精品解析：江苏省徐州市第三中学2026-2027学年高三上学期8月学情调研数学试题

徐州三中2027届高三8月学情调研 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.18 B. 0.22 C. 0.09 D. 0.27 3. 一个袋子中有除颜色外都相同的2个红球和3个白球，从中不放回地抽取2个球，每次只取1个．设事件 “第一次抽到红球”， “第二次抽到红球”，则（ ） A. B. C. D. 4. 若是的必要不充分条件，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. 60 B. 120 C. 240 D. 360 6. 若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ） A. 36种 B. 40种 C. 44种 D. 48种 7. 设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，．若在区间内关于的方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）已知，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若函数是奇函数，是奇函数，则下列选项一定正确的是（ ） A. 函数图象关于点对称 B. 函数的周期为1 C. D. 11. 过曲线外的一点作曲线的切线，若这样的切线有且只有一条，则，满足的关系可以是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的导数为，且时，，则这个函数的解析式为________． 13. 已知则函数的零点个数是_________. 14. 若对任意的，且，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 命题：“，”，命题：“，”. （1）写出命题的否定命题，并求当命题为真时，实数的取值范围； （2）若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 16. 某电影上映前6天的单日票房统计如下表： 上映第天 1 2 3 4 5 6 单日票房（单位：亿元） 0.9 1.2 1.3 1.5 1.3 1.6 （1）根据数据建立单日票房关于上映天数的经验回归方程，并预测第7天的票房收入（计算结果均保留一位小数）． （2）在某天放映结束后，随机抽取8名观众，发现其中有6人每月都会看一场电影，剩余2人每季都会看一场电影．现从这8人中随机抽取3人，记为抽取的3人中每月都会看一场电影的人数，求的分布列及数学期望． 参考数据：，参考公式：，． 17. 如图，在直三棱柱中，，，. （1）求证：； （2）若点N在线段上，满足平面ABC，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数. （1）解不等式； （2）若关于x的方程在上有解，求m的取值范围； （3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，函数在上恒成立，求整数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州三中2027届高三8月学情调研 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果； 【详解】由，而， 所以. 故选：A 2. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.18 B. 0.22 C. 0.09 D. 0.27 【答案】A 【解析】 【详解】因为，且，所以，则， 故（或）. 3. 一个袋子中有除颜色外都相同的2个红球和3个白球，从中不放回地抽取2个球，每次只取1个．设事件 “第一次抽到红球”， “第二次抽到红球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率公式求解． 【详解】由题意可知，,, 所以. 故选：B. 4. 若是的必要不充分条件，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由充分必要条件与集合间关系可得答案. 【详解】因是的必要不充分条件， 则是的真子集， 所以. 故选：A 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. 60 B. 120 C. 240 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】根据展开式中每一项的生成过程，结合组合数公式，即可求解. 【详解】要得到这一项，相当于从6个含有三项的因式中的3个因式取，1个因式取，2个因式取， 即这一项为. 故的系数为. 故选：B 6. 若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ） A. 36种 B. 40种 C. 44种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】 将9个数分为2组，一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数：2､4､6､8，然后分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，再由加法原理计算可得答案. 【详解】解：根据题意，将9个数分为2组， 一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数：2､4､6､8， 若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论： ①取出的3个数全部为奇数，有种情况， ②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，有种情况， 则和为奇数的情况有种. 故选：B. 【点睛】本题考查组合问题，分类加法计数原理，是基础题. 7. 设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，．若在区间内关于的方程恰有个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析出函数是周期为的周期函数，作出函数在上的图象，由题意可知，函数和函数在上的图象有个交点，数形结合可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由可得， 所以，函数和函数在上的图象有个交点， 因为对任意的，都有，即， 所以，函数是周期为的周期函数， 因为是定义在上的偶函数，且当时，，则. 作出函数和函数在上的图象如下图所示： 要使得函数和函数在上的图象有个交点， 则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据a、b、c算式特征构建函数，通过求导确定函数单调性即可比较a、b、c的大小关系. 【详解】令，则， 因此在上单调递减， 又因为，，， 因为，所以． 故选：B． 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）已知，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据实数指数幂的运算性质，逐项计算，即可求解. 【详解】由，所以A正确； 由，所以B正确； 由， 因为，，所以，所以C错误； 由，所以D正确． 故选：ABD． 10. 若函数是奇函数，是奇函数，则下列选项一定正确的是（ ） A. 函数图象关于点对称 B. 函数的周期为1 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】函数是奇函数，由奇函数的性质，知，图象关于对称，即；由是奇函数，利用奇函数的定义，得，结合得，即函数的周期为，所以，，即可求解. 【详解】是奇函数，则，即，所以函数图象关于点对称，故A选项正确； 又是奇函数，时，；时，，得， 又，令得，，即，所以函数的周期为，故B选项错误； 因为，无法判断，故C选项正确，D选项错误； 故选：AC. 11. 过曲线外的一点作曲线的切线，若这样的切线有且只有一条，则，满足的关系可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设切线方程，代入，得到方程有唯一解，转化为直线与曲线只有一个交点，利用导数得到的单调区间，分析即可解决 【详解】，设切点为， 则切线方程为：， 因为切线经过点，将点代入得， 化简得， 故方程有一个根． 令，，转化为直线与曲线只有一个交点， ， 当时，；当时，． 故在和上单调递增，在上单调递减，，． 根据直线与只有一个交点，则有或． 故选：AD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的导数为，且时，，则这个函数的解析式为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：因为函数的导数为，因此可知解析式为＝ 13. 已知则函数的零点个数是_________. 【答案】5 【解析】 【详解】令可得, 当时,由可得x=10或0或,三个解; 当时,由可得两个解, 故答案为5. 14. 若对任意的，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先，其次通过分析：对任意的，有，这样问题转换成了已知函数在区间上的单调性求参数范围，直接求导即可得解. 【详解】对任意的，且， 由有意义可知， 则，所以，即. 令，则函数在上单调递减. 因为，由，可得， 所以函数的单调递减区间为，所以，故， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 命题：“，”，命题：“，”. （1）写出命题的否定命题，并求当命题为真时，实数的取值范围； （2）若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据全称命题的否定形式写出，当命题为真时，可转化为，当，利用二次函数的性质求解即可； （2）由（1）可得为真命题时的取值范围，再求解为真命题时的取值范围，分真和假，假和真两种情况讨论，求解即可 【小问1详解】 由题意，命题：“，”， 根据全称命题的否定形式，：“，” 当命题为真时，，当 二次函数为开口向上的二次函数，对称轴为 故当时，函数取得最小值，即 故实数的取值范围是 【小问2详解】 由（1）若为真命题，若为假命题 若命题：“，” 为真命题 则，解得 故若为假命题 由题意，和中有且只有一个是真命题， 当真和假时，且，故； 当假和真时，且，故； 综上：实数的取值范围是或 16. 某电影上映前6天的单日票房统计如下表： 上映第天 1 2 3 4 5 6 单日票房（单位：亿元） 0.9 1.2 1.3 1.5 1.3 1.6 （1）根据数据建立单日票房关于上映天数的经验回归方程，并预测第7天的票房收入（计算结果均保留一位小数）． （2）在某天放映结束后，随机抽取8名观众，发现其中有6人每月都会看一场电影，剩余2人每季都会看一场电影．现从这8人中随机抽取3人，记为抽取的3人中每月都会看一场电影的人数，求的分布列及数学期望． 参考数据：，参考公式：，． 【答案】（1）经验回归方程为 ，预测第7天票房约为1.7亿元； （2）X的分布列为： 1 2 3 数学期望（或2.25）. 【解析】 【分析】（1）先计算的样本均值，代入回归系数公式求得得到回归方程，再代入即可预测票房； （2）确定服从超几何分布，计算各取值对应的概率即得分布列，再计算数学期望即可. 【小问1详解】 依题意，样本均值：， . 则， ， 因此 ， ， 故经验回归方程为 . 当时， ，即预测第7天票房约为1.7亿元. 【小问2详解】 由题意，的所有可能取值为1，2，3，易得服从超几何分布.  则，， . 则的分布列为： 1 2 3 数学期望： . 17. 如图，在直三棱柱中，，，. （1）求证：； （2）若点N在线段上，满足平面ABC，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明出平面，即可证明. （2）连接，MN，.先证明出N为的中点. 以A为坐标原点，AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 ∵为直三棱柱， ∴平面ABC，∴，， 又，所以四边形为正方形， ∴，又，， ∴平面，又平面，∴， 又，，∴平面，又平面， ∴. 【小问2详解】 连接，MN，. ∵平面ABC，又平面，平面平面， ∴.又M为的中点，∴N为的中点. 如图所示，以A为坐标原点，AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，. ∴ 设平面的法向量为，又，， 由得，不妨取z=2， 所以平面的一个法向量为 ∴直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）解不等式； （2）若关于x的方程在上有解，求m的取值范围； （3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由换元法求解， （2）参变分离后转化为求值域问题， （3）由函数的奇偶性先求出，的解析式，再由换元法与参变分离求解， 【小问1详解】 设，则不等式可化为，解得， 则，故原不等式的解集为 【小问2详解】 即在上有解， 而，，故， 即m的取值范围是 【小问3详解】 由题意得，， 解得，， 故原不等式即对恒成立， 令，不等式可化为对恒成立， ，而，由对勾函数性质得当时取最大值， 则，实数a的取值范围是 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，函数在上恒成立，求整数的最大值. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导后分解因式，分类讨论即可得到函数的单调性；（2）由题意求出，转化为在上恒成立，利用导数求出的最小值，即可求解. 【小问1详解】 （1） 若时，，在上单调递增； 若时，，当或时，，为增函数， 当时，，为减函数， 若时，，当或时，，为增函数， 当时，，为减函数. 综上，时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由，解得 ， 所以， 由时，，可知在上恒成立 可化为在上恒成立，设， 则， 设，则 ，所以在上单调递增， 又，， 所以方程有且只有一个实根，且 ，， 所以在上，， 单调递减，在上，，单调递增， 所以函数的最小值为， 从而，又为整数，所以的最大值为：. 【点睛】解答本题的难点在于得到后，不能求出的零点，需要根据的单调性及零点存在定理得到的大致范围，再利用的范围及求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $