专题 14.5 全等三角形几何模型（一线三等角）讲义 - 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“一线三等角”全等三角形几何模型，系统梳理同侧/异侧一线三直角、同侧/异侧一线三等角四大模型，通过六类题型构建从模型认知到综合应用的学习支架，衔接全等三角形判定与性质，助力学生形成完整知识脉络。 该资料以测量旗杆高度等现实问题为情境，通过模型解读与例题变式培养几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维），同步检测覆盖选择、填空、解答题，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固提升，强化应用意识（数学语言）。

专题 14.5 全等三角形几何模型（一线三等角）讲义【四大模型六类题型】 目录 一.模型梳理与解读 1 （一）定义： 1 （二）一线三等角常见的模型及证法： 1 二.题型精析 2 【题型1】同侧一线三直角模型 2 【题型2】异侧一线三直角模型 4 【题型3】同侧一线三等角模型 5 【题型4】异侧一线三等角模型 6 【题型5】构造一线三直角模型 7 【题型6】一线三直角与一线三等角综合模型 9 三.同步检测 11 （一）选择题（本大题共3个小题,每小题4分,共12分） 11 （二）填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 12 （三）解答题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 14 一.模型梳理与解读 （一）定义： 三个相等的角的顶点在同一条直线上，角的两边分别与直线相交，构成两个三角形，若有一组对应边相等，则这两个三角形全等。这样的模型我们称为“一线三等角模型” （二）一线三等角常见的模型及证法： 类型 基本图形 结论 同侧一线三直角 结论： 证明思路： 异侧一线三直角 结论： 证明思路： 同侧一线三等角 结论： 证明思路; 异侧一线三等角 结论： 证明思路; 二.题型精析 【题型1】同侧一线三直角模型 【例题1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）在学习全等三角形后，七年级某数学兴趣小组开展了测量学校五星红旗旗杆顶端离地面高度的实践活动，测量方案如表： 课题 测量五星红旗旗杆的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图    测量步骤 （1）在距旗杆底部B点水平地面上，选定一点C； （2）测量的度数； （3）测量的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于水平地面（B，C，D三点共线，）； （5）测量标杆顶部E视线与水平地面所成的角，再测量的长度． 测量数据 ，，，， 请你根据该数学兴趣小组测量方案及数据，计算旗杆的高度． 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，为测量信号塔（垂直于地面）的高度，小明首先在信号塔前的地面上选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使时竿子停止移动，此时测得，则信号塔的高度为________．    【变式2】（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则___________． 【变式3】（25-26七年级下·山东济南·期中）为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度：将旗杆顶部处的绳子拉直至地面点，使，两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在处放置直角三角板，让直角顶点与点重合，边与绳子重合．随后小明后退，当看到点共线时（即共线），停在点． （1）小明认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． （2）若米，米，求旗杆高度． 【题型2】异侧一线三直角模型 【例题2】（25-26七年级下·重庆大渡口·期末）和的位置如图所示，点B在边上，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长度． 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则长为______． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 【变式3】（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）根据以下素材，探索完成摆球摆动问题的任务． 素材1：如图1是一个单摆实验原理图，包括一个铁架台和一根悬挂的摆线，线端固定摆球．实验者调节摆球的初始位置，观察周期性运动． 素材2：如图2，开始时摆球位于点处，已知摆线长，小亮将摆球拉至点处进行单摆实验，当摆球摆动至点时，，过点作于点，过点作于点，测得． 问题解决： （1）与全等吗？请说明理由； （2）求的长？ 【题型3】同侧一线三等角模型 【例题4】（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，与的顶点B、C、E在一条直线上，点A、D在上方，，，求证：． 【变式1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 【变式2】（23-24八年级上·山东日照·阶段检测）如图，在中，，点在边上，点在上，，若，，则等于_____． 【变式3】（2026·陕西汉中·模拟预测）如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，．求证：． 【题型4】异侧一线三等角模型 【例题4】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，点在上，连接，点，在线段上，连接，，满足，． （1）求证：； （2）若，，，请求出的度数． 【变式1】（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且＝，点E、F在线段AD上，满足∠BED＝∠CFD＝∠BAC，若S△ABC＝20，则S△ABE＋S△CDF是__________． 【变式2】（24-25八年级上·广西贵港·期中）如图，在等腰中，，，点在边上，且，点，在线段上，满足，若，则（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，点在边上，点，在线段上，且，．请说明：． 【题型5】构造一线三直角模型 【例题5】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D为中点，P为上的动点，连接，过点D作且，连接，则线段的最小值为______． 【变式1】（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为__________． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在等腰三角形中，，在直线左侧，满足且，垂足为C．连接，若的面积为16，则的长为_____． 【变式3】（25-26八年级下·河南南阳·期中）【建立模型】如图1，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 【模型应用】 （1）如图1，若，则_____； （2）如图2，等腰中，，点的坐标为，求点的坐标； （3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，是否存在一点，使得是等腰直角三角形，且？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型6】一线三直角与一线三等角综合模型 【例题6】（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．   　　   根据对材料的理解解决以下问题： （1）如图，，． ①求证：； ②猜想，，之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，在中，点为上一点，，，四边形的周长为，的周长为，请求出的长． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课堂例题）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． （1）已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：．    （2）如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    （3）如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    【变式2】（25-26八年级上·河南南阳·期中）（1）【发现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出三角形全等的模型图（如图2），如图2，，，于点，于点．由，得；又，可以通过推理得到，进而得到______，______．我们可以把这个数学模型称为“一线三等角”模型． （2）【类比】如图，在中，，点都在直线上，并且．若，，求的长度（用含的代数式表示）； （3）【拓展】如下图，在中，，，于点，于点，，，则______． 【变式3】（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 ． A．68 B．70 C．98 D．168 【深入探究】 （3）如图3，在中，，，点D在边上，点E，F在线段上，， ①试证明． ②若，的面积为1，的面积为12，则的面积为 ． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共3个小题,每小题4分,共12分） 1．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知正方形地毯，建立如图所示平面直角坐标系．若点A的坐标为，则顶点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，一个正方体箱子卡在了两面墙之间，已知砌墙所用的每块砖块的厚度（每块砖厚度相等）为，则两面墙之间的距离的长为______． 3.（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，，为线段上一动点（不与点重合），连接，作，交线段于点，以下结论不正确的是（   ） A． B．当为的中点时， C．若，则 D．当时， （二）填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 4．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，过点B作，且，延长至点E，使，连接并延长交边于点F，若，则________． 5．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，，且，垂足为C，连接，若，则的面积为______． 6．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，已知，，于，且，若，，则的长为_____． 7．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，（，），，且，则点C坐标为_________． 8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，，D为线段BC上的一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，以下三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是__________（填序号） 9．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，点在边上，点在边上，过点作，垂足是E，，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④过点作，交边于点，若是的中点，则．其中正确的是_____．（填写序号） （三）解答题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 10．（25-26七年级上·山东烟台·期中）为了测量一幢高楼高，在旗杆与楼之间选定一点P，测得旗杆顶C视线与测楼顶A视线两线夹角为，即．量得P到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为米，计算楼高是多少米？ 11．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，是 的中线，交的延长线于点，于点，是 上一点，连接 ． （1）证明：． （2）若，，求 的长． 12．（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，，垂足分别是，，，． （1）请说明和的数量关系，并说明理由； （2）求的长． 13．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． （1）求证：； （2）求的长． 14．（24-25八年级上·吉林白城·期末）在中，，，过点C作直线，于点M，于点N． （1）若在外（如图1）， 求证：； （2）若与线段相交（如图2），且，，则 15．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）问题：如图①，在直角三角形中，，于点，可知（不需要证明）； （1）探究：如图②，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点．证明：； （2）证明：如图③，点、在的边、上，点、在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； （3）应用：如图④，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________． 16．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期中）在中，，直线经过点，且于．于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 17．（24-25八年级上·河南漯河·期中）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： ①如图1，是等腰直角三角形，，AE=BD，则_______； ②如图2，为正三角形，，则________； ③如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________． 【模型应用】 （2）如图4，将正方形放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为________． 【模型变式】 （3）如图5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 14.5 全等三角形几何模型（一线三等角）讲义【四大模型六类题型】 目录 一.模型梳理与解读 1 （一）定义： 1 （二）一线三等角常见的模型及证法： 1 二.题型精析 2 【题型1】同侧一线三直角模型 2 【题型2】异侧一线三直角模型 6 【题型3】同侧一线三等角模型 10 【题型4】异侧一线三等角模型 12 【题型5】构造一线三直角模型 16 【题型6】一线三直角与一线三等角综合模型 22 三.同步检测 29 （一）选择题（本大题共3个小题,每小题4分,共12分） 29 （二）填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 32 （三）解答题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 39 一.模型梳理与解读 （一）定义： 三个相等的角的顶点在同一条直线上，角的两边分别与直线相交，构成两个三角形，若有一组对应边相等，则这两个三角形全等。这样的模型我们称为“一线三等角模型” （二）一线三等角常见的模型及证法： 类型 基本图形 结论 同侧一线三直角 结论： 证明思路： 异侧一线三直角 结论： 证明思路： 同侧一线三等角 结论： 证明思路; 异侧一线三等角 结论： 证明思路; 二.题型精析 【题型1】同侧一线三直角模型 【例题1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）在学习全等三角形后，七年级某数学兴趣小组开展了测量学校五星红旗旗杆顶端离地面高度的实践活动，测量方案如表： 课题 测量五星红旗旗杆的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图    测量步骤 （1）在距旗杆底部B点水平地面上，选定一点C； （2）测量的度数； （3）测量的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于水平地面（B，C，D三点共线，）； （5）测量标杆顶部E视线与水平地面所成的角，再测量的长度． 测量数据 ，，，， 请你根据该数学兴趣小组测量方案及数据，计算旗杆的高度． 【答案】解：由题意知， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：旗杆高度为15米． 【分析】证明即可得出结果． 解：略 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，为测量信号塔（垂直于地面）的高度，小明首先在信号塔前的地面上选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使时竿子停止移动，此时测得，则信号塔的高度为________．    【答案】 【分析】先利用三角形内角和定理求出的度数，发现，结合已知直角和边长相等，利用证明 ，从而得出，最后利用线段的和差关系求解. 解：∵， 在中，， 即， ∵，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则___________． 【答案】10 【分析】利用垂直的定义得到，由平角的定义及同角的余角相等得到，利用证得，由全等三角形对应边相等得到，，由即可求出长． 解：，， ， ， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ，， 则． 【变式3】（25-26七年级下·山东济南·期中）为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度：将旗杆顶部处的绳子拉直至地面点，使，两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在处放置直角三角板，让直角顶点与点重合，边与绳子重合．随后小明后退，当看到点共线时（即共线），停在点． （1）小明认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． （2）若米，米，求旗杆高度． 【答案】（1）解：认同小明的观点，理由如下： 由题意可知： ，，，， ，，， ． 在和中， ， ， ， 因此认同小明的观点． （2）米 【分析】（1）利用全等三角形判定定理证明和全等，进而判断线段相等． （2）因为已知、的长度，且，可求的长度，且由第（1）问的结论可知，即可得解． 解：（1）略 （2）∵， ∴米， 又∵米， 米， 由（1）已证， 米． 【题型2】异侧一线三直角模型 【例题2】（25-26七年级下·重庆大渡口·期末）和的位置如图所示，点B在边上，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长度． 【答案】（1）证明：， ，， ， 在和中， ， ， ； （2） 【分析】（1）首先，由，证得，再由，证得，可得； （2）由（1）知，可得，，再由可得答案． 解：（1）略 （2）解：由（1）知：， ，， ． 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则长为______． 【答案】3 【分析】根据垂直的定义得到，利用同角的余角相等证明，结合利用证明，根据全等三角形对应边相等得到，结合线段的和差关系计算即可． 解：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】利用判定，从而得出对应边相等． 解：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【变式3】（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）根据以下素材，探索完成摆球摆动问题的任务． 素材1：如图1是一个单摆实验原理图，包括一个铁架台和一根悬挂的摆线，线端固定摆球．实验者调节摆球的初始位置，观察周期性运动． 素材2：如图2，开始时摆球位于点处，已知摆线长，小亮将摆球拉至点处进行单摆实验，当摆球摆动至点时，，过点作于点，过点作于点，测得． 问题解决： （1）与全等吗？请说明理由； （2）求的长？ 【答案】（1） 解：，，， ， ，， ． ，， ． （2） 【分析】（1）根据垂直的定义通过角度等量代换求出，结合已知条件，利用即可证明． （2）利用已知条件求出长度，结合证明，即可求出长度． 解：（1）略 （2）解：，， ． 由（1）可知， ． 【题型3】同侧一线三等角模型 【例题4】（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，与的顶点B、C、E在一条直线上，点A、D在上方，，，求证：． 【答案】证明：∵，，， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【分析】根据三角形的外角性质可得，再证明，即可得到结论. 解：证明：略. 【变式1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论． 解：∵AB＝AC＝9， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AE的中垂线交BC于点D， ∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴CD＝AB＝9，BD＝CE， ∵CD＝3BD， ∴CE＝BD＝3 故选：A． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题． 【变式2】（23-24八年级上·山东日照·阶段检测）如图，在中，，点在边上，点在上，，若，，则等于_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．通过角度关系推导出三角形全等，再利用线段比例和全等性质求解的长度． 解：∵，且， ∴． 又∵， ∴． 在和中， ， ∴（）． ∴，． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（2026·陕西汉中·模拟预测）如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据三角形外角的性质求出，证明，可知． 解：证明：，， ． ，， ， ． 【题型4】异侧一线三等角模型 【例题4】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，点在上，连接，点，在线段上，连接，，满足，． （1）求证：； （2）若，，，请求出的度数． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2） 【分析】（1）证明即可证得结论； （2）先根据全等三角形的对应角性质，结合已知求得，，则，然后根据三角形的内角和定理求得，最后利用三角形的外角性质求解即可． 解：（1）略 （2）解： ，， ． 【变式1】（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且＝，点E、F在线段AD上，满足∠BED＝∠CFD＝∠BAC，若S△ABC＝20，则S△ABE＋S△CDF是__________． 【答案】 【分析】先证△ABE≌△CAF得出△ABE和△CAF的面积相等，可得S△ABE+S△CDF=S△ACD，然后再根据求解即可． 解：∵∠BED=∠CFD=∠BAC， ∠BED=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠CFD=∠FCA+∠CAF ∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA 在△ABE和△CAF中 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 故答案为 【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、三角形的面积、三角形的外角性质等知识点，灵活运用全等三角形成为解答本题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·广西贵港·期中）如图，在等腰中，，，点在边上，且，点，在线段上，满足，若，则（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，根据得出与的面积相等，可得，即可得出答案． 解：∵，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，点在边上，点，在线段上，且，．请说明：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【分析】先证明，进而结合已知证明，根据全等三角形的性质即可得证． 解：略 【题型5】构造一线三直角模型 【例题5】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D为中点，P为上的动点，连接，过点D作且，连接，则线段的最小值为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形判定与性质的综合应用，解决问题的关键是由题意证出． 先过作于，根据，可得，再根据当时，，即点与点重合，即可得出线段的最小值为 2 ． 解：∵点是中点，， ∴， 如图所示，过作于，则， ∵， ， ， ， ， ∴当时，， 即点与点重合，此时， ∴线段的最小值为 2 ． 故答案为：2． 【变式1】（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查三线合一，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三线合一，一线三垂直全等模型，是解题的关键．作于点，作于点，三线合一，得到，证明，进而得到，再利用面积公式进行求解即可． 解：作于点，作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：64． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在等腰三角形中，，在直线左侧，满足且，垂足为C．连接，若的面积为16，则的长为_____． 【答案】8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握相关判定定理和性质成为解题的关键． 如图：过A作于E，过D作于E，即，先证明可得，再根据等腰三角形的性质以及等量代换可得，最后根据的面积为16列方程求解即可． 解：如图：过A作于E，过D作于E，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∵的面积为16， ∴，即， 解得：（已舍弃负值）． 故答案为：8． 【变式3】（25-26八年级下·河南南阳·期中）【建立模型】如图1，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 【模型应用】 （1）如图1，若，则_____； （2）如图2，等腰中，，点的坐标为，求点的坐标； （3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，是否存在一点，使得是等腰直角三角形，且？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）8；（2）点的坐标为；（3）存在，点坐标为或． 【分析】（1）由“”可证可得，，据此计算即可求解； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，求得，，据此求解即可； （3）分两种情况，结合全等三角形的判定和性质解答即可． （1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为； （3）解：存在点Q，使得是等腰直角三角形， 如图，当点Q在第二象限内时，过点作轴于，过点作于， ∵点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点； 如图，当点Q在第三象限内时，过点作轴于，过点作交的延长线于， 同理， ∵， ∴，， ∴， ∴点， 综上所述：点坐标为或． 【题型6】一线三直角与一线三等角综合模型 【例题6】（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．   　　   根据对材料的理解解决以下问题： （1）如图，，． ①求证：； ②猜想，，之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，在中，点为上一点，，，四边形的周长为，的周长为，请求出的长． 【答案】（1）①， ，， ， 在与中， ， ； ②猜想：， 理由：由（1）得：， ，， ； （2） 【分析】（1）①根据已知可求得，，得到，证明；②由（1）可知，得到，从而得出； （2）首先证明，得到，，结合已知可得到，根据的周长为得到，得到，即可得出最后结果． （1）解：略． （2），且， ， 在和中， ， ， ，， 四边形的周长为， ， ， 又的周长为， ， ，， ， ， 即． 【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确寻找全等三角形． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课堂例题）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． （1）已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：．    （2）如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    （3）如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    【答案】（1）证明：直线直线， ． ． ， ． ． 在和中， ． ． （2）成立． 证明：， 在和中， ． ． ． （3）不成立． 理由：， ． ， ． 在和中， ． ． ． 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （2）证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （3）证明，由全等三角形的性质得出，，进而可以解决问题． 解：（1）略 （2）略 （3）略 【点拨】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质的综合应用，证明是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·河南南阳·期中）（1）【发现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出三角形全等的模型图（如图2），如图2，，，于点，于点．由，得；又，可以通过推理得到，进而得到______，______．我们可以把这个数学模型称为“一线三等角”模型． （2）【类比】如图，在中，，点都在直线上，并且．若，，求的长度（用含的代数式表示）； （3）【拓展】如下图，在中，，，于点，于点，，，则______． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：、、、、，熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键． （1）根据全等三角形的性质即可得答案； （2）利用外角性质可得出，利用可证明，根据全等三角形的性质得出，，利用线段的和差关系即可得答案； （3）利用角的和差关系得出，利用可证明，根据全等三角形的性质得出，，利用线段的和差关系即可得答案． 解：（1）∵， ∴，． 故答案为：， （2）∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴． （3）∵，， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 ． A．68 B．70 C．98 D．168 【深入探究】 （3）如图3，在中，，，点D在边上，点E，F在线段上，， ①试证明． ②若，的面积为1，的面积为12，则的面积为 ． 【答案】[模型呈现] ；[模型应用]C； [深入探究] ①证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②5． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质， [模型呈现]根据全等三角形的性质即可知，即可； [模型应用]由“K字”模型可知，，，则，，，，即可求得，结合图中实线所围成的图形的面积为； [深入探究] ①根据题意得，，则，即可证明；②利用三角形面积公式得，，由①知，则，结合求解即可． 解：[模型呈现]：， ∴， 故答案为：； [模型应用] 由“K字”模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∴图中实线所围成的图形的面积 ， 故选：C； [深入探究] ①略 ②设点B到线段的距离为h， ∵，的面积为1， ∴，， 由①知，则 ∵的面积为12， ∴ ， 故答案为：5． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共3个小题,每小题4分,共12分） 1．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知正方形地毯，建立如图所示平面直角坐标系．若点A的坐标为，则顶点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明即可解答． 解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 在正方形中，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 2．（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，一个正方体箱子卡在了两面墙之间，已知砌墙所用的每块砖块的厚度（每块砖厚度相等）为，则两面墙之间的距离的长为______． 【答案】45 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定．只需要利用证明得到，即可得到答案． 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． 3.（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，，为线段上一动点（不与点重合），连接，作，交线段于点，以下结论不正确的是（   ） A． B．当为的中点时， C．若，则 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，由三角形的外角性质可判定；利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，进而得到和的度数即可判定和；同理可证明，即可判定，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：、∵，，， ∴，故选项正确，不合题意； 、∵， ∴， ∴， 当为的中点时，， ∵， ∴，即，故选项正确，不合题意； 、若，则， ∴， ∴，故选项错误，符合题意； 、当时，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故选项正确，不合题意； 故选：． （二）填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 4．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，过点B作，且，延长至点E，使，连接并延长交边于点F，若，则________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，过点D作交的延长线于点G，分别利用证明出和，然后利用线段和差即可得解，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 解：如图，过点D作交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 5．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，，且，垂足为C，连接，若，则的面积为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，过A作于H，过E作于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 解：过A作于H，过E作于F，    ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，已知，，于，且，若，，则的长为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．根据同角的余角相等求出，再利用证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后求解即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即． ∴． 故答案为：3． 7．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，（，），，且，则点C坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”模型证明三角形全等是解题的关键．根据题意，分别作轴，轴，根据“一线三等角”模型证明，由此即可求解． 解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，，（，）， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点在轴的负半轴上， ∴点的横坐标为， ∴ 故答案为：． 8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，，D为线段BC上的一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，以下三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是__________（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理和外角性质．①根据三角形外角的性质即可得到；②证明，即可判断；③结合三角形内角和定理、等腰三角形的判定求出，利用证明，根据全等三角形的性质求出． 解：①， ， ，， ， ，故①正确； ②， ， 由①知， ， ， ，故②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 综上正确符合题意的有①②③， 故答案为：①②③． 9．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，点在边上，点在边上，过点作，垂足是E，，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④过点作，交边于点，若是的中点，则．其中正确的是_____．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质及垂直的判定，解题的关键是结合等腰三角形的等角关系，利用已知角的条件逐一推导各结论的正确性． 由得，结合推导与的关系验证①；通过、证，推导与的关系验证②；根据等边三角形判定条件判断③；利用、是中点的条件推导角的关系验证④． 解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴ ，故①正确； ∵ ， ∴ ， ∵ ，，， ∴． 由得，， ∴， 又∵，， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故②正确； 仅满足，是等腰三角形，无法推证任何一个内角为，不是等边三角形，故③错误； ∵ ， ∴ ①， 由得， ∴，②， 又，联立①②知③， ∴． 又∵是的中点，即， ∴④, 又⑤, 联立③④⑤得，, ∴，故④正确． 综上，正确的是①②④． 故答案为：①②④． （三）解答题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 10．（25-26七年级上·山东烟台·期中）为了测量一幢高楼高，在旗杆与楼之间选定一点P，测得旗杆顶C视线与测楼顶A视线两线夹角为，即．量得P到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为米，计算楼高是多少米？ 【答案】25米 【分析】利用全等三角形的判定方法得出，进而得出的长． 解：由题意知，米， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， 米，米， 米， 答：楼高是25米． 11．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，是 的中线，交的延长线于点，于点，是 上一点，连接 ． （1）证明：． （2）若，，求 的长． 【答案】（1）证明：∵是 的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2） 【分析】（1）证明，对应边相等即可得到． （2）证明，则，即，则题目可解． 解：（1）略 （2）解：由（1）， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，，垂足分别是，，，． （1）请说明和的数量关系，并说明理由； （2）求的长． 【答案】（1）解：，理由如下； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴； （2） 【分析】（1）根据条件可以得出，进而得出，即可解答； （2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题； 解：（1）略 （2）解：由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 13．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）的长为 【分析】（1）利用余角的性质即可证明； （2）易得，则有，由即可求解． 解：（1）证明：略； （2）解：由题意知，秋千的绳长不变，即， 由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：的长为． 14．（24-25八年级上·吉林白城·期末）在中，，，过点C作直线，于点M，于点N． （1）若在外（如图1）， 求证：； （2）若与线段相交（如图2），且，，则 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）利用互余关系证，再证，得到，，即可得出结论； （2）类似于（1）可证，得，，即可得出结论． 解：（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 15．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）问题：如图①，在直角三角形中，，于点，可知（不需要证明）； （1）探究：如图②，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点．证明：； （2）证明：如图③，点、在的边、上，点、在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； （3）应用：如图④，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5 【分析】（1）根据同角的余角相等，得出相等的角，再利用证明三角形全等即可； （2）利用证明三角形全等即可； （3）利用（2）的结论得出全等三角形，然后利用三角形的面积与底边的关系求解． 解：（1）证明：∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， 又， ∴； （2）证明：∵，且， ∴， ∵，且， ∴， 又∵， ∴； （3）解：同（2）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴与的面积之和为5． 16．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期中）在中，，直线经过点，且于．于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】（1）证明，可得，即可求证； （2）证明，可得，即可求证； （3）证明，可得，即可解答． 解：（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．（24-25八年级上·河南漯河·期中）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： ①如图1，是等腰直角三角形，，AE=BD，则_______； ②如图2，为正三角形，，则________； ③如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________． 【模型应用】 （2）如图4，将正方形放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为________． 【模型变式】 （3）如图5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的长． 【答案】①△BDF；②△CFD；③3；（2）（3）2cm 【分析】①根据等腰直角三角形的性质及和角关系，可得△AED≌△BDF； ②根据等边三角形的性质及和角关系，可得△BDE≌△CFD； ③根据正方形的性质及和角关系，可得△ABE≌△BCF，由全等三角形的性质即可求得EF的长； （2）分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，根据正方形的性质及和角关系，可得△COE≌△OAD，从而可求得OE、CE的长，进而得到点C的坐标； （3）由三个垂直及等腰直角三角形可证明△BCE≌△CAD，由全等三角形的性质即可求得BE的长． 解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90゜ ∴∠A=∠B=45゜ ∴∠BDF+∠BFD=180゜−∠B=135゜ ∵∠EDF=45゜ ∴∠ADE+∠BDF=180゜−∠EDF=135゜ ∴∠ADE=∠BFD 在△AED和△BDF中 ∴△AED≌△BDF（AAS） 故答案为：△BDF； ②∵△ABC是等边三角形 ∴∠B=∠C=60゜ ∴∠BDE+∠BED=180゜−∠B=120゜ ∵∠EDF=60゜ ∴∠BDE+∠CDF=180゜−∠EDF=120゜ ∴∠BED=∠CDF 在△BDE和△CFD中 ∴△BDE≌△CFD（AAS） 故答案为：△CFD； ③∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ABC=90゜，AB=BC ∴∠ABE+∠CBF=180゜−∠ABC=90゜ ∵AE⊥l，CF⊥l ∴∠AEB=∠CFB =90゜ ∴∠ABE+∠EAB=90゜ ∴∠EAB=∠CBF 在△ABE和△BCF中 ∴△ABE≌△BCF（AAS） ∴AE=BF=1，BE=CF=2 ∴EF=BE+BF=2+1=3 故答案为：3； （2）分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，如图所示 ∵四边形OABC是正方形 ∴∠AOC=90゜，AO=OC ∴∠COE+∠AOD=180゜−∠ACO=90゜ ∵AD⊥x轴，CE⊥x轴 ∴∠CEO=∠ADO =90゜ ∴∠ECO+∠COE=90゜ ∴∠ECO=∠AOD 在△COE和△OAD中 ∴△COE≌△OAD（AAS） ∴CE=OD，OE=AD ∵ ∴OD=1， ∴CE=1， ∵点C在第二象限 ∴点C的坐标为 故答案为：； （3）∵∠ACB=90゜ ∴∠BCE+∠ACD =90゜ ∵BE⊥CE，AD⊥CE ∴∠CEB=∠ADC=90゜ ∴∠BCE+∠CBE=90゜ ∴∠CBE=∠ACD 在△BCE和△CAD中 ∴△BCE≌△CAD（AAS） ∴BE=CD，CE=AD=6cm ∴BE=CD=CE－DE=6－4=2（cm） 【点拨】本题是三角形全等的综合，考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $