第一章 勾股定理 学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学试题精选（北师大版·新教材）

真题圈数学 同步调研卷 八年级上12N 湘 1.第一章学情调研 (时间：120分钟满分：120分) ☒档 10 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.(月考·2024-2025重庆八中)一直角三角形的两直角边长分别为9,12，则斜边长为() A.13 B.14 C.15 D.20 2.(月考·2024-2025陕师大附中)下列各组数是勾股数的是( ) A.7,24,25 B.0.3,0.4,0.5 C.1.5,2,2.5 D.5,11,12 3.（期末·2022-2023广州天河区）如图，点B在正方形ADEC的内部，连接AB,BC,若∠CBA 90°，AB=1,BC=2,则正方形ADEC的面积是( A.3 B.4 C.5 D.6 20 1.5m 清品图 第3题图 第6题图 第7题图 4.(月考·2024-2025济南外国语学校改编)在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,则 由下列条件能判定△ABC为直角三角形的有( ) (1)∠A+∠B=∠C；(2)∠A：∠B:∠C=1:2:3;(3)a2=c2-b2;(4)a:b:c=2:3:4. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.数学文化（期中·2024-2025青岛市北区）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈， 末折抵地，去本三尺.问：折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断， 竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为() 警0 A.4.55尺 B.5.45尺 H唰 C.4.2尺 D.5.8尺 题)与 6.如图，是一个高为2m,宽为1.5m的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3m,宽 鼠 2.7m;②号木板长2.8m,宽2.8m;③号木板长4m,宽2.4m.可以从这扇门通过的木板是( ) A.①号 B.②号 C.③号 D.均不能通过 7.(开学考·2023-2024重庆南开中学)如图，在△ABC中，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点 D.已知AC=13,BC=11,AD=12,则AB的长度为() A.15 B.16 C.18 D.20 8.(期中·2024-2025深圳罗湖区改编)如图，在长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方 形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF,则△ABE的面积为() A.3 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.12 cm2 D 第8题图 第9题图 第10题图 9.（期中·2022-2023合肥四十五中)如图，在正方形网格内，A,B,C,D四点都在小方格的格点上，则 ∠BAC+∠DAC=() A.30° B.45° C.60 D.90° 10.数学归纳图形规律（期中·2024-2025河南省实验中学改编）如图，正方形ABCD的边长为4，其 面积标记为S1,以AB为斜边向外作等腰直角三角形EAB,再以该等腰直角三角形的一条直角边 为边向外作正方形，其面积标记为S2,…,按照此规律继续下去，则S,的值为( ) A(2) (合 c 2() 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.用三根长度分别为3cm,4cm,6cm的木棍 围成一个直角三角形（填“能”或“不能”）. 12.把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的3倍，则其斜边扩大到原来的 13.(联考·2024-2025长春市改编)杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何， 不然也不会如此感慨.现在我们来看二茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形.若AB=AC=6.5m, 横梁BC=12,那么从梁BC的中点D要支一根木头顶住屋顶A处，这根木头需要长度是 m 感应器 第13题图 第14题图 第15题图 14.（月考·2024-2025沈阳虹桥中学)如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地2.5m,当 物体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6的学生正对门，缓慢走 到离门1.2的地方时，感应门才自动打开，则感应器的最大感应距离是 m. 15.（期中·2024-2025陕师大附中)如图，一圆柱高为15cm,上底面圆的周长为16cm,若一只蚂蚁 从圆柱下底面的点A沿圆柱侧面爬行至上底面与点A相对的点B处，则爬行的最短路程为 cm 16.教材内容改编（月考·2024-2025首师大附中）已知直角三角形的直角边为a,b,斜边为c.若a十b =4,则c2的最小值为 .(提示：构建几何图形解决问题.) 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17.(期中·2024-2025南京秦淮区改编)(6分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥ AB,垂足为D.已知AD=2,BD=4.设CD长为x. (1)根据勾股定理，得AC2= ,BC2= .(均用含x的代数式表示) (2)求x2的值. D 第17题图 18.开放性试题(6分)如图是单位长度为1的正方形网格. (1)在图①中画出一条长度的平方为10的线段AB. (2)在图②中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形 ① ② 第18题图 19.(期中·2024-2025济南槐荫区改编)(6分)如图，一块四边形空地ABCD,经测量，∠A=90°，AB =3m,DA=4m,BC=12m,CD=13m,求空地ABCD的面积. B 第19题图 20.数学文化(8分)清代数学家罗土琳研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个 法则是“如果是大于2的偶数，那么、k的一半的平方减1、的一半的平方加1是一组勾 股数”. (1)当k=14时，写出这一组勾股数 (2)上述法则是否正确？说明理由. 21.（月考·2023-2024沈阳一二六中学)(8分)在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8.回答下列 问题. (1)由勾股定理，易知AB= (2)如图①，用尺规作图的方法作直线m交BC边于点P,则线段AP与线段BP满足的关系是 ,线段PC的长为 (3)如图②，用尺规作图的方法作射线交BC边于点P,则线段PC的长为 ① 第21题图 22.数学建模几何（联考·2024-2025深圳龙岗区）(8分)数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实 际问题，实践报告如下： 湘 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.相传墨翟以木头制成木鸟， 尽 饰 问题背景 研制三年而成，是人类最早的风筝起源.兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度. ☒邕 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC的长为15m,根据手 0咖0 中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17m,牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m. 测量数据 抽象模型 e C D 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： 问题产生 (1)运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度， (2)如果想要风筝沿DA方向再上升12m,且BC长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题， 精品图书 金星教育 咖 阳 最 品 3 23.数学文化（期中·2024-2025沈阳沈北新区改编）(8分)请阅读下面文字并完成相关任务， 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”.我国最早对勾股定理进行 证明的是三国时期吴国的数学家赵爽. (1)如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是： 大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2,另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面 积之和，即吃ab×4+(6一a),从而得到等式2-6X4+(-a),化简便得结论a2+6=c2.这 里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.现在，请你用 “双求法”解决下面问题. 如图②，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4,AC=5,BC=6,设BD=x,求x的值 (2)如图③，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为a,较长直角边长为b,且 a2十b=ab十10，那么小正方形的面积为 (3)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是() A.函数思想 B.整体思想 C.分类讨论思想D.数形结合思想 x D ③ ③ 第23题图 关爱学子 拒绝盗印 24.（月考·2024-2025山西大学附中节选)(10分)如图，在△ABC中，点H为AB边上的一点，AH =15,CH=8,AC=17,BH=6. (1)试说明CH⊥AB. (2)求BC的长 (3)直线AB上是否存在一点E,使△BCE为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段HE的 长度；若不存在，请说明理由， 第24题图 真题圈 精品图书 金星教 25.探究性试题（期中·2023-2024河南省实验中学）(12分)如图①，已知△ABC和△DCE为等腰直 角三角形，按如图的位置摆放，直角顶点C重合 (1)直接写出AD与BE的关系. (2)将△DCE按如图②的位置摆放，使点A,D,E在同一直线上，试说明：AE2十AD=2AC. (3)将△DCE按如图③的位置摆放，使∠CBD=45°，AC=6,BD=3,求BE的长. ① ② ③ 第25题图 盗印必究 关爱学子 拒绝盗印分析：因为过点B作BM∥ED, 所以有以下两种情况： ①当点M在AB的下方时，如图②中I所示，设BM与AE交于 点P,点Q在线段CA的延长线上. 因为AB∥CD,所以∠PAB=∠ECD. 则∠APB+∠MBA=∠CED+∠CDE. 因为BM∥ED,所以∠APB=∠CED, 所以∠MBA=∠CDE. ②当点M在AB的上方时，如图②中Ⅱ所示，延长MB到点H, 由①可知∠HBA=∠CDE. 因为∠MBA+∠HBA=180°， 所以∠MBA+∠CDE=180°. .-M 4 B D D E 第4题答图② (3)【解】因为CE平分∠ACD,所以∠ECA=∠ECD. 设∠ECA=∠ECD=a,∠EAK=B, 则∠ACD=∠ECA十∠ECD=2a. 因为AB∥CD,所以∠BAC+∠ACD=180°， 即∠EAC+∠EAK+∠ACD=180°， 所以∠EAC+B+2a=180°. 因为∠EAC=∠EDC,所以∠EDC+B+2a=180°. 因为以点E为圆心，EA为半径画弧，交AB于点K, 所以EA=EK,所以∠EKA=∠EAK=B, 同(1)理可证∠AKE+∠EDC=∠KED=106°， 所以∠EDC+B=106°，所以106°+2a=180°， 所以a=37°，∠ECD=a=37°. 同步调研卷 1.第一章学情调研 题号1234567 8 9 10 答案CACC A CD CBD 1.C2.A 3.C【解析】在△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得AC2=AB2+ BC2=12十22=5.因为四边形ADEC是正方形，所以S正方形c =AC2=5.故选C. 4.C【解析】(1)因为∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°，所 以∠C+∠C=180°，所以∠C=90°，所以△ABC为直角三角形； (2)因为∠A:∠B:∠C=1:2:3,∠A+∠B+∠C=180°，所 3 以∠C-1+2+3×180=90,所以△ABC为直角三角形； (3)因为a2=c2-8,所以a2+=c2,所以△ABC为直角三角形； (4)因为a:b:c=2:34,所以设a=2k,则b=3k,c=4k(其中 k>0),a十≠c2,所以△ABC不是直角三角形. 故能判定△ABC为直角三角形的条件有3个. 故选C. 真题圈数学八年级上12N 5.A【解析】如图，设折断处离地面的高度 A AB为x尺，则AC=(10一x)尺. 在Rt△ABC中， 由勾股定理得AB2十BC2=AC2, 所以x2+32=(10-x)2, 解得x=4.55. 即折断处离地面的高度为4.55尺. 第5题答图 故选A. 6.C【解析】因为22+1.5=2.52，所以木板的长和宽中必须有一 个数据小于2.5m才可以从这扇门通过，所以选③号木板. 故选C. 7.D【解析】因为AD⊥BC,所以∠D=90°.在Rt△ACD中，AC= 13,AD=12,AD+CD=AC,即122+CD2=132,可得CD 5.因为BC=11,所以BD=BC+CD=11十5=16.在Rt△ABD 中，AD2+BD2=AB2,即122+162=AB2,可得AB=20. 故选D. 8.C【解析】将此长方形折叠，使点D与点B重合，所以BE =ED.因为AD=9cm=AE+DE=AE+BE,以BE=9 一AE,根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2,即32+AE2 =(9-AE)2,解得AE=4cm,所以△ABE的面积为3×4 ÷2=6(cm2).故选C. 9.B【解析】如图，作点B关于AC的 对称点B,连接BA,B'D,则∠BAC =∠B'AC.设小正方形的边长为1， 则AB2=12+32=10,BD2=12+32 =10,AD=42+22=20,所以AB= BD,AB+BD2=AD,所以△ABD D 是等腰直角三角形，且∠ABD=90°， 所以∠BAD=45°，所以∠BAC+ 第9题答图 ∠DAC=∠BMC+∠DAC=∠BAD=45°.故选B. 10.D【解析】因为正方形ABCD的边长为4， 所以S1=AB2=42=16. 因为△EAB是等腰直角三角形， 所以EA=EB,EA2十EB2=AB2， 所以EA=7AB2=号S=8,所以S=EA2=8, 同理S=合·S=是·S,5=是·5，…，以此类推， S=(2)‘·S=(2),放选D 11.不能【解析】因为32+42≠62，所以三根长度分别为3cm, 4cm,6cm的木棍不能围成一个直角三角形.故答案为不能. 12.3倍 13.2.5【解析】因为AB=AC=6.5m,BC=12m,BD=CD= 号BC=号×12=6(m,所以AD1BC,在R△ABD中，由勾 股定理得AD2=AB2-BD2=6.52-62=6.25,则AD=2.5m 故答案为2.5. 感应器？A 14.1.5【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E, D. 因为AB=2.5m,BE=CD=1.6m,ED=BC= ----日E 1.2m,则AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9(m).个 在Rt△ADE中，由勾股定理得到AD2=AE2十 DE2=0.92+1.22=2.25,可知AD=1.5m. CL 故答案为1.5. 第14题答图 答案与解析 15.17【解析】如图，根据题意可知，蚂蚁沿C B 圆柱侧面爬行的最短路程是展开后线段 AB的长.由题意得AC=15cm,BC 8 cm. 由勾股定理得AB2=AC2+BC2=15 +82=17,易得AB=17cm.则蚂蚁沿A9 圆柱侧面爬行的最短路程是17cm.故答 第15题答图 案为17. 16.8【解析】如图，在直角边长为(a十b)的等腰直角△ABC中，点 D是AC上一点，过点D作DE⊥AB,垂足为E,易知△AED 为等腰直角三角形，记AE=ED=a, A 则EB=b.在△EDB中，∠DEB=90°，a D ED=a,EB=b,则BD=c.由垂线段最 短可知，当BD⊥AC时，BD有最小 值，此时△ADB为等腰直角三角形， AD-BD, 由勾股定理可知AB=ADP十BD= 第16题答图 2BD,所以C的最小值=弓AB=号×星=8放答案为8 17.【解】(1)4+x216+x2 (2)因为∠ACB=90°，所以AB=AC+BC, 所以(2+4)2=4+x2+16+x2, 整理得2x2=16,解得x2=8. 18.【解】(1)如图①所示，AB即所求（答案不唯一） A B ⑦ 第18题答图 (2)如图②所示，正方形即所求（答案不唯一）. 19.【解】如图，连接BD, C B 第19题答图 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD2+AB2=42十32=25=52， 所以BD=5m. 在△BCD中，因为BC2+BD2=122+5=132=CD2, 所以△BCD是直角三角形，且∠CBD=90°， 所以四边形ABCD的面积=SAABD十SAD =号×3×4+号×5X12=36(m). 20.【解】(1)14,48,50 (2)正确.理由如下： +[(2)-1]=2+(-1)月 =+6+1-=++1， [(合)°+1]=(+1)°-+数+1， 故当大于2时，+[(2)°-1]-[(2k)°+1]月， 因为k是大小2的偶数，所以k.(2)°-1和（合）'+1都 是正整数， 所以如果飞是大于2的偶数，那么、的一半的平方减1、k的 一半的平方加1是一组勾股数. 21.【解】(1)10 (2AP=BP子 分析：由作图可知，直线m是AB的垂直平分线， 所以AP=BP. 设PC=x,则BP=AP=8一x. 在Rt△ACP中，AC+PC=AP, 所以6+2=(8一，所以x=子，所以PC-子 (3)3 分析：由作图可知，AP平分∠BAC, 所以∠PAB=∠PAC. 如图，过点P作PD⊥AB于点D, 则∠PDA=∠PCA=90°. B 在△APC和△APD中，∠PCA=∠PDA 第21题答图 =90°，∠PAC=∠PAD,AP=AP, 所以△APC≌△APD(AAS), 所以PC=PD,AC=AD=6,所以BD=AB-AD=10-6=4. 设PC=y,则BP=8-y,PD=y, 在Rt△BPD中，BD+PD=BP, 所以4+y=(8-y)2,所以y=3,所以PC=3. 22.【解】(1)由题意得，∠ACB=90°，BC=15m,AB=17m, 在Rt△ABC中，由勾股定理，可得AC=AB2-BC=17 152=64,则AC=8m,AD=AC+CD=8+1.5=9.5(m). 答：风筝离地面的垂直高度AD /A1 为9.5m (2)如图，当风筝沿DA方向再 上升12m时，A'C=AC+AA'= 8+12=20(m). 在Rt△A'BC中，∠A'CB=90°， BC=15 m, 由勾股定理，可得A'B2=A'C +BC=202+152=625, 所以A'B=25m,则应该再放出 25-17=8(m). 第22题答图 答：他应该再放出8米长的线。 23.【解】(1)在Rt△ABD中，由勾股定理得 AD2=AB8-BD2=42-x2=16-x2. 因为BD十CD=BC=6,所以CD=BC-BD=6-x 在Rt△ACD中，由勾股定理得 AD2=AC2-CD2=52-(6-x)2=-11+12x-x2, 所以16-2=-1+12x一父，所以x=是。 (2)2 分析：设大正方形的边长为c, 因为大正方形的面积是18，所以c2=18,所以a2+=c2=18. 因为a2+b=ab+10,所以ab+10=18,所以ab=8, 所以小正方形的面积=(b一a)2=a2+b-2ab=18一2X8=2. (3)D 24.【解】(1)因为AH=15,CH=8,AC=17, 所以AHP+CP=152+82=289,AC=289, 所以AP+CH=AC心， 所以△ACH是直角三角形，且∠AHC=90°， 所以CH⊥AB. (2)因为∠BHC=90°，BH=6,CH=8, 所以BC=BH+C=62+82=100, 所以BC的长为10. (3存在，线段HE的长度为4或16或6或子 分析：当BE=BC=I0,且点E在线段AB上时，HE=BE- BH=10-6=4; 当BE=BC=10,且点E在线段AB的延长线上时，HE=BE +BH=10+6=16; 当EC=BC时，因为CH⊥BE,所以HE=BH=6; 当CE=BE时，如图， A E H 第24题答图 因为HE+CP=CE,且CH=8,CE=BE=HE+6, 所以HE+82=(HE+6)2, 所以HE=子 综上所述，直线AB上存在一点E,使△BCE为等腰三角形，此 时线段HE的长度为4或16或6或了 25.【解】(1)AD=BE,AD⊥BE. 分析：如图①，延长AD交BC于点O,交BE于点H. 因为△ACB和△DCE为等腰直角三角形， 所以AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE, 所以∠ACD+∠DCB=∠BCE+∠DCB, 所以∠ACD=∠BCE. (AC=BC, 在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE, CD-CE, 所以△ACD≌△BCE(SAS), 所以AD=BE,∠CAD=∠CBE. 因为∠AOC=∠BOH, 所以∠OHB=∠ACO=90°，所以AD⊥BE. B 的 E D ① E D 4 ③ 第25题答图 (2)如图②，设AE交BC于点O. 同(1)理可得△ACD≌△BCE, 真题圈数学八年级上2N 所以∠CAO=∠EBO,AD=BE. 因为∠AOC=∠BOE,所以∠BEO=∠ACO=90°， 所以AE+BE=AB. 因为CA=CB,∠ACB=90°， 所以AB2=2AC,所以AE+AD=2AC2. (3)如图③，连接AD, 因为AC=BC=6,∠ACB=90°， 所以∠ABC=45°，AB2=AC2+BC2=72. 因为∠CBD=45°，所以∠ABD=90°， 所以AD2=AB+BD=72十9=81=9，则AD=9. 因为∠ACB=∠DCE=90°，所以∠ACD=∠BCE. (AC=BC. 在△ACD和△BCE中，3∠ACD=∠BCE, CD-CE, 所以△ACD≌△BCE(SAS),所以AD=BE,所以BE=9. 2.第二章学情调研 题号12345678910 答案D AAA AABAAB 1.D2.A3.A4.A 5.A【解析】A.√12X√3=√36=6，正确，符合题意； B.5√3-√3=4W3,原计算错误； C.√18÷√3=√6，原计算错误： D.√2与5不是同类二次根式，无法合并.故选A. 6.A【解析】棱长为2cm的正方体的体积为2×2×2=8(cm3), 因为一个正方体，它的体积是棱长为2cm的正方体的体积的8 倍，所以这个正方体的体积为8×8=64(cm3),所以这个正方体 的棱长为64=4(cm).故选A 7.B【解析（√20-√8）÷√2=√10-2， 因为W9<√10<√16，所以3<√10<4， 所以1<√10-2<2.故选B. 8.A【解析】设点C所表示的数是a.因为点A,B所表示的数分 别是1，W3,所以AB=√3-1.又因为C,B两点到点A的距离相 等，所以AC=1一a=√3-1，所以a=2-√3.故选A 9.A【解析】因为三角形的三边长分别为2,5，n,所以5一2<n<5 +2,所以3<n<7,所以√(3-n)+√(8-n)2=|3-n+|8 -n=n-3十8-n=5.故选A 10.B11.√3（答案不唯一）12.2-√32-√5 13.-1【解析】因为b+3|+√a-2=0,所以b+3=0,a-2 =0,所以a=2,b=-3,则(a十b)2025=(-1)225=-1.故 答案为一1. 14.-1-√3【解析】如图，在Rt△CDE中，CE=1,DE=1, ∠CED=90°， 所以CD=√CE+DE=√/I2+12=√2. 123→ 第14题答图 在Rt△BCD中，BD=1,CD=√2，∠BDC=90°， 所以BC=√CD+BD=√GW2)2+1?=3.所以AC-BC=3. 因为点C表示的数为-1，