微专题02 对数与对数函数（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以题型为载体，系统整合对数运算、图像、性质及应用，提炼“同增异减”“整体代换”等实用方法，形成概念-原理-应用的逻辑链条，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对数运算|10例+10练|指对互化、整体代换、换底公式|从定义到运算律，构建对数运算基础| |图像问题|4题型共40例练|定点求法、形状判断、参数范围|由图像特征到参数分析，强化几何直观| |性质应用|5题型共50例练|定义域值域求法、单调性应用、最值分析|结合单调性与定义域，深化函数性质理解| |同构求值|10例+10练|构造单调函数、等式转化|综合对数与函数单调性，提升数学语言表达|

专题02对数与对数函数 题型一 对数的运算 1 题型二 对数型函数图象过定点问题 7 题型三 判断对数型函数的图象形状 13 题型四 根据对数型函数图象判断参数的范围 22 题型五 对数型函数定义域与值域 30 题型六 比较指数幂、对数式的大小 35 题型七 由对数函数单调性解不等式 42 题型八 由对数函数单调性求参数范围 49 题型九 由对数型函数最值（值域）求参 56 题型十 由对数型函数最值存在性求参数范围 63 题型十一 利用对数函数单调性求值(同构求值) 72 题型一 对数的运算 核心公式： 指对互化： 对数恒等式： 运算法则： 换底公式：，推论： 解题方法： 指数、对数互相转化，整体代换求值，不必硬求每个变量。 嵌套函数：由内向外逐层计算；偶函数用转化自变量。 易错： 【经典例题】 1．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故C正确. 2．________． 【答案】/ 【来源】北京市第四中学2026-2027学年高三上学期暑期开学测试数学试题 【详解】 . 3．___________． 【答案】 【来源】黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷 【详解】. 4．若函数，则________． 【答案】 【来源】黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试卷 【详解】易知，所以. 5．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】四川省广安加德学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题 【详解】由，得，则有，所以. 6．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以. 7．已知，，则_____________． 【答案】 【来源】天津市河东区2025-2026学年高二下学期期末数学试题 【详解】由，得，而，所以. 8．若，则___________ 【答案】 【来源】贵州遵义天立学校2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题 【详解】由，得，所以， 所以，所以，所以，解得. 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得，则，故A错误；由分别转化为对数式，结合换底公式可得：，故；，故；，故，由，，显然，故B错误；，故C正确；，故D错误. 10．（多选）下列各式运算正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【来源】黑龙江哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，将所有根式化为分数指数幂，，故C正确； 对于选项D，用换底公式计算：，D正确. 【巩固练习】 1． （    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】. 2．________． 【答案】 【来源】天津市第七中学2025-2026学年高二下学期6月练习数学试卷 【详解】 . 3．已知函数，则______． 【答案】/ 【来源】山东泰安市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题 【详解】，. 4．已知函数,则（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【来源】黑龙江佳木斯市第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题 【详解】由题设有，而，故. 5．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】天津市静海区2025-2026学年高二下学期7月期末学业水平监测数学试卷 【详解】∵ 是定义在上的偶函数，∴ ，故. ∵ ，且当时，，∴ 代入得. 根据对数恒等式，可得.又∵ ， ∴ ，即.故选:C. 6．已知幂函数为偶函数，则______________． 【答案】9 【详解】由题意得，解得或，又为偶函数，所以，所以． 7．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据对数的幂运算性质得:,已知，代入得：, 两边除以，可得：. 8．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北武汉外国语学校2025-2026学年高一下学期期中数学试题 【详解】因 ，得 ，则 ，又， . 9．= . 【答案】104 【详解】当，时，；则. 10．（多选）下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】AD 【来源】江苏省如皋中学2027届高三年级暑期第二阶段质量调研（二）数学试题 【详解】对于A，由，则，即，所以，故A正确； 对于B，由，则，所以，故B错误； 对于C，由，故C错误； 对于D，由，故D正确． 题型二 对数型函数图象过定点问题 函数： 通用步骤： 令真数，解出；代回解析式求 原理：，值与底数a无关. 易错：不要把常数混入对数真数. 【经典例题】 1．函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 【答案】 【详解】因为，所以，即， 所以函数的图象恒过定点. 2．已知且，函数的图象过定点，则的坐标为______. 【答案】 【来源】浙江省四校（含精诚联盟）2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题 【详解】令得，，所以函数的图象过定点，即的坐标为. 3．已知且，若函数的图像经过定点，函数的图像恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】广东省肇庆市2025-2026学年高一上学期综合素质检测（期末）数学试题 【详解】依题意，当，即时，恒有，因此点， 当时，恒有，因此点，所以.故选：B. 4．已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 【答案】 【来源】上海市上海中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题 【详解】因为为指数函数，所以，且底数，，求解可得：， ，根据对数函数恒有，所以令，求解得， 所以，因此的图像经过定点． 5．已知幂函数为偶函数，则函数恒过定点___________． 【答案】 【来源】山西晋城市2025-2026学年高一上学期期末自测数学试题 【详解】因为是幂函数，所以，解得或，又是偶函数，所以，所以函数恒过定点．故答案为： 6．已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 【答案】 【来源】上海市松江区2025-2026学年高三总复习阶段模拟数学练习 【详解】当时，，所以函数的图象过定点， 所以，，代入得. 所以， 当且仅当时等号成立，即，时等号成立. 7．函数（且）的图象过定点，若正数，，满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【来源】浙江省平阳中学等校2025-2026学年高一下学期开学数学练习 【详解】对于对数函数 ，令，解得 ， 此时，因此函数过定点，得 ，由条件 可得： ，即 ，由 ，代入得： .利用1的代换结合基本不等式： 当且仅当成立时，等号成立，结合 ，得 ，满足正数条件， 所以 .所以当时，取最小值，最小值为. 8．（多选）若函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在直线（，）上，则下列选项正确的是（   ） A． B．mn的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是9 【答案】BCD 【来源】安徽六安市毛坦厂中学等校2026届高三下学期5月学业质量检测数学试题 【详解】由于函数（，且）的图象恒过定点，则， 所以，所以A选项错误；，，当且仅当时等号成立，故B选项正确；，，当且仅当时等号成立，故C选项正确； ，当且仅当时等号成立，故D选项正确. 9．已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则为最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】内蒙古包头市2026届高三年级第一学期期末教学质量检测数学试题 【详解】因为函数（且），所以当，即，， 所以函数（且）的图象恒过定点，所以直线为，即，所以，所以，当且仅当，，即，时等号成立.故选：C. 10．函数且过定点，若，则的最小值为__________. 【答案】/ 【详解】当时，，所以过定点，又因为，所以，即，所以， 因为，所以，所以 ，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为： 【巩固练习】 1．函数（且）的图像过定点（   ） A．（2，3） B．（2，1） C．（2，0） D．（1，0） 【答案】C 【详解】令，得，所以函数（且）的图像过定点（2，0）.故选：C. 2．函数过定点________． 【答案】 【来源】山东日照市东港区部分校联考2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷 【详解】令，解得，得， 因此函数恒过定点. 3．函数的图象恒过定点_____. 【答案】 【来源】陕西省安康市2025-2026学年上学期高一年级教学质量检测数学试题 【详解】令，解得，则，所以函数的图象恒过定点. 故答案为：. 4．若函数（，）的图象恒过点，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【来源】河南省2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】由题意得，，则，解得．故选：C 5．函数（且）过定点，则__________. 【答案】7 【来源】天津市河西区2025-2026学年第二学期期末学情调研高二年级数学学科试卷 【详解】令，得.所以函数（且）过定点， 所以，故. 6．若曲线（且）经过定点，曲线（，且）经过定点，则______． 【答案】 【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026年高一上学期大练习13数学试题 【详解】依题意，当，即时，恒有，因此点，当，即时，恒有，因此点，所以.故答案为： 7．函数（，且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【来源】天津市经济技术开发区第一中学2025-2026学年度高一年级第一学期数学学科期末检测试题 【详解】令，得，当时，，所以点的坐标为， 由于函数为幂函数，设，将点的坐标代入函数的解析式，得，则，，因此，.故选：C. 8．已知函数的图象恒过点A，若点A在函数的图象上，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【来源】广西钦州市2025-2026学年高一上学期期末教学质量监测数学试题 【详解】若过定点，则有，即，又，故，点在函数的图象上，则有，解得.故选：C. 9．若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省沈阳市2025-2026学年高三教学质量监测（一）数学试题 【详解】因为函数是且的反函数，所以且， 令，因为，所以函数图象必过定点. 故选：D 10．函数图象恒过定点，且点坐标满足方程，则的最小值为（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】D 【来源】陕西省镇安中学2025-2026学年第一学期期末考试高一年级数学试题 【详解】因为函数图象恒过定点，所以令，即时，，所以.因为点坐标满足方程，则有.因为，所以根据基本不等式的性质可得，当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为8.故选：D. 题型三 判断对数型函数的图象形状 定义域：对数真数，找到渐近线，直接排除错误选项。 奇偶性：奇函数（关于原点对称）；偶函数（关于y轴对称）。 特殊点：判断函数正负，筛选项。 复合单调性【同增异减】：内外函数单调性相同则增，相反则减。 同一图内指数 + 对数：底数保持一致，矛盾选项直接排除。 【经典例题】 1．函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数函数的图象性质可知，底数，则此对数函数是上的单调递增函数， 则选C正确． 2．函数的大致图象为（） A．B．C． D． 【答案】D 【来源】【教材解读】4.4对数函数（讲）高中数学素养晋级之路 【详解】由可知，，函数图象关于直线对称，B、C错误. 因为外层函数是减函数，内层函数在上单调递减，在上单调递增. 根据“同增异减”原则，函数在上单调递增，在上单调递减，A错误，D正确.故选：D 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏常州市金坛区第一中学2025-2026学年高二下学期期中质量调研数学试卷 【详解】令函数，定义域为，，故是奇函数，其图象关于原点对称，排除选项、，当时，，排除选项，所以函数的图象大致为选项. 4．函数的大致图象是（   ） A． B． C．D． 【答案】B 【来源】河北文安县第一中学2026届高三一模数学试题 【详解】解：，定义域为，，解得或，过和，故CD不符合题意；又时，，所以A不符合题意，B符合题意． 5．函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期第一次大练习数学试题 【详解】由题意得函数满足，即，可得.因为函数是偶函数，图象关于轴对称，而函数的图象是由向左平移1个单位得到的，因此图象关于直线对称，当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，，图象过原点，综上可得：函数的图象如图所示，故B正确. 6．函数的图象如下图所示，则的示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知函数的图象可以看出的值域为.又因为对于，当，时，.所以函数图象总在轴下方，当时，函数值为0.所以只有选项C正确. 7．函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以，故的对称轴在轴左侧，排除A与C；由选项BD可知，，所以，所以在对称轴右侧单调递减，在对称轴左侧单调递增，故B满足，D不满足. 8．（多选）已知，且，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由且，可得.所以，.当时：函数在上单调递增，且过点.函数在上单调递增，所以在上单调递减，且过点.选项B中，一条曲线过且递增，另一条曲线过且递减，符合.当，函数在上单调递减，且过点.函数在上单调递减，所以在上单调递增，且过点.选项D 中，一条曲线过且递减，另一条曲线过且递增，符合. 9．若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以是减函数，且时，，是增函数，排除选项BD，又的定义域为，故排除选项A，只有选项C满足． 10．（多选）若（，且），则函数的大致图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【来源】重庆部分区县2025-2026学年高三下学期入学考试数学试题 【详解】当时，，即，解得，对于函数，即是增函数，，排除C选项，D选项符合.当时，，所以，所以，所以，解得，对于函数，是减函数，，排除A选项，B选项符合. 【巩固练习】 1．函数的图象是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】B 【来源】黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2025-2026学年高一上学期1月期末数学试卷 【详解】的定义域为，解得，渐近线为，，，故函数过点，的底数，单调递增， 综上，选项B中图象符合函数图象的性质，故B正确．故选：B． 2．函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】云南省昆明市2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】由，可得为奇函数，排除A,D，由于,，排除C，故选：B 3．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】天津第二中学2025-2026学年高三下学期阶段性知识回顾数学试卷 【详解】由，可得，即函数的定义域为且，关于原点对称， 由，可知函数为奇函数，故排除B、D； 又因为，故排除A.故选：C. 4．已知函数，则它的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省南京市六合区名校联盟2026届第一次调研数学试题 【详解】由题设，函数的定义域为，且，所以为奇函数，排除B、D，当时，，故，排除C.故选：A 5．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试卷 【详解】由题意知的定义域为，由于， 故是奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项BD，又当时，，故，故排除选项C，故A正确.故选：A 6．如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【来源】广东省东莞市2025-2026学年第一学期教学质量自查高一数学试题 【详解】根据函数都是指数函数且为减函数，过点， 又，结合图象可知①函数为，②函数为， 函数为单调递减的对数函数，过，，结合图象可知④函数图象符合. 所以③不是已知函数的图象.故选：C 7．已知函数且的图像经过坐标原点.则函数与函数在同一直角坐标系下的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广东江门市2025-2026学年普通高中高一上学期调研测试（一）数学试题 【详解】因为函数且的图像经过坐标原点.所以，得到.所以且.当时，函数的图象为选项A,B中的图象，此时，因为，所以，所以，由图可知A,B均错误；当时，函数的图象为选项C,D中的图象，此时，因为，所以，因为，所以有可能大于1，所以根据图象可知，D正确.故选：D. 8．在同一直角坐标系中，函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】陕西省西安市高陵区第三中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】由，可知函数在上单调递减， 函数在上单调递增.由图可知选项D符合.故选：D 9．已知，则函数与的图象可能是（    ） A．     B．  C．   D．   【答案】D 【来源】甘肃省张掖市2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】，，由对数的运算性质得， 对于A，由对数函数性质得的定义域为，故A错误， 对于B，对于指数函数，由指数函数性质结合图象可得， 对于对数函数，由对数函数性质结合图象可得，相互矛盾，故B错误， 对于C，对于指数函数，由指数函数性质结合图象可得， 对于对数函数，由对数函数性质结合图象可得，相互矛盾，故C错误， 对于D，对于指数函数，由指数函数性质结合图象可得， 对于对数函数，由对数函数性质结合图象可得，故D正确. 故选：D． 10．（多选）已知，且，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】AD 【详解】若，函数的图象过定点且在上单调递减， 函数的对称轴，图象开口向上， 令，得到或，且时，， 结合各个选项可知，选项D正确， 若，函数的图象过定点且在上单调递增， 函数的对称轴，图象开口向上， 令，得到或，且时，， 结合各个选项可知，选项A正确. 故选：AD. 题型四 根据对数型函数图象判断参数的范围 看升降定底数：图像上升；图像下降 平移变换： ，真数内部左加右减，整体上加下减；由渐近线位置判断h，上下位置判断k。 图像上取特殊点，坐标代入解析式，建立不等式求解参数范围。 指数对数同图：二者底数保持一致，互相验证，矛盾选项舍去。 【经典例题】 1．图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【来源】江苏省通州高级中学2024-2025学年高一上学期11月检测数学试题 【详解】由已知图中曲线是对数函数的图象，画出直线，与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数底数，可得，，，的a值从小到大依次为：，，，，由a取，，，四个值，故，，，的a值依次为，，，，故选：B. 2．若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【来源】黑龙江省牡丹江市2024-2025学年高一上学期第二次三校联考数学试卷 【详解】根据对数函数的性质可知，函数在定义域上单调递增，要使函数的图象经过第一、二、三象限，则，即，所以，所以实数的取值范围为.故答案为：. 3．已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【来源】辽宁抚顺市清原满族自治县高级中学2025-2026学年高三下学期模拟调研卷数学试题（三） 【详解】由函数图像知，在定义域内单调递减，所以，根据图像可知函数的图像是把的图像向左平移小于1个单位得到的，所以，解得. 4．（多选）已知函数且的图象如图所示，则下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为为单调递减函数，所以，由得，所以，又，所以，A错误；又，所以，B正确；根据指数函数的性质可知，，所以，C正确；，所以，D错误，故选：BC． 5．已知函数的图象如图所示，则下列关系不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏省泗阳中学2025-2026学年高三上学期期末模拟数学试题（三） 【详解】由图可得，，，则，故A正确；则，故B正确； 因为，，所以，故C错误；当时，，满足，故D可能成立；故选：C． 6．已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】海南海口市2026届高三5月自测题库数学试题 【详解】对于A，由图象知函数单调递增,故，A一定成立；对于B，且，则,进而，B一定成立；对于C，由A,B已得，，则，故一定不成立；对于D，若，则，故有可能成立. 7．已知，且，则函数与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，函数为增函数，直线与y轴的交点纵坐标大于1；当时，函数为减函数，且直线与y轴的交点的纵坐标在0到1之间，只有C符合，故选C． 8．函数与的大致图象如图所示，则的值可能为（   ）   A． B． C． D．3 【答案】B 【来源】广东省湛江第一中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】由图象结合对数函数的性质可知，则D不符合题意；又函数为奇函数，定义域为, B符合题意．又的定义域都是不符合，故选：B． 9．已知函数（且）与函数（且）的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】天津市河西区2025-2026学年高一上学期数学（二）（期末）试题 【详解】过点作轴的垂线，交于，可得：，过点作轴的垂线，交于，可得：，解得，由图象知：， 所以：.故选：D 10．若函数的图象如图，为常数.则函数的图象是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【详解】由解析式知，结合图知，故， 对于，其在R上单调递增且值域为，结合各项的图知A符合.故选：A 【巩固练习】 1．（多选）如图是三个对数函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【来源】河北省石家庄市2020-2021学年高一上学期期末数学试题 【解析】根据对数函数的图象可判断出，再判断各选项即可得． 【详解】由对数函数图象得，令，，由已知图象得，；而是增函数，.故选：ABC． 2．已知函数的图像经过二、三、四象限，则实数的范围为__________. 【答案】 【来源】吉林省长春外国语学校2020-2021学年高一上学期第二次月考数学试题 【详解】函数的图像经过二、三、四象限，可得函数单调递减，所以，且时，，解得，综上：.故答案为：. 3．已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图象可知函数是减函数，所以；当时，，所以．故选：C. 4．已知函数（a，c为常数，其中，且）的部分图象如图所示，则下列结论成立的是______．（填序号） ①，；②，；③，；④，． 【答案】④ 【详解】由图知，函数在定义域内为减函数，所以，当时，，所以． 故答案为：④ 5．已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】山东省潍坊市2022届高三下学期二模数学试题 【详解】由图象可知在定义域内单调递增，所以，令，即，所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以，因此，故A错误；，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误；因为，即，且，所以，故C正确；因为，所以，即，故D错误，故选：C. 6．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是（    ） A．m>0，0<n<1 B．m<0，0<n<1 C．m>0，n>1 D．m<0，n>1 【答案】C 【详解】由题中图象知函数为增函数，故n>1．又当x＝1时，f(x)＝m>0，故m>0．故选：C． 7．（多选）如图为函数的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【来源】湖南省衡阳市耒阳市正源学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（A） 【详解】由函数图象可得在上单调递减，所以，又时，，即，故A，D正确.故选：AD. 8．（多选）函数与的图像如图所示，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D．3 【答案】AC 【详解】由图像结合对数函数的性质可知，则D错误；由图像可知函数为奇函数，则B错误，AC正确；故选：AC 9．已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】山东省潍坊市国开中学2024届高三上学期期中数学试题 【详解】由图象可得，指数函数为减函数，对数函数为增函数，所以， 即.故选：B 10．已知函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】四川省成都市树德中学2022-2023学年高一上学期11月阶段性测试数学试题 【详解】由图象知最上方的图象是的图象，过点的是的图象，过点的是的图象，因此，，，，，，即，故选：C． 题型五 对数型函数定义域与值域 定义域：，解不等式；有分母、根式要同时满足条件。 值域： ①先求内层真数取值范围； ②结合对数单调性求值域。 真数可取遍所有正数，值域为；真数有范围限制，值域对应区间。 【经典例题】 1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江温州市2025-2026学年高二下学期6月普通高中学业水平模拟测试数学试题 【详解】的定义域满足，解得或，则定义域为． 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】山东青岛市黄岛区等四区2025-2026学年第二学期期末学业水平检测高二数学试题 【详解】要使函数有意义，需满足真数大于0，即，解得， 因此函数定义域为. 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】河南商丘市民权县、永城市部分校联考2025-2026学年高二下学期期末考试试题 【详解】，根据分式函数和对数函数的性质，可得，解得，即，B正确. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域为，在函数中，要使函数有意义， 则，即，解得，所以函数的定义域为. 5．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南省衡阳市常宁市2025-2026学年高二下学期7月联考数学试题 【详解】函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域是. 6．函数定义域是，则的定义域是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市第一中学校2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题 【详解】因为函数定义域是，所以，解得，所以的定义域是 7．函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数在定义域上单调递减，当时，，即，且当时，所以函数，的值域是.故选：A 8．函数（）的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省沙市中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 【详解】，且，令，则，又的图象开口向上且对称轴为，且，所以.故选：B 9．函数的最小值为__________． 【答案】 【来源】河北承德市2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题 【详解】，令，，， 所以当时，即时，函数取得最小值.故答案为：. 10．已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】广东广州市荔湾区2025-2026学年第二学期高中学业综合素养练习高一数学试题A卷 【详解】令，由，得，， 则，当且仅当时取等号，所以的最小值为. 【巩固练习】 1．函数的定义域为（     ） A． B． C． D．R 【答案】B 【来源】天津市红桥区2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷 【详解】由题意得：，所以的定义域为. 2．函数的定义域是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【来源】江苏无锡市江阴市某校2025-2026学年高二下学期5月份学情调研数学试题 【详解】要使函数有意义，则，由，得，解得或；由，得，解得或.因此不等式组的解集为或.所以函数的定义域为或. 3．函数的定义域为__________． 【答案】 【来源】河南濮阳市第一高级中学2027届高三上学期第一次质量检测数学试题 【详解】由题意可知，得，解得．所以函数的定义域为． 4．函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，在上单调递增，在上单调递增， 当时，，当时，，在上的值域为，故选：B． 5．函数的值域为__________． 【答案】 【详解】因为，所以，，所以，即的值域为．故答案为：. 6．函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】广东省广雅中学2024-2025学年高一上学期12月教学质量检测数学试卷 【详解】令，因为，所以， 因为，所以，，函数在区间上单调递增，所以，，所以函数，的值域为. 故选：. 7．函数的最小值为_________. 【答案】/ 【来源】广西钦州市第四中学 2025-2026学年高三上学期8月份考试数学试卷 【详解】由题设，且，令，则，当，即时，.故答案为： 8．已知，则的值域是________． 【答案】 【来源】江苏省苏州市昆山震川高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题 【详解】因为，所以的定义域满足，解得， 因为在上单调递增，所以令，又， 则，易知在上单调递增，则当时，；当时，，所以的值域为.故答案为：. 9．已知函数的定义域为，则函数的值域是_______． 【答案】 【详解】因为函数的定义域为，则函数中，必须满足，解得，所以，又由，当时，函数取得最小值，最小值为；当时，函数取得最大值，最大值为，所以函数的值域是.故答案为：. 10．若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】河南省焦作市博爱县第一中学2025届高三上学期9月月考数学试题 【详解】函数在上单调递增，又，，故，令， 而函数在上单调递增，则，所以函数的值域为. 故选：D. 题型六 比较指数幂、对数式的大小 同底：直接用单调性.递增，自变量越大函数值越大；递减，自变量越大函数值越小。 同真：利用换底公式，或者对数图像高低判断底数大小。 不同底不同真：找中间量做参照；也可以是其它值。 复杂式子：化为同形式，指数对数互化；或者构造函数，利用函数单调性比较。 【经典例题】 1．三个数中最小的数是____． 【答案】 【来源】北京教育学院附属丰台实验学校2027届高三年级上学期数学阶段性测试（一） 【详解】因为对数函数是单调递增函数，且，所以；，显然小于1；，显然.综上可得：，最小的数是. 2．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】云南省昆明市官渡区云南大学附属中学星耀学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷 【详解】因为，，，所以， 故选：A 3．已知，，，则、、的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市巴蜀中学校等校2026-2027学年高三上学期适应性月考卷（一）数学试题 【详解】由题意可知，，，所以. 4．若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁本溪市某校2025-2026学年高二下学期期末数学试卷 【详解】，即，，则，即，，则，得，即，所以，，的大小关系为. 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】贵州贵阳市第三实验中学2025-2026学年第二学期第一次年级作业高一数学试卷 【详解】因为对数函数在 上单调递减，所以 ，所以； ， ， 因为幂函数 在 上单调递增，且 ，所以 ，即 ； 所以 . 6．已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】2026年高考天津卷数学高考真题 【详解】由题意可得，因为函数在上单调递增，所以， 又因函数在上单调递增，则，所以， 因，且在上单调递增，所以，即.故. 7．已知函数，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，因为是减函数，是增函数，所以是减函数，又因为，所以，故，即. 8．若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则，，. 对于A，当时，，，，则，A有可能. 对于B，当时，，，，则，B有可能. 对于C，要满足，即，同时取对数得，则. 当时，会非常小；当足够小时，比衰减慢，会出现； 如时，，，，因为，，，所以，易得，， 所以，故，C可能. 对于 D，若 ，则必有 和 ．由 ，得 若 ，则 ，从而 ，矛盾，所以 ．由 ，得 若 ，则矛盾，所以 ． 这与 矛盾，因此 不可能出现． 9．（多选）已知实数，，使得，则，，的大小关系可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】记，则，所以，，， 对于A：当，得，，，则有，即选项A正确； 对于B：令，得，，， 则有，即选项B正确； 对于C：令，得，，， ，则有，即选项C正确； 对于D：若，则，，且，，， 整理得，即，注意到，且， 不可能成立，选项D错误， 综上所述，，，的大小关系可以为或或.故选：ABC． 10．已知，则在这4个数中，最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市南开中学校2025-2026学年高一上学期数学周测（12.28） 【详解】对取对数得，， ，，故，即 且即，即， 故故在这4个数中，最小的是故选：B 【巩固练习】 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南衡阳市衡阳县第五中学2026届高三普通高中名校联考（一）数学试卷 【详解】因为，，，且，所以. 2．已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市南开中学校2025-2026学年高二下学期7月质量检测数学试题 【详解】因为，，， 所以. 3．设，，，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】利用换底公式将c转换为自然对数形式，.比较a和b：两边同乘正数12得.，，因为，即，因此比较b和c：两边同乘正数得.，因为，即，因此.综上大小关系为： 4．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，同时取对数得：，， 又，且函数在区间单调递增，因此， 可得：，即，故. 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，因为，两边取以8为底的对数可得. 又因为，两边取以8为底的对数可得， 可知.由，可得，由，可得，从而可得． 6．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由对数换底公式得： ， ，因为是增函数，且， 所以 ，即， 指数函数是减函数，因此，即，综上可得. 7．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】指数函数 在定义域内单调递减，所以 ，即 . 对数函数 在 上单调递增，所以 ，即 . 对数函数 在 上单调递增，所以 ，即 . 又 ，，，所以 ，即 ，所以 .综上，. 8．已知，且，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】天津市第一中学滨海学校2025-2026学年高三下学期第二次月反馈数学试卷 【详解】由，得.因为对数函数在上单调递减， 又，所以，所以.因为对数函数在上单调递减，，所以，所以，所以. 9．若为正实数，且有，则下列大小关系中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】安徽铜陵市枞阳县浮山中学等校2026届高三下学期综合素质检测数学试题 【详解】易知, 即，所以，令， 在同一个坐标系下考察函数与的交点，如下图： 由图可知当时，；当时，；当时，， 所以A一定不成立. 10．已知，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】贵州黔南州2026届高三第一学期期末质量监测数学试题 【详解】由，得.因为对数函数在上单调递减， 又，所以，所以.因为对数函数在上单调递减，，所以，所以， 所以.故选：B. 题型七 由对数函数单调性解不等式 不等式形式： 解题方法：真数大于 0 永远不能丢，再根据底数去对数符号 当（递增）： 当（递减）： 求复合对数单调区间： 第一步求定义域； 第二步拆分内外函数； 第三步同增异减；单调区间必须写在定义域范围内。 【经典例题】 1．不等式的解集是______． 【答案】 【来源】上海市天山中学2026届高三下学期3月月考数学试题 【详解】由.所以不等式的解集是. 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】四川省泸州市合江县2025-2026学年高一下学期6月期中数学试题 【详解】由题意可得，解得，故函数的定义域为. 3．若，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为函数在上单调递减，由得， ，解得.所以的取值范围是. 4．不等式的解集为______. 【答案】 【详解】不等式，可化为，因为在上是增函数，所以不等式，即为，解得 所以不等式的解集为 5．若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】满足底数且，由，可得或，结合且，可得，故由，可得，即，解得或， 故实数的取值范围是. 6．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁大连市某校2025-2026学年高三下学期第五次教学质量调研数学试卷 【详解】由，即且，、在上分别单调递减、单调递增，且，当时，，当时，，由在上能成立，则，故原不等式的解集为. 7．两个集合A与B之差记作“A/B”，其定义为：且，如果集合，集合，那么A/B等于_______________． 【答案】 【详解】由，得，得，故，由，得，得，故，因为且，所以. 8．若定义在区间内的函数满足，则的取值范围是________________． 【答案】 【详解】由得，，因为，由对数函数的单调性知，，解得， 所以的取值范围是. 9．称不等式的解集为函数的“大于点集”，则函数的“大于点集”为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【来源】河北省部分学校2026届高三考前适应性考试（一）数学试卷 【详解】当时，，由，可得，即， 因为在上单调递减，所以，解得，故此时； 当时，，由，可得，即，因为在上单调递增，所以，解得或，故此时，综上可得，函数的“大于点集”为或. 10．对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，令，则，解得，此时，且，可得，可知函数在内的值域为；令，则，解得，此时，可知函数在内的值域为；综上所述：函数的值域为. 【巩固练习】 1．不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】山东名校联盟2026届高三下学期5月核心素养评估数学试题 【详解】因为，且对于对数函数在时单调递增，所以原不等式等价为， 由，等价为，解得或；由，即，解得， 综上得，所以原不等式的解集为. 2．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省太湖高级中学2026届高三考前适应性练习数学试题 【详解】由题可得：，且，可得，则， 根据单调递增可得，解得，即的取值范围是. 3．已知函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【来源】安徽芜湖市2026届高三下学期3月质量检测数学试题 【详解】 令，不等式转化为，，当时，，解得， 当时，显然不成立，所以，即. 4．不等式的解为______． 【答案】 【来源】上海市奉贤区2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题 【详解】令，显然的定义域为,因为函数和在上单调递增，因此在上单调递增；又，所以不等式即为，因此可得，即该不等式的解集为. 5．已知函数，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为，故，而的定义域为，故为上的奇函数.而均为上的增函数，故为上的增函数.因，故即，故. 6．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题 【详解】由，可得，即，又，所以图中阴影部分表示的集合为． 7．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南长沙市衡阳市第八中学等校2026届高三下学期5月学情自测数学试卷 【详解】因为函数与在上单调递增，所以在上单调递增． 又因函数是定义域为的偶函数，且， 所以由或， 所以原不等式的解集为． 8．当时，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省梅村高级中学2026届高三数学下学期周末练习卷（3.4） 【详解】因为，函数在单调递增，所以. 当时，因为，所以，故不等式不成立； 当时，函数在单调递减，要使不等式成立，只需， 得，解得（舍去），又因为，所以.故选：B 9．已知定义在上的函数满足：对任意均有成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】河北石家庄精英中学2025-2026学年高一第一学期第四次调研考试数学试题 【详解】因为任意均有，即， 令，则，所以在上单调递减， 因为，所以，所以不等式，化为， 因为在上单调递减，故，因为定义在上，所以， 即，解得，故原不等式解集为.故选：B. 10．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题 【详解】根据题意，函数,设，则有，解可得， 即函数的定义域为，关于原点对称，又由，即函数为奇函数， 设，则，，在上为增函数，而在上为增函数， 故在区间上为增函数，又为增函数，所以在区间上为增函数，不等式即为，也即， 所以，解得.故选：A. 题型八 由对数函数单调性求参数范围 复合对数函数单调区间求参： ①先求函数定义域； ②根据 “同增异减”，区分外层底数两种情况； ③保证内层函数在给定区间上单调，同时该区间必须落在定义域内部； ④列不等式组求解参数。 注意：题目给的单调区间，必须是定义域的子集。 【经典例题】 1．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北武汉市武昌区2025-2026学年高二下学期期末供题数学试卷 【详解】令，因为函数在定义域内是单调递增函数，由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，且恒大于0，所以，解得，所以实数的取值范围是. 2．函数，其中且，在上是减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】河北省邯郸市钢苑中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题 【详解】令，，在定义域上为减函数，又函数在上是减函数，则在定义域上为增函数，，要使函数有意义，则， 又在上为减函数，在上的最小值为，即，综上，实数的取值范围为.故选：A. 3．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南岳阳市第一中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学试题 【详解】令，函数的外层函数为，又，则外层函数为单调递减函数.∵ 函数在区间上单调递增，∴ 内层函数在区间上单调递减，且在上恒成立.∵ 是开口向上的二次函数，对称轴为， ∴ 要满足在上单调递减，需，解得.∵ 在上单调递减，∴ 时，，要满足在上恒成立，需，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 4．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【来源】河北沧州部分高中2026届高三下学期第一次模拟考试数学试题 【详解】令，则，因为在上单调递增， 又函数在上单调递增，所以在上单调递增， 且对恒成立，所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 5．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是____________. 【答案】 【来源】河北省唐县第一中学2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试题 【详解】令，因为在上递增，且函数在区间上单调递减， 由复合函数的单调性知：在区间上单调递减，又因为在区间上递减， 所以，所以的取值范围是. 6．已知函数在单调递增，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】令，原题意等价于函数在单调递增，可知在内单调递增，且在内恒成立，则，解得， 所以的取值范围为. 7．已知实数，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省东海高级中学2026届高三下学期模拟考试3数学试卷 【详解】，令，则， 因为且在上单调递增，所以，因为函数在区间上单调递减，且，所以函数在区间上单调递减，又函数为开口向下的抛物线，对称轴为，因此，所以. 8．函数在R上单调递增，则a的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为在上单调递增，所以对于时，单调递增，即，解得，对于时，单调递增，即，且，即，解得，综上，a的取值范围是 9．设，若函数是单调函数，则的最小值为__________. 【答案】2 【详解】令,，分别作出这两个函数的图象如下： 由已知函数是单调函数，则此函数仅能单调递增，故要满足题意需，由于时，，满足,结合图象可得的最小值为.故答案为： 10．若函数（且）对于任意、且，都有成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】云南昭通一中教研联盟2025-2026学年上学期高一年级期末考试数学试题（A卷） 【详解】不妨设，由，可得，即，所以，函数在R上为减函数.故函数在上为减函数，则，解得；函数在上为减函数，则；且有，即，所以有，解得．因此，实数a的取值范围是.故选：C 【巩固练习】 1．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【来源】江苏常州市宋剑湖高级中学2027届高三8月开学阶段性检测数学试题 【详解】令，则函数可看成由与复合而成，因为对数的底数且，所以是单调递减函数，又因为函数在上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则，可以得到，又在区间上，作为的真数要大于0恒成立，所以，所以，综上所述实数的取值范围为. 2．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北省云学联盟2025-2026学年高一下学期4月期中学科素养测评数学试题 【详解】∵在上单调递减，∴在上单调递增，∴. 3．函数在上单调递增，则的范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市第一中学校2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题 【详解】要使在上单调递增，因为外层函数在上单调递增，所以只需求内层函数在上单调递增，又因为内层函数是二次函数，开口向上，其对称轴为，所以，解得，根据函数定义域有，结合单调区间等价于对所有恒成立，即. 综上，取两个条件的交集，得. 4．是函数在区间上单调递增的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【来源】广东深圳市南山实验教育集团华侨城高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 【详解】设，则，因为在定义域内单调递减，要使在上单调递增，需在上单调递减且恒大于0，二次函数的图象开口向上，对称轴为，因为在上单调递减，所以，又因为对任意恒成立，所以，即，解得，因此，函数在区间上单调递增的充要条件为，若，显然，所以必要性成立；但不能保证，所以充分性不成立；所以，“”是函数在上单调递增的必要不充分条件． 5．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广西壮族自治区崇左市2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题 【详解】因为函数在区间上单调递减，为增函数， 所以函数在区间上有意义，且在上单调递减， 当时，或，解得， 当时，，此时函数的定义域为， 因为函数在上单调递减，函数为增函数， 所以函数在上单调递减，满足条件， 所以的取值范围为. 6．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】山东省聊城第一中学新校区2026届高三3月调研测试数学试题 【详解】设，则，因为在区间上单调递增，且为减函数，由复合函数单调性知在上单调递减，则有解得，故的取值范围是，故选：B． 7．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】安徽省蚌埠市2025-2026学年高一第一学期期末学业水平监测数学试题 【详解】因，设，因在定义域上单调递增，依题意，需使在区间上单调递减且恒为正数，则需使，解得.故选：B. 8．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江衢州市2025-2026学年第一学期教学质量检测高一数学试题 【详解】因为函数在上单调递增，则，解得，所以实数的取值范围为.故选：D. 9．已知函数在区间上单调递增，则参数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】天津市武清区王庆坨中学2025-2026学年高一上学期第二次统练数学试题 【详解】函数在上单调递增，函数在上单调递增，因此在上单调递增，而在上单调递增，则函数在上单调递增，且，于是且，解得，所以参数的取值范围是.故选：D 10．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】河南省光山县第二高级中学2026届高三下学期数学测试2月27 【详解】当时，，由，知在上不单调递增， 当时，因为在上单调递增，，解得，故实数的取值范围为． 故选：D． 题型九 由对数型函数最值（值域）求参 若值域为：内层需要取遍全体正实数，不是简单恒成立。 已知值域：利用对数单调性，把值域条件转化为内层真数的取值集合，列不等式求参数。 已知闭区间上最值：分两类讨论单调性，确定最值点，建立方程求解参数。 【经典例题】 1．（多选）已知函数（且）在上的最大值为2，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】BD 【来源】云南省楚雄州2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】根据已知条件，函数，当时，， 在上单调递减，则，解得，满足条件；当时，，在上单调递增， 则，解得，满足条件.故选：BD. 2．已知函数且在上的值域为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】函数在上具有相同的单调性，所以在上单调，要满足题意，则在上单调递增，所以，解得，故选C. 3．已知函数的值域为，的值域为，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【来源】四川省成都市锦江区卓越科技培训学校2023-2024学年高一上学期期末数学练习卷3 【详解】因为函数的值域为，所以函数的值域为， 所以，解得，因为的值域为,，所以的最小值为9，所以，解得，所以．故选：A． 4．若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】内蒙古准格尔部分中学2025-2026学年第二学期期末评估诊断高二数学试卷 【详解】因为函数的值域为，所以真数能取到大于零的任意实数， 所以，解得. 5．函数的值域为，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【详解】令 ．当 时，．当 时， 可以取遍 ，所以符合题意．当 时，函数 的图象开口向上．要使 的正值取遍 ，其最小值必须小于或等于 ．因为且 ，所以 ，解得当 时，函数 的图象开口向下， 有最大值，所以它的正值不能取遍 ，不符合题意．综上，实数 的取值范围为 6．“”是“函数值域为”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【来源】浙江省强基联盟2025-2026学年高二下学期6月题库数学试题 【详解】若函数的值域为，则函数的图象与轴有交点， 所以，则或，“”是“或”的充分不必要条件. 7．函数的值域为的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏南京市金陵中学2025-2026学年高二下学期6月阶段性检测数学试卷 【详解】当时，，满足值域为R，成立；当时，应有，则，综上，对于A，是的充分不必要条件，A满足；对于B，是的充要条件，B不满足；对于C，是的必要不充分条件，C不满足；对于D，是的既不充分也不必要条件，D不满足. 8．函数的值域为，且，则实数的取值集合为________． 【答案】 【来源】云南昭通一中教研联盟2025-2026学年高二下学期期末考试数学（A卷） 【详解】函数在单调递增，在单调递减，若，则满足条件，故实数的取值集合为 9．若函数的值域为，则的取值范围是________. 【答案】 【来源】福建福州市台江区六校2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷 【详解】因为函数在上单调递增，所以当时，，令，，当时，函数对称轴，则函数在上单调递增， 则，即函数的值域为，要想函数的值域为，则，即，所以，当时，函数对称轴，则函数在上单调递减，在上单调递增，则，即函数的值域为，因为，所以此时函数的值域为，即，综上所述：. 10．已知函数，若对，均有成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】山东省青岛市青岛海尔学校2023-2024学年高一上学期12月阶段性考试数学试卷 【详解】由题设上，而，故，而为增函数，所以，即，故的取值范围为.故选：C 【巩固练习】 1．若函数在区间上的最大值比最小值大1，则实数______ 【答案】或 【详解】由已知可得，当时，对数函数在区间上单调递增.又因为对数函数在区间上的最大值比最小值大1，所以，解得. 当时，函数在区间上为减函数，所以，，所以，，故答案为：或. 2．已知函数的最大值为2，则_____________． 【答案】6 【来源】山西省长治市上党好教育联盟2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题 【详解】因为函数由与复合而成， 而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值， 由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得．故答案为： 3．已知函数，若的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，所以函数定义域为， 因为由外层函数和内层函数复合而成，当时，内层函数单调递增，外层函数单调递减，所以单调递减， 当时，内层函数单调递减，外层函数单调递减，所以单调递增，所以，所以，又因为，所以.故选：C 4．已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】贵州省六盘水市2025-2026学年高一上学期数学期末统考试题 【详解】由题意，函数的值域包含，当时，函数为，值域为，包含，符合题意；当时，由，解得.综上所述，实数a的取值范围为. 故选：C 5．若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】河南省叶县高级中学2026-2027学年高三上学期开学摸底考试数学试题 【详解】若，则在上单调递减，在上单调递减，且当时，，当时，，此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得；若，则当时，，当时，，的值域不为，不合题意；若，则在上单调递增，在上单调递减，且当时，，当时，，的值域不可能为，不合题意；若，则在上单调递增，在上单调递增，且当时，，当时，，此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得，综上所述，实数的取值范围为. 6．设且，函数f（x）＝的定义域为R．若的值域为，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年下学期第一次质量检测试卷高一数学 【详解】若，则的取值范围是．当时，，分两种情形讨论： 若，则在单调递增，相应的取值范围是，因此要使的值域是，应当有，两端都取a为底可得，解得．当，则在单调递减，相应的取值范围是，此时无法满足的值域是，故舍去．综上可得． 7．已知，若函数的值域为，则a的值最小为（   ） A．e B．2 C．1 D． 【答案】C 【来源】河南南阳市六校2025-2026学年高二下学期期末素质评价数学试题 【详解】当时，又，所以；当时，函数在上单调递增，所以；又函数的值域为，所以，解得，所以a的值最小为1. 8．若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【来源】四川省巴中市南江中学2025-2026学年高一上学期1月检测试数学试题 【详解】由的值域为，得函数的值域包含， 则，解得或；令，由函数在上单调递增，函数是减函数，得函数在上单调递减且，因此，解得，又或，于是有，所以实数的取值范围是. 故答案为： 9．已知函数，若对任意实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】山东省泰安市2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】因为对任意实数，总存在实数，使得，所以函数的值域为，设，则满足是函数值域的子集，当时，，此时的值域为，符合题意；当时，则满足，解得，综上可得：实数的取值范围是.故选：B. 10．设函数，若存在，满足，则实数的最小值为_____ 【答案】/0.8 【详解】函数在上单调递减，函数在单调递增，则函数在上单调递减，，由存在，满足，得，即，则，因此，解得，所以.故答案为： 题型十 由对数型函数最值存在性求参数范围 “最值存在” 含义：在给定区间，内层函数能够达到最大、最小值；区间必须包含在定义域之内。 先处理定义域约束，再对内层二次 / 一次函数分析值域； 结合对数单调性，翻译 “存在最大值 / 最小值” 为不等式； 注意区分：恒成立 vs 存在性，二者不等式方向不一样。 【经典例题】 1．已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南省邵阳市大祥区邵阳市第二中学2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题 【详解】令，则,令, 所以函数存在最小值，则在上有大于0的最小值, 由二次函数的图像与性质可得：，解得：,所以实数的取值范围是 故选：A 2．若函数有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】安徽省阜阳市第一中学2023-2024学年高一上学期数学竞赛试题 【详解】解：依题意且，所以，解得或，综上可得，令的根为、且，，， 若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；故选：A 3．已知函数有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省温州市2024-2025学年高一上学期期末教学质量统一检测数学试卷A卷 【详解】当时，，当且仅当时等号成立，故，故有最小值，当时，令，则，故或，故函数的定义域为， 在定义域的条件下，此时无最小值，故舍去；综上，，故选：D 4．已知函数，若函数在区间（t，t+1）（tR）上有最小值，则实数t的取值可能为（    ） A．-2 B． C．0 D．1 【答案】C 【来源】江西省景德镇市2021-2022学年高一上学期期末数学试题 【详解】在单调递增，函数在开区间，上恒有最小值， 等价于在开区间，上恒有最小值，，作出的大致图象如图，若使在，上恒有最小值，则或， 解得或，故选：C． 5．函数没有最小值， 则的取值范围是______． 【答案】 【来源】浙江省台州市玉环中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题 【详解】令，则外函数为，因为在定义域上单调递增， 要使函数没有最小值，即的值域能够取到，且不恒小于等于， 当时，符合题意，时开口向下，只需，解得，即；当时开口向上，只需，解得，即；综上可得，即；故答案为： 6．已知存在最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【来源】上海市上海中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】当时，第一段函数在为增函数，函数值的范围为，无最小值，不满足题意； 当时，第一段函数为常函数；第二段函数在为减函数，函数值的范围为， 第三段函数在上为增函数，函数值的范围为， 所以，当时，函数的值域范围为，有最小值. 当时，第一段函数在为减函数，函数值的范围为； 第二段函数在为减函数，函数值的范围为， 第三段函数在上为增函数，函数值的范围为， 此时，，， 所以，当时，函数的值域范围为，有最小值. 当时，第一段函数在为减函数，函数值的范围为； 第二段函数在为减函数，函数值的范围为， 第三段函数在上为增函数，函数值的范围为， 此时，，即， ，即 所以，时，函数的值域范围为，不存在最小值. 当时，第一段函数在为减函数，函数值的范围为； 第二段函数在为减函数，函数值的范围为， 第三段函数在上为增函数，函数值的范围为， 所以函数的值域为，无最小值； 当时，第一段函数在为减函数， 函数值的范围为，且， 第二段函数与第三段函数在对应的区间上的函数值为非负数， 所以，函数的值域为，无最小值. 综上，函数有最小值，实数的取值范围是. 故答案为： 7．若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】福建省泉州市2023-2024学年高一上学期1月期末教学质量监测数学试题 【详解】当时，在上单调递增，此时，无最大值；又因为在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递增，在上单调递减，所以当时，，结合题意可得，解得， 即实数的取值范围为，故选：B 8．已知函数（，且），，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省常州市2024-2025学年高三上学期期中质量调研数学试题 【详解】在单调递减，时，， 即， 另外，时，单调递减，在单调递增，综上所述，的取值范围是.选：A 9．已知函数为奇函数，函数，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【来源】天津市河东区2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】已知为奇函数，由奇函数性质可得，则， 因为，所以，所以，所以 在的值域. 又，，设，，则，当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域.又对任意的，总存在，使得 成立，即，以，解得.则实数的取值范围是.故答案为：. 10．函数，（），对，使成立（为自然对数的底数），则实数的取值范围是___________. 【答案】 【来源】江苏省南通市海安市实验中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题 【详解】根据题意可知时，；令，构造函数， 由二次函数性质可得函数在上单调递减，在上单调递增；所以，，即；也即时，；又，所以在上单调递增，即；若对，使成立，可知；即，解得.又，所以.故答案为： 【巩固练习】 1．已知函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【来源】上海市金山中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题 【详解】令，为开口向上的抛物线，对称轴为，函数在区间上有最小值，则在上先减后增，所以，解得，即.故答案为 2．若函数（且）有最大值，则的取值范围是___________. 【答案】 【来源】上海市2022届高三上学期一模暨春考模拟卷（三）数学试题 【详解】因为内函数的是开口向下的二次函数，有最大值，则外函数为增函数，且内函数的最大值为正数,所以， 解得 故答案为： 3．若函数无最值，则的取值范围是______. 【答案】或 【来源】陕西省宝鸡市渭滨区2018-2019学年高二下学期期末数学（文）试题 【详解】解：由，设，可得其图像为开口向上的抛物线，由函数无最值，只需，，可得：，解得：或， 故答案为：或. 4．已知且，函数有最小值，则的取值范围是___________. 【答案】 【来源】重庆市2023届高三上学期11月调研数学试题 【详解】当时，x在（0，a）上单调递增，所以值域为（-∞，1），故函数f（x）无最小值，不符合题意；当时，上有，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为x在（0，a）上单调递减，所以值域为（1，+∞），故函数f（x）有最小值只需，即，所.故答案为. 5．已知函数若存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】贵州省威宁县2021-2022学年高一上学期高中素质教育期末测试数学试题 【详解】∵函数∴当时，的范围是；当时，，，由题意存在最小值，则，解得.故选：D． 6．已知函数f（x）=若f（2）=4，且函数f（x）存在最小值，则实数a的取值范围为（   ） A．（1，] B．（1，2] C． D．[，+∞） 【答案】A 【来源】广东揭阳市惠来县第一中学2025-2026学年第二学期高一第一次阶段考试数学试卷 【详解】因为f(2)=2m+8=4，所以，所以当x≤3时，，此时，因为函数存在最小值，所以当x>3时，单调递增，且loga3≥2，所以,解得a∈.故选A. 7．，，若，，使得，则实数的最大值是______． 【答案】2 【来源】陕西省渭南市大荔县大荔中学2024-2025学年高一上学期第三次质量检测数学试题 【详解】由，，使得，可知；因为在上单调递减，则；又因为的定义域为，且在上单调递增，位增函数，所以在上单调递增，则；可得，解得：，所以实数的最大值为.故答案为：. 8．已知函数（且≠1），若对任意.存在使得成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【来源】江苏省射阳中学2024-2025学年高三上学期7月月考数学试题 【详解】根据题意可得只需即可，由题可知为对数底数且或.当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，， 所以，即，可得； 当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即，可得.综上：. 故答案为：. 9．已知函数与的图象上存在关于原点对称的点，则的取值范围是_________. 【答案】 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高一上学期第三次检测数学试题 【详解】由题意知：，使得，即在上有解， 所以，在上有解，即与在上有交点， 因为，所以，则，且在上单调递减，在定义域上单调递增，所以，解得，即的取值范围是.故答案为： 10．若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则______. 【答案】 【来源】山东省日照市2021届高三下学期一模数学试题 【详解】，所以，函数在区间上为增函数，由已知条件可得，，，解得.故答案为：. 题型十一 利用对数函数单调性求值(同构求值) 同构核心：把等式两边整理成结构完全相同的函数形式； 判断构造出来的函数是单调函数； 单调函数性质：，消去外层函数，得到简单等式求解； 做完带回检验真数。 【经典例题】 1．已知函数满足，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【来源】辽宁葫芦岛市普通高中2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷 【详解】因为，所以． 2．已知函数，则___________． 【答案】 【来源】云南文山州2025-2026学年高一下学期学业质量监测数学试题 【详解】因为在上单调递增，所以，所以. 3．已知，，则（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【来源】安徽省萧县中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷 【详解】因为，则， 令，定义域为， 因为，在上单调递增，可知在上单调递增， 又因为，，则， 所以. 4．已知正实数、满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】（方法一）由得，即． 又因为，所以和都是方程的解．构造函数， 由于函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以在上单调递增，故，即， （方法二）由可知，即， 由可得，所以和都是方程的解． 构造函数，由于函数在上单调递增，函数在上单调递增， 任取、且，则有，， 由不等式的基本性质可得， 所以在上单调递增，故，即，故选：C． 5．设满足，满足，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】山西临汾一中2025-2026学年高一年级第二学期寒假开学考试数学试题 【详解】可化为，则满足，又满足， 故、都是方程的根，又函数在上单调递增，故，即. 6．已知，则_____． 【答案】2 【详解】记，则即，又时且，时且，故，等号成立当且仅当．因，故，得．故答案为：. 7．已知正实数，实数分别满足，，则_________． 【答案】/ 【来源】贵州贵阳市第一中学2025-2026学年高二第二学期教学质量监测（一）数学试题 【详解】由.设，因为，在上单调递增，所以在上单调递增.又，，所以，即.代入得，所以. 8．已知实数满足：，则__________． 【答案】 【来源】福建省厦门第一中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】对于方程，两边取对数得，即，对于方程，两边同加得，即，所以方程等价于，令，由于函数，均为上的增函数，所以为上的增函数，所以，即.故答案为： 9．已知，，，则______. 【答案】2 【来源】湖北武汉二中2025-2026学年度上学期高一上年级期末考试数学试卷 【详解】左右同时乘以2得，左右同时加2得， 设，则单调递增，由于，，则， 则，则，故答案为：2. 10．已知函数，若，则的最小值为________. 【答案】 【来源】浙江省嘉兴市2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】由得，，且，， 当时，，，则， 当时，，，则， 当且仅当时，等式成立，故，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：. 【巩固练习】 1．已知函数，则______． 【答案】3 【来源】江西省吉安市永丰县第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【详解】由于，则.故答案为：3 2．已知表示不超过的最大整数，且，则（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】C 【来源】河南省安阳市第一中学2025-2026学年高一上学期数学周练8（11.6） 【详解】因为，所以，则，则，所以，则.故选：C 3．方程的解集为_________. 【答案】 【来源】上海市浦东新区上海南汇中学2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题 【详解】由题意得，解得，，解得，因为， 所以，则，由对数函数性质得 在上单调递增，可得，解得，不在范围内，故原方程的解集为.故答案为： 4．已知实数，满足、，则_____. 【答案】3 【来源】安徽省江南十校2025-2026学年高一上学期12月分科诊断联考数学试题（A） 【详解】令，则在单调递增，由条件知，，故，即.故答案为：3 5．已知函数，若，且，则__________. 【答案】/ 【来源】山西省吕梁市2024-2025学年高一上学期期末数学试题 【详解】令，则，函数在上单调递增，不妨设， 由可得，去绝对值化简得，故，所以.故答案为：. 6．已知，若，，则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【详解】由，得，由，得，则，即，又，因此，即，解得，所以.故选：A 7．已知正实数满足和．则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南省九校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联考（一模）数学试题 【详解】，，即，，，即，令，则在上单调递增，方程有唯一解，，．故选A． 8．已知实数，满足，，则______. 【答案】2 【来源】江西省景德镇市2024-2025学年高一上学期1月期末质量检测数学试题 【详解】由题意，而易知函数为单调增函数，因为，所以，从而，所以，故答案为：2. 9．已知，，且，则的值为______． 【答案】 【来源】江苏省阜宁中学2025-2026学年高一上学期第二次学情调研数学试卷 【详解】由，且其有唯一零点0，因为，易得，即，又因为，故，故，又因为，故，即.由，可得.设，可转化为，因为函数与在单调递增，且函数值均为正，故在上单调递增，又因为，，故有，即，则，.故答案为：. 10．对于正数、，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】东北三省一区点石联考2025-2026学年高三上学期12月联合考试数学试卷 【详解】由可得， 即，构造函数，因为函数、、在上为增函数，故函数在上为增函数，由可得，所以，即．故选：B． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02对数与对数函数 题型一 对数的运算 1 题型二 对数型函数图象过定点问题 7 题型三 判断对数型函数的图象形状 13 题型四 根据对数型函数图象判断参数的范围 22 题型五 对数型函数定义域与值域 30 题型六 比较指数幂、对数式的大小 35 题型七 由对数函数单调性解不等式 42 题型八 由对数函数单调性求参数范围 49 题型九 由对数型函数最值（值域）求参 56 题型十 由对数型函数最值存在性求参数范围 63 题型十一 利用对数函数单调性求值(同构求值) 72 题型一 对数的运算 核心公式： 指对互化： 对数恒等式： 运算法则： 换底公式：，推论： 解题方法： 指数、对数互相转化，整体代换求值，不必硬求每个变量。 嵌套函数：由内向外逐层计算；偶函数用转化自变量。 易错： 【经典例题】 1．（     ） A． B． C． D． 2．________． 3．___________． 4．若函数，则________． 5．设，则（    ） A． B． C． D． 6．若，则（   ） A． B． C． D． 7．已知，，则_____________． 8．若，则___________ 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选）下列各式运算正确的有（     ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1． （    ） A． B． C． D．2 2．________． 3．已知函数，则______． 4．已知函数,则（ ） A． B．1 C． D．2 5．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（     ） A． B． C． D． 6．已知幂函数为偶函数，则______________． 7．已知，则（     ） A． B． C． D． 8．已知，，则（     ） A． B． C． D． 9．= . 10．（多选）下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 题型二 对数型函数图象过定点问题 函数： 通用步骤： 令真数，解出；代回解析式求 原理：，值与底数a无关. 易错：不要把常数混入对数真数. 【经典例题】 1．函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 2．已知且，函数的图象过定点，则的坐标为______. 3．已知且，若函数的图像经过定点，函数的图像恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 5．已知幂函数为偶函数，则函数恒过定点___________． 6．已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 7．函数（且）的图象过定点，若正数，，满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 8．（多选）若函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在直线（，）上，则下列选项正确的是（   ） A． B．mn的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是9 9．已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则为最小值为（   ） A． B． C． D． 10．函数且过定点，若，则的最小值为__________. 【巩固练习】 1．函数（且）的图像过定点（   ） A．（2，3） B．（2，1） C．（2，0） D．（1，0） 2．函数过定点________． 3．函数的图象恒过定点_____. 4．若函数（，）的图象恒过点，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 5．函数（且）过定点，则__________. 6．若曲线（且）经过定点，曲线（，且）经过定点，则______． 7．函数（，且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（   ） A． B． C．3 D．9 8．已知函数的图象恒过点A，若点A在函数的图象上，则（    ）． A． B． C． D． 9．若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 10．函数图象恒过定点，且点坐标满足方程，则的最小值为（   ） A． B．6 C． D．8 题型三 判断对数型函数的图象形状 定义域：对数真数，找到渐近线，直接排除错误选项。 奇偶性：奇函数（关于原点对称）；偶函数（关于y轴对称）。 特殊点：判断函数正负，筛选项。 复合单调性【同增异减】：内外函数单调性相同则增，相反则减。 同一图内指数 + 对数：底数保持一致，矛盾选项直接排除。 【经典例题】 1．函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 2．函数的大致图象为（） A．B．C． D． 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．函数的大致图象是（   ） A． B． C．D． 5．函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象如下图所示，则的示意图是（    ） A． B． C． D． 7．函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）已知，且，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 10．（多选）若（，且），则函数的大致图象可能为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．函数的图象是（    ） A．  B．  C．  D．   2．函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则它的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 6．如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 7．已知函数且的图像经过坐标原点.则函数与函数在同一直角坐标系下的图象可能是（   ） A． B． C． D． 8．在同一直角坐标系中，函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 9．已知，则函数与的图象可能是（    ） A．     B．  C．   D．   10．（多选）已知，且，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A．  B．  C．   D．   题型四 根据对数型函数图象判断参数的范围 看升降定底数：图像上升；图像下降 平移变换： ，真数内部左加右减，整体上加下减；由渐近线位置判断h，上下位置判断k。 图像上取特殊点，坐标代入解析式，建立不等式求解参数范围。 指数对数同图：二者底数保持一致，互相验证，矛盾选项舍去。 【经典例题】 1．图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数a的取值范围为___________. 3．已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（多选）已知函数且的图象如图所示，则下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数的图象如图所示，则下列关系不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，且，则函数与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 8．函数与的大致图象如图所示，则的值可能为（   ）   A． B． C． D．3 9．已知函数（且）与函数（且）的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 10．若函数的图象如图，为常数.则函数的图象是（   ） A．B． C． D． 【巩固练习】 1．（多选）如图是三个对数函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的图像经过二、三、四象限，则实数的范围为__________. 3．已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ）    A． B． C． D． 4．已知函数（a，c为常数，其中，且）的部分图象如图所示，则下列结论成立的是______．（填序号） ①，；②，；③，；④，． 5．已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是（    ） A．m>0，0<n<1 B．m<0，0<n<1 C．m>0，n>1 D．m<0，n>1 7．（多选）如图为函数的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）函数与的图像如图所示，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D．3 9．已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 题型五 对数型函数定义域与值域 定义域：，解不等式；有分母、根式要同时满足条件。 值域： ①先求内层真数取值范围； ②结合对数单调性求值域。 真数可取遍所有正数，值域为；真数有范围限制，值域对应区间。 【经典例题】 1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 5．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 6．函数定义域是，则的定义域是（     ） A． B． C． D． 7．函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 8．函数（）的值域为（   ） A． B． C． D． 9．函数的最小值为__________． 10．已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．函数的定义域为（     ） A． B． C． D．R 2．函数的定义域是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 3．函数的定义域为__________． 4．函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 5．函数的值域为__________． 6．函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 7．函数的最小值为_________. 8．已知，则的值域是________． 9．已知函数的定义域为，则函数的值域是_______． 10．若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型六 比较指数幂、对数式的大小 同底：直接用单调性.递增，自变量越大函数值越大；递减，自变量越大函数值越小。 同真：利用换底公式，或者对数图像高低判断底数大小。 不同底不同真：找中间量做参照；也可以是其它值。 复杂式子：化为同形式，指数对数互化；或者构造函数，利用函数单调性比较。 【经典例题】 1．三个数中最小的数是____． 2．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则、、的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 4．若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 7．已知函数，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 9．（多选）已知实数，，使得，则，，的大小关系可以为（   ） A． B． C． D． 10．已知，则在这4个数中，最小的是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．设，，，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 4．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．已知，且，，，则（ ） A． B． C． D． 9．若为正实数，且有，则下列大小关系中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，且，，，则（    ） A． B． C． D． 题型七 由对数函数单调性解不等式 不等式形式： 解题方法：真数大于 0 永远不能丢，再根据底数去对数符号 当（递增）： 当（递减）： 求复合对数单调区间： 第一步求定义域； 第二步拆分内外函数； 第三步同增异减；单调区间必须写在定义域范围内。 【经典例题】 1．不等式的解集是______． 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．若，则的取值范围是________． 4．不等式的解集为______. 5．若，则实数的取值范围是__________. 6．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．两个集合A与B之差记作“A/B”，其定义为：且，如果集合，集合，那么A/B等于_______________． 8．若定义在区间内的函数满足，则的取值范围是________________． 9．称不等式的解集为函数的“大于点集”，则函数的“大于点集”为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 2．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则不等式的解集为______. 4．不等式的解为______． 5．已知函数，若，则实数的取值范围是________． 6．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．当时，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知定义在上的函数满足：对任意均有成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型八 由对数函数单调性求参数范围 复合对数函数单调区间求参： ①先求函数定义域； ②根据 “同增异减”，区分外层底数两种情况； ③保证内层函数在给定区间上单调，同时该区间必须落在定义域内部； ④列不等式组求解参数。 注意：题目给的单调区间，必须是定义域的子集。 【经典例题】 1．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．函数，其中且，在上是减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 5．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是____________. 6．已知函数在单调递增，则的取值范围为________． 7．已知实数，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．函数在R上单调递增，则a的取值范围是______． 9．设，若函数是单调函数，则的最小值为__________. 10．若函数（且）对于任意、且，都有成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 2．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 3．函数在上单调递增，则的范围为（     ） A． B． C． D． 4．是函数在区间上单调递增的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 5．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．已知函数在区间上单调递增，则参数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型九 由对数型函数最值（值域）求参 若值域为：内层需要取遍全体正实数，不是简单恒成立。 已知值域：利用对数单调性，把值域条件转化为内层真数的取值集合，列不等式求参数。 已知闭区间上最值：分两类讨论单调性，确定最值点，建立方程求解参数。 【经典例题】 1．（多选）已知函数（且）在上的最大值为2，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C． D． 2．已知函数且在上的值域为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 3．已知函数的值域为，的值域为，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 4．若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．函数的值域为，则实数a的取值范围是___________． 6．“”是“函数值域为”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．函数的值域为的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 8．函数的值域为，且，则实数的取值集合为________． 9．若函数的值域为，则的取值范围是________. 10．已知函数，若对，均有成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．若函数在区间上的最大值比最小值大1，则实数______ 2．已知函数的最大值为2，则_____________． 3．已知函数，若的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．设且，函数f（x）＝的定义域为R．若的值域为，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知，若函数的值域为，则a的值最小为（   ） A．e B．2 C．1 D． 8．若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是_________. 9．已知函数，若对任意实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．设函数，若存在，满足，则实数的最小值为_____ 题型十 由对数型函数最值存在性求参数范围 “最值存在” 含义：在给定区间，内层函数能够达到最大、最小值；区间必须包含在定义域之内。 先处理定义域约束，再对内层二次 / 一次函数分析值域； 结合对数单调性，翻译 “存在最大值 / 最小值” 为不等式； 注意区分：恒成立 vs 存在性，二者不等式方向不一样。 【经典例题】 1．已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若函数有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若函数在区间（t，t+1）（tR）上有最小值，则实数t的取值可能为（    ） A．-2 B． C．0 D．1 5．函数没有最小值， 则的取值范围是______． 6．已知存在最小值，则实数的取值范围是______． 7．若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数（，且），，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数为奇函数，函数，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是______． 10．函数，（），对，使成立（为自然对数的底数），则实数的取值范围是___________. 【巩固练习】 1．已知函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是___________. 2．若函数（且）有最大值，则的取值范围是___________. 3．若函数无最值，则的取值范围是______. 4．已知且，函数有最小值，则的取值范围是___________. 5．已知函数若存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数f（x）=若f（2）=4，且函数f（x）存在最小值，则实数a的取值范围为（   ） A．（1，] B．（1，2] C． D．[，+∞） 7．，，若，，使得，则实数的最大值是______． 8．已知函数（且≠1），若对任意.存在使得成立，则实数的取值范围为__________. 9．已知函数与的图象上存在关于原点对称的点，则的取值范围是_________. 10．若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则______. 题型十一 利用对数函数单调性求值(同构求值) 同构核心：把等式两边整理成结构完全相同的函数形式； 判断构造出来的函数是单调函数； 单调函数性质：，消去外层函数，得到简单等式求解； 做完带回检验真数。 【经典例题】 1．已知函数满足，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 2．已知函数，则___________． 3．已知，，则（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 4．已知正实数、满足，，则（    ） A． B． C． D． 5．设满足，满足，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知，则_____． 7．已知正实数，实数分别满足，，则_________． 8．已知实数满足：，则__________． 9．已知，，，则______. 10．已知函数，若，则的最小值为________. 【巩固练习】 1．已知函数，则______． 2．已知表示不超过的最大整数，且，则（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 3．方程的解集为_________. 4．已知实数，满足、，则_____. 5．已知函数，若，且，则__________. 6．已知，若，，则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 7．已知正实数满足和．则的值为（　　） A． B． C． D． 8．已知实数，满足，，则______. 9．已知，，且，则的值为______． 10．对于正数、，若，则（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $