精品解析：北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2026-2027学年第一学期开学练习高三数学试题

2026—2027学年度第一学期开学练习 高三数学 第一部分（选择题共40分） 一､选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因集合，则. 2. 已知命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据含有一个量词的否定得到答案即可. 【详解】命题p：，，则命题p的否定为，, 故选：D. 3. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过举特例可判断选项正误；对于C，由题设结合作差法可判断选项正误；对于D，先去掉绝对值，再由作差法可判断选项正误. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，取，则，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，， 又，则，故D正确． 4. 下列函数中，在定义域内单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，函数的定义域为， 而函数在上单调递减，则函数在上单调递增，故A错误； 对于B，函数的定义域为， 而函数在上单调递增， 则函数在上分别单调递减，故B错误； 对于C，函数的定义域为， 而函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，故C正确； 对于D，函数的定义域为， 而函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数在上单调递增，故D错误. 5. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由时即可排除A；由奇偶性可排除B；时0，则可排除C，故答案可求. 【详解】对于A，当时，，排除A； 对于B，因为， 所以函数为偶函数，与函数图象不符，排除B； 对于C，当时，由0，得，排除C， 故选：D． 6. 已知函数，且，则（ ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，使得 D. ，使得 【答案】B 【解析】 【分析】由得出的符号,可得抛物线的开口方向以及,根据选项逐一判断即可. 【详解】由可知，抛物线开口向上.因为，即1是方程的一个根，所以，都有， 故选:B. 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质,体现了转化思想和数形结合思想,考查学生分析问题解决问题的能力,属于中档题. 7. 若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数法求得极值点，再根据函数在内存在极值建立关于的不等式求解即可. 【详解】的定义域为，， 令，可得：或（舍）， 由在其定义域内的一个子集内存在极值， 可得：，解得， 所以实数的取值范围为． 8. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，即，分析可得，即可得出结论. 【详解】因为，所以，且， 由可得，即，因为，则， 因此，“”“”， 因此，“”是“”的充要条件. 故选：C. 9. 若函数的图像连续，则（ ） A. 存在是偶函数 B. 存在在处取到极值 C. 存在是减函数 D. 存在在处取最大值 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可以构造偶函数的例子满足题意，从而判定A；BCD都可以证明与题意矛盾，从而得到否定. 【详解】，是偶函数，且满足题意： 在实数范围内有定义，且函数图像时连续的； 时，，，； 时，； 时，由于当时，， 所以总存在使得. 对于B，若函数在处取到极小值，则时，取，即知不合题意； 若是取得极大值，则时，，不合题意. 对于C，必有时,不合题意. 对于D，取，则恒成立，与已知矛盾. 综上，只有A正确， 故选：A. 10. 对于函数，若存在实数，使，其中，则称为“可移倒数函数”，为“的可移倒数点”.设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用定义转化为求方程恰有3个不同的实根，再借助导数分段探讨零点情况即可. 【详解】依题意，， 由恰有3个“可移1倒数点”，得方程恰有3个不等实数根， ①当时，，方程可化为，解得， 这与不符，因此在内没有实数根； ②当时，，方程可化为， 该方程又可化为． 设，则， 因为当时，，所以在内单调递增， 又因为，所以当时，， 因此，当时，方程在内恰有一个实数根； 当时，方程在内没有实数根． ③当时，没有意义，所以不是的实数根． ④当时，，方程可化为， 化为，于是此方程在内恰有两个实数根， 则有，解得， 因此当时，方程在内恰有两个实数根， 当时，方程在内至多有一个实数根， 综上，的取值范围为． 故选：A 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡上. 11. 函数的定义域是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 12. 若命题“对，都有”是假命题，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求出命题“对，都有”是真命题时a的取值范围，再根据命题为假命题，可得答案. 【详解】若命题“对，都有”是真命题， 令,当且仅当时取等号， 所以命题为真命题时，，命题为假命题时，. 故答案为：. 13. 已知函数的定义域为，写出一个同时具有下列三个性质的函数___________． ①； ②若，则； ③． 【答案】（答案不唯一，均满足） 【解析】 【分析】根据给定条件①②，选定指数型函数，再验证各条件被满足即可. 【详解】由条件②知，函数在R上单调递减，由条件①知，函数符合指数运算，取， ，条件①成立； 函数在R上单调递增，则函数在R上单调递减，即，则，条件②成立； ，条件③成立， 所以（函数均可）. 故答案为： 14. 已知函数，当时的单增区间是_________；若且，使得成立，则实数的取值范围为_________． 【答案】 ①. 和 ②. 【解析】 【分析】当时，利用分段函数的基本性质可求出函数的递增区间；对实数进行分类讨论，讨论与的大小关系，结合可得出关于的等式，综合可得出实数的取值范围． 【详解】①：当时，， ：是开口向下的二次函数，对称轴为，因此在上单调递增，在上单调递减； ：是斜率为正的一次函数，因此在上单调递增； 因此的单增区间为和； ②：若，则，则，合乎题意； 若时： 若，则，显然若， 由于函数在上单调，故； 若，由可得， 整理得，解得或， 所以，解得， 且，解得，合乎题意，此时且； 若，由可得， 整理得，因为，解得，此时， 则，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是． 15. 已知函数，其中．给出下列四个命题： ①存在实数，使的值域为； ②存在实数，使有8个零点； ③对于任意实数，存在，使曲线是轴对称图形； ④对于任意实数，存在，使有3个极大值点． 其中所有正确命题的序号是___________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】举反例判断①，利用函数的性质结合函数图象判断②，对目标函数合理转化并利用轴对称的定义得到判断③，利用导数并结合零点存在性定理得到有2个极小值点，1个极大值点，进而得到的极值点情况判断④即可. 【详解】对于①，令，则，而，故①错误， 对于②，令，可得， 则，若有8个零点， 可得有4个零点， 且也有4个零点， 令，，，此时变为如下， 为， 令， 则研究与以及的交点即可， 如图，作出符合题意的图形， 此时与以及共有8个交点， 即存在实数，使有8个零点，故②正确， 对于③，令， 若曲线是轴对称图形，则是轴对称图形， 设的对称轴是，可得， 而 ， 可得，解得，故③正确， 对于④，由题意得， 当时，，当时，， 而，，， 对于任意实数，只需， 则，，， 结合零点存在性定理得存在作为零点， 且，，， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 可得有2个极小值点，1个极大值点， 又，所以， 有3个极大值点，故④正确. 三､解答题：本大题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16. 已知函数. （1）判断的奇偶性并证明； （2）若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）为奇函数，证明如下： 因为定义域为关于原点对称，且， 所以为奇函数 （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义即可判断求解； （2）根据指数函数的性质即可判断的单调性，进而结合函数奇偶性将对任意恒成立，转化为对任意恒成立，构造函数即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在是增函数，所以在上是减函数， 所以在上是增函数，故在上是增函数， 所以在上是增函数： 所以为奇函数且在是增函数， 又，所以， 所以对任意恒成立， 令，只需，解得， 所以，则的取值范围为. 17. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出集合，再根据集合并集求解即可. （2）根据得到，再根据集合之间的包含关系求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 所以， 当时，， ， 【小问2详解】 ，， ①若，则，解得； ②若，要使，则应满足． ，即，解得， 综上所述，所求实数a的取值范围是． 18. 已知函数的图象经过点；若任意，恒成立时，则的最小值为. （1）求函数的解析式及其单调递增区间； （2）若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，将其图象向右平移个单位得到函数的图象.若对，求的最大值与最小值，及其对应的的值. 【答案】（1），单调递增区间为 （2）时，，或时， 【解析】 【分析】（1）本题考查正弦型三角函数解析式、单调区间、图像平移变换以及闭区间上最值，由的最小值得到半周期，求出，代入最高点坐标求，利用整体代换求单调递增区间； （2）按照 “左加右减” 得到平移后，再换元求指定区间最值. 【小问1详解】 因为对任意恒成立，且的最小值为， 所以，根据，得到， 又因为的图象经过点，所以， 即，解得， 即，又因为， 所以取可得， 所以， 因为正弦函数的单调递增区间为，令， 所以，解得， 所以单调递增区间为； 【小问2详解】 ， 因为，所以， 当时，即时，， 当或时，即或时，. 19. 已知函数 （1）当时，求证:； （2）若在处取得极大值，求实数的取值范围； （3）若关于x的方程 有两个不同实根，写出实数的取值范围 【答案】（1）证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数单调性，进而求解证明最值； （2）求导，对参数进行分类讨论，进而结合函数单调性和极值确定的取值范围； （3）将方程解的问题转化为函数零点问题，构造函数，结合导数和零点存在定理求解. 【小问1详解】 证明：当时，，求导得：， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因此的最大值为，故，得证. 【小问2详解】 对求导并因式分解得：， 若：恒成立，时，时， 处取极大值，符合要求； 若：，时，时， 处取极大值，符合要求； 若：，单调递增，无极值，不符合； 若：，时，时， 处取极小值，不符合. 综上，的取值范围为： 【小问3详解】 整理方程，代入化简得：. 设，则有两个不同零点，， 若：，单调递增，最多1个零点，不符合； 若：令得，在递增，递减， 最大值为. 要存在两个零点，需最大值大于，即，得， 即，且和时，故有两个零点， 综上，的取值范围为：. 20. 已知函数.设为原点，动点在曲线上. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：直线的斜率大于1； （3）过点作直线的垂线，垂足为，当时，取得最小值；当时，取得最小值.求证：. 【答案】（1） （2）依题意，，直线的斜率， 不等式， 令函数， 求导得，由于在上单调递增 故在上单调递增， 而， 则存在，使得， 当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，， 令函数，求导得， 函数在上单调递减，，则， 所以，即直线的斜率大于1. （3）由垂直于直线于点，得直线方程为， 则点， 又，结合（2）得， 函数在处取得最小值，因此当时，取得最小值，， 令函数，求导得， 由在上单调递增，得在上单调递增，， 则存在，使得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值， 因此当时，取得最小值，，于是， 所以. 【解析】 【分析】（1）先求的导函数，因为导数在切点处的值是切线斜率，所以代入得到切线斜率，再计算得到切点坐标，最后用点斜式写出切线方程； （2）先写出斜率表达式，要证，等价于证，构造辅助函数，求导分析的单调性与最小值，证明最小值大于0即可； （3）先根据点到直线垂线的性质，用a表示出A点坐标，进而得到关于a的函数，分别求两个函数取最小值时对应的m、n满足的导数条件，再构造函数结合函数的单调性确定的取值范围，即可证明结论. 【小问1详解】 由，定义域为，且， 则，， 故曲线在点处的切线方程，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 设为正整数，若集合满足如下三个条件，则称具有性质： ①都是元素个数为的数集； ②对任意，集合的元素个数均为1； ③. （1）若集合具有性质，写出集合； （2）若集合具有性质，判断是否存在使得，并说明理由； （3）若集合具有性质，求的最大值. 【答案】（1） （2） 不存在，理由如下： 假设存在使得. 不妨设，设， ，，，. 由①②可知，a,b,c,d,e,f,g,h,l互不相同. 由③可知，存在集合与的交集不为， 且由②可知，集合与的交集中有且仅有一个元素， 不妨设集合为，且，故. 由②可知，的元素个数均为， 且均不为或， 所以集合或，或，或. 由于b,d,e,f,g,h,l互不相同，集合至少包含个元素，与①矛盾. 所以不存在使得. （3）13 【解析】 【分析】（1）假设，根据条件②来进行排除，同理排除，最终得出； （2）用反证法证明，根据三个条件寻找矛盾即可； （3）结合（2）先证明，最多属于中的4个集合，再列举出时符合题意，反证不符合题意即可. 【小问1详解】 由题意可得集合A中有3个不同的元素， 若，要使与满足条件②，则均不属于，所以， 同理可判断均不属于， 则符合题意，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设集合具有性质. 在中存在一个集合，其中至少有两个元素分别属于其他集合， 否则，若中的每一个集合中至多有一个元素属于其他集合， 则与②或③矛盾. 不妨设该集合为，设元素分别属于其他集合， 除了集合之外，设包含元素的集合有个，分别记为， 设集合包含元素. 当时，若，则，与②矛盾， 所以互不相同，且均不为. 因为的元素个数为，且已经包含一个元素，所以. 所以除了集合之外，包含元素的集合至多有个. 同理可得，除了集合之外，包含元素的集合至多有个， 除了集合之外，包含元素的集合至多有个， 除了集合之外，包含元素的集合至多有个. 所以. 当时，集合具有性质，其中： ，，，， ，，，， ，，，， . 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期开学练习 高三数学 第一部分（选择题共40分） 一､选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，在定义域内单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且，则（ ） A. ，都有 B. ，都有 C. ，使得 D. ，使得 7. 若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 若函数的图像连续，则（ ） A. 存在是偶函数 B. 存在在处取到极值 C. 存在是减函数 D. 存在在处取最大值 10. 对于函数，若存在实数，使，其中，则称为“可移倒数函数”，为“的可移倒数点”.设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡上. 11. 函数的定义域是__________ 12. 若命题“对，都有”是假命题，则实数的取值范围是__________． 13. 已知函数的定义域为，写出一个同时具有下列三个性质的函数___________． ①； ②若，则； ③． 14. 已知函数，当时的单增区间是_________；若且，使得成立，则实数的取值范围为_________． 15. 已知函数，其中．给出下列四个命题： ①存在实数，使的值域为； ②存在实数，使有8个零点； ③对于任意实数，存在，使曲线是轴对称图形； ④对于任意实数，存在，使有3个极大值点． 其中所有正确命题的序号是___________． 三､解答题：本大题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16. 已知函数. （1）判断的奇偶性并证明； （2）若对任意恒成立，求的取值范围. 17. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 18. 已知函数的图象经过点；若任意，恒成立时，则的最小值为. （1）求函数的解析式及其单调递增区间； （2）若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，将其图象向右平移个单位得到函数的图象.若对，求的最大值与最小值，及其对应的的值. 19. 已知函数 （1）当时，求证:； （2）若在处取得极大值，求实数的取值范围； （3）若关于x的方程 有两个不同实根，写出实数的取值范围 20. 已知函数.设为原点，动点在曲线上. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：直线的斜率大于1； （3）过点作直线的垂线，垂足为，当时，取得最小值；当时，取得最小值.求证：. 21. 设为正整数，若集合满足如下三个条件，则称具有性质： ①都是元素个数为的数集； ②对任意，集合的元素个数均为1； ③. （1）若集合具有性质，写出集合； （2）若集合具有性质，判断是否存在使得，并说明理由； （3）若集合具有性质，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $