值题：已知$$x=3$$，求$$(2x+1)(2x-1)-4(x-1)^2$$的值。 四、参考答案与详细解析 基础练习解析：1. C 解析：平方差公式需满足一同一反结构，A为完全相同，B两项均互为相反数，D无统一相同项，只有C符合公式结构。2. A 解析：依据公式，相同项$$x$$平方减相反项$$3$$平方，结果为$$x^2-9$$。3. $$4a^2-1$$、$$x^2-25y^2$$ 解析：直接套用平方差公式，分别对两项平方作差即可。4. $$m^2-4n^2$$ 解析：相同项为$$-m$$，相反项为$$2n$$，原式$$=(-m)^2-(2n)^2=m^2-4n^2$$。5. 4 解析：逆向公式$$x^2-16=x^2-4^2=(x+4)(x-4)$$，对比得$$a=4$$。 提升练习解析：1.（1）$$9x^2-4y^2$$；（2）$$4a^2-b^2$$；（3）$$16m^2-n^2$$，找准同项与反项，准确平方作差。2.（1）原式$$=(100-1)(100+1)=100^2-1=9999$$；（2）原式$$=(60-0.2)(60+0.2)=3600-0.04=3599.96$$，利用公式实现整数、小数简便运算。3. 原式$$=x^2-4-(x^2+2x-3)=x^2-4-x^2-2x+3=-2x-1$$，先套公式再多项式展开，最后合并同类项。4. 先化简原式$$=4x^2-1-4(x^2-2x+1)=4x^2-1-4x^2+8x-4=8x-5$$，代入$$x=3$$得$$24-5=19$$。 易错总结：一是无法准确识别公式结构，对一同一反的特征判断失误，乱用公式；二是平方运算不完整，漏给系数、字母整体平方，如$$(2a)^2$$误算为$$2a^2$$；三是混淆平方差与完全平方公式，概念混淆导致结果错误；四是负数、括号整体平方时符号出错；五是混合运算中套用公式后，去括号、合并同类项步骤出错。本套练习覆盖基础公式应用、简便运算、整式混合化简、代入求值等高频考点，贴合课本重难点与中考基础题型，帮助学生精准识别公式结构，熟练掌握平方差公式的正向与逆向应用。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 掌握平方差公式的推导及应用. 理解平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，了解公式的几何背景，体会从一般到特殊和数形结合的思想. 了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法. 某同学在计算97×103时将其变成(100–3)×(100+3)并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节课，我们就来一起探讨上述计算的规律. 观察与思考 情境导入 ① ( x＋1) ( x－1)； ② (m＋2) (m－2)； ③ (2x＋1)(2x－1)； 探究1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ x2－12 m2－22 (2x)2－12 两数的___ 两数的___ 和 差 两数____的差 平方 探究点一：平方差公式 探究新知 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 猜想 (a + b)(a − b) = = a2 − b2. 验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？ a2 − ab + ab − b2 对于任意数字 a，b 根据多项式乘多项式法则有： 探究点一：平方差公式 探究新知 两个数的___与这两个数的___的积，等于 这两个数的平方差. 平方差公式 运算法则： 文字说明： 和 差 (a + b)(a − b) = a2 − b2. 探究点一：平方差公式 探究新知 (a - b) b b (a + b) 如何利用几何的形式解释平方差公式？ (a + b)(a − b) = a2 − b2 探究点一：平方差公式 探究新知 探究 2：如图所示，阴影部分是一个边长为 a 的大正方形的右下角截去了一个边长为 b 的小正方形.截完后阴影部分的面积是多少？ a b a b a2 - b2 = (a + b)(a - b) 成立吗？ 几何论证： 探究点一：平方差公式 探究新知 问题 1：你能用含 a，b 的式子表示变形前后阴影部分的面积吗？你发现了什么规律？ 变形前阴影部分面积为： a2 - b2 变形后阴影部分面积为： (a + b)(a − b) a b a b a (a-b) b a2 - b2 = (a + b)(a - b) 规律 还有几何其他的方法吗？ 探究点一：平方差公式 探究新知 a b a b a a-b b a a-b b a a b b a-b 其他方法： 算一算！ 探究点一：平方差公式 探究新知 例1 计算：(1) (3x＋2)(3x－2)；(2) (－x＋2y)(－x－2y). 解：(1) (3x＋2)(3x－2) ＝ (3x)2－ (a ＋ b) (a － b) ＝ a2 － b2 ＝ 9x2－4. 22 探究点二： 运用平方差公式进行计算 注意：实际使用平方差公式时，a，b可以是数、字母、式子等形式. 探究新知 (2) (－x＋2y)(－x－2y). 解：(2) (－x＋2y)(－x－2y) ＝ (－x)2－ ＝ x2－4y2. (2y)2 相同看作 a 相反看作 b 探究点二： 运用平方差公式进行计算 探究新知 1．计算(3x－2)(3x＋2)的结果是(　　) A．9x2－4 B．9x2＋4 C．6x2－4 D．9x2－12x－4 A 返回 举一反三 13 返回 2．唐山路北区期中下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是(　　) A．(m－n)(－m＋n) B．(m＋n)(－m＋n) C．(m－n)(m－n) D．(－m－n)(－m－n) B 举一反三 14 返回 3．计算：(a＋b)(b－a)＝________． 举一反三 15 (1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 应用平方差公式计算时，应注意： (2) 符号相同看作 a ，符号相反看作 b，套用公式. 中的各项，除符号外是否完全相同)； (1) 观察该运算是否符合平方差公式 (两个多项式 探究点二： 运用平方差公式进行计算 探究新知 a b a2－b2 1 x －3 a 12－x2 (－3)2－a2 a 1 a2－12 a + b 1 (a + b)2－12 (a + b)(a - b) (1 + x)(1 - x) (-3 + a)(-3 - a) (a + b - 1)(a + b + 1) (1 + a)(-1 + a) 探究点二： 运用平方差公式进行计算 【填一填】 探究新知 【练一练】1.利用平方差公式计算： (1) (3x－5)(3x＋5)； (2) (－2a－b)(b－2a)； (3) (－7m＋8n)(－8n－7m)． 解：(1) 原式＝(3x)2－52＝9x2－25. (2) 原式＝(－2a)2－b2＝4a2－b2. (3) 原式＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2. 探究点二： 运用平方差公式进行计算 探究新知 例2 计算： (2) (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5) ； (3) 102×98. (1) ( x－1)( x + 1 )( x2 + 1 )； 解：(1) ( x－1)( x + 1 )( x2 + 1 ) = ( x2－1)( x2 + 1 ) = x4－1； 探究点二： 运用平方差公式进行计算 探究新知 (3) 102×98 = 1002－22 = 10000－4 = (100＋2)(100－2) = 9996. (2) (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5) = y2 – 22 – (y2 + 4y – 5) = y2 – 4 – y2 – 4y + 5 = – 4y + 1. 不符合公式条件的乘法，仍按乘法法则进行运算. 探究点二： 运用平方差公式进行计算 i 探究新知 例3 利用平方差公式计算： (3x＋y－2)(3x＋2＋y)－12＝0，求 3x＋y. 解：(3x＋y)2－22＝12， (3x＋y)2＝16， (3x＋y)＝±4. 分析： (3x＋y－2)(3x＋y＋2)－12＝0 相同 相反 探究点二： 运用平方差公式进行计算 探究新知 返回 4.如果，，那么 _______. 2 026 举一反三 22 5. 如图①，把一张 长方形纸片沿着线段 剪开，把剪 成的两张纸片拼成如图②所示的图 形. （1）设图①中阴影部分的面积为 解：, . ，图②中阴影部分的面积为，请直接用含，的式子表示， ； 举一反三 23 返回 （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式. 解： . 举一反三 6.计算： （1） ; 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ; 解：原式 . 举一反三 25 （5） . 解：原式 . 返回 举一反三 26 返回 7.用简便方法计算，将 变形正确的是( ) C A. B. C. D. 举一反三 27 返回 8.［教材P练习T 变式］运用平方差公式进行简便计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 举一反三 28 返回 9.若，则 的值为( ) B A.4 B.16 C.24 D.32 举一反三 29 返回 10.对于任意正整数，能整除式子 的 整数是( ) C A.3 B.6 C.10 D.9 举一反三 30 平方差公式 内容 注意 两数的___与这两数的___的积，等于这两个数的平方差 字母表示：(a + b)(a－b) = a2－b2 (1) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式 (2)符号相同为 a，符号相反为 b 和 差 课堂小结 谢谢观看 THANKS $