专题 14.7 全等三角形几何模型（半角）讲义 - 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦全等三角形半角模型核心知识点，系统梳理半角模型定义及等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形、正方形四类基本模型，通过45度、60度、通用三大题型构建从模型建构到问题解决的学习支架。 该资料以模型分类清晰、题型分层递进为特色，结合图形直观培养几何直观（数学眼光），通过构造全等的证明思路训练推理能力（数学思维），例题与变式题助力学生用数学语言表达几何关系。课中辅助教师系统授课，课后同步检测帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

专题 14.7 全等三角形几何模型（半角）讲义【四类模型三大题型】 目录 一.模型梳理 1 （一）定义： 1 （二）常见的模型及证法 1 1、基本半角模型1——等腰三角形 1 2、基本半角模型2——等边三角形 2 3、基本半角模型3——等腰直角三角形 2 4、基本半角模型4——正方形 2 二.题型精析 3 【题型1】45度半角模型 3 【题型2】60度半角模型 13 【题型3】通用半角模型 21 三.同步检测 34 解答题（共5大题，每小题20分，合计100分） 35 一.模型梳理 （一）定义： 半角模型是指：在一个已知角内部，构造一个大小为其一半的角，然后研究由此产生的几何关系。半角模型是初中几何中常见的一类重要模型，主要涉及在一个角内构造一个大小为其一半的角所产生的一系列几何性质和结论。 （二）常见的模型及证法 1、基本半角模型1——等腰三角形 条件 中，AB=AC，D、E是BC上一点，。 基本图形 结论 ，， 证明思路 在AC右侧作且AF=AD，证明即可得出结论。 2、基本半角模型2——等边三角形 条件 是等边三角形，D是外一点，，DB=DC，点E、F分别在AB、AC上， 基本图形 结论 ，， 证明思路 在AC延长线上取一点G，使CG=BE，证明即可得出结论。 3、基本半角模型3——等腰直角三角形 条件 在中，AB=AC，D、E是BC上一点， 基本图形 结论 ，， 证明思路 在AC右侧作且AF=AD，证明即可 4、基本半角模型4——正方形 条件 在正方形中，E、F分别是BC、CD上一点，且 基本图形 结论 EF=BE+DF 证明思路 延长CD至G，使DG=BE，证明即可 二.题型精析 【题型1】45度半角模型 【例题1】（23-24八年级下·全国·期中）探究问题： （1）方法感悟： 如图①，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且满足，连接，求证： ． 感悟解题方法，并完成下列填空． 证明：延长到点G，使，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即______． 又∵，， ∴__________． ∴， ∵， 又， ∴． 变化：在图①中，过点A作于点M，请直接写出和的数量关系____________； （2）方法迁移： 如图②，将沿斜边翻折得到，E，F分别是边上的点，，连接，过点A作于点M，试猜想之间有何数量关系，并证明你的猜想，试猜想和之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，E，F分别为，上的点，满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：与满足关系： ． 【答案】（1）；；；（2）解：，；证明如下： 如图，延长至点G，连接，使得， 将沿斜边翻折得到，点E、F分别为、边上的点，且， ，，， ， ， 即． 在和中， ， ， ，． 在和中， ， ， ， ，， ， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3） 【分析】（1）延长到点G，使，连接，证明，得出，，证明．得出，根据，得出．证明，得出，，根据，即可得出结论； （2）延长至点G，连接，使得，证明，得出，．证明，得出，根据，得出，根据，，得出，即可得出答案； （3）延长至点Q，连接，使得，证明，得出，，证明，得出，根据，得出． 解：（1）证明：延长到点G，使，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 又∵，， ∴． ∴， ∵， 又， ∴． ，理由如下： ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：当时，． 如图，延长至点Q，连接，使得， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ，， ， 当时，可使得． 【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，正方形的性质，补角的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 【变式1】（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，在正方形中，点分别在边上，，若，则的长为_______． 【答案】3 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，构造辅助线是解题的关键．将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则，先证，再证即可求解． 解：如答图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接， 则，． ， ． 在和中，， ， ，， ， 三点共线． ， ， ． 在和中， ， ． 故答案为：． 【变式2】（专题05正方形中的三大模型题-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版））如图，已知正方形的边长为8，点E，F分别在边、上，，当时，的面积是（    ） A．8 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】将绕点A顺时针旋转得到，根据旋转的性质可得A，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形的面积相等解答即可． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并利用旋转作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 解：如图，将绕点A顺时针旋转得到， 由旋转的性质得，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式】（25-26八年级下·云南昆明·阶段检测）探究问题： （1）方法感悟：如图甲，在正方形中，点E，F分别为边上的点，且满足，连接，求证：． 感悟解题方法，并完成下列填空： 延长到点G，使，连接． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即______． 又∵， ∴______． ∴______． ∴． （2）方法迁移：如图乙，将沿斜边翻折得到，点E，F分别为边上的点，且．试猜想之间有什么数量关系？并证明你的猜想． （3）问题拓展：如图丙，在四边形中，，E，F分别为上的点，且满足，请问：与满足什么关系，可使得？直接写出答案． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，折叠的性质： （1）证明，得到，证明，得到，即可； （2）延长到点G，使，同法（1），即可得出结论； （3）当，可得到，证明方法同法（2）． 解：（1）证明：延长到点G，使，连接． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 又∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：，证明如下： 如图所示，延长到点G，使， 由翻折的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：当，可得到； 延长到点G，使， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型2】60度半角模型 【例题2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，，，点E、F分别在，上，且．求证：． 【答案】证明：如图，延长到G，使，连接， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 由图可知，， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形的内角和，难点在于作辅助线构造出全等三角形，求一条边等于另两边之和，通常利用“截长补短”法求解． 延长到G，使，连接，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，全等三角形对应角相等可得，利用四边形的内角和等于360°，求出，然后求出，从而得到，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等量代换即可得证. 解：略 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）四边形中，，，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点M在上，点N在上，连接、、，若，求证：； （3）如图3，当点M在延长线上，点N在的延长线上，连接，若，求证：平分． 【答案】（1）证明：如图，连接， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴； （2）证明：延长到，使，连接 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴（），     ∴，， 即，， ∵在和中， ， ∴（）， ∴， 即； （3）证明：如图，作交于， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴（）， ∴， 即平分． 【分析】本题考查了全等三角形的综合应用． （1）连接，证明，得到，，即可证明； （2）延长到，使，连接，得到，根据得到，证明，得到，，，即，，证明，得到，即可证明； （3）作交于，可知，证明，得到，证明，得到，即可证明平分． 解：（1）略 （2）略 （3）略 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，，是边上一点，是的延长线上一点，且． （1）求证：； （2）若点在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由； （3）若将题中条件“，”改为“，，点在边上”，则当满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果即可） 【答案】（1）证明：，，， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）解：猜想、、之间的数量关系为：． 证明：，， ∴， 由（1），可得， ， ， 即， ， 在和中， ， ， 又，， ； （3）当时，仍然成立． 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定． （1）首先判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出； （2）猜想、、之间的数量关系为：．首先证明，据此推得，所以，最后根据，判断出即可． （3）当时，仍然成立，依照（2）的证明过程即可解答． 解：（1）略 （2）略 （3）解：当时，仍然成立， 证明：，， ∴， 由（1），可得， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 又，， ； ∴当时，仍然成立． 【变式3】（21-22七年级下·陕西西安·期末）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF． 【答案】问题背景：EF＝BE＋FD；实际应用：两凉亭之间的距离EF为25米 【分析】（1）根据△ABE≌△ADG可得BE=DG，根据△AEF≌△AGF得EF=GF，进而求得结果； （2）延长CD至H，使DH=BE，可证得△ADH≌△ABE，进而证得△FAH≌△FAE，进一步求得EF． 解：问题背景：∵∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°， ∴∠ADG=90°， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF=60°，∠BAD=120°， ∴∠BAE+DAF=120°-60°=60°， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， 故答案为：EF=BE+DF； 实际应用：如图2，延长CD至H，使DH=BE，连接AH， ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°， ∴∠ADH=∠B， 在△ADH和△ABE中， ， ∴△ADH≌△ABE（SAS）， ∴AE=AH，∠BAE=∠DAH， ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF， 在△AEF和△AHF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FH， ∵FH=DH+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， ∵BE=10米，DF=15米，   ∴EF=10+15=25（米）． 【点拨】本题主要考查的是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形并两次证全等是解题的关键． 【题型3】通用半角模型 【例题3】（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ． 【答案】证明：延长至点，使得，连接， 四边形中，，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】延长至点，使得，连接，根据同角的补角相等得，根据证明，则，进而证明，根据证明，得到，则． 解：略 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：在上截取，连接．    ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∴． （2） 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 解：（1）略 （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（1）中的结论不成立，， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴． ∵在与中， ， ∴， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型． （1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长到G，使，连接．在和中，已知了一组直角，，，因此两三角形全等，可得，，进而得．由此可证，即可得，进而可得结论． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 解：（1）延长到G，使，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 【变式3】（25-26八年级·江西南昌·阶段检测）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是______________； 探究延伸：如图2，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由． 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】问题背景：； 探究延伸：上述结论仍然成立，即EF=AE+CF，理由如下： 如图2，延长FC到G，使CG=AE，连接BG， ∵CG=AE，∠BCG=∠A=90°，BC=BA， ∴△BCG≌△BAE（SAS）， ∴BG=BE，∠ABE=∠CBG， ∵∠ABC=2∠EBF， ∴∠ABE+∠CBF=∠EBF， 即∠CBG+∠CBF=∠EBF， ∴∠GBF=∠EBF， 又∵BF=BF， ∴△BFG≌△BFE（SAS）， ∴GF=EF， 即GC+CF=EF， ∴AE+CF=EF ∴可得出结论：EF=AE+CF； 上述结论仍然成立，即EF=AE+CF，理由： 如图3，延长DC到H，使得CH=AE，连接BH， ∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BCH+∠BCD=180°， ∴∠BCH=∠BAE， ∵BA=BC，CH=AE， ∴△BCH≌△BAE（SAS）， ∴BE=HB，∠ABE=∠HBC， ∴∠HBE=∠ABC， 又∵∠ABC=2∠MBN， ∴∠EBF=∠HBF， ∵BF=BF， ∴△HBF≌△EBF（SAS）， ∴EF=HF=HC+CF=AE+CF； 实际应用：210海里 【分析】问题背景：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，即可得出结论：EF=AE+CF； 探究延伸1：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论：EF=AE+CF； 探究延伸2：延长DC到H，使得CH=AE，连接BH，先证明△BCH≌△BAE，即可得到BE=HB，∠ABE=∠HBC，再证明△HBF≌△EBF，即可得出EF=HF=HC+CF=AE+CF； 实际应用：连接EF，延长BF交AE的延长线于G，根据题意可转化为如下的数学问题：在四边形GAOB中，OA=OB，∠A+∠B=180°，∠AOB=2∠EOF，∠EOF的两边分别交AG，BG于E，F，求EF的长．再根据探究延伸2的结论：EF=AE+BF，即可得到两舰艇之间的距离． 解：问题背景： 如图1，延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论：EF=AE+CF； 故答案为：EF=AE+CF； 探究延伸1：略 探究延伸2：略 实际应用： 如图4，连接EF，延长BF交AE的延长线于G， 因为舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，所以∠AOB=140°， 因为指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，所以∠EOF=70°，所以∠AOB=2∠EOF． 依题意得，OA=OB，∠A=60°，∠B=120°，所以∠A+∠B=180°， 因此本题的实际的应用可转化为如下的数学问题： 在四边形GAOB中，OA=OB，∠A+∠B=180°，∠AOB=2∠EOF，∠EOF的两边分别交AG，BG于E，F，求EF的长． 根据探究延伸2的结论可得：EF=AE+BF， 根据题意得，AE=75×1.2=90（海里），BF=100×1.2=120（海里）， 所以EF=90+120=210（海里）． 答：此时两舰艇之间的距离为210海里． 【点拨】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，解答时注意类比思想的灵活应用． 【变式4】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）（1）【阅读理解】如图，已知中，，点、是边上两动点，且满足， 求证：． 我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． 小明的解题思路：将半角两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的，然后证明与半角形成的全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系． 请你根据小明的思路写出完整的解答过程． 证明：将绕点旋转至，使与重合，连接， …… （2）【应用提升】如图，正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线点运动；点点同时出发，以相同的速度沿射线方向向右运动，当点到达点时，点也停止运动，连接，过点作的垂线交过点平行于的直线于点，与相交于点，连接，设点运动时间为， ①求的度数； ②试探索在运动过程中的周长是否随时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值． 【答案】（1）如图1，将绕点旋转至，使与重合，连接， ∵绕点旋转至， ∴ ∴，，， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （2）①；②不变，2 【分析】（1）如图1，将绕点旋转至，使与重合，连接，根据旋转的性质结合已知可证，再根据三角形三边关系定理即可证得结论； （2）①如图2，根据已知结合正方形性质证得，推出，即可证出结论； ②如图3，延长到，使，连接，证出，得到，，证出，由全等三角形的性质得出，由此可得出的周长是定值8． 解：（1）略 （2）①如图2， 由题意： ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴ ∴ ②的周长不随时间的变化而变化， 如图3，延长到，使，连接， 在和中 ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 在和 中 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4 ∴的周长 ∴的周长是定值8． 【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键． 三.同步检测 解答题（共5大题，每小题20分，合计100分） 1．（2026九年级·全国·专题练习）如图，是边长为2的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，以点为顶点作，点、分别在、上． （1）如图①，当时，则的周长为______； （2）如图②，求证：． 【答案】（1）4；（2）如图，延长至点，使得，连接， ∵是等边三角形，是顶角的等腰三角形， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ∵， ， 在和中， ． ， 又∵， ． 【分析】（1）首先证明△BDM≌△CDN，进而得出△DMN是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，NC=BM=DM=MN，即可解决问题； （2）延长至点，使得，连接，首先证明，再证明，得出，进而得出结果即可． 解：（1）∵是等边三角形，， ， ∴是等边三角形，，则， ∵是顶角的等腰三角形， ， ， 在和中， ， ，， ∵， ∴是等边三角形，， ，， ∴的周长． （2）略 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定，等边三角形及等腰三角形的性质是解题的关键． 2．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程． （1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG； （2）证明：EF＝BE＋DF 【答案】（1）DF；（2）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°， 在△ADF和△ABG中 ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴AF=AG，∠DAF=∠GAB， ∵∠EAF=45°， ∴∠DAF+∠EAB=45°， ∴∠GAB+∠EAB=45°， ∴∠GAE=∠EAF =45°， 在△AGE和△AFE中0 ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴GE=EF， ∴EF＝GE=BE+GB=BE＋DF 【分析】（1）由于△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系，根据旋转的性质知BG=DF，从而得到辅助线的做法； （2）先证明△ADF≌△ABG，得到AG=AF，∠GAB=∠DAF，结合∠EAF＝45°，易知∠GAE=45°，再证明△AGE≌△AFE即可得到EF＝GE=BE+GB=BE＋DF 解：（1）根据旋转的性质知BG=DF，从而得到辅助线的做法：延长CB到点G，使BG=DF，连接AG； （2）略． 【点拨】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转方法提示构造全等三角形，属于中考常考题型． 3．（24-25七年级下·山东济南·阶段检测）阅读下列学习内容： （1）如图1，在四边形中，，，，，分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点，使，连接． 则由探究结果知，图中线段、、之间的数量关系为_____． （2）根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 【答案】（1）；（2）仍然成立， 理由如下： 延长至点G，使，连接， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴, ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴； （3）5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质， （1）根据可得答案； （2）延长至点G，使，连接，再证明，可得，进而证明，根据全等三角形的对应边相等得出答案； （3）将旋转至，可知，可证明，接下来可证，即可得出答案. （1）解：. 故答案为：； （2）略 （3）解：将旋转至， 可知， ∴，， ∴， ∴， ∴. 4．（20-21七年级下·四川成都·期末）如图，，，，，． （1）求的度数； （2）以E为圆心，以长为半径作弧；以F为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点G，试探索的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由． 【答案】（1）45°；（2）△EFG是直角三角形，理由如下： 如图，连接DE， 由（1）知，∠ACE＋∠BCF＝45°， ∵∠ACD＝∠BCF， ∴∠ACE＋∠ACD＝45°，即∠DCE＝45°， ∵∠ECF＝45°， ∴∠ECF＝∠ECD， 在△ECF和△ECD中， ， ∴△ECF≌△ECD（SAS）， ∴DE＝EF， 在△CAD和△CBF中， ， ∴△CAD≌△CBF（SAS）， ∴AD＝BF，∠CAD＝∠B， ∵FG＝BF， ∴FG＝AD， ∵∠ACB＝90°，CA＝CB， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠CAB＝∠B＝45°， ∴∠DAE＝∠CAB＋∠B＝90°， 在△EFG和△EDA中， ， ∴△EFG≌△EDA（SSS）， ∴∠EGF＝∠EAD＝90°， ∴△EFG是直角三角形． 【分析】（1）由CA⊥CB，可得∠ACB＝90°，再根据∠ECF＝45°，即可得出答案； （2）如图，连接DE，先证明△ECF≌△ECD（SAS），可得DE＝EF，再证明△CAD≌△CBF（SAS），可得AD＝BF，∠CAD＝∠B，即可得出∠DAE＝90°，再利用SSS证明△EFG≌△EDA，即可得出答案． 解：（1）∵CA⊥CB， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACE＋∠ECF＋∠BCF＝90°， ∵∠ECF＝45°， ∴∠ACE＋∠BCF＝90°−∠ECF＝45°； （2）略 【点拨】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形性质，直角三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质等知识，解题关键是添加辅助线构造全等三角形，熟练运用全等三角形判定和性质解决问题． 5．（25-26八年级下·广东广州·期末）（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系； （2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：； （3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 【答案】（1）；（2）证明：在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，如图， ∵∠ADF＝90°，∠ADF＋∠ADG＝180°， ∴∠ADG＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠B＝∠ADG＝90°， ∵BE＝DG，AB＝AD， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE， ∴∠EAG＝∠EAD＋∠DAG＝∠EAD＋∠ABE＝∠BAD， ∵， ∴∠EAF＝∠FAG， 又∵AF＝AF，AE＝AG， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG＝DF＋DG＝EB＋DF； （3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由如下： 如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）． ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG＋∠EAD＝∠DAF＋∠EAD＝∠EAF＝∠BAD． ∴∠GAE＝∠BAD=∠EAF． ∵AE＝AE，AG＝AF． ∴△AEG≌△AEF． ∴EG＝EF， ∵EG＝BE−BG ∴EF＝BE−FD． 【分析】（1）在CD的延长线上截取DM＝BE，连接AM，证出△ABE≌△ADM，根据全等三角形的性质得出BE＝DM，再证明△AEF≌△AMF，得EF＝FM，进而即可得出答案； （2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，证出△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性质得出BE＝DG，再证明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，即可得出答案； （3）按照（2）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（2）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE−BG＝BE−DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． （1）解：，理由如下： 延长CD，使DM=BE，连接AM， ∵在正方形中，AB=AD，∠B=∠ADM=90°， ∴， ∴∠BAE=∠DAM，AE=AM， ∵， ∴∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF =90°-45°=45°， ∴∠EAF=∠MAF=45°， 又∵AF=AF，AE=AM， ∴， ∴EF=MF=MD+DF=BE+DF； （2）略 （3）略 【点拨】本题考查了三角形综合题，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 14.7 全等三角形几何模型（半角）讲义【四类模型三大题型】 目录 一.模型梳理 1 （一）定义： 1 （二）常见的模型及证法 1 1、基本半角模型1——等腰三角形 1 2、基本半角模型2——等边三角形 2 3、基本半角模型3——等腰直角三角形 2 4、基本半角模型4——正方形 2 二.题型精析 3 【题型1】45度半角模型 3 【题型2】60度半角模型 6 【题型3】通用半角模型 7 三.同步检测 10 解答题（共5大题，每小题20分，合计100分） 10 一.模型梳理 （一）定义： 半角模型是指：在一个已知角内部，构造一个大小为其一半的角，然后研究由此产生的几何关系。半角模型是初中几何中常见的一类重要模型，主要涉及在一个角内构造一个大小为其一半的角所产生的一系列几何性质和结论。 （二）常见的模型及证法 1、基本半角模型1——等腰三角形 条件 中，AB=AC，D、E是BC上一点，。 基本图形 结论 ，， 证明思路 在AC右侧作且AF=AD，证明即可得出结论。 2、基本半角模型2——等边三角形 条件 是等边三角形，D是外一点，，DB=DC，点E、F分别在AB、AC上， 基本图形 结论 ，， 证明思路 在AC延长线上取一点G，使CG=BE，证明即可得出结论。 3、基本半角模型3——等腰直角三角形 条件 在中，AB=AC，D、E是BC上一点， 基本图形 结论 ，， 证明思路 在AC右侧作且AF=AD，证明即可 4、基本半角模型4——正方形 条件 在正方形中，E、F分别是BC、CD上一点，且 基本图形 结论 EF=BE+DF 证明思路 延长CD至G，使DG=BE，证明即可 二.题型精析 【题型1】45度半角模型 【例题1】（24-25八年级下·全国·期中）探究问题： （1）方法感悟： 如图①，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且满足，连接，求证： ． 感悟解题方法，并完成下列填空． 证明：延长到点G，使，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即______． 又∵，， ∴__________． ∴， ∵， 又， ∴． 变化：在图①中，过点A作于点M，请直接写出和的数量关系____________； （2）方法迁移： 如图②，将沿斜边翻折得到，E，F分别是边上的点，，连接，过点A作于点M，试猜想之间有何数量关系，并证明你的猜想，试猜想和之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，E，F分别为，上的点，满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：与满足关系： ． 【变式1】（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，在正方形中，点分别在边上，，若，则的长为_______． 【变式2】（专题05正方形中的三大模型题-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版））如图，已知正方形的边长为8，点E，F分别在边、上，，当时，的面积是（    ） A．8 B．16 C．20 D．24 【变式】（25-26八年级下·云南昆明·阶段检测）探究问题： （1）方法感悟：如图甲，在正方形中，点E，F分别为边上的点，且满足，连接，求证：． 感悟解题方法，并完成下列填空： 延长到点G，使，连接． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即______． 又∵， ∴______． ∴______． ∴． （2）方法迁移：如图乙，将沿斜边翻折得到，点E，F分别为边上的点，且．试猜想之间有什么数量关系？并证明你的猜想． （3）问题拓展：如图丙，在四边形中，，E，F分别为上的点，且满足，请问：与满足什么关系，可使得？直接写出答案． 【题型2】60度半角模型 【例题2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，，，点E、F分别在，上，且．求证：． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）四边形中，，，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点M在上，点N在上，连接、、，若，求证：； （3）如图3，当点M在延长线上，点N在的延长线上，连接，若，求证：平分． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，，是边上一点，是的延长线上一点，且． （1）求证：； （2）若点在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由； （3）若将题中条件“，”改为“，，点在边上”，则当满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果即可） 【变式3】（21-22七年级下·陕西西安·期末）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF． 【题型3】通用半角模型 【例题3】（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ． 【变式1】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【变式3】（25-26八年级·江西南昌·阶段检测）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是______________； 探究延伸：如图2，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由． 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 【变式4】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）（1）【阅读理解】如图，已知中，，点、是边上两动点，且满足， 求证：． 我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． 小明的解题思路：将半角两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的，然后证明与半角形成的全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系． 请你根据小明的思路写出完整的解答过程． 证明：将绕点旋转至，使与重合，连接， …… （2）【应用提升】如图，正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线点运动；点点同时出发，以相同的速度沿射线方向向右运动，当点到达点时，点也停止运动，连接，过点作的垂线交过点平行于的直线于点，与相交于点，连接，设点运动时间为， ①求的度数； ②试探索在运动过程中的周长是否随时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值． 三.同步检测 解答题（共5大题，每小题20分，合计100分） 1．（2026九年级·全国·专题练习）如图，是边长为2的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，以点为顶点作，点、分别在、上． （1）如图①，当时，则的周长为______； （2）如图②，求证：． 2．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程． （1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG； （2）证明：EF＝BE＋DF 3．（24-25七年级下·山东济南·阶段检测）阅读下列学习内容： （1）如图1，在四边形中，，，，，分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点，使，连接． 则由探究结果知，图中线段、、之间的数量关系为_____． （2）根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 4．（20-21七年级下·四川成都·期末）如图，，，，，． （1）求的度数； （2）以E为圆心，以长为半径作弧；以F为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点G，试探索的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由． 5．（25-26八年级下·广东广州·期末）（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系； （2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：； （3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $