17.2 第1课时 运用平方差公式因式分解（课件）2026—2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦运用平方差公式因式分解，通过复习整式乘法平方差公式逆向变形导入，梳理公式结构特征与分解步骤，搭建从提公因式法到公式法的学习支架。 其亮点在于结合几何直观（阴影面积变形）与实际问题（张大爷土地转换），发展学生抽象能力与模型意识。采用分层练习（基础到提升）和易错总结，帮助学生掌握分解彻底性，教师可通过系统例题与检测提升教学效率。

人教版（新教材）数学八年级上册 第十七章 因式分解 17.2 第1课时 运用平方差公式因式分解 授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/21 17.2 第1课时 运用平方差公式因式分解 专项练习 一、核心知识点梳理 运用平方差公式因式分解是继提公因式法之后第二种核心因式分解方法，是整式乘法平方差公式的逆向运用。整式乘法是“和差化积”，因式分解是“积化和差”，本节课重点掌握符合平方差结构的多项式快速分解方法，是后续解方程、化简求值的重要基础。 平方差因式分解公式：$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$。公式结构特征必须同时满足两个条件：多项式为二项式；两项符号一正一负，且两项均能写成某个整式的平方。口诀：两项、异号、皆平方。 公式中的$$a$$、$$b$$可以是数字、单项式，也可以是多项式整体。解题通用步骤：先观察是否有公因式，先提公因式，再套公式；准确识别谁是$$a$$、谁是$$b$$；分解必须彻底，直至每个因式不能再分解为止。 二、基础专项练习题 1. 判断题（符合平方差可分解打√，不可分解打×） （1）$$x^2-16$$（） （2）$$x^2+9$$（） （3）$$4a^2-25b^2$$（） （4）$$-x^2+4y^2$$（） 2. 直接利用平方差公式分解因式 （1）$$x^2-36$$ （2）$$9-m^2$$ （3）$$4x^2-y^2$$ 3. 先提公因式再公式分解 （1）$$2x^2-8$$ （2）$$3a^2-27b^2$$ 三、提升专项练习题 1. 整体型平方差分解（含多项式底数） （1）$$(x+y)^2-(x-y)^2$$ （2）$$9(a-b)^2-4(a+b)^2$$ 2. 复杂综合分解 （1）$$x^4-16$$ （2）$$-16+25x^2$$ 3. 化简求值 已知$$x=3.2$$，利用因式分解简便计算：$$x^2-1.44$$ 四、参考答案与详细解析 1. 判断题解析 （1）√，符合平方差结构；（2）×，两项同为正号，不满足异号条件；（3）√，两项均为平方且异号；（4）√，可变形为$$4y^2-x^2$$，满足平方差结构。 2. 基础公式分解解析 （1）原式$$=x^2-6^2=(x+6)(x-6)$$；（2）原式$$=3^2-m^2=(3+m)(3-m)$$；（3）原式$$=(2x)^2-y^2=(2x+y)(2x-y)$$，注意系数整体平方。 3. 先提后分题型解析 （1）原式$$=2(x^2-4)=2(x+2)(x-2)$$；（2）原式$$=3(a^2-9b^2)=3(a+3b)(a-3b)$$，必须优先提取公因式，保证分解彻底。 提升题解析 1. 整体平方差：（1）原式$$=[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]=2x\cdot2y=4xy$$，整体代入公式后化简合并；（2）原式$$=[3(a-b)+2(a+b)][3(a-b)-2(a+b)]=(5a-b)(a-5b)$$。 2. 综合分解：（1）原式$$=(x^2+4)(x^2-4)=(x^2+4)(x+2)(x-2)$$，需二次分解，务必分解彻底；（2）原式$$=25x^2-16=(5x+4)(5x-4)$$，调整顺序构造标准平方差。 3. 简便求值：原式$$=(x+1.2)(x-1.2)$$，代入$$x=3.2$$，得$$4.4\times2=8.8$$。 五、本节易错总结 1. 看错结构，将平方和$$a^2+b^2$$错误分解；2. 系数、常数未整体平方，出现$$4x^2=(4x)^2$$类错误；3. 忽略“先提公因式”，分解不彻底；4. 高次平方差只分解一次，未持续分解到最简；5. 整体平方差展开后忘记合并同类项，结果不够简洁。 情境导入 经历通过乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的相反变形得出利用公式法分解因式的过程，理解公式法分解因式与乘法公式的联系与区别. 学习目标 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. (a+b)(a-b)=a2-b2. 复习 平方差公式： 填一填： (1) (x+5)(x-5)=__________. (2) (3x+y)(-y+3x)=__________. (3) (-3a+1)(-1-3a)=__________. x2-25 9x2-y2 9a2-1 学习目标 探究 1：导入的问题，可以转化“如何将多项式 a2 - 4b2 分解因式”，则 a2 - 4b2 有什么特点？ 是 a，2b 两数的平方差的形式 a2 - 4b2 = a2 - 知识点：用平方差公式因式分解 (2b)2， 思考一：形如两数的平方差的多项式，可以分解因式吗？ 探究新知 探究 2：如图所示，阴影部分是一个边长为 a 的大正方形的右下角截去了一个边长为 b 的小正方形.截完后阴影部分的面积是多少？ a b a b 合作探究 a2 - b2 = (a + b)(a - b) 成立吗？ 几何论证： 探究新知 问题 1：你能用含 a、b 的式子表示变形前后阴影部分的面积吗？你发现了什么规律？ 变形前阴影部分面积为： a2 - b2 变形后阴影部分面积为： (a + b)(a − b) a b a b a (a-b) b a2 - b2 = (a + b)(a - b) 规律 还有几何其他的方法吗？ 探究新知 a b a b a a-b b a a-b b a a b b a-b 其他方法： 算一算！ 探究新知 定义总结 运用平方差公式因式分解 运算法则： 文字说明： 两个数的平方差，等于这两个数的___与这两个数的_____的乘积. a2 - b2 = (a + b)(a − b) 和 差 探究新知 张大爷这块“十字形”土地(如图).换成同等面积的长方形土地.那么这块长方形土地的长和宽可以是多少？ 想一想 a b b a b2 b2 b2 b2 解：十字形土地的面积为 S＝a2 - 4b2 ＝a2 - (2b)2 ＝(a + 2b)(a - 2b) 则长方形土地的长可为 (a + 2b)， 宽可为 (a - 2b). 探究新知 (2) 原式＝ a2－(5b)2＝ (a＋5b)(a－5b). 解：(1) 原式＝(2x)2－32 a2 － b2 ＝(a ＋ b)(a － b) ＝(2x＋3) (2x－3). 典例精析 例1 分解因式： (1) 4x2－9；　　 (2) a2 －25b2.　　 探究新知 b a 例2 分解因式：(1) x2－y4； (2) (x＋p)2－(x＋q)2. (2) 原式＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)] ＝(2x＋p＋q)(p－q). 解：(1) 原式＝ x2－( y2 )2 ＝( x＋y2 )( x－y2). 探究新知 方法总结 分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． 探究新知 练一练 ＝ (a＋2b)(a－2b－1). ＝ 5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b). 解：(1) 原式 ＝ 5m2(a4－b4) ＝ 5m2(a2＋b2)(a2－b2) (2) 原式 ＝ (a2－4b2)－(a＋2b) ＝ (a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) 1.分解因式：(1) 5m2a4 －5m2b4； (2) a2－4b2－a－2b. 探究新知 1.多项式x2-4因式分解的结果是(　　) A.(x+2)(x-2) B.(x-2)2 C.(x+4)(x-4) D.x(x-4) A 当堂检测 2.下列各式中可以使用平方差公式因式分解的是(　　) A.-a2-b2 B.-a2+81 C.p2-(-q2) D.a2-b3 B 当堂检测 3.下列多项式能否利用平方差公式分解因式？为什么？ (1)x2+y2; (2)x2-y2; (3)-x2+y2; (4)-x2-y2. 解：(1)(4)不能，因为它们不满足平方差公式的特点. (2)(3)能，因为它们满足平方差公式的特点. 当堂检测 4.下列因式分解中，结果正确的是(　　) A. x2-25=(x+5)(x-5) B. 1-(x+2)2=(x+1)(x+3) C. 4m2-n2=(2m+n)(m-n) D. x2-4=(x-2)2 A 当堂检测 5.分解因式： (1)36-m2; (2)49n2-1; (3)a2-b2; (4)81a2-16b4; (5)4b2-(b+c)2; (6)(m+2n)2-(m-2n)2. 解：(1)36-m2=(6+m)(6-m). 解：(2)49n2-1=(7n+1)(7n-1). 解：(3)a2-b2=(a+b)(a-b). 解：(4)81a2-16b4=(9a+4b2)(9a-4b2). 解：(5)4b2-(b+c)2 =(2b+b+c)(2b-b-c) =(3b+c)(b-c). 解：(6)(m+2n)2-(m-2n)2 =(m+2n+m-2n)(m+2n-m+2n) =2m·4n=8mn. 当堂检测 知识点 运用平方差公式分解因式 1.下列各式中能用平方差公式进行因式分解的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 19 2.多项式 分解因式的结果是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 20 3.已知，则 等于( ) B A.16 B. C.4 D. 返回 举一反三 21 4.已知，且，则 ____. 返回 举一反三 22 5.分解因式： （1） 解：原式 . （2） ; 解：原式 . （3） ; 解：原式 . 举一反三 23 （4） ; 解：原式 . （5） ; 解：原式 . （6） . 解：原式 . 返回 举一反三 24 6.运用平方差公式进行简便计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 返回 举一反三 25 课后小结 整式的乘法 相反 变形 因式分解 a2 - b2 =____________. (a + b)(a - b) (a + b)(a - b) = a2 - b2 平方差公式 两个数的平方差，等于这两个数的____与这两个数的____的积. 和 差 谢谢观看 THANKS $