精品解析：江苏省运河中学2026-2027学年高三上学期开学调研数学试题

高三年级学期调研 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若且，若的最大值为，则正常数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. 1 C. D. 0 6. 已知函数的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数，，满足，则下列不等式正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知和分别为函数的极小值点和极大值点，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在间单调且存在零点，若使用二分法求零点的近似值，要求区间长度小于，则需要进行二分操作的次数为________(参考数据：)． 13. 设且，函数的定义域为R．若的值域为，则的取值范围为_____. 14. 已知，实数满足，则满足条件的实数的值的个数为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，在处的切线与垂直， （1）求实数的值； （2）求在区间上的值域． 16. 已知函数． （1）若，讨论函数的单调性； （2）若，对任意，恒成立，求实数的最大值． 17. 已知函数的定义域为集合A，集合． （1）当时，求； （2）求使的实数m的取值范围． 18. 已知函数的图象上有不重合的两点，． （1）若，的图象在，两点处的切线相互平行，求的取值范围； （2）若，设的中点为，求证： ． 19. 对于定义在上的函数，若存在，使恒成立，则称为“型函数”；若存在，使恒成立，则称为“型函数”.已知函数. （1）设函数.若，且为“型函数”，求的取值范围； （2）设函数.证明：当，为“（1）型函数”； （3）若，证明存在唯一整数，使得为“型函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级学期调研 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用集合的交运算即可求得结果. 【详解】由题意知，. 故选：C. 2. 若且，若的最大值为，则正常数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】，当且仅当时，等号成立， 则，故. 故选：B. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由得，，即. 则， 由得， 所以. 4. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出导数，利用导数的几何意义求出斜率，利用点斜式得到切线方程. 【详解】， 将代入导数，得到切线斜率， 又切点和斜率， 则曲线在处的切线方程为， 整理得，故选项C正确. 5. 使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数型复合函数的单调性确定函数在区间 上单调递减成立的充要条件，从而可得其成立的一个充分不必要条件. 【详解】由于函数在上单调递减， 函数在区间上单调递减， 所以函数在上单调递增， 则，解得， 所以函数在区间上单调递减的充要条件为， 那么其成立的一个充分不必要条件可以是. 故选：D. 6. 已知函数的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调性，利用单调性求最值. 【详解】， 当时， ，即时， ，则单调递增， ，即时，，则单调递减， 则在处取得最大值，且， 因为最大值为，所以解得. 当时， ，即时，，单调递增， ，即时，，则单调递减， 则在处取得最小值，无最大值，故舍去. 当时， ，不满足条件，故舍去. 综上可知，，故选项A正确. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明不等式和，然后利用这两个不等式可比较三者的大小. 【详解】设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，当且仅当时等号成立，故，当且仅当时等号成立， 故当时，，即. 令，由可得， 而，故. 8. 若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，即，即． 设，则，因为0，所以在上单调递增，所以，即． 设，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】作出的函数图象，如图所示： 观察易知a，b的关系为或或． 10. 已知实数，，满足，则下列不等式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对AB选项可通过作差比较法及不等式性质判断可得，对C选项可通过作商比较法及指数函数的性质判断可得，对D选项则通过特殊值法判断可得. 【详解】选项A：对两式作差得， 由，得，，所以，即，A正确； 选项B：对两式作差得， 由，得，又， 所以，即，B正确； 选项C：因为，所以， 对两式作商得， 由得，由得，因为函数在上单调递增， 所以，即，C正确； 选项D：取特殊值，左边，右边， 此时，不满足大于关系，D错误. 11. 已知和分别为函数的极小值点和极大值点，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】当时，利用导数可以得到的单调性，从而得到，且和，即可判断AB；当时，联立可以得到，再代回即可判断C；由选项C得到，代入即可判断D. 【详解】对于A，当时，函数，则， 令，则，令，解得， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以的最小值在处取得，最小值为， 又因为时，；时，， 因此先正再负后正，即先正再负后正，所以先单调递增，再单调递减，最后单调递增， 因此有极小值点和极大值点，满足和，并且， 当时，恒成立，且， ，所以， 又因为，，所以， 所以，故A正确， 对于B，由选项A可知，，由于， 且二次函数在上单调递增，且最大值趋近于，但，所以，故B错误； 对于C，已知函数，， 当时，即，又因为，即， 所以 ，解得， 代入，可得， 令，则 ，当时，，所以，即，故C正确； 对于D，由选项C可知，，， 方程 ，根为和（）， 所以， 当时，在上递增，最大值趋近于， 但，所以，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在间单调且存在零点，若使用二分法求零点的近似值，要求区间长度小于，则需要进行二分操作的次数为________(参考数据：)． 【答案】 【解析】 【分析】根据二分法的含义知，每次二分都会将原有的区间长度缩为可得至少需要进行多少次函数值的计算. 【详解】每进行一次函数值计算，区间长度变为原来的，进行次计算后，区间长度为， 则， 得，得， 得， 则要进行二分操作的次数为． 13. 设且，函数的定义域为R．若的值域为，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】对分为与两种情况讨论，再由对数函数以及分段函数的性质求解即可. 【详解】若，则的取值范围是． 当时，，分两种情形讨论： 若，则在单调递增，相应的取值范围是， 因此要使的值域是，应当有，两端都取a为底可得，解得． 当，则在单调递减，相应的取值范围是，此时无法满足的值域是，故舍去． 综上可得． 14. 已知，实数满足，则满足条件的实数的值的个数为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据的解析式求出中的值，然后再求出的值. 【详解】当时， ，不符合题意； 当时， ， 即， 解得或. 当时， 若，，舍去； 若，， 解得或者； 当时 若， 解得； 若， ， 解得或. 计算得满足条件的实数有5个. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，在处的切线与垂直， （1）求实数的值； （2）求在区间上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求处的切线斜率，结合两直线垂直的斜率关系求解； （2）通过导数判断函数在上的单调性，比较极小值和端点值的大小得到值域. 【小问1详解】 函数的定义域为，对求导得， 则在处的切线斜率， 直线变形为，斜率为， 由两直线垂直时斜率乘积为，得，解得. 【小问2详解】 由（1）得，求导并整理得， 当时，，， 所以当时，，单调递减； 当 时，，单调递增， 因此在处取得区间内的最小值， 计算端点值，， 比较和的大小：， 由于，故，即区间内最大值为， 综上所述，在上的值域为. 16. 已知函数． （1）若，讨论函数的单调性； （2）若，对任意，恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可； （2）根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 因为，则令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 若，则. 令， 则， 则在单调递减. 因为对任意的，恒成立， 所以， 即. 所以的最大值为. 17. 已知函数的定义域为集合A，集合． （1）当时，求； （2）求使的实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，，解得，所以； ，解得，所以， 【小问2详解】 ，； 对与0的关系进行分类讨论： 若时，，不存在m使； 若时，， 要使，必须解得； 若时，，要使，必须解得； 故m的范围． 18. 已知函数的图象上有不重合的两点，． （1）若，的图象在，两点处的切线相互平行，求的取值范围； （2）若，设的中点为，求证： ． 【答案】（1） （2）由题意， 则， 因为为的中点，则， 故， 由 ， 故要证，即证， 由于，即证， 不妨设，只需证，即证， 设，构造函数，则， 所以函数在单调递增，故， 即，从而． 【解析】 【分析】（1）由切线斜率相等得到，再结合基本不等式即可求解； （2）先根据已知条件表示出和，然后将问题转化成，再构造新函数，求导通过单调性证明即可. 【小问1详解】 由题意：，． 所以，． 又因为在，两个不同点处的切线相互平行， 所以，又，所以， 因为且，所以， 即的取值范围是. 【小问2详解】 略 19. 对于定义在上的函数，若存在，使恒成立，则称为“型函数”；若存在，使恒成立，则称为“型函数”.已知函数. （1）设函数.若，且为“型函数”，求的取值范围； （2）设函数.证明：当，为“（1）型函数”； （3）若，证明存在唯一整数，使得为“型函数”. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）将代入，依题意，即恒成立，设，求出函数的最小值即可得解； （2）分析可知，即证，令，，方法一：由不等式的性质可知在上单调递减，在上单调递增，故，即得证；方法二：令，再对函数求导，可得当时，，当时，，进而得到的单调性，由此得证； （3）问题等价于证明存在唯一整数，恒成立，易知当及时，不合题意，故只需证明时符合题意即可，方法一：记，分当或以及当时证明即可； 方法二：记，利用导数求其最大值小于0即可得证. 【详解】（1）时，. 因为为“型函数”， 所以恒成立，即恒成立. 设，则恒成立， 所以在，上单调递减， 所以（1）， 所以的取值范围是； （2）证明：当时，要证为“（1）型函数”， 即证，即证. 令，则， 方法一：当时，，，则； 当时，，，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 则（1），又（1），所以， 所以为“（1）型函数”. 方法二：令，则， 所以函数在上单调递增，又（1）， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 以下同方法一. （3）证明：函数为“型函数”等价于恒成立， 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时， 方法一：， ①当或时，； ②当时，，由（2）知， 所以， 综上，存在唯一整数，使得为“型函数”. 方法二：，， 记，则， 所以在上单调递减. 易得， 所以； 又因为， 所以存在唯一零点，使得， 且为的最大值点， 所以， 注意到在上单调递增， 所以，所以. 综上，存在唯一整数，使得为“型函数”. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查构造思想，分类讨论思想，函数与方程等数学思想，考查推理论证能力，运算求解能力等，属于较难题目. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $