第二章 实数 学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学试题精选（北师大版·新教材）

真题圈数学 同步调研卷 八年级上12N 狗 2.第二章学情调研 (时间：120分钟满分：120分) ☒档 10 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.数学文化公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或 整数之比（分数）表示.后来，这一学派的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用 整数或整数之比表示（如图），由此引发了第一次数学危机.这里“不能用整数或整数之比表示的 数”是指( ) 第1题图 A.正数 B.负数 C.有理数 D.无理数 2.（月考·2023-2024广州外国语学校改编)9的平方根是() A.±3 B.±9 C.3 D.-3 如 3.(期中·2024-2025西南大学附中)若代数式√x一1有意义，则实数x的取值范围是( A.x>1 B.x≠1 金C.x>1 D.x≥0 4.立方根等于它本身的数是() A.-1,0,1 B.0 C.0,-1 D.1 5.(期末·2024-2025成都锦江区)下列计算中，正确的是( A√12X5=6 B.5√3-√5=5 C.√18÷√3=√15 D.√2+√5=√7 6.(月考·2024-2025沈阳七中)一个正方体，它的体积是棱长为2cm的正方体体积的8倍，这个正 方体的棱长是( )cm. 警0 A.4 B.8 C.10 D.4√2 H 7.(期中·2024-2025重庆南开中学)估计（√20-√⑧）÷√2的值应在( 圈) A.0和1之间 B.1和2之间 C.2和3之间 D.3和4之间 8.（期中·2024-2025杭州余杭区改编)如图所示，数轴上表示数1，√3的点分 LCAB 012 别为A,B,且C,B两点到点A的距离相等，则点C所表示的数是() 第8题图 A.2-√3 B.√3-2 C.√3-1 D.1-√3 9.若某三角形的三边长分别为2,5，n,则化简√(3一)2+√/(8-n)2的结果为() A.5 B.2n-10 C.2n-6 D.10 10题学归纳数武规律观察①，1+十受-1+}中-12：®、√1十安+令-1十号2十 1合：@V1十字十平=1+日3=1立请根据提供的信总猎想+十号的结果为(） A 场 D号 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.开放性试题（期中·2024-2025西安高新一中）若a与√12是同类二次根式，请写出一个符合条件 的最简二次根式a为 12.（联考·2024-2025深圳龙岗区)W3一2的绝对值是 ,W5一2的相反数是 13.（期中·2023-2024成都嘉祥外国语学校改编)若|b+3十√a-2=0,则(a十b)2o25= 14.（期中·2024-2025沈阳南昌中学)如图，数轴上点A表示的数为 是有理数 取算术 是有理数 是无理数 输入x值 平方根 取立方根 输出y值 2 是无理数 第14题图 第15题图 15.程序框图（联考·2024-2025太原小店区）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输 入x的值是64时，输出的y值是 16.(期末·2022-2023清华附中)已知x,y是有理数，且x,y满足2x2+3y十√2y=14一6√2，则x十y 拖绝盗印 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17.（月考·2024-2025沈阳七中)(8分)计算（或解方程）： 后'-12-31++-64. 2v32-3日+2. (3)(1+√/3)（√2-√6）+(2√2-1)2. (4)(x+3)3+27=0. 18.(期中·2024-2025西安铁一中)(6分)已知一个正数的两个平方根分别是5a一1和a一5，且2b一 4的立方根为-2. (1)求a,b的值. (2)求5a-2b的算术平方根. 19.新定义试题(6分)定义：若两个二次根式m,n满足m·n=p,且p是有理数，则称m与n是关于 p的和谐二次根式.已知最简二次根式√a一2与6可以合并，请问a的算术平方根与√2是关于4 的和谐二次根式吗？请说明理由 精品 金星教育 20.（月考·2023-2024沈阳一二六中学改编)(8分)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1,每个小正方形的顶点叫格点.按要求完成下列问题. (1)在图①中以点A为一个端点作线段AB,满足AB=√I7的格点B共有 个.在图中作 出一条符合上述要求的线段AB. (2)在图②中以格点为顶点、线段CD为其中一边，作一个三边长均为无理数，且各边都不相等的 Rt△CDE. D ① ② 第20题图 21.(期中·2024-2025西安交大附中改编)(8分) 如图，用两个面积为50cm的小正方形纸片拼成一个大正方形， (1)求拼成的大正方形纸片的边长， (2)若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为 3:2且面积为54cm?若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，请说明理由. 拒绝盗印 第21题图 22.类比探究（期中·2024-2025青岛市北区改编）(8分) (1)下面是小李探索√2的近似值的过程，请补充完整： 国 狗 我们知道面积是2的正方形的边长是√2，且√2>1. 茶 抑 设√2=1十x,可画出如下示意图， 尽 由面积公式，可得x2+2x十1=2， ☒塔 略去x2,得方程2x十1≈2， 00 解得x≈0.5，即W2≈ (2)容易知道1<√3<2，设√3=2一x,类比(1)的方法，探究3的近似值 并写出求解过程) 真题圈 精品图书 金星教育 23.方法探索整体法（期中·2024-2025济南槐荫区）(8分)【阅读理解】 爱思考的小名解决问题：已知a=,1。,求2a一8a十1的值 2+√3 他是这样分析与解答的： 因为a= 1 2-√3 2+√3(2+√3)(2-√3) =23, 所以a-2=-√5！ 所以(a-2)2=3,即a2-4a十4=3. (画出示意图，标明数据， 所以a2-4a=-1. 所以2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1. 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： 1· (①)计算：2+1 1= 1 13x ②计算n品十后a十雨 1 1 1 √/100+√99 1 第22题图 (3)若a5-2求32-12a-1的值 盗印必列 关爱学子 拒绝盗印 7 24.(联考·2024-2025沈阳铁西区)(10分)【观察发现】 因为(W6+√5)2=（√6）2+(W5)2+2√6X5=11+2√30， 所以W11+2w√30=√/(W6+√5)2=√6+√5 因为(2+√3)2=22+（√3）2+2×2X√3=7+4√3， 所以W7+45=√(2十√3)2=2+√3 【初步探索】 (1)化简：W10+2√21= (2)形如√m-2√n的式子可以化简为a-√石，即√m-2√n=√a-√石，且a,b,m,n均为正整数， 用含a,b的式子分别表示m,n,得m= ,n= (3)若√x十45=1十y√5，且x,y均为正整数，求x的值： 【解决问题】 (4)某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出.甲、乙两个饰品盒都是正方体， 底面积分别为80cm和(14十6√5)cm.快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（纸箱 厚度不计)： 型号 长 宽 高 A型 10 cm 8 cm 12 cm B型 12 cm 10cm 15 cm C型 16cm 10,cm 10 cm 请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种.若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号 的纸箱？ 金星教有 25.思维探索数形结合（期中·2024-2025沈阳南昌中学）(10分)如图，一条河流的BD段长12km, 在B点的正北方4km处有一村庄A,在D点的正南方2km处有一村庄E,计划在BD上建一座 桥C,使得桥C到A村和E村的距离之和最小.请根据以上信息，回答下列问题， (1)将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的 位置 (2)小明发现：设BC=x,则CD=12-x,则AC+CE=√x2+4+√(12-x)2+22,根据(1)中的 结论可以求出当x= 时，√x2+4平十√(12-x)2+2的值最小，且最小值为 (3)结合(1)(2)问，请直接写出下列代数式的最小值， ①V√x2+9十√24-x)十16的最小值为 ②2√(x-2)2+4+√(2x-10)2+25的最小值为 B 第25题图 盗印必究 关爱学子 拒绝盗印(2)因为∠BHC=90°，BH=6,CH=8, 所以BC=BH+C=62+82=100, 所以BC的长为10. (3存在，线段HE的长度为4或16或6或子 分析：当BE=BC=I0,且点E在线段AB上时，HE=BE- BH=10-6=4; 当BE=BC=10,且点E在线段AB的延长线上时，HE=BE +BH=10+6=16; 当EC=BC时，因为CH⊥BE,所以HE=BH=6; 当CE=BE时，如图， A E H 第24题答图 因为HE+CP=CE,且CH=8,CE=BE=HE+6, 所以HE+82=(HE+6)2, 所以HE=子 综上所述，直线AB上存在一点E,使△BCE为等腰三角形，此 时线段HE的长度为4或16或6或了 25.【解】(1)AD=BE,AD⊥BE. 分析：如图①，延长AD交BC于点O,交BE于点H. 因为△ACB和△DCE为等腰直角三角形， 所以AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE, 所以∠ACD+∠DCB=∠BCE+∠DCB, 所以∠ACD=∠BCE. (AC=BC, 在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE, CD-CE, 所以△ACD≌△BCE(SAS), 所以AD=BE,∠CAD=∠CBE. 因为∠AOC=∠BOH, 所以∠OHB=∠ACO=90°，所以AD⊥BE. B 的 E D ① E D 4 ③ 第25题答图 (2)如图②，设AE交BC于点O. 同(1)理可得△ACD≌△BCE, 真题圈数学八年级上2N 所以∠CAO=∠EBO,AD=BE. 因为∠AOC=∠BOE,所以∠BEO=∠ACO=90°， 所以AE+BE=AB. 因为CA=CB,∠ACB=90°， 所以AB2=2AC,所以AE+AD=2AC2. (3)如图③，连接AD, 因为AC=BC=6,∠ACB=90°， 所以∠ABC=45°，AB2=AC2+BC2=72. 因为∠CBD=45°，所以∠ABD=90°， 所以AD2=AB+BD=72十9=81=9，则AD=9. 因为∠ACB=∠DCE=90°，所以∠ACD=∠BCE. (AC=BC. 在△ACD和△BCE中，3∠ACD=∠BCE, CD-CE, 所以△ACD≌△BCE(SAS),所以AD=BE,所以BE=9. 2.第二章学情调研 题号12345678910 答案D AAA AABAAB 1.D2.A3.A4.A 5.A【解析】A.√12X√3=√36=6，正确，符合题意； B.5√3-√3=4W3,原计算错误； C.√18÷√3=√6，原计算错误： D.√2与5不是同类二次根式，无法合并.故选A. 6.A【解析】棱长为2cm的正方体的体积为2×2×2=8(cm3), 因为一个正方体，它的体积是棱长为2cm的正方体的体积的8 倍，所以这个正方体的体积为8×8=64(cm3),所以这个正方体 的棱长为64=4(cm).故选A 7.B【解析（√20-√8）÷√2=√10-2， 因为W9<√10<√16，所以3<√10<4， 所以1<√10-2<2.故选B. 8.A【解析】设点C所表示的数是a.因为点A,B所表示的数分 别是1，W3,所以AB=√3-1.又因为C,B两点到点A的距离相 等，所以AC=1一a=√3-1，所以a=2-√3.故选A 9.A【解析】因为三角形的三边长分别为2,5，n,所以5一2<n<5 +2,所以3<n<7,所以√(3-n)+√(8-n)2=|3-n+|8 -n=n-3十8-n=5.故选A 10.B11.√3（答案不唯一）12.2-√32-√5 13.-1【解析】因为b+3|+√a-2=0,所以b+3=0,a-2 =0,所以a=2,b=-3,则(a十b)2025=(-1)225=-1.故 答案为一1. 14.-1-√3【解析】如图，在Rt△CDE中，CE=1,DE=1, ∠CED=90°， 所以CD=√CE+DE=√/I2+12=√2. 123→ 第14题答图 在Rt△BCD中，BD=1,CD=√2，∠BDC=90°， 所以BC=√CD+BD=√GW2)2+1?=3.所以AC-BC=3. 因为点C表示的数为-1， 答案与解析 所以数轴上点A表示的数为-1一√3.故答案为一1一√3. 15.√2【解析】64的算术平方根是8，是有理数，8的立方根为2， 是有理数，2的算术平方根是2，是无理数，故输出√2 故答案为√2. 16.一2或一10【解析】因为x,y是有理数，且x,y满足2x十3y十 √2y=14-6w2,所以W2y=一6√2,2zx2+3y=14,所以y=一6，x= 士4，所以x十y的值为-2或-10.故答案为-2或-10. 17.【解(1)原式=3-(2-√3)十9-4=√3-2+√3+9-4=2√3 +3. (2)原式=4w2-是2+2=多2， (3)原式=√2-√6+√6-3√2+8-4W2+1=9-6√2. (4)因为(x+3)3+27=0, 所以(x十3)3=-27，所以x十3=-3，解得x=-6. 18.【解】(1)根据题意，得5a-1+a一5=0，解得a=1. 因为2b一4的立方根为一2， 所以2b-4=一8，解得b=-2. 故a,b的值分别为1，-2. (2)由(1)得a=1,b=-2, 所以5a-2b=5×1-2×(-2)=5-(-4)=5+4=9. 因为9的算术平方根是3， 所以5a-2b的算术平方根是3. 19.【解】a的算术平方根与√2是关于4的和谐二次根式. 理由：因为最简二次根式√a-2与6可以合并， 所以a-2=6,解得a=8,所以√a=√⑧=2√2. 因为2√2X√2=4，所以wWa与√2是关于4的和谐二次根式. 20.【解】(1)2 作图如图①，线段AB即所求（答案不唯一）. B ① ② 第20题答图 (2)如图②，△CDE即所求（答案不唯一）. 21.【解】(1)大正方形纸片的边长为√50十50=√100=10(cm) (2)能.理由如下： 设长方形纸片的长为3xcm,宽为2.xcm, 根据题意得3x·2x=54, 解得x=3或x=-3(舍去)， 长方形纸片的长为3×3=9(cm),宽为2×3=6(cm), 因为9<10， 所以沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能使剪出 的长方形纸片的长、宽之比为3：2，且面积为54cm, 22.【解】(1)1.5 分析：因为W2=1+x,x≈0.5，所以W2≈1.5. (2)如图，设3=2-x,则(2-x)2=3. 根据图中面积关系可得22一4x十x2=3, 所以4一4x+x2=3. 略去x2,得方程4一4x≈3，所以x≈0.25， 所以wW3≈2-0.25=1.75. 2 2-0 (2-xY 2 2-x 第22题答图 23.【解】(1)W2-1 (2)9 1 1 1 1 分析：+1+3+厄+ 十…十 √100+√/99 √2-1 √5-√2 4-3 W2+1)W2-D+5+V2)3-2++V3)- w√/100-w√/99 +…+(√100+√9)（√100-√99） =√2-1+3-√2+4-√3+.+√100-√99 =√100-1=9. (3)因为a= 1 √5+2 =√5+2， √5-2(W5-2)(W5+2) 所以a-2=√5，所以(a-2)2=5,即a2-4a=1, 所以3a2-12a-1=3(a2-4a)-1=3×1-1=2. 24.【解】(1)W7+√3 (2)a+b ab (3)因为√x+4√5=1+y√5， 所以x+4√5=(1+y5)2=1+5y2+2y√5， 所以2y=4,所以y=2,所以x=1+5y=1十5×22=21. (4)底面积为80cm的饰品盒底面边长为4√5cm,底面积为 (14+6√5)cm2的饰品盒底面边长为(3十√5)cm, 4W5+3+√5=3+5√5(cm), 因为8<4V5<9,5<3+√5<6,14<3+5√5<15， 所以B,C型号的包装纸箱都符合条件. B型号的包装纸箱体积为12×10×15=1800(cm3), C型号的包装纸箱体积为16×10×10=1600(cm3), 因为1600<1800，所以选择C型号的包装纸箱. 25.【解】(1)如图①，连接AE交BD于点C',点C即所求 (2)86√5 分析：如图②，过点A作AJ⊥ED交ED的延长线于点J,连接 JC,则四边形ABDJ是长方形，所以AB=DJ=4km,AJ= BD=l2km,所以EJ=DE+DJ=6km, 所以AE=√EJ2+AJ7=√62+12=6√5(km), 所以CA+CE的最小值为6√5km 设CB=akm,则C'D=(12-a)km. 又S△As=S△c日+S△c'J, 所以号×6×12=2×6×(12-@)+号×12×4， 解得a=8,所以当x=8时，AC+CE的值最小. A B D E ① dD C ② 第25题答图 (3)①25②3√13 分析：①结合(1)(2)问，可知√十9+√(24-x)+16的最 小值为√242+7严=25； ②2√/(x-2)2+4+√/(2x-10)2+25=√(2x-4)2+4+ √(2x-10)2+5,其最小值为√62+92=√117=3√13. 3.阶段学情调研（一） 题号12345 678 910 答案BB DC BAD DDA 1.B 2.B【解析】在△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5, 所以AC2=AB2十BC2, 所以△ABC是直角三角形，且∠B=90°.故选B. 3.D【解析】A,有理数和无理数统称为实数，说法正确，不符 合题意； B.实数和数轴上的点是一一对应的，说法正确，不符合题意； C.平方根是其本身的数只有0，说法正确，不符合题意； D.负数的立方根还是负数，原说法错误，符合题意.故选D. 4.C【解析】如图，因为小逸北 从家出发，向正东方向走了 160m,接着向正北方向走 了120m,所以BC=160m, BA=120m,∠ABC=90°. 在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC-=√AB2+BC=200(m). 故选C. 第4题答图 2-√3 5.B【解折因为a-2中店2+32-5)-23,6=3- 2,所以a=-b.故选B. 6.A【解析】因为(a+b)2+√2b-4=0,所以a十b=0,2b-4= 0,解得b=2,a=-2.故选A 7.D【解析】设第三边长为x. ①若12是直角边长，则x是斜边长，由勾股定理得52+122= x2,则x=13(负值已舍去). ②若12是斜边长，则x为直角边长，由勾股定理得52十x2= 12,则x=√119（负值已舍去）. 所以第三边的长为13或√119.故选D. 8.D【解析】因为直角三角形的长直角边长为9，短直角边长为4， 所以小正方形的边长为9一4=5，所以阴影部分的面积S=合× 子岁故选D 9.D【解析】因为四边形ABCD是长方形，AD=1, 所以BC=AD=1,∠ABC=90°， 在Rt△ABC中，BC=1,AB=3, 所以AC=√32+12=√10， 真题圈数学八年级上12N 所以AM=AC=√10，所以点M所表示的数为√10-1. 故选D. 10.A【解析】由题意可得，AB=√22+4 =2√5，故选项C正确，不符合题意；AC =√2+22=√5，BC=√32+4=5， 所以AB+AC=BC,所以△ABC是 直角三角形，∠BAC=90°，故选项B正 确，不符合题意；所以S8m=名AB· A 第10题答图 AC=5,故选项A错误，符合题意；如图，过点A作AD⊥BC于 点D,则2BC·AD=号X5AD=5,解得AD=2,即点A到直 线BC的距离是2，故选项D正确，不符合题意.故选A 11.212.1(或6或9或10) A 13.15【解析】示意图如图，由题意得梯子长AC =17m,当梯子底部到建筑物底部的距离BC =8m时，AB=√172-82=15(m), 所以使用该梯子最多可登上15m高的建筑 物.故答案为15. 14.4【解析】因为A,B两正方形区域的面积分 别是2和18，所以A,B两正方形的边长分别 B 第13题答图 是2和3√2，剩余区域的面积是3√2×(3√2 +√2)-2-18=3√2×4√2-20=24-20=4. 故答案为4. 15.20【解析】如图是U池的表面展开B C 图，最短滑行路程为A点与E点的直 E 线距离，AD-号×xX是-16(m,AB =CD-15 m,DE=CD-CE=15-3= 12(m). y D 在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2= 第15题答图 162+122=400,则AE=20m. 故答案为20. 16.3或6【解析】当△B'EC为直角三角形时，易知∠B'CE≠90°， 故有两种情况： ①当∠EB'C=90时，如图①，连接AC, 在Rt△ABC中，AB=6,BC=8,则AC=√62+8=10. 因为将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处， 所以∠AB'E=∠B=90°. 当∠EB'C=90时，点A,B,C共线， 即点B的对应点落在对角线AC上的点B处， 所以EB=EB,AB=AB=6,所以CB=10-6=4. 设BE=x,则EB=x,CE=8一x. 在Rt△BEC中，因为EB'?+CB=CE, 所以x2十42=(8一x)2,解得x=3, 所以BE=3. y B D B B E E ① ② 第16题答图