专题 14.10 全等三角形几何模型（角平分线）【四大模型五类题型】- 2026-2027学年人教版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义以“全等三角形角平分线”为核心，通过表格化梳理四大几何模型，每个模型从已知条件、作法到结论形成完整逻辑链条，结合目录层级呈现知识脉络，突出角平分线构造全等的重难点及内在联系。 讲义亮点在于“模型-题型-检测”闭环设计，五类题型均配例题与变式，如“角平分线+平行线构造等腰三角形”题型，引导学生通过几何直观发现图形关系，培养推理意识。同步检测分层设置，基础题巩固模型应用，综合题提升创新意识，助力教师实施精准教学，满足不同学生复习需求。

专题 14.10 全等三角形几何模型（角平分线）【四大模型五类题型】 目录 一.模型梳理与解读 1 【模型一】角平分线上的点向角两边作垂线，构造相等线段 1 【模型二】作角平分线的垂线，构造等腰三角形 2 【模型三】截相等线段构造对称型全等三角形 2 【模型四】角平分线十平行线，构造等腰三角形 2 二.题型精析 3 【题型 1】构造角平分线上的点向角两边作垂线，构造相等线段 3 【题型 2】作角平分线的垂线，构造等腰三角形 3 【题型 3】截相等线段构造对称型全等三角形 5 【题型 4】角平分线十平行线，构造等腰三角形 7 【题型 5】角平分线综合模型 9 三.同步检测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 16 一.模型梳理与解读 【模型一】角平分线上的点向角两边作垂线，构造相等线段 已知 图示 作法 结论 如图，P是∠MON平分线上的一点，PA⊥OM. 过点P作PB⊥ON于点B. （1）PB=PA （2）Rt△AOP≌Rt△BOP 【模型二】作角平分线的垂线，构造等腰三角形 已知 图示 作法 结论 如图，P是∠MON平分线上的一点，AP⊥OP 延长AP交ON于点B. （1）Rt△AOP≌Rt△BOP， （2）△AOB是等腰三角形 【模型三】截相等线段构造对称型全等三角形 已知 图示 作法 结论 如图，P是∠MON平分线上的一点，A是射线OM上一点. 作点A关于OP的对称点B,连接PB. △PAO≌△PBO 【模型四】角平分线十平行线，构造等腰三角形 已知 图示 作法 结论 如图,点P在∠AOB的平分线上. 过点P作PQ//OB,交AO于点Q. △POQ是等腰三角形. 如图,OC是∠AOB的平分线，D是边OA上一点. 过点D作DE//CO,交BO的延长线于点E. △EOD是等腰三角形 二.题型精析 【题型 1】构造角平分线上的点向角两边作垂线，构造相等线段 【例题1】（八年级上·云南昭通·期中）如图，等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点D． 求证：． 【变式1】（八年级上·福建厦门·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，线段是的角平分线，若，，则点D到的距离为______． 【变式3】（24-25八年级上·四川遂宁·期中）如图，在中，，点为斜边上一点，且，过点作的垂线交于点．求证：点在的角平分线上． 【题型 2】作角平分线的垂线，构造等腰三角形 【例题2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）【阅读理解】角平分线把角等分，从而得到相等的角，所以结合角平分线构造全等三角形是常用的方法． （1）如图1，平分，点，分别在和上，且于点．请补全下列证明： 证明：平分，________， ， ， 在和中， ， （________）． ，． 【类比解答】（2）如图2，在中，平分，于，若，，求的度数． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，，平分，交的延长线于点，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【变式1】（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，，为的角平分线，为的中点，与相交于点，过点作垂直于点，过点作交于点，有下列说法：①．②，③为的中点，④．其中，正确的是（　　）    A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【变式2】（八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点E． （1）若，则______， （2）若，，则______． 【变式3】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可得，则有，（即点为的中点）．请你写出证明的过程． （2）【类比解答】如图2，在中，平分，于，若，，请通过上述构造全等的方法，求的度数． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【题型 3】截相等线段构造对称型全等三角形 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是的角平分线，，试探究线段之间的数量关系． 【变式1】（八年级上·北京·期中）如图，是的角平分线，且，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（八年级上·四川眉山·期末）如图，是的角平分线，且，，则的度数为__________． 【变式3】（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图1，AD是的角平分线，，试探究线段AB，BD，AC之间的数量关系．由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以可以尝试将角平分线一侧的三角形翻折（构造全等三角形），小明的解题思路如下： ①如图2，在AC上取一点E，使，连接DE． ②由，AD平分，AD是公共边，可得（理由：____________），则，． ③由，则． 又因为，所以，则__________ 又由，得． ④根据上述的推理可知AB，BD，AC之间的数量关系为__________________． （1）请你补全小明的解题思路． （2）参考小明的方法，解决下面的问题： 如图3，中，，，BD平分，求证：． 【题型 4】角平分线十平行线，构造等腰三角形 【例题4】（25-26七年级下·北京延庆·期末）完成下面的证明． 已知：如图，是的角平分线，点D在射线上，点E在射线上， 且． 求证：． 证明：∵是的角平分线， ∴ ① （ ② ）． ∵， ∴ ③ ． ∴（ ④ ）．    【变式1】（2025·山东聊城·三模）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，其中一组同学的作法如图所示，以O为圆心，以任意长为半径画弧，交，于点C、D，点E是上任一点，以E为圆心，以同样长为半径画弧交于点F，以F为圆心，以长为半径画弧交于点G，连接，然后以E为圆心，以长为半径画弧交于点P，连接，即为的角平分线．根据作图过程，下列结论错误的是（） A． B． C． D．为等腰三角形 【变式2】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点D，过D点作的平行线分别交、于点M、N，若与的周长分别为22、14，则的长为___________． 【变式3】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）下面是小华同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线和直线外一点．求作：直线，使直线直线． 作法：如图2， ①在直线上任取一点，作射线； ②以为圆心，为半径作弧，交直线于点，连接； ③以为圆心，长为半径作弧，交射线于点；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，在的右侧两弧交于点； ④作直线； 所以直线就是所求作的直线． 根据上述作图过程，回答问题： （1）根据上述作图过程可知：射线平分，这种作角的角平分线的方法的依据是 （填序号）． ①；②平行线性质 ；③平行公理． （2）完成下面的证明： 证明：由作图可知平分， ． 已知 ， ． ， 直线直线．（ ）（填写推理依据） 【题型 5】角平分线综合模型 【例题5】25-26七年级下·广东深圳·期中）探究与证明 【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据___________，证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分于，若，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，平分，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 （4）如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点作于．已知面积为26，则划出的的面积是___________？ 【变式1】（23-24八年级上·广西南宁·期中）综合与实践： 【问题情境】已知是的平分线，P是射线上的一点，点D，E分别在射线，上，连接，． 【初步探究】（1）如图1，当，时，与的数量关系是______； 【深入探究】（2）如图2，若，（1）中与的数量关系还成立吗？请说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，中，平分交于点D，若，，，求的面积． 【变式2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）在学习七下课本121页“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学．    （1）【问题原型】定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．如图，在中，平分．根据图形1用几何语言写出该定理 ①∵，平分， ∴ ， ； ②在中，的周长为32，的周长为23，则的长为 ．    （2）【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现了同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成命题的证明． 已知：在中，平分，且点D是的中点．求证：． 方法一：如图2，延长到点E，使， 连接． 方法二：如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F． （3）【拓展延伸】如图4，在中，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设的面积分别为，若，试求的最大值． 【变式3】（八年级上·新疆阿克苏·期末）【探究】（1）如图①，用三角尺可按下面方法画角平分线：在的两边上分别取，再分别过点M、N作、的垂线，交点为，画射线，则得到平分．请用你所学的知识说明其中的道理． 【应用】（2）已知：如图②，平分，，于E，于F，，且满足．求的度数． 【拓展】（3）如图③，在四边形中，是的角平分线，若，过D点作，求证：． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（八年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，四边形（四边都在一平面内）框架是一个作角平分线的简易工具，其中，，将点A移至某角的顶点处，再使和张大到与这个角的两边分别重合时，连接，射线即是该角的角平分线．它的原理是利用，得到，从而证明是角平分线，那么判定三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）同学们探讨利用不同工具作角平分线的方法，小明说：“我用两块完全相同的含角的直角三角板就可以作角平分线，把直角三角板按如图所示的位置放置，两顶点交于点P，由可得射线是的平分线．”其中的理论依据是（    ） A．SAS B．ASA C．SSS D．HL 3．（七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以同样的长度（大于）为半径画弧，两弧相交于点，连接，则射线是的角平分线．连接，，可以先证明，进而推出是的角平分线．判定的依据（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，是的角平分线，，垂足为D，若的面积为5，则的面积为（    ）． A．10 B．11 C．12 D．14 5．（25-26八年级上·全国·期中）如图，中，，是角平分线，点是上一点，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 6．（九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的角平分线，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的角平分线，，垂足为F，交于点E，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（八年级上·河南南阳·期中）如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（   ） A．1.9 B． C． D．2 9．（八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图1，已知，D为的角平分线上一点，连接；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上三点，连接；…，依此类推，第n个图形中全等三角形的对数是（ ） A． B． C． D． 10．（八年级上·湖南长沙·期末）如图，在等腰中，，，的邻补角的角平分线交的角平分线于点D，交直线于点E，作交于点F，连接．下列四个结论： ①；②垂直平分；③；④． 其中正确的是（     ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（八年级上·浙江温州·期中）如图，已知是的角平分线，若要使，可添加一个条件_____．（只需写一个，不添加辅助线和字母） 12．（25-26八年级上·甘肃甘南·阶段检测）如图，在中，是的角平分线，点E是边上一点，且，连接，若，则的长为______. 13．（八年级下·山西运城·期中）如图，中，为的角平分线，作垂直于D，的面积为8，则的面积为 _______． 14．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是的角平分线，过点作交的延长线于点，延长、交于点，点在上，连接．若，，，则的长为________． 15．（七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是______． 16．（七年级下·重庆北碚·期中）如图，在中，，，的角平分线交于点，边上存在一点，使得即，点是延长线上一点，且，连接交于点，则______． 17．（八年级上·江苏徐州·期中）如图，中．若，，是的角平分线交于点M，，垂足为点N．若，则________． 18．（七年级下·四川成都·阶段检测）如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；③；④若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是______．（填序号） （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（八年级上·河南南阳·期末）请把角平分线的性质定理及求证补充完整，并证明． 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的________相等． 已知，如图，是的平分线，点是上的任意一点，，，垂足分别为点和点．求证：___________．    20．（本小题满分8分）（七年级下·广东佛山·期中）没有量角器，利用刻度尺也能画出一个角的平分线．下面是小彬的做法，请说明理由．（写出具体的说理过程，写出必要步骤的根据） 如图，角平分线刻度尺画法： ①利用刻度尺在∠AOB 的两边上，分别取OD＝OC． ②连接CD，利用刻度尺画出CD的中点E． ③画射线OE．所以射线OE为∠AOB的角平分线．              21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知：，小惠在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为（即）的角尺来作的角平分线． （1）如图1，她先在边和上分别取，再移动角尺使；然后她就说射线是的角平分线．试根据小惠的做法证明射线是的角平分线； （2）如图2，将角尺绕点旋转了一定的角度后，，但仍然出现了，此时是的角平分线吗？如果是，请说明理由． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·山东·期中）学习完第十三章《三角形》和第十四章《全等三角形》等相关知识后，数学兴趣小组的同学开启了作角平分线的智慧之旅，深入探究了角平分线的作法． 【问题呈现】 作的平分线 【实验操作】 甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线：丙同学也用尺规作出了角平分线；工人师傅利用角尺作出了角平分线．在的边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即，可得为的平分线． 【交流讨论】 大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等的性质，其判定三角形全等的方法是① ，对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定判定三角形全等的依据是② ；对丙同学的作法陷入了沉思． 【问题解决】 （1）请将上述讨论得出的依据补充完整； （2）完成对丙同学作法的证明． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·山西晋中·期末）下面是勤学小组研究某三角形性质时的笔记片段，请仔细阅读，并完成相应任务． “线垂”三角形 【概念理解】 如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么，这个三角形的某两条边必有倍半关系．这个三角形称为“线垂”三角形，被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．如图①，在中，是的角平分线，是的中线，，垂足为点．   【问题解决】 问题1：在图①中，．请说明理由． 解：因为是的角平分线， 根据________， 所以． …… 问题2：如图①，若，则________． 任务： （1）填空：材料中“________”处空缺的内容依次为：________，________． （2）请将材料中问题1的说理过程（……）补充完整． （3）在图①中，当，时，求的度数． 24．（本小题满分12分）（八年级下·山西太原·阶段检测）我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图①，是的平分线，是上任一点，作，，垂足分别为点和点．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【定理证明】 已知：如图①，是的平分线，点是上的任意一点，，，垂足分别为点和点． 求证：． 分析：图中有两个直角三角形和．只要证明这两个三角形全等，便可证得． （1）结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整证明过程． 【定理应用】 （2）如图②，在中，，的角平分线交于点．若过点作，垂足为，点在上，且，请你判断，，之间的数量关系，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 14.10 全等三角形几何模型（角平分线）【四大模型五类题型】 目录 一.模型梳理与解读 1 【模型一】角平分线上的点向角两边作垂线，构造相等线段 1 【模型二】作角平分线的垂线，构造等腰三角形 2 【模型三】截相等线段构造对称型全等三角形 2 【模型四】角平分线十平行线，构造等腰三角形 2 二.题型精析 3 【题型 1】构造角平分线上的点向角两边作垂线，构造相等线段 3 【题型 2】作角平分线的垂线，构造等腰三角形 6 【题型 3】截相等线段构造对称型全等三角形 15 【题型 4】角平分线十平行线，构造等腰三角形 20 【题型 5】角平分线综合模型 24 三.同步检测 35 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 35 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 45 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 53 一.模型梳理与解读 【模型一】角平分线上的点向角两边作垂线，构造相等线段 已知 图示 作法 结论 如图，P是∠MON平分线上的一点，PA⊥OM. 过点P作PB⊥ON于点B. （1）PB=PA （2）Rt△AOP≌Rt△BOP 【模型二】作角平分线的垂线，构造等腰三角形 已知 图示 作法 结论 如图，P是∠MON平分线上的一点，AP⊥OP 延长AP交ON于点B. （1）Rt△AOP≌Rt△BOP， （2）△AOB是等腰三角形 【模型三】截相等线段构造对称型全等三角形 已知 图示 作法 结论 如图，P是∠MON平分线上的一点，A是射线OM上一点. 作点A关于OP的对称点B,连接PB. △PAO≌△PBO 【模型四】角平分线十平行线，构造等腰三角形 已知 图示 作法 结论 如图,点P在∠AOB的平分线上. 过点P作PQ//OB,交AO于点Q. △POQ是等腰三角形. 如图,OC是∠AOB的平分线，D是边OA上一点. 过点D作DE//CO,交BO的延长线于点E. △EOD是等腰三角形 二.题型精析 【题型 1】构造角平分线上的点向角两边作垂线，构造相等线段 【例题1】（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点D． 求证：． 【答案】证明：如图所示，过点D作于H， ∴， ∵是角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，过点D作于H，先证明得到，再证明是等腰直角三角形，推出，据此根据线段的和差关系即可证明结论． 解：略 【变式1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形综合，由条件可知，求出点P的坐标为，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，由点P的坐标知，，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：由条件可知， 解得：， 则点P的坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则， ∴， ∵， ∴， 由点P的坐标知，， ∴， ∴， ∴． 答案：D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，线段是的角平分线，若，，则点D到的距离为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，过点D作于E，先求出，再证明，得到，则点D到的距离为2． 解：如图所，过点D作于E， ∴， ∵，， ∴， ∵线段是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点D到的距离为2， 故答案为：2． 【变式3】（24-25八年级上·四川遂宁·期中）如图，在中，，点为斜边上一点，且，过点作的垂线交于点．求证：点在的角平分线上． 【答案】证明：连接， ， ． 在和中 ， ． ． 点在的角平分线上． 【分析】连接，可通过证明从而得到结论． 解：略 【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，，做题时，要根据情况作辅助线是必须的，也是解决本题的关键． 【题型 2】作角平分线的垂线，构造等腰三角形 【例题2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）【阅读理解】角平分线把角等分，从而得到相等的角，所以结合角平分线构造全等三角形是常用的方法． （1）如图1，平分，点，分别在和上，且于点．请补全下列证明： 证明：平分，________， ， ， 在和中， ， （________）． ，． 【类比解答】（2）如图2，在中，平分，于，若，，求的度数． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，，平分，交的延长线于点，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），，；（2）的度数为；（3）解：． 证明：延长、，交于点， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）由已知可得，证明，即可证得结论； （2）延长，交于点，由已知可得，可得，由三角形外角的性质，可得的度数； （3）延长、，交于点，证明，可得，证明，可得，即可得和的数量关系． 解：（1）略 （2）解：延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． （3）略 【点拨】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，对顶角相等，等角的余角相等． 【变式1】（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，，为的角平分线，为的中点，与相交于点，过点作垂直于点，过点作交于点，有下列说法：①．②，③为的中点，④．其中，正确的是（　　）    A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】①由三角形外角的性质得，再由三角形内角和定理，便可判断①的正误； ②延长与交于点，由，，根据三角形内角和定理与三角形外角定理得，便可判断②正确； ③由平行线的性质证明，再由等角的余角相等可得，便可得，故③正确； ④证明，可得结论． 解：①∵，为的中点， ∴， ∴， ∴，故①错误； ②如图，延长与交于点， ∵为的角平分线，过点作垂直于点， ∴，， ∴，故②正确；    ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点，故③正确； ④∵，为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故④正确， 故选：C． 【点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的外角定理，三角形的内角和定理，全等三角形的性质与判定，综合应用这些知识解题是关键． 【变式2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点E． （1）若，则______， （2）若，，则______． 【答案】 12 【分析】（1）运用三角形内角和以及角平分线的定义列式计算，即可作答． （2）根据和的面积比得，延长交于，根据证明，根据全等三角形的性质得到，进而得到，根据三角形的外角性质和等边对等角得到，进而得到，根据等角对等边得到，则即可作答． 解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故答案为：； （2）是的角平分线， ， ∵， ∴， 依题意，延长交于 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可得，则有，（即点为的中点）．请你写出证明的过程． （2）【类比解答】如图2，在中，平分，于，若，，请通过上述构造全等的方法，求的度数． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：平分， ， ， ， （2）； （3）解：，理由如下， 延长、交于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 又， ， ， ． 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质．熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）角平分线得，垂直得，加公共边，利用证明全等即可； （2）延长交于点，利用角平分线和垂直构造，得到；再根据三角形外角性质进行计算即可； （3）延长、交于点，先证明，得到，再利用角平分线和垂直构造，得到，从而推出结论． 解：（1） 略 （2）解：延长交于点， 平分， ， ， 又， ， ， ， ； （3） 略 【题型 3】截相等线段构造对称型全等三角形 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是的角平分线，，试探究线段之间的数量关系． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用“截长法”作辅助线构造全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．在上截取，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再求出，根据等角对等边可得，从而得到，然后根据等量代换即可得证． 解：．理由如下： 如图，在上截取， 为的平分线， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·北京·期中）如图，是的角平分线，且，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质及内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 在上取点E，使得，连接，证得，得到，，根据线段的和差可推出，得到，从而，，根据三角形的内角和定理即可求解． 解：在上取点E，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C 【变式2】（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，是的角平分线，且，，则的度数为__________． 【答案】32 【分析】在上截取，则，证明，再利用等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质，三角形内角和定理解答即可． 解：在上截取，则， ∵， ∴， ∴； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：32． 【点拨】本题考查了角的平分线，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等和等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图1，AD是的角平分线，，试探究线段AB，BD，AC之间的数量关系．由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以可以尝试将角平分线一侧的三角形翻折（构造全等三角形），小明的解题思路如下： ①如图2，在AC上取一点E，使，连接DE． ②由，AD平分，AD是公共边，可得（理由：____________），则，． ③由，则． 又因为，所以，则__________ 又由，得． ④根据上述的推理可知AB，BD，AC之间的数量关系为__________________． （1）请你补全小明的解题思路． （2）参考小明的方法，解决下面的问题： 如图3，中，，，BD平分，求证：． 【答案】（1）SAS，，，证明过程见详解；（2）见详解 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）在BC上截取，连接，由题意易证，则有，然后可得，进而问题可求证． （1）解：，理由如下： 如图2，在AC上取一点E，使，连接DE． ∵AD平分， ∴， ∵，， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． （2）证明：在BC上截取，连接，如图所示： ∵BD平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【题型 4】角平分线十平行线，构造等腰三角形 【例题4】（25-26七年级下·北京延庆·期末）完成下面的证明． 已知：如图，是的角平分线，点D在射线上，点E在射线上， 且． 求证：． 证明：∵是的角平分线， ∴ ① （ ② ）． ∵， ∴ ③ ． ∴（ ④ ）．    【答案】；角平分线定义；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，根据角平分线的定义得，根据可得，根据平行线的判定即可得；掌握角平分线的定义，平行线的判定是解题的关键． 解：证明：∵是的角平分线， ∴（ 角平分线的定义 ）． ∵， ∴． ∴（ 内错角相等，两直线平行 ）． 故答案为：；角平分线定义；；内错角相等，两直线平行． 【变式1】（2025·山东聊城·三模）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，其中一组同学的作法如图所示，以O为圆心，以任意长为半径画弧，交，于点C、D，点E是上任一点，以E为圆心，以同样长为半径画弧交于点F，以F为圆心，以长为半径画弧交于点G，连接，然后以E为圆心，以长为半径画弧交于点P，连接，即为的角平分线．根据作图过程，下列结论错误的是（） A． B． C． D．为等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图中的作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，等边对等角，根据作图步骤得到，，据此求解即可． 解：由作图步骤得到，， ∴，为等腰三角形， ∴A、B、D选项正确，C选项错误， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点D，过D点作的平行线分别交、于点M、N，若与的周长分别为22、14，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，因此，判定，同理：，得到的周长，而的周长，即可求出的长． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴的周长， ∵的周长， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）下面是小华同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线和直线外一点．求作：直线，使直线直线． 作法：如图2， ①在直线上任取一点，作射线； ②以为圆心，为半径作弧，交直线于点，连接； ③以为圆心，长为半径作弧，交射线于点；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，在的右侧两弧交于点； ④作直线； 所以直线就是所求作的直线． 根据上述作图过程，回答问题： （1）根据上述作图过程可知：射线平分，这种作角的角平分线的方法的依据是 （填序号）． ①；②平行线性质 ；③平行公理． （2）完成下面的证明： 证明：由作图可知平分， ． 已知 ， ． ， 直线直线．（ ）（填写推理依据） 【答案】（1）①；（2）；同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了作一个角等于已知角，过直线外一点作已知直线的平行线，全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识． （1）根据作图可知，即可证明，得到答案； （2）由角平分线作图可知， ． 由已知. 由三角形外角的性质得到，则，则，即可证明结论成立． （1）解：如图2中，连接，． 由作图可知，， 在和中， ， ， ． 故答案为：①； （2）证明：由作图可知平分， ． （已知）. ， ∴． ， 直线直线 同位角相等，两直线平行． 故答案为：，同位角相等，两直线平行． 【题型 5】角平分线综合模型 【例题5】25-26七年级下·广东深圳·期中）探究与证明 【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据___________，证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分于，若，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，平分，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 （4）如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点作于．已知面积为26，则划出的的面积是___________？ 【答案】（1）；（2）；（3）解：，证明如下： 如图，延长、交于点， 则， ， ， ， ， 又， ， ， 由（1）可得，， ； （4） 【分析】（1）证，得，即可； （2）延长交于点，同理可得，则，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （3）延长、交于点，证，得，再由（1）可知，，即可得出结论； （4）延长交于，由问题情境可知，，，则，再由三角形面积关系得，再求解即可得出结论． （1）解：平分， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，延长交于点， 由（1）可知，， ， ， ； （3）略 （4）解：如图，延长交于， 由（1）可知，，， ， ， ∴ ， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·广西南宁·期中）综合与实践： 【问题情境】已知是的平分线，P是射线上的一点，点D，E分别在射线，上，连接，． 【初步探究】（1）如图1，当，时，与的数量关系是______； 【深入探究】（2）如图2，若，（1）中与的数量关系还成立吗？请说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，中，平分交于点D，若，，，求的面积． 【答案】（1）；（2）仍然成立， 理由：如图2，过点P作于F，于H，则， ∵是的平分线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】（1）根据角平分线的性质定理可得答案； （2）过点P作于F，于H，则，，求出，证明即可； （3）求出，可得，作于M，于N，则，根据含直角三角形的性质求出，可得的长，再利用三角形的面积公式计算即可． 解：（1）∵是的平分线，，， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图3，作于M，于N，则，    ∵， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，含直角三角形的性质等知识，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）在学习七下课本121页“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学．    （1）【问题原型】定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．如图，在中，平分．根据图形1用几何语言写出该定理 ①∵，平分， ∴ ， ； ②在中，的周长为32，的周长为23，则的长为 ．    （2）【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现了同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成命题的证明． 已知：在中，平分，且点D是的中点．求证：． 方法一：如图2，延长到点E，使， 连接． 方法二：如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F． （3）【拓展延伸】如图4，在中，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设的面积分别为，若，试求的最大值． 【答案】（1），；；（2）证明：方法一： 如图2， 延长到点E，使， 连接，    ∵点D是的中点， ∴， 在 和中， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二： 如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F，    ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）的最大值为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，平分，直接得出，； 设，，，由的周长为32，得出，由的周长为23，得出，即可求解； （2）方法一，延长到点E，使， 连接，可证明，得出，，再由角平分线的性质得到，进而得到，得出，即可求证；方法二，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F，通过分别证明，，从而得到，，即可求证； （3）延长交的延长线为点， 可证明，进而得到，根据题意得到，当以为底边， 为高时，有最大值，即有最大值，即可求解． （1）解：如图：    ∵，平分， ∴，， 故答案为：，； 设，，， ∵的周长为32， ∴， ∴， ∵的周长为23， ∴， ∴， 故答案为：． （2）略 （3）解：延长交的延长线为点，如图：    ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积分别为， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 当以为底边， 为高时，有最大值，即有最大值， ∴的最大值为：， ∴的最大值为． 【变式3】（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）【探究】（1）如图①，用三角尺可按下面方法画角平分线：在的两边上分别取，再分别过点M、N作、的垂线，交点为，画射线，则得到平分．请用你所学的知识说明其中的道理． 【应用】（2）已知：如图②，平分，，于E，于F，，且满足．求的度数． 【拓展】（3）如图③，在四边形中，是的角平分线，若，过D点作，求证：． 【答案】（1）证明：由题意知：， 都为直角三角形， ， ， ， 平分； （2） （3）证明：过点作，交的延长线于点，如图所示： ∵在四边形中，是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的性质，解题的关键是掌握相应的判定定理； （1）利用证明，再利用全等的性质即可证明； （2）易证，，，即可证明；则，，再结合平行线的性质以及，进行列式计算，即可作答． （3）先证明，得，证明 ，得，结合，，得，，即． 解：（1）略 （2）证明：平分，于，于， ，，， 在和中， ， ； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， （3）略 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，四边形（四边都在一平面内）框架是一个作角平分线的简易工具，其中，，将点A移至某角的顶点处，再使和张大到与这个角的两边分别重合时，连接，射线即是该角的角平分线．它的原理是利用，得到，从而证明是角平分线，那么判定三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，利用证明，可得答案． 解：在和中， ， ∴． ∴， ∴是角平分线， 故选：A． 2．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）同学们探讨利用不同工具作角平分线的方法，小明说：“我用两块完全相同的含角的直角三角板就可以作角平分线，把直角三角板按如图所示的位置放置，两顶点交于点P，由可得射线是的平分线．”其中的理论依据是（    ） A．SAS B．ASA C．SSS D．HL 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理HL是解题的关键．通过证明两个直角三角形全等，进而得出角平分线． 解：在和中， ， ∴， ∴， ∴射线是的角平分线． 故选：D． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以同样的长度（大于）为半径画弧，两弧相交于点，连接，则射线是的角平分线．连接，，可以先证明，进而推出是的角平分线．判定的依据（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键； 根据作图可得，，再根据，利用得到即可得到结论． 解：根据作图，可得，， 又∵， ， ∴， ∴是的角平分线； 故选：D． 4．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，是的角平分线，，垂足为D，若的面积为5，则的面积为（    ）． A．10 B．11 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形中线与面积等知识，延长交于点E，可证明得，从而得出，，可得从而可求出的面积． 解：延长交于点E，如图， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又， ∴, ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 5．（25-26八年级上·全国·期中）如图，中，，是角平分线，点是上一点，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形全等的判定，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．根据等腰三角形的三线合一可得，，则选项A和C正确；先求出，再根据定理可得，则选项B正确；根据不一定是的角平分线可得与不一定相等，则选项D错误． 解：∵在中，，是角平分线， ∴，（等腰三角形的三线合一），则选项A和C正确，不符合题意； ∴， 在和中， ， ∴，则选项B正确，不符合题意； ∵点是上一点，不一定是的角平分线， ∴与不一定相等，则选项D错误，符合题意； 故选：D． 6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的角平分线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，在上截取一点E，使，连接，由角平分线得，可得，进而得，，再由得，即可得，再由三角形外角的性质得，进而可得答案． 解：如图，在上截取一点E，使，连接， ∵是的角平分线， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的角平分线，，垂足为F，交于点E，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质、角平分线的概念等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 利用三角形内角和定理求出，利用全等三角形的性质证明，即可解决问题． 解：∵，， ∴， ∵是的角平分钱， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（   ） A．1.9 B． C． D．2 【答案】D 【分析】此题考查了折叠的性质、角平分线的定义，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的性质和折叠的性质是解决问题的关键． 如图，延长和相交于点，根据翻折的性质可以证明，可得，再证明，可得． 解：如图，延长和相交于点， 由翻折可知： ，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ． 故选：D． 9．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图1，已知，D为的角平分线上一点，连接；如图2，已知，D、E为的角平分线上两点，连接；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上三点，连接；…，依此类推，第n个图形中全等三角形的对数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，全等三角形的判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握以上性质，并找出图形规律． 根据角平分线的性质得出相等的角，证明，根据图2和图3找出全等三角形的对数，最后总结出规律即可． 解：由图1可得，D为的角平分线上一点， ∴， 又∵，， ∴； 同理图2中有3对全等三角形； 图3中有6对全等三角形； ∴第n个图形中全等三角形的对数是， 故选：D． 10．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在等腰中，，，的邻补角的角平分线交的角平分线于点D，交直线于点E，作交于点F，连接．下列四个结论： ①；②垂直平分；③；④． 其中正确的是（     ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义以及外角等于，即可证明①是正确的；证明，得，则②是正确的；将绕点D顺时针旋转90度，与重合，点F与点M是对应点，结合外角性质以及等角对等边，即可作答． 解：∵， ∴， ∵的邻补角的角平分线交的角平分线于点D， ∴， 在中，，故①正确； ∵， ∴， ∵的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分，故②正确； 将绕点D顺时针旋转90度，与重合，点F与点M是对应点，如图： 易得， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 则，故④正确； 过点作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误． 综上正确的是①②④． 故选：C. 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角以及内角和性质，角平分线，等角对等边等知识内容，解题的关键是正确作出辅助线证明三角形全等． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，已知是的角平分线，若要使，可添加一个条件_____．（只需写一个，不添加辅助线和字母） 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 可利用“角边角”判断，添加． 解：是的角平分线， ， ， 当添加 时， 故答案为：（答案不唯一） 12．（25-26八年级上·甘肃甘南·阶段检测）如图，在中，是的角平分线，点E是边上一点，且，连接，若，则的长为______. 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明及性质，能够证得三角形全等是解题关键； 先根据角平分线性质可知，进而利用可证得，进而可知． 解：∵是的角平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：5． 13．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，中，为的角平分线，作垂直于D，的面积为8，则的面积为 _______． 【答案】16 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的中线性质，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解答的关键．如图，延长交于E，利用证明，得到，进而推出，，即可得到答案． 解：如图所示，延长交于E， ∵为的角平分线，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 故答案为：16． 14．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是的角平分线，过点作交的延长线于点，延长、交于点，点在上，连接．若，，，则的长为________． 【答案】 【分析】证明，得到，即可解答． 解：是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ． 15．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质．延长交于点，作与点，利用角平分线的定义可证，可推出，，再根据三角形面积可求得，从而得到，最后利用三角形中线的性质可知，即可求得答案． 解：延长交于点，作与点，如图所示， ，是的角平分线， ，， 在和中， ， ， ，， ，，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，在中，，，的角平分线交于点，边上存在一点，使得即，点是延长线上一点，且，连接交于点，则______． 【答案】/105度 【分析】由平行线及角平分线可得是等腰三角形，即，由平行线的性质可得，根据可得出，由此可得，由平行线的性质可得，再由三角形的外角性质可得出结论． 解：∵平分，， ∴， ∵即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的定义等相关知识，根据条件得出三角形全等是解题关键． 17．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，中．若，，是的角平分线交于点M，，垂足为点N．若，则________． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质．利用证明和，求得，，据此求解即可． 解：延长、相交于点， ∵，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 18．（24-25七年级下·四川成都·阶段检测）如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；③；④若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是______．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义．根据两直线平行，同旁内角互补可得，又都是角平分线，可以推出，从而得到，然后延长交的延长线于点F，先证明，再根据全等三角形的性质得到，然后证明，从而证明①②④正确，与不一定相等，所以③不正确． 解：， ， 、分别是与的平分线， ，， ， ， 故①正确； 如图，延长交延长线于， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ，， ， ∴， 在与中， ， ， ， ，故②正确； ， ，即点为的中点， 与不一定相等， 与不一定相等，故③错误； ，， 的取值范围为，故④正确； 综上所述，正确的有①②④； 故答案为：①②④． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·河南南阳·期末）请把角平分线的性质定理及求证补充完整，并证明． 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的________相等． 已知，如图，是的平分线，点是上的任意一点，，，垂足分别为点和点．求证：___________．    【答案】距离，， 证明： 平分， ， ，， ， 在和中， ， ， ； 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．先根据题意进行解答，再写出证明过程即可． 解：略 20．（本小题满分8分）（24-25七年级下·广东佛山·期中）没有量角器，利用刻度尺也能画出一个角的平分线．下面是小彬的做法，请说明理由．（写出具体的说理过程，写出必要步骤的根据） 如图，角平分线刻度尺画法： ①利用刻度尺在∠AOB 的两边上，分别取OD＝OC． ②连接CD，利用刻度尺画出CD的中点E． ③画射线OE．所以射线OE为∠AOB的角平分线．              【答案】理由见解析 【分析】只需要利用SSS证明△COE≌△DOE即可证明∠COE=∠DOE，则OE为∠AOB的角平分线． 解：∵E是CD的中点（已知）， ∴CE=DE（线段中点的定义）， 在△COE和△DOE中， ， ∴△COE≌△DOE（SSS）， ∴∠COE=∠DOE（全等三角形的性质）， ∴OE是∠AOB的角平分线． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知：，小惠在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为（即）的角尺来作的角平分线． （1）如图1，她先在边和上分别取，再移动角尺使；然后她就说射线是的角平分线．试根据小惠的做法证明射线是的角平分线； （2）如图2，将角尺绕点旋转了一定的角度后，，但仍然出现了，此时是的角平分线吗？如果是，请说明理由． 【答案】（1）证明：如图1中， 在和中， ， ， ； （2）是，理由：如图2中，过点作于，于． ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 则是的角平分线． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识． （1）根据证明，可得结论； （2）过点作于，于．证明，可得结论． 解：（1）略 （2）略 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·山东·期中）学习完第十三章《三角形》和第十四章《全等三角形》等相关知识后，数学兴趣小组的同学开启了作角平分线的智慧之旅，深入探究了角平分线的作法． 【问题呈现】 作的平分线 【实验操作】 甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线：丙同学也用尺规作出了角平分线；工人师傅利用角尺作出了角平分线．在的边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即，可得为的平分线． 【交流讨论】 大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等的性质，其判定三角形全等的方法是① ，对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定判定三角形全等的依据是② ；对丙同学的作法陷入了沉思． 【问题解决】 （1）请将上述讨论得出的依据补充完整； （2）完成对丙同学作法的证明． 【答案】（1）①②；（2）证明：由题意可得，， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴为的平分线． 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，作角平分线，作一个角等于已知角，三角形外角性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①认真分析题干，观察作图过程，得出甲同学以及工人师傅：则，；乙同学：根据作图过程，得， （2）分析丙同学的作图过程，得，再结合三角形外角性质，等边对等角，即可得出． （1）解：①甲同学以及工人师傅： 根据作图过程，得， ∴， ∴， 故是的平分线， 即判定三角形全等的方法是； ②乙同学：根据作图过程，得， ∴， ∴， 即判定三角形全等的依据是； （2）略 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·山西晋中·期末）下面是勤学小组研究某三角形性质时的笔记片段，请仔细阅读，并完成相应任务． “线垂”三角形 【概念理解】 如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么，这个三角形的某两条边必有倍半关系．这个三角形称为“线垂”三角形，被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．如图①，在中，是的角平分线，是的中线，，垂足为点．   【问题解决】 问题1：在图①中，．请说明理由． 解：因为是的角平分线， 根据________， 所以． …… 问题2：如图①，若，则________． 任务： （1）填空：材料中“________”处空缺的内容依次为：________，________． （2）请将材料中问题1的说理过程（……）补充完整． （3）在图①中，当，时，求的度数． 【答案】（1）角平分线的定义；6；（2）解：是角平分线，根据角平分线的定义， ， ，根据垂线的定义， ， 在和中， ， ． （3） 【分析】（1）根据角平分线的定义和垂线定义分别推出和，利用证明即可推出，利用中线的定义推出，结合已知条件即可求出的长度． （2）根据角平分线的定义和垂线定义分别推出和，利用证明即可推出． （3）利用三角形内角和定理和邻补角定义求出度数，再结合等腰三角形等边对等角求出度数，利用已知条件即可求出度数． （1）解：①略 ②是的角平分线，根据角平分线的定义， ， ，根据垂线的定义， ， 在和中， ， ． ， ． 是的中线， ， ． （2）解：略 （3）解：，，， ． ， ． 由（1）知， ． ． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·山西太原·阶段检测）我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图①，是的平分线，是上任一点，作，，垂足分别为点和点．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【定理证明】 已知：如图①，是的平分线，点是上的任意一点，，，垂足分别为点和点． 求证：． 分析：图中有两个直角三角形和．只要证明这两个三角形全等，便可证得． （1）结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整证明过程． 【定理应用】 （2）如图②，在中，，的角平分线交于点．若过点作，垂足为，点在上，且，请你判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵是的平分线， ∴ ∵，， ∴ 又 ∴， ∴； （2），理由如下： ∵的角平分线交于点，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，灵活运用角平分线性质定理是解答本题的关键． （1）证明即可； （2）证明得，证明得，即可得出结论． 解：（1）略 （2）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $