北京市第五十五中学2026-2027学年第一学期8月开学考试高三数学试卷

北京市第五十五中学2026一2027学年度第一学期 8月开学测试卷 高三数学 本试卷共6页，共150分，考试时长120分钟 第一部分（选择题共40分) 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项，把答案填在答题纸上) 1.设A={xx>1,B={xx2-2x-3<0},则(CRA)nB=() A.{xlx>-1} B.{x|-1<x≤1} C.{x|-1<x<1 D.{x1<x<3} 2.若复数z满足(1+)z=1+川，则z的虚部为() A.-V2i B.-V2 c.-5 D.、② 2 2 3.已知a=0.31.5,b=log150.3,c=1.50.3,则（) Aa<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a 4.己知平面向量d=(1,2),b=(2,m),若(a+b1(a-b,则实数m=( A.-1 B.1 C.-1或1 D.4 5.已知函数f()=函数f)的最小正周期为() A月 B.π C. D.2π 6.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P为C上的任意点，若点A使得AP|+|PF的最小值为4，则 选项中，符合题意的点A可为() A.(4,2) B.(4,4) C.(3,3) D.(3,4 高二数学第1页共6页 7.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关如图为某校数学社团用数学软件制 作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB,作一个等边三角形ABC,然后以点B为圆 心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时 针画圆弧交线段AC的延长线于点E,再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧.以此类推，当得到的“蚊 香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为() 蚊香 A.44n B.64元 C.70π D.80π 8.已知数列{an}满足an+1=sinan,nEN,，则“a1≥0"是“任意nEW,都有an+1≤an"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五面体.如图，在羡除ABCDEF 中，底面ABCD是正方形，EF∥平面ABCD,EF=2,其余棱长都为1，则这个几何体的体积为() D B A.2V2 B.2 C.2v 3 D号 10.全集U={(x,y)x,yER),集合A={(x,y)xc0s0+y-4)sin0=1,0≤6≤2π}，已知集合A的补 下列 集CwA所对应区域的对称中心为M,点P是线段x+y=8(x>0,y>0)上的动点，点Q是x轴上的 动点，则△MPQ周长的最小值为() A.24 B.4y10 C.14 D.8+4√2 高二数学第2页共6页 第二部分（非选择题 共110分) 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸上) 11.(1-2x)1的展开式中x项的系数为 12函数f)==的定义域为 13.若双曲线经过点(1，V3,其渐近线方程为y=士2x,则双曲线的方程是 14.已知函数f因=亿t42+a父1若f网的最小值为f),则a的一个取值为 a的最大值为 15.己知曲线G:xx|+yy川=4,0为坐标原点.给出下列四个结论： ①曲线G关于直线y=x成轴对称图形： ②经过坐标原点O的直线与曲线G有且仅有一个公共点： ③直线：x+y=2与曲线G所围成的图形的面积为π-2； ④设直线L:y=kx+2,当k∈(-1,0)时，直线l与曲线G恰有三个公共点.其中所有正确结论的序 三、解答题（共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程) 16.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角A的角平分线交BC于点D, 且asinC-=ccos2 (1)求A: (2)若b=2,且△ABC的面积为，角A的角平分线为AD,求AD的长. 高二数学第3页共6页 17.为测试A、B两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号 后随机分配给这两款软件测试.每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下： A软件 B软件 试题类别 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 函数试题 30 24 20 18 几何试题 20 16 30 20 (1)估计B软件能正确解答数学问题的概率： (2)小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相同），其中函数 2道，几何1道；使用A软件解答2道函数试题，使用B软件解答1道几何试题：每道试题只用其中一款 软件解答一次.假设用频率估计概率，且每次解答相互独立.用X表示3道类似试题被正确解答的个 数，求X的分布列与数学期望： 号是 (3)小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同）， 但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是函数题的概率为，几何题的概率为假设用频率估计概 率，试说明小明用哪款软件正确解答这道试题的概率大？（结论不要求证明） 18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，且AA1=A1B=A1C. (1)求证：四边形BB1C1C是矩形： (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求直线AC1与平面A4BB所成角的 正弦值. 条件①：平面ABC⊥平面AA1C1C; B 条件②：三棱柱ABC一A1B1C1的体积为2√2： 条件③：三棱锥A1-ABC是正四面体， 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选 择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. B 高二数学第4页共6页 19.已知椭圆E:三+5=1(a>b>0)的短轴长为23，过左焦点(-1,0)作两条互相垂直的 直线I1,l2,分别交椭圆E于A,B和C,D四点.设AB,CD的中点分别为M,N. (1)求椭圆E的方程； (2)直线MN是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由. 20.已知函数f(x)=alnx+x-1,其中a∈R. (1)求f(x)的单调区间： (2)若f(x)≥0恒成立. ①求实数a的值： ②判断方程f(x)=cosx的根的个数，结论不要求证明 高二数学第5页共6页 21.己知{an}是无穷数列.给出两个性质： ①对于{a,}中任意两项a,a,>),在(a}中都存在一项am,使=am: ②对于a,}冲任意项a.>3),在(a,冲都存在两项a,a(k>).使得a.-盖 (1)若am=n(n=1,2,…),判断数列{an}是否满足性质①，说明理由； (2)若a,=2-1(n=1,2,…),判断数列{a}是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (3)若{a}是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{a}为等比数列. (考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效) 高二数学第6页共6页