专题 14.11 全等三角形辅助线作法 讲义 - 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学全等三角形辅助线作法核心知识点，前置梳理全等三角形5大判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）及解题思维，通过六大辅助线模型（倍长中线、角平分线垂线等）搭建学习支架，衔接基础判定与复杂图形构造。 该资料以模型化梳理和题型分类为特色，八大题型涵盖连接两点、截长补短等，结合例题与变式题，培养学生几何直观（观察图形特征）、推理能力（构造全等逻辑），课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固提升，有效解决“不会画辅助线”痛点。

专题 14.11 全等三角形辅助线作法讲义【六大方法八大题型】 目录 一.知识梳理 1 【专题概述】 1 【基础知识前置】 1 【全等三角形6大必考辅助线模型】 2 二.题型精析 3 【题型 1】连接两点 3 【题型 2】作垂线（高） 4 【题型 3】作平行线 6 【题型 4】倍长中线模型经典证明 7 【题型 5】角平分线作垂直模型 8 【题型 6】截长补短模型（期末压轴） 9 【题型 7】构造一线三垂直（K字）全等 11 【题型 8】延长相交 12 一.知识梳理 【专题概述】 全等三角形是八年级几何的核心枢纽，是线段相等、角度相等证明的终极工具，而辅助线是突破全等难题的关键。多数同学会判定定理，但遇复杂图形无法构造全等。本专题集中攻克：全等判定辨析 + 六大必考辅助线模型+八大典型题型拆解+分层训练，彻底解决“看不出、不会画、证不出”的几何痛点。 【基础知识前置】 1、全等三角形5大判定定理 通用判定（任意三角形）：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）. 直角三角形专属：HL（斜边直角边）. 【特别提示】AAA、SSA 不能判定全等. 2、全等解题核心思维 证边相等或角相等：优先证全等. 题目条件不足时：作辅助线，构造全等三角形. 【全等三角形6大必考辅助线模型】 模型1：倍长中线模型 适用条件：题干出现"中点、中线、平分线段”。 辅助线作法：延长中线，使延长部分等于中线长，构造“SAS”全等。 模型结论：1. 构造一组旋转全等三角形；2. 实现线段转移、角度转移；3. 可证明：AB=CE、AB∥CE。 解题口诀：见中线，要倍长，构造全等边角转。 模型2：角平分线垂线模型 适用条件：题干出现“角平分线”，需要证边等、距离等。 辅助线作法：过角平分线上一点，向角两边作垂线段。 模型结论：垂线段相等，直接构造HL/AAS全等。 适用场景：角度求值、线段相等、周长转化、面积问题。 模型3：截长补短模型 适用条件：题干出现线段和差： 类结论证明。 辅助线作法： 截长：在长线段上截取一段等于短线段； 补短：延长短线段，补成长线段。 核心目的：把“线段和差问题”转化为“线段相等问题”，再证全等。 模型4：平行线转移角模型 适用条件：图形分散、角度条件不足，无直接等角。 辅助线作法：过定点作已知线段平行线。 模型结论：利用平行得内错角、同位角相等，补齐全等所需角条件。 模型5：作公共垂线或高模型 适用条件：图形含垂直、直角，但无完整直角三角形。 辅助线作法：过端点作水平/竖直垂线，构造直角三角形。 高频考法：一线三垂直（K字模型）全等。 模型6：连接线段模型 适用条件：图形中有公共端点、对称点、中点连线。 辅助线作法：连接两点，构造公共边。 核心逻辑：有公共边，全等秒出，大量基础证明题仅需连辅助线。 二.题型精析 【题型 1】连接两点 【例题1】（23-24八年级上·广西来宾·期中）如图，在四边形中，于点B，于点D，点E，F分别在，上，，． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积； （3）猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 【变式1】（24-25八年级上·广东珠海·阶段检测）如图，在四边形中，，，则与的关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式2】（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 【变式3】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，点为边的中点，点分别在边上，且，连接．分别过点作的垂线，垂足分别为，若，则四边形的面积为__________． 【题型 2】作垂线（高） 【例题2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题情境】 如图①，，点和点分别在的边和上，连接．和的平分线交于点，作，交于． 【问题探究】 （1）直接填空： ； ； 可直接利用（1）中得到的结论解决下面的问题： 【问题解决】 （2）求证：； 【问题拓展】 （3）连接，如图②，若，和的面积分别为和，求线段的长． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连接．若记为α，为β，则的度数为（   ） A．120° B．135° C．150° D．165° 【变式2】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 【变式3】（25-26八年级上·江西新余·期中）【教材呈现】如图是八年级上册数学教材第49页的部分内容． 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图1，是的平分线，是上任一点，作，，垂足分别为点和点，将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1，，点在上，，，垂足分别为，，求证：． 【定理证明】结合图1，写出“角平分线的性质定理”的证明过程． 【定理应用】（1）如图2，的周长是12，分别平分和，于点，若，则的面积为_____． （2）如图3，，点在上，点、分别在和上，连接和，若，求证：； 【题型 3】作平行线 【例题3】（24-25八年级上·福建龙岩·期中）已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． （1）求证：； （2）当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，中，是边的中点，过作直线交于点，交的延长线于点，且．若，，则____． 【变式2】（24-25八年级上·贵州黔西南·期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 【变式3】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． （1）当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； （2）猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【题型 4】倍长中线模型经典证明 【例题4】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图已知中，为边上的中线，平分交边于点，，，则_____． 【变式1】24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，AD为中线，，，，则AC长（    ） A．2.5 B．2 C．1 D．1.5 【变式2】（25-26八年级上·北京海淀·期中）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过思考： （1）由已知和作图能得到的理由是___________． A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．HL （2）求得AD的取值范围是___________． A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，，求证：． 【变式3】（25-26八年级上·北京·期中）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图①，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、、集中在中，利用三角形三边的关系，探究得出的取值范围是___________； （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过作与相交于点，且．求证：平分． 【题型 5】角平分线作垂直模型 【例题5】（25-26八年级上·重庆九龙坡·期末）如图，平分的外角，过点作的垂线，垂足为点，．若，，则的长为 ___________________． 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（   ） A． B．2 C． D． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则________． 【变式3】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为______． 【题型 6】截长补短模型（期末压轴） 【例题6】（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图1，AD是的角平分线，，试探究线段AB，BD，AC之间的数量关系．由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以可以尝试将角平分线一侧的三角形翻折（构造全等三角形），小明的解题思路如下： ①如图2，在AC上取一点E，使，连接DE． ②由，AD平分，AD是公共边，可得（理由：____________），则，． ③由，则． 又因为，所以，则__________ 又由，得． ④根据上述的推理可知AB，BD，AC之间的数量关系为__________________． （1）请你补全小明的解题思路． （2）参考小明的方法，解决下面的问题： 如图3，中，，，BD平分，求证：． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，为的角平分线，在边上取点E，使，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的角平分线，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24八年级上·河南开封·期中）在中，，如图①，当，为的角平分线时，在上截取，连接，易证． （1）如图②，当，为的角平分线时，请直接写出你的猜想： （2）如图③，当为的外角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 【题型 7】构造一线三垂直（K字）全等 【例题7】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； （2）问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； （3）拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____．    【变式3】（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）已知：中，，，连接，在直线右侧作, （1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于F，若；求 （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点P．若．求证：； （3）如图3，当点D在延长线上时，连接交的延长线于点P,请直接写出的值（不需要计算过程）． 【题型 8】延长相交 【例题8】24-25八年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，的角平分线交于D，交的角平分线于E，过点E作，交于点F，求证：． 【例题1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，．过作的角平分线的垂线，垂足为，点为边的中点连结，，则的最大值为（   ） A．10 B．9.2 C．8 D．7.5 【例题2】（24-25八年级上·新疆·期末）如图，动点C与线段构成，其边长满足，，．点D在的平分线上，且，的面积的最大值为（　　） A． B． C．9 D． 【例题3】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，点为的中点，的边过点，且，，平分，，，则的长为________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 14.11 全等三角形辅助线作法讲义【六大方法八大题型】 目录 一.知识梳理 1 【专题概述】 1 【基础知识前置】 1 【全等三角形6大必考辅助线模型】 2 二.题型精析 3 【题型 1】连接两点 3 【题型 2】作垂线（高） 8 【题型 3】作平行线 15 【题型 4】倍长中线模型经典证明 21 【题型 5】角平分线作垂直模型 28 【题型 6】截长补短模型（期末压轴） 32 【题型 7】构造一线三垂直（K字）全等 39 【题型 8】延长相交 46 一.知识梳理 【专题概述】 全等三角形是八年级几何的核心枢纽，是线段相等、角度相等证明的终极工具，而辅助线是突破全等难题的关键。多数同学会判定定理，但遇复杂图形无法构造全等。本专题集中攻克：全等判定辨析 + 六大必考辅助线模型+八大典型题型拆解+分层训练，彻底解决“看不出、不会画、证不出”的几何痛点。 【基础知识前置】 1、全等三角形5大判定定理 通用判定（任意三角形）：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）. 直角三角形专属：HL（斜边直角边）. 【特别提示】AAA、SSA 不能判定全等. 2、全等解题核心思维 证边相等或角相等：优先证全等. 题目条件不足时：作辅助线，构造全等三角形. 【全等三角形6大必考辅助线模型】 模型1：倍长中线模型 适用条件：题干出现"中点、中线、平分线段”。 辅助线作法：延长中线，使延长部分等于中线长，构造“SAS”全等。 模型结论：1. 构造一组旋转全等三角形；2. 实现线段转移、角度转移；3. 可证明：AB=CE、AB∥CE。 解题口诀：见中线，要倍长，构造全等边角转。 模型2：角平分线垂线模型 适用条件：题干出现“角平分线”，需要证边等、距离等。 辅助线作法：过角平分线上一点，向角两边作垂线段。 模型结论：垂线段相等，直接构造HL/AAS全等。 适用场景：角度求值、线段相等、周长转化、面积问题。 模型3：截长补短模型 适用条件：题干出现线段和差： 类结论证明。 辅助线作法： 截长：在长线段上截取一段等于短线段； 补短：延长短线段，补成长线段。 核心目的：把“线段和差问题”转化为“线段相等问题”，再证全等。 模型4：平行线转移角模型 适用条件：图形分散、角度条件不足，无直接等角。 辅助线作法：过定点作已知线段平行线。 模型结论：利用平行得内错角、同位角相等，补齐全等所需角条件。 模型5：作公共垂线或高模型 适用条件：图形含垂直、直角，但无完整直角三角形。 辅助线作法：过端点作水平/竖直垂线，构造直角三角形。 高频考法：一线三垂直（K字模型）全等。 模型6：连接线段模型 适用条件：图形中有公共端点、对称点、中点连线。 辅助线作法：连接两点，构造公共边。 核心逻辑：有公共边，全等秒出，大量基础证明题仅需连辅助线。 二.题型精析 【题型 1】连接两点 【例题1】（23-24八年级上·广西来宾·期中）如图，在四边形中，于点B，于点D，点E，F分别在，上，，． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积； （3）猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）证明：如图，连接，    在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）48 （3） 猜想， 证明：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练的确定全等三角形是解本题的关键． （1）连接，直接利用证明，可得，再证明，即可得到结论； （2）由， 可得，从而可得四边形的面积； （3）先证明，，可得，再结合三角形的外角的性质可得结论． 解：（1）略 （2）由（1）得，， ∵，， ， ∴； （3）略 【变式1】（24-25八年级上·广东珠海·阶段检测）如图，在四边形中，，，则与的关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；先连接，由于，，，利用可证，于是． 解：如图所示，连接， 在和中， ， ， ． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 【答案】 【分析】连接，利用平行线的性质和全等三角形的判定得出、及是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解． 解：如图，连接， ， ， 和中， ， ，， ， ， 即， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查的知识点是根据平行线判定与性质求角度、连接两点作辅助线、等腰三角形的性质和判定，解题关键是利用辅助线构造等腰三角形． 【变式3】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，点为边的中点，点分别在边上，且，连接．分别过点作的垂线，垂足分别为，若，则四边形的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出是等腰直角三角形，结合三线合一得，，则都是等腰直角三角形，再通过证明，则，再通过证明，即可作答． 解：连接，如图所示： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点为边的中点， ∴，， ∴都是等腰直角三角形， ∴，， 则， ∴， ∴，，， ∵分别过点作的垂线，垂足分别为， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴四边形的面积 即四边形的面积为 故答案为： 【题型 2】作垂线（高） 【例题2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题情境】 如图①，，点和点分别在的边和上，连接．和的平分线交于点，作，交于． 【问题探究】 （1）直接填空： ； ； 可直接利用（1）中得到的结论解决下面的问题： 【问题解决】 （2）求证：； 【问题拓展】 （3）连接，如图②，若，和的面积分别为和，求线段的长． 【答案】（1）45；180；（2）证明：由上已得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）16 【分析】（1）先求出的度数，再求出的度数，然后根据三角形的内角和定理求解即可； （2）先得出，，再证出即可得证； （3）过点作于点，作于点，先利用三角形的面积公式求出的长，再证出，则，进而可得的长，然后根据全等三角形的性质可得，由此即可得． （1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴在四边形中，． （2）略 （3）解：如图，过点作于点，作于点， ∵的面积为60，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 由上已证：， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连接．若记为α，为β，则的度数为（   ） A．120° B．135° C．150° D．165° 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，平行线的判定以及性质等知识．过点B作交的延长线于点G，证明，可得．又点D是的中点，即得，从而可得，得，即可得． 解：过点B作交的延长线于点G，如图： ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵点D是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 【答案】3 【分析】在上取点，使得，连接、，过点作于点，利用三角形面积公式求出，再证明，得到，则当、、三点共线，且时，有最小值为的长，即可得解． 解：如图，在上取点，使得，连接、，过点作于点， 在锐角三角形中，，的面积为6， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线，且时，有最小值为的长， 的最小值为3． 【变式3】（25-26八年级上·江西新余·期中）【教材呈现】如图是八年级上册数学教材第49页的部分内容． 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图1，是的平分线，是上任一点，作，，垂足分别为点和点，将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1，，点在上，，，垂足分别为，，求证：． 【定理证明】结合图1，写出“角平分线的性质定理”的证明过程． 【定理应用】（1）如图2，的周长是12，分别平分和，于点，若，则的面积为_____． （2）如图3，，点在上，点、分别在和上，连接和，若，求证：； 【答案】定理证明：证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 定理应用：（1）12； （2）证明：过点P作于点D，于点E， 则， ∵ ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 【分析】定理证明：由垂直可得，然后证明，进而问题可求证； 定理应用： （1）连接，过点O分别作，垂足分别为E、F，则有，然后根据三角形的面积公式可进行求解； （2）过点P作于点D，于点E，则，，由已知与平角性质可得，即得，． 解：[定理证明]：略 [定理应用]： （1）连接，过点O分别作，垂足分别为E、F，如图所示： ∵，分别平分和，于点D， ， ∴， ∴ ， ∵的周长是12， 即， ∴； 故答案为：12；　 （2）略 【点拨】本题主要考查角平分线的性质定理．熟练掌握全等三角形的性质与判定，角平分线的性质定理证明和运用，三角形面积公式，平角性质，是解题的关键． 【题型 3】作平行线 【例题3】（24-25八年级上·福建龙岩·期中）已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． （1）求证：； （2）当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 【答案】（1）证明：过点作交于， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形， 理由： 连结， 于， ，， ， 又，， ，， ，， 由（1）知，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 为等边三角形； 【分析】（1）过点作交于，证明,根据全等三角形的性质得出结论； （2）连结，根据补角的概念得到，根据等腰三角形的判定定理得到，进而得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键. 解：（1）略 （2）略 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，中，是边的中点，过作直线交于点，交的延长线于点，且．若，，则____． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．如图，过点作交的延长线于点，由“”可证，可得，可得，可得，即可求解． 解：如图，过点作交的延长线于点， ，且，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 【变式2】（24-25八年级上·贵州黔西南·期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出． 解：过作的平行线交于， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ∵CQ＝PA， ∴ 在中和中， ， ≌， ， 于，是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式3】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． （1）当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； （2）猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）；（2）， 理由如下： 过E作交于F， ∵是等边三角形， ∴，． ∴，，即． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴，即． 【分析】（1）由是等边三角形，得到，，由三线合一得到，，由，得，由外角的性质得到，得到，则，证得； （2）过作交于，先证明是等边三角形，得到，再用证明，得到，进而证得猜想 解：（1）∵是等边三角形， ∴，． ∵E为的中点， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）略 【点拨】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是解题的关键． 【题型 4】倍长中线模型经典证明 【例题4】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图已知中，为边上的中线，平分交边于点，，，则_____． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线和中线，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长至点，使得，连接，则，证明，得到，，再推出，从而得到，即可得解． 解：如图，延长至点，使得，连接， ， ， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 【变式1】24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，AD为中线，，，，则AC长（    ） A．2.5 B．2 C．1 D．1.5 【答案】D 【分析】延长AD到E，使AD=ED，连接BE，证明△BED≌△CAD，根据全等三角形的性质可得BE=AC，∠BED=∠CAD=90°，在Rt△AEB中，∠BAE=30°，，根据30°角直角三角形的性质即可求得AC的长． 解：延长AD到E，使AD=ED，连接BE， ∵AD为中线， ∴BD=CD， 在△BED和△CAD中， ∴△BED≌△CAD（SAS）， ∴BE=AC，∠BED=∠CAD， ∵， ∴∠CAD=90°， ∴∠BED=∠CAD=90°， 在Rt△AEB中，∠BAE=30°，， ∴AC==1.5． 故选D． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质、30°角直角三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·北京海淀·期中）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过思考： （1）由已知和作图能得到的理由是___________． A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．HL （2）求得AD的取值范围是___________． A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）B；（2）C；（3）证明：延长到点，连接，如图， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到点，连接，证明得，，再证明，，从而可证明，得，进一步可得结论． （1）解：延长到，使，连接，如图1， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B； （2）解：由（1）知， ∴， ∵，, 即， ∴， ∵， ∴， 故选：C； （3） 略 【变式3】（25-26八年级上·北京·期中）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图①，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、、集中在中，利用三角形三边的关系，探究得出的取值范围是___________； （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过作与相交于点，且．求证：平分． 【答案】（1）；（2）证明：延长到点M，使，连接． 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即平分． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点E，使，连接，可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围； （2）延长到点M，使，连接．证明，得出，，得出，由可得，从而可得，故可得平分． （1）解：延长到点E，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， 即， 解得， 的取值范围是； 故答案为：； （2）略 【题型 5】角平分线作垂直模型 【例题5】（25-26八年级上·重庆九龙坡·期末）如图，平分的外角，过点作的垂线，垂足为点，．若，，则的长为 ___________________． 【答案】 【分析】此题考查了等角对等边，全等三角形的判定与性质，添加合适的辅助线构建全等三角形是解题的关键．延长交于点，根据等角对等边推出，易证，根据全等三角形的性质得出，，再根据线段的和差求出，即可求解． 解：如图，的延长线交于点， ， ， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质．延长交于点，作与点，利用角平分线的定义可证，可推出，，再根据三角形面积可求得，从而得到，最后利用三角形中线的性质可知，即可求得答案． 解：延长交于点，作与点，如图所示， ，是的角平分线， ，， 在和中， ， ， ，， ，，，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则________． 【答案】61 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．延长交于点，证明，推出，利用三角形的外角性质计算即可求解． 解：延长交于点， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：61． 【变式3】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积；延长交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，由三角形的中线得，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积的求法是解题的关键． 解：延长交于， 是的角平分线，， ， ， ， （）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型 6】截长补短模型（期末压轴） 【例题6】（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图1，AD是的角平分线，，试探究线段AB，BD，AC之间的数量关系．由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以可以尝试将角平分线一侧的三角形翻折（构造全等三角形），小明的解题思路如下： ①如图2，在AC上取一点E，使，连接DE． ②由，AD平分，AD是公共边，可得（理由：____________），则，． ③由，则． 又因为，所以，则__________ 又由，得． ④根据上述的推理可知AB，BD，AC之间的数量关系为__________________． （1）请你补全小明的解题思路． （2）参考小明的方法，解决下面的问题： 如图3，中，，，BD平分，求证：． 【答案】（1）SAS，，，证明过程见详解；（2）见详解 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）在BC上截取，连接，由题意易证，则有，然后可得，进而问题可求证． （1）解：，理由如下： 如图2，在AC上取一点E，使，连接DE． ∵AD平分， ∴， ∵，， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． （2）证明：在BC上截取，连接，如图所示： ∵BD平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，为的角平分线，在边上取点E，使，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，在上截取，证明，推出，根据等边对等角，结合三角形的内角和定理和平角的定义，进行求解即可． 解：在上截取， ∵为的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故选A 【变式2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的角平分线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，在上截取一点E，使，连接，由角平分线得，可得，进而得，，再由得，即可得，再由三角形外角的性质得，进而可得答案． 解：如图，在上截取一点E，使，连接， ∵是的角平分线， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3】（23-24八年级上·河南开封·期中）在中，，如图①，当，为的角平分线时，在上截取，连接，易证． （1）如图②，当，为的角平分线时，请直接写出你的猜想： （2）如图③，当为的外角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 【答案】（1）猜想：；（2）猜想：． 证明：在的延长线上截取，连接． ∵平分， ∴． ∵，，， ∴． ∴，． ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定定理．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． （1）首先在上截取，连接，易证，则可得，，又由，，所以，即，易证，则可求得； （2）首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求得． （1）解：猜想：． 证明：如图，在上截取， ∵为的角平分线时， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）略 【题型 7】构造一线三垂直（K字）全等 【例题7】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； （2）问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； （3）拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）通过“一线三垂直”模型，证明，得． （2）同理证，得，再通过计算的长度． （3）作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证，结合A、C的坐标差得到线段长度，即可计算B点坐标． （1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ； （3）解：如图3过点作轴，过点作轴， 过点作轴，分别与交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 【点拨】考查 “一线三垂直”模型、全等三角形的判定（AAS）、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系中点的坐标计算．解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐标系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____．    【答案】 【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 解：如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 【变式3】（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）已知：中，，，连接，在直线右侧作, （1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于F，若；求 （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点P．若．求证：； （3）如图3，当点D在延长线上时，连接交的延长线于点P,请直接写出的值（不需要计算过程）． 【答案】（1）2；（2）证明：如图2，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵,， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）． 【分析】（1）由结合已知得结合题意证，利用全等的性质代入计算即可； （2）如图2，过点E作，由垂直得结合已知证，得到，，再证得，利用角所对的直角边等于斜边的一半换算即可； （3）当点D在延长线上时，如图，交的延长线于N，由，设则，解出，分别，，利用全等的性质求出，最后利用三角形面积公式计算即可． （1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵, ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：当点D在延长线上时，如图，交的延长线于N， ∵， ∴设则， ∴， ∵，， ， ∴， ∴， 又∵,， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、角所对的直角边等于斜边的一半、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． 【题型 8】延长相交 【例题8】24-25八年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，的角平分线交于D，交的角平分线于E，过点E作，交于点F，求证：． 【答案】证明：延长，相交于点M， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】延长，相交于点M，分别证明和即可得解． 解：略 【点拨】本题考查角平分线的定义和全等三角形的判定和性质．熟练掌握角平分线的定义，通过添加辅助线证明三角形全等是解题的关键． 【例题1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，．过作的角平分线的垂线，垂足为，点为边的中点连结，，则的最大值为（   ） A．10 B．9.2 C．8 D．7.5 【答案】D 【分析】延长，交点于，可证，得出，，则，当时，最大面积为30，即最大面积为7.5． 解：如图：延长，交点于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，； ， ，即； ， 是的中点， ， 当时，面积最大， 即最大面积． 故选：D． 【点拨】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质等知识；利用三角形中线的性质得到是解题的关键． 【例题2】（24-25八年级上·新疆·期末）如图，动点C与线段构成，其边长满足，，．点D在的平分线上，且，的面积的最大值为（　　） A． B． C．9 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 延长交于点，首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而可求得，结合三角形中线的性质知，确定面积的最大值，即可获得答案． 解：如下图，延长交于点， ∵为的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 当时，的面积取最大值， 即， ， 故选：A． 【例题3】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，点为的中点，的边过点，且，，平分，，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．延长交的延长线于．等角对等边可证明，进而证明 即可得到，设，进而列出方程，即可解决问题． 解：如图，延长交的延长线于， 平分， ， ， ， ， ，设，则， ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $