专题6.8 数列的通项公式（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 以8类核心方法为框架，构建从基础观察到复杂构造的阶梯式通项公式求解体系，分层训练强化数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |观察法|4题|通过数列前几项特征抽象通项|从具体到抽象，培养数学抽象能力| |aₙ与Sₙ关系|4题|利用aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁(n≥2)转化|建立和与项的逻辑联系，强化推理意识| |累加法|4题|叠加递推式求通项|体现化归思想，培养运算能力| |累乘法|4题|连乘递推式求通项|深化转化思维，提升数学表达能力| |构造法|4题|构造新等比/等差数列|培养数学建模意识，拓展解题思路| |同除/倒数法|4题|通过变形转化为基本数列|强化数学眼光，发现问题本质联系| |前n项积求通项|4题|类比前n项和公式推导|构建知识迁移路径，发展创新意识| |双数列问题|4题|联立方程或错位相消|综合运用数列知识，提升综合解题能力|

专题6.8 数列的通项公式（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 观察法】 1 【题型2 由an与Sn的关系求通项公式】 3 【题型3 累加法】 5 【题型4 累乘法】 7 【题型5 加减常数或函数构造法】 9 【题型6 同除法或取倒数法】 11 【题型7 已知数列前n项积求通项】 13 【题型8 双数列的通项问题】 16 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 观察法】 1．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】找出各项与序号之间的规律，写出通项公式即可. 【解答过程】将数列改写为：，，，，，…， 所以是数列1，，，，3，…，的一个通项公式. 故选：D. 2．（25-26高二上·宁夏吴忠·阶段检测）数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用观察归纳法求出通项公式. 【解答过程】依题意，， ，…， 所以所求通项公式为. 故选：C. 3．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合符号、分子、分母存在的规律分析即可. 【解答过程】数列的符号依次为负、正、负、正，呈现出的规律； 分子依次为1，3，5，7，，是首项为1、公差为2的等差数列，通项为； 分母依次为1，4，9，16，，即，，，，通项为； 故该数列的通项公式为：. 故选：B. 4．（25-26高二上·山东烟台·期末）若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据数列前项的规律，分别分析数列的符号规律和数值规律，进而得出数列的通项公式. 【解答过程】观察数列的前项，可以发现奇数项为正，偶数项为负. 根据当为偶数时结果为，当为奇数时结果为；当为奇数时结果为，当为偶数时结果为，可知该数列的符号规律可以用来表示. 分母依次为3,5,7,9，得该数列分母的通项公式为. 结合上述对符号规律和数值规律的分析，可知该数列的通项公式为. 故选：A. 【题型2 由an与Sn的关系求通项公式】 5．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用与的关系以及的值证明得到数列是从第 1项起是公比为 3 的等比数列，得 【解答过程】已知， 则当时，， 两式相减得到，即 ； 所以数列是从第 2 项起是公比为 3 的等比数列， 当时，； 所以数列是从第 1项起是公比为 3 的等比数列， 所以； 故选：A. 6．（25-26高二下·陕西安康·阶段检测）已知是数列的前n项和，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系，结合等比数列求出，进而求出目标值. 【解答过程】数列中，由，得，即，而， 因此数列是首项为1，公比为3的等比数列，， 所以. 故选：A. 7．（2026·四川·模拟预测）已知是正项数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据条件，先求出，根据，整理化简，结合等差数列的定义，即可得答案. （2）由（1）得，根据裂项相消求和法，即可得答案. 【解答过程】（1）当时，. 因为是正项数列，所以. 由，得， 两式相减，得，即. 因为，所以， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以. （2）因为， 所以. 8．（2026·河北·二模）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据递推公式求出及的关系，从而可判断数列的特征； （2）首先求出数列的通项公式，观察可知需要通过错位相减法求解其前项和． 【解答过程】（1）， 当时，，解得． 又当时，， ，， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列． ． （2）， 由题意知，. ， 设数列的前项和为， ， ， 则， 两式相减得：， 即， ． 【题型3 累加法】 9．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由得到，利用累加法求出，则. 【解答过程】因为，所以即； 所以 即； 所以，而也符号该式，故 故选：D. 10．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】应用累加法，结合分组求和、等差等比前n项和公式求通项公式. 【解答过程】由题设，即 ，且， 所以 ， 由满足上式，故. 故选：B. 11．（25-26高三上·云南红河·阶段检测）如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ） A．462 B．465 C．468 D．475 【答案】B 【解题思路】归纳出递推公式，再累加求通项即可. 【解答过程】记第层有个球，则，，，，， ，，，， 则第30层的小球个数为， . 故选：B. 12．（25-26高二下·河北·期末）在数列中，，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先将变形整理为，再分别用，，，2，1替换上式中的，得到个等式，将上述这些式子相加整理，从而求出的通项公式. 【解答过程】由已知得， 将上述个等式相加，整理得 又因为，所以 故选：A. 【题型4 累乘法】 13．（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据所给数列递推式，利用累乘法（迭代法）即可求得数列通项. 【解答过程】因，则 ， 当时，符合题意，故数列的通项公式为. 故选：C. 14．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知正项数列的前项和为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知等式变形为，利用累乘法求出数列的通项公式，即可得出的值. 【解答过程】因为正项数列的前项和为，，且， 可得，则， 所以，，，，，， 上述等式相乘得， 则， 故当且时，，且满足， 对任意的，，故. 故选：A. 15．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依题意可得，利用累乘法计算可得. 【解答过程】因为，所以， 则，，，，，， 累乘可得， 所以，又，所以， 经检验时也成立， 所以. 故选：B. 16．（25-26高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先应用得出，再应用累乘法得出通项公式，代入即可求值. 【解答过程】由题得，即， 所以， 将上面个式子两端分别相乘， 可得， 即， 所以． 故选：B. 【题型5 加减常数或函数构造法】 17．（25-26高二下·四川凉山·期中）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由，得到，再利用等比数列的定义求解. 【解答过程】因为，所以． 因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故． 故选：C. 18．（25-26高二上·福建厦门·期中）若数列满足，，则（ ） A．1020 B．1024 C．2044 D．2048 【答案】C 【解题思路】整理可得，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解. 【解答过程】因为，则， 且，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列， 则，即， 所以. 故选：C. 19．（25-26高二下·山西太原·阶段检测）已知数列的前n项和为，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1); (2)． 【解题思路】（1）利用与的关系得到数列通项的递推关系式，再利用递推关系式构造基本数列求通项公式； （2）利用分组求和法求出. 【解答过程】（1）由， 得，得， 则， 因为，，所以，满足上式， 所以， 又，所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列． 所以，． （2）由（1）得 所以 即． 20．（25-26高二下·湖北·期中）已知数列满足：，；数列的前项和． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式，由可求得数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【解答过程】（1）因为，所以， 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， ， 当时， 当时，符合， 所以. （2）由（1）可得：， ① ② ①②可得： ， 所以. 【题型6 同除法或取倒数法】 21．（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意可得，再根据等差数列的定义求出数列的通项，即可得解. 【解答过程】由，得， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：B. 22．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的各项为正数，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知等式变形得出，结合题意得出，，可知数列为常数列，由此可求得数列的通项公式. 【解答过程】因为数列的各项为正数，且，， 故当时，， 由题意可知，对任意的，，则，所以，， 则有，所以，数列为常数列， 故，所以. 故选：A. 23．（2026·福建龙岩·二模）已知数列的前项和为，且满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）构造法判断为等差数列，并写出其通项公式，再应用关系求的通项公式； （2）应用裂项相消法求. 【解答过程】（1）由，，得，又， 数列是首项为，公差的等差数列， ，即， 当时，，且也满足， ，则数列的通项公式为； （2）由（1）得， . 24．（2026·黑龙江·二模）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由已知等式变形得出，可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式； （2）验证当时，不等式成立；当时，推导出，再利用等比数列的求和公式可证得不等式成立. 【解答过程】（1）由题设条件，可得若，则， 用反证法，假设，由题设条件，显然，这与已知条件矛盾，所以. 因为，所以，，，所以，， 由得，所以， 又，所以是首项、公比均为的等比数列. 所以，则. （2）证明：显然时，成立， 当时，，所以，所以， 所以，即，所以， 所以. 综上，，得证. 【题型7 已知数列前n项积求通项】 25．（25-26高三上·江西南昌·开学考试）已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据数列的前n项积为等差数列，得等差数列的通项，进而得所求项. 【解答过程】因为数列的首项为1，且其前n项积是公差为3的等差数列. 所以，令，得. 所以数列是公差为3，首项为1的等差数列. 故，即. 所以. 故选：C. 26．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）记为数列的前n项积，已知，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【解题思路】当时，由可得，进一步可得数列是等差数列，并求得其通项公式，即可求出； 【解答过程】因为为数列的前n项积， 当时，，所以，∴， 当时，，所以， 化简可得：， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 所以. 故选：C. 27．（2026·山东泰安·模拟预测）记为数列的前项积，已知，则___________． 【答案】/ 【解题思路】根据和等差数列定义，结合题设条件可证得数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得结果. 【解答过程】当时，，； 当且时，，， 数列是以为首项，为公差的等差数列， . 故答案为：. 28．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）记为数列的前项和，为数列的前项积，已知，则___________. 【答案】 【解题思路】由题意可得，从而得到是等差数列，进一步得，再求出，利用求得＝即可求出答案. 【解答过程】解：因为， 所以， ，所以 ， 又因为，当时，得，所以， 当时，，即， 所以是等差数列，首项为，公差， 所以， 所以，满足， 故， 即， 所以 ， 两式相除得，当时也成立， 所以 ， 所以， 所以. 故答案为：. 【题型8 双数列的通项问题】 29．（2026·辽宁抚顺·一模）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式及； (2)若，，求数列的通项公式． 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）根据等差数列前项和公式计算等差数列的基本量，进而可得通项公式及前项和公式； （2）直接用累乘法求数列的通项公式可得. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为．因为，， 所以，，则，． （2）因为，即，所以当时,． 所以当时, ． 当时，，符合上式. 故数列的通项公式为. 30．（2026·辽宁朝阳·三模）已知数列的前n项和为，满足，公差大于零的等差数列满足为与的等比中项． (1)求数列和的通项公式； (2)设为数列的前n项和，求． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）先利用，由求首项，再作差推出为等比数列得通项，再设等差数列公差为正数，由和等比中项列方程求出，进而得到通项. （2）把拆为与两部分，分别用等比数列求和、相邻两项分组求和算出前20项和，相加即得. 【解答过程】（1）当时，， 所以， 当时，由及，得，解得 所以. 设等差数列的公差为， 则 所以． （2）当时，， ． 31．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据的关系求的通项公式；根据题意得到为等比数列，根据等比数列通项公式求出，进而求出数列的通项公式; （2）分为偶数，奇数，分组后由等差、等比数列的求和公式求解即可. 【解答过程】（1）当时，， 当时，，满足上式， 所以； 由得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以； （2）当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以. 32．（2026·广西北海·一模）已知等差数列的前n项和为，且，，数列的前n项和为，满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2) 【解题思路】（1）由等差数列通项公式和求和公式列出关于首项和公差的等式，求出首项、公差即可求解；由的关系，通过作差可求通项公式； （2）通过分组求和，分别利用裂项相消法和等比数列求和公式即可求解. 【解答过程】（1）设等差数列的首项为​，公差为， 由得：，化简得 ； 由得：，化简得 ， 联立方程解得：，， 因此等差数列通项为： ， 对于数列，已知， 当时，，得； 当时，，两式相减得：​， 即， 因此是首项为、公比为的等比数列， 通项为： ； （2）由， 可得：， 又， 得：， 又， 这是首项为、公比为的等比数列， 则 所以. 一、单选题 1．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知数列的首项，且，则（   ） A．810 B．820 C．830 D．840 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用累加法、结合等差数列前项和公式计算即得. 【解答过程】数列中，，， 则. 故选：B. 2．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】化简表达式，求出首项和公比，即可求出. 【解答过程】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 3．（2026·福建漳州·一模）记数列的前n项和为，已知，，则 （ ） A．1024 B．1023 C．513 D．256 【答案】B 【解题思路】由已知可得，可得是等比数列，可求得，进而利用可求值. 【解答过程】由，得， 因为，所以，所以， 所以是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，所以， 所以. 故选：B. 4．（2026·四川·模拟预测）已知数列中，，（，且），则通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n项和公式求出通项公式. 【解答过程】当时，，即，而， 所以 ，满足上式， 所以所求通项公式为. 故选：C 5．（2026·西藏·模拟预测）已知数列对任意满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由，得，从而，再利用累乘法求解. 【解答过程】解：由，得， 所以， 所以，即①． 又因为②， ①②两式相乘，得． 故选：A． 6．（2026·四川·模拟预测）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由代入即可求得. 【解答过程】，当时，， 当也满足， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 7．（2026·湖北·模拟预测）已知数列前项和为，，，，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【解题思路】先根据与的关系求数列的通项公式，再判断数列的单调性，求数列的最大的项. 【解答过程】因为中，， 当时，； 当时，，用代替得：， 两式相减得： . 又， 所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以. 所以， 由 或. 所以数列中，有：，即数列中，最大，且. 故选：B. 8．（2026·广东茂名·一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】B 【解题思路】利用给定的递推公式，结合对数运算变形，再构造常数列求出通项即可得解. 【解答过程】由，得，于是，则， 两边取对数得，因此，数列是常数列， 则，即，所以，. 故选：B. 二、填空题 9．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为____________. 【答案】 【解题思路】，当时，，两式相减即可得解，注意验证是否成立即可. 【解答过程】由题意， 当时，，两式相减得， ，解得， 在中，令，可得，故也满足， 综上所述，所求即为. 故答案为：. 10．（2026·上海徐汇·一模）在数列中，，且，则__________. 【答案】4 【解题思路】利用递推公式累加即可求解. 【解答过程】由题意可得， 所以，，……，， 累加得， 所以， 故答案为：4. 11．（2026·山东济南·二模）已知数列的前项和为，且满足，则__________. 【答案】 【解题思路】根据等差数列的定义有，即，利用关系求通项公式. 【解答过程】由题设，数列是首项、公差均为1的等差数列， 则，所以， 当，则，显然满足上式， 所以. 故答案为：. 12．（2026·福建宁德·二模）记数列的前项和为，若是等差数列，，则数列的通项_____________. 【答案】 【解题思路】记，由题意可得，从而得，根据，求解即可. 【解答过程】因为是等差数列，， 记，则是等差数列， 所以， 设数列的公差为，则，解得， 所以， 即，解得， 所以， 即， 所以， 当时，， 当时，， 所以，满足， 所以. 故答案为：. 一、单选题 1．（2026·湖北·模拟预测）已知数列前项和为，，，，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【解题思路】先根据与的关系求数列的通项公式，再判断数列的单调性，求数列的最大的项. 【解答过程】因为中，， 当时，； 当时，，用代替得：， 两式相减得： . 又， 所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以. 所以， 由 或. 所以数列中，有：，即数列中，最大，且. 故选：B. 2．（2026·江苏南通·模拟预测）定义：已知数列的首项，前项和为.设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列的通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题可知，根据定义得，根据平方差公式化简得，求得，最后根据，即可求出数列的通项公式. 【解答过程】因为数列是“”数列，则， 所以，而， ， ， ， ， ，， ， . 故选：B. 二、填空题 3．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知在数列中，，，则数列的通项公式为___________． 【答案】 【解题思路】由变形得到，然后利用累加法以及等比数列前项和公式求解即可. 【解答过程】若中有一个为0， 则得：， 此时有，由，则， 令带入中， 得出， 解得：与矛盾，所以， 由得：， 即， 所以， ， ， ， ， 将上面式子累加得：， 即 所以， 所以， 故答案为：. 4．（2026·山东德州·三模）在数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为．如果一个数列的阶差数列是等比数列，则称数列为阶等比数列．若数列满足，则______；若数列为二阶等比数列，其前5项分别为1，1，，则______． 【答案】27； 【解题思路】利用递推式求出的前四项，利用一阶差数列定义即可求解；结合二阶等比数列定义，运用等比数列通项公式、等比数列求和公式及累加法可求得结果. 【解答过程】因为，所以，所以； 设数列为原数列的一阶差数列，为原数列的二阶差数列. 则由题意可知. 又为等比数列，故公比，所以，即. 当时，， 将代入得，符合， 所以，.所以， 当时， ， 将代入得，符合， 所以，. 故答案为：27；. 三、解答题 5．（2026·山东济南·三模）已知数列的前n项和为，，是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用等差数列通项公式得，再利用即可求解； （2）先利用分组求和，再利用错位相减法即可求解. 【解答过程】（1）由是公差为的等差数列，且， 所以，所以， 当时，，解得， 当时，由得，所以， 即，所以， 所以数列为常数列，所以，即， 当时，， 所以； （2）由（1）得， 所以 ， 令①， 所以②， 由①②有：， 所以， 所以. 6．（2026·广东惠州·二模）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据和的关系求解即可； （2）求出，采用裂项相消法求出前项和为，解，即可得到答案. 【解答过程】（1）由条件有时，， 又，所以，， 则， 经检验，满足， 所以的通项公式. （2）由（1）得数列 则 ， 因为，所以， 又，故的最大值为. 7．（2026·江苏南京·模拟预测）已知数列的前项和为，对任意，满足，且．数列满足，且其前两项和为6，前4项和为． (1)求数列，的通项公式； (2)将数列，的项按照“当为奇数时，放在的前面；当为偶数时，放在的前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：．求该数列前39项的和． 【答案】(1)，（或）； (2)前39项和为（或）。 【解题思路】（1）由题意可知数列为等差数列，结合等差数列通项公式求出，再由可求出数列的通项公式，由等差中项法可知数列为等差数列，从而得出数列为等比数列，且设该等比数列的公比为，结合题中条件求出和的值，即可求出数列的通项公式； （2）求出数列的前项和，利用分组求和法可得出结论. 【解答过程】（1）且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，. 当时，. 也适合上式，所以，. ，即，且， 所以，数列是正项等比数列，设其公比为，则. 由题意可得，解得， 因此，； （2）数列的前项和为， 数列的前项和为， 设新数列为，其前项和为， 则. 8．（2026·重庆·模拟预测）设数列的前项和为，已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)令，数列的前项和为，证明：对一切正整数，恒成立. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据与的关系求解即可. （2）根据裂项相消法求和即可. （3）结合放缩法得到，再求和证明即可. 【解答过程】（1）当时，； 当时，， 也满足上式； 故. 当时，； 当时，， 也满足上式； 综上，. （2）， 故数列的前项和. （3）证明：， 又对任意的：， 所以， 故. 一、单选题 1．（2026·天津·高考真题）已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据前n项和的含义，依次令，逐步计算即可得到结果. 【解答过程】由，得 ，即； ，即； 因为，所以； ，即，所以； ，即，所以. 故选：C. 二、解答题 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【解答过程】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 3．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【解答过程】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.8 数列的通项公式（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 观察法】 1 【题型2 由an与Sn的关系求通项公式】 2 【题型3 累加法】 3 【题型4 累乘法】 3 【题型5 加减常数或函数构造法】 4 【题型6 同除法或取倒数法】 4 【题型7 已知数列前n项积求通项】 5 【题型8 双数列的通项问题】 6 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 观察法】 1．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·宁夏吴忠·阶段检测）数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东烟台·期末）若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【题型2 由an与Sn的关系求通项公式】 5．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·陕西安康·阶段检测）已知是数列的前n项和，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·四川·模拟预测）已知是正项数列的前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 8．（2026·河北·二模）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． 【题型3 累加法】 9．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·云南红河·阶段检测）如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ） A．462 B．465 C．468 D．475 12．（25-26高二下·河北·期末）在数列中，，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【题型4 累乘法】 13．（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知正项数列的前项和为，，且，则（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 加减常数或函数构造法】 17．（25-26高二下·四川凉山·期中）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·福建厦门·期中）若数列满足，，则（ ） A．1020 B．1024 C．2044 D．2048 19．（25-26高二下·山西太原·阶段检测）已知数列的前n项和为，，，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 20．（25-26高二下·湖北·期中）已知数列满足：，；数列的前项和． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【题型6 同除法或取倒数法】 21．（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的各项为正数，且，，则（   ） A． B． C． D． 23．（2026·福建龙岩·二模）已知数列的前项和为，且满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 24．（2026·黑龙江·二模）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求证：. 【题型7 已知数列前n项积求通项】 25．（25-26高三上·江西南昌·开学考试）已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（   ） A．4 B．3 C． D． 26．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）记为数列的前n项积，已知，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 27．（2026·山东泰安·模拟预测）记为数列的前项积，已知，则___________． 28．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）记为数列的前项和，为数列的前项积，已知，则___________. 【题型8 双数列的通项问题】 29．（2026·辽宁抚顺·一模）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式及； (2)若，，求数列的通项公式． 30．（2026·辽宁朝阳·三模）已知数列的前n项和为，满足，公差大于零的等差数列满足为与的等比中项． (1)求数列和的通项公式； (2)设为数列的前n项和，求． 31．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前n项和. 32．（2026·广西北海·一模）已知等差数列的前n项和为，且，，数列的前n项和为，满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 一、单选题 1．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知数列的首项，且，则（   ） A．810 B．820 C．830 D．840 2．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·福建漳州·一模）记数列的前n项和为，已知，，则 （ ） A．1024 B．1023 C．513 D．256 4．（2026·四川·模拟预测）已知数列中，，（，且），则通项公式（   ） A． B． C． D． 5．（2026·西藏·模拟预测）已知数列对任意满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·四川·模拟预测）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·湖北·模拟预测）已知数列前项和为，，，，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．10 D．12 8．（2026·广东茂名·一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 二、填空题 9．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为____________. 10．（2026·上海徐汇·一模）在数列中，，且，则__________. 11．（2026·山东济南·二模）已知数列的前项和为，且满足，则__________. 12．（2026·福建宁德·二模）记数列的前项和为，若是等差数列，，则数列的通项_____________. 一、单选题 1．（2026·湖北·模拟预测）已知数列前项和为，，，，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．10 D．12 2．（2026·江苏南通·模拟预测）定义：已知数列的首项，前项和为.设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.若数列是“”数列，则数列的通项公式（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知在数列中，，，则数列的通项公式为___________． 4．（2026·山东德州·三模）在数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为．如果一个数列的阶差数列是等比数列，则称数列为阶等比数列．若数列满足，则______；若数列为二阶等比数列，其前5项分别为1，1，，则______． 三、解答题 5．（2026·山东济南·三模）已知数列的前n项和为，，是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前2n项和． 6．（2026·广东惠州·二模）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的最大值. 7．（2026·江苏南京·模拟预测）已知数列的前项和为，对任意，满足，且．数列满足，且其前两项和为6，前4项和为． (1)求数列，的通项公式； (2)将数列，的项按照“当为奇数时，放在的前面；当为偶数时，放在的前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：．求该数列前39项的和． 8．（2026·重庆·模拟预测）设数列的前项和为，已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)令，数列的前项和为，证明：对一切正整数，恒成立. 一、单选题 1．（2026·天津·高考真题）已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 二、解答题 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 3．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $