专题03全等三角形精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦全等三角形核心知识，系统梳理全等图形与三角形的概念、性质，详解SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法及角平分线性质与判定，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料通过24类分层题型（难度★到★★★★）、易错点剖析和解题思路指导，以倍长中线等模型培养几何直观，规范推理书写提升推理能力，结合测量距离等实际问题强化应用意识，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

专题03全等三角形精讲学案 核心立意： 认识全等图形、全等三角形，掌握全等三角形的性质；熟练掌握五种全等判定方法，规范几何证明书写；理解角平分线的性质与判定，学会利用全等证明线段、角相等，训练逻辑推理能力。 全等形： 能够完全重合的图形为全等形，形状、大小均相同，与摆放位置无关。 全等三角形： 能够完全重合的两个三角形为全等三角形；重合顶点为对应顶点，重合边为对应边，重合角为对应角；书写全等时，对应顶点写在对应位置。 全等三角形性质： 全等三角形对应边相等，对应角相等；对应中线、对应高、对应角平分线相等，周长相等，面积相等。 全等三角形判定： ①SSS（边边边）：三边对应相等，两个三角形全等， ②SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等，两个三角形全等，必须是夹角，③ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等，两个三角形全等， ④AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等，两个三角形全等， ⑤HL（斜边直角边）：斜边与一条直角边对应相等，两个直角三角形全等，仅用于直角三角形。 不能判定全等： SSA、AAA不能证明三角形全等，HL本质是直角三角形可用的特殊SSA。 角平分线的性质： 角平分线上的点，到角两边的垂线段距离相等。 角平分线的判定： 角的内部，到角两边垂线段距离相等的点，在这个角的平分线上。 证明思路： 要证线段相等、角相等，常转化为证所在三角形全等；做题善于挖掘隐藏条件：公共边、公共角、对顶角。 重点辨析 1.书写 ABC≌DEF，字母顺序代表对应关系，不可随意调换。 2.SAS条件重点是“夹角”，两边及对角SSA，不能判定全等。 3.HL只适用于直角三角形，普通三角形禁止使用。 4.角平分线所说的“距离”特指垂线段长度，不是点到顶点连线。 5.全等可以推出边、角相等；周长、面积相等的三角形，不一定全等。 1.写全等三角形时对应顶点字母错位，直接找错对应边、对应角，整道证明题出错。 2.使用SAS证明全等，忽略夹角条件，误用两边及其中一边对角证全等。 3.不是直角三角形，强行套用HL定理证明全等。 4.运用角平分线性质或判定，遗漏垂直条件，直接得出线段相等。 5.几何证明跳步骤，缺少关键推导条件，直接写全等结论。 6.见到三个角对应相等，直接判定三角形全等，混淆全等与相似。 7.做题主观臆造条件，凭肉眼观察认为边、角相等，不使用题目给出已知条件。 题型 考察方向 难度 题型一 图形的全等 ★ 题型二 全等三角形的概念 ★ 题型三 全等三角形的性质 ★ 题型四 用 SAS 证明三角形全等 ★★ 题型五 用 SAS 间接证明三角形全等 ★★ 题型六 全等的性质和 SAS 综合（SAS） ★★ 题型七 全等的性质和 SAS 综合（SAS） ★★ 题型八 全等的性质和 ASA（AAS）综合 ★★ 题型九 用 SSS 证明三角形全等 ★★ 题型十 全等的性质和 SSS 综合 ★★ 题型十一 用 HL 证全等 ★★ 题型十二 全等的性质和 HL 综合 ★★ 题型十三 添加条件使三角形全等 ★★ 题型十四 灵活选用判定方法证全等 ★★★ 题型十五 倍长中线模型 ★★★ 题型十六 旋转模型 ★★★ 题型十七 全等三角形综合问题 ★★★★ 题型十八 尺规作一个角等于已知角 ★★ 题型十九 过直线外一点作已知直线的平行线 ★★ 题型二十 尺规作图 —— 作三角形 ★★ 题型二十一 作角平分线 ★★ 题型二十二 平分线的性质定理 ★★ 题型二十三 角平分线的判定定理 ★★ 题型二十四 角平分线性质的实际应用 ★★★ 拔高题 14题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高；★★★★难点压轴 题型一：图形的全等 解题思路：①全等图形形状、大小完全相同，②旋转翻转不改变全等关系，与摆放位置无关。 1．如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是____________（填写语句的序号）： ①形状相同的图形是全等图形；      ②边长相等的等边三角形是全等图形； ③面积相等的三角形是全等三角形；  ④平移前后的两个图形一定是全等形； ⑤全等图形的对应边和对应角都相等． 3．如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 题型二：全等三角形的概念 解题思路：①能完全重合的三角形为全等三角形，②书写全等式对应顶点字母对齐，③据此快速识别对应边、对应角。 4．下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 5．如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 6．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 题型三：全等三角形的性质 解题思路：①全等则对应边、对应角相等，②对应高、中线、角平分线、周长、面积均相等，③多用于求线段长、计算角度。 7．图中的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 8．如图，，点在线段上，，，则________． 9．如图，已知，且，延长交于点F，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型四：用 SAS 证明三角形全等 解题思路：①找两组对应边相等+两边夹角相等，②公共角、对顶角常作为夹角，③严禁用两边及其中一边对角证全等。 10．下面四个三角形中，与图中的全等的是（     ） A．B． C． D． 11．如图，中，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，若点的运动速度为，则当与全等时，的值为____． 12．如图，一个池塘两端A，B处各有一棵大树，由于水面阻隔无法利用现有皮尺直接测量A，B间的距离，为此，小思和小维两位同学设计了如下测量方案：①在池塘一侧选定点O，②连接，，并分别延长到点，，使，，③连接，测量的长度即为、间的距离．这种测量方法的原理是（     ） A． B． C． D． 题型五：用 SAS 间接证明三角形全等 解题思路：①题干不直接给出夹角，②利用等式性质同加/同减一个角推导夹角相等，③再用SAS完成全等证明。 13．图中3个三角形都被墨迹污染了，则能用尺规画出和原来完全一样的三角形的是（　　） A．I和II B．只有 C．只有II D．只有 14．如图，在中，平分，，，，则______． 15．在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 题型六：全等的性质和 SAS 综合 解题思路：①先用SAS证三角形全等，②借助全等性质得到边角相等，③再进行计算或后续推理。 16．如图，有一个圆柱形杯子，小明要测量杯口的直径，他用长度都完全一样的木棍（木棍粗细忽略不计）如图所示放置，与交于点，且是和的中点，小明说测量出的长度，利用全等三角形的性质就可求出的长，以上做法中小明证明全等的依据为（    ） A． B． C． D． 17．如图，在的方格纸中，__________ ． 18．如图，在中，，．在中，，，，，三点在一条直线上，点在上，连接，的延长线交于点．若，，则的面积为（     ） A．27.9 B．28.7 C．26.9 D．27.4 题型七：用 ASA（AAS）证明三角形全等 解题思路：①ASA：两角及其夹边对应相等，②AAS：两角及其中一角对边对应相等，③满足其一即可判定全等。 19．调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（    ） A．① B．①② C．③ D．①②或者③都可以 20．如图，，于点，、、三点在同一直线上，连结，，则的面积为_____． 21．如图，小明沿一段笔直的人行道行走，在由点步行到达点处的过程中，通过隔离带的空隙点，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的标语．已知，，与相交于点，，垂足为，且两行车道的宽度相等．若，则标语的长度是（   ） A． B． C． D． 题型八：全等的性质和 ASA（AAS）综合 解题思路：①用ASA/AAS证全等，②由全等得到对应边角相等，③求解线段、角度，完成证明推理。 22．如图，是的平分线，P是（不包括端点）上任意一点，，，垂足分别为D，E．下列关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：；淇淇说：； A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人都错 23．如图，在和中，点，，在同一条直线上，，．若，，则_______． 24．小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，且，则点C到地面的距离是（     ）． A． B． C． D． 题型九：用 SSS 证明三角形全等 解题思路：①找到三组对应边分别相等，②公共边为高频隐藏条件，③借助等式性质推导线段相等。 25．如图，在四边形中，，，则证明的依据是（    ） A． B． C． D． 26．如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，，．若要运用“”来证明，则的长为______． 27．如图，已知，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；以点为圆心，的长为半径作弧，与以点为圆心，的长为半径所作的弧交于点，连接，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 题型十：全等的性质和 SSS 综合 解题思路：①利用SSS证明三角形全等，②由全等推出边角相等，③开展计算或者进一步证明。 28．如图，四边形是一个平分角的简单仪器，其中．将放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则根据可以得出是的平分线．在这个过程中，的根据是（    ） A． B． C． D． 29．如图，已知，则的度数为_____ 30．如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，连接，，下列结论不一定成立的是（     ） A．B． C． D． 31．如图，在中，AD是的角平分线，F为射线上一点，连接并延长至点E，连接且．若，，则等于（     ）． A． B． C． D． 题型十一：用 HL 证全等 解题思路：①仅适用于直角三角形，②斜边+一条直角边对应相等即可判定全等，③书写先标明三角形为直角三角形。 32．两个同样大小的直角三角尺按如图所示的方式摆放，其中两条一样长的直角边交于点，另一直角边，分别落在的边和上，且，作射线，则在说明为的平分线的过程中，证全等的依据是(　　) A． B． C． D． 33．如图，在中，，点是边上的一点，于点，若，则________． 34．如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 题型十二：全等的性质和 HL 综合 解题思路：①先用HL证明直角三角形全等，②利用全等性质，推导对应线段、对应角相等。 35．如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 36．如图，，垂足为，，，射线，垂足为．一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，为射线上一动点，始终保持．当点的运动时间为_____时，与全等（点与点重合的情况除外）． 37．如图，P是内一点，于点E，于点F，．则以下结论错误的是（     ） A． B．平分 C． D． 38．如图，在锐角中，点是边上一点，于点，若，，则和的数量关系是（    ） A． B． C． D． 题型十三：添加条件使三角形全等 解题思路：①梳理题干已给边角条件，②结合五大判定补充有效条件，③避开SSA、AAA这类无效判定条件。 39．如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 40．如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 41．如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 题型十四：灵活选用判定方法证全等 解题思路：①整理题干已知边和角，②按已知两边/一边一角/两角匹配判定定理，③挖掘公共边、公共角、对顶角隐藏条件。 42．根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 43．如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点F，连接，．图中的全等三角形一共有________对； 44．在学习全等三角形时，小明发现有两个结论：在与中：①若，，且它们的周长相等，则；②若，，，则对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 题型十五：倍长中线模型 解题思路：①遇到中线，延长中线至一倍长度，②构造SAS全等三角形，③转移分散线段，把边集中到同一个三角形内。 45．如图，在中，D为的中点，若，．则的长不可能是（          ） A．5 B．6 C．7 D．8 46．如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是___________ 47．如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型十六：旋转模型 解题思路：①共顶点存在相等线段，②同加同减推导旋转夹角相等，③一般用SAS证全等，完成边角等量转化。 48．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝___．    49．如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 50．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 题型十七：全等三角形综合问题 解题思路：①可多次证明全等，②综合多个判定定理，③点或射线位置不确定时做好分类讨论，④可结合方程求解线段、角度。 51．嘉淇在解决问题时，给出的推理过程如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“”和“”之间作补充，下列说法正确的是（   ） 如图，点D在上，点E在上，，求证：． 证明：在和中，， ， ． A．嘉淇的推理严谨，不需要补充 B．应补充“” C．应补充“” D．应补充“” 52．如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 53．小明发现有两个结论：在与中 ①若，且它们的周长相等，则； ②若，则． 对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①，②都错误 B．①，②都正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 题型十八：尺规作一个角等于已知角 解题思路：①作图原理为SSS全等，②全程保留圆弧作图痕迹，不可擦除辅助弧线。 54．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（    ） A． B． C． D． 55．如图，用尺规作射线，关于弧的作法描述正确的是（     ） A．以点为圆心，线段的长为半径 B．以点为圆心，线段的长为半径 C．以点为圆心，线段的长为半径 D．以点为圆心，线段的长为半径 56．如图，已知中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，；②保持半径不变，以点为圆心作弧，分别交边，于点，；③以点为圆心，长为半径作弧，交弧于点；④连接并延长交于点，则的度数为_______． 题型十九：过直线外一点作已知直线的平行线 解题思路：①核心复制相等同位角或内错角，②依据同位角相等两直线平行作图，③必须保留全部圆弧痕迹。 57．数学课上，李老师给出这样一道题：如图①，已知直线及外一点P，作直线m，使得，且m经过点P（不写作法，保留作图痕迹）． 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图．如图②，过点P作直线交直线于点，作．作法步骤如下： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点C，交直线于点D； ②以点P为圆心，以长为半径作弧，交于点N； ③以点N为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点M； ④过点M，P作直线m，则直线m即为所求． 则该学习小组在作图过程中作法错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 58．如图①，纸片上有一条直线，点为直线外一点，小春用直尺、圆规作图，过点作出一条直线与已知直线平行，作图痕迹如图②所示．请写出她作图的依据是___________． 59．数学课上，老师给出这样一道题：如图①，已知直线及外一点，作直线，使得，且经过点（不写作法，保留作图痕迹）． 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图．如图②，过点作直线交直线于点，作．作法步骤如下： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点，交直线于点； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点； ④过点作直线，则直线即为所求． 则的长度是（     ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 题型二十：尺规作图 —— 作三角形 解题思路：①依据SSS、SAS、ASA规则作图，②先确定基础边，再作角或者截取边长，③完整保留作图弧痕。 60．已知线段a，b，c，求作，使，，．下面的作图顺序正确的是（   ） ①以点A为圆心，以b的长为半径画弧，以点B为圆心，以a的长为半径在的同侧画弧，两弧交于点C； ②作线段等于c； ③连接，则就是所求作图形． A．①②③ B．③②① C．②①③ D．②③① 61．如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是________． 62．课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 题型二十一：作角平分线 解题思路：①作图原理依靠SSS全等，②按步骤画弧找到交点，连接顶点得到角平分线，③保留圆弧痕迹。 63．如图是作的平分线的两种方案，对于两种方案的判断正确的是（   ） 甲方案 将两个完全一样的三角板长直角边放在边和上、移动三角板，使短直角边的锐角顶点重合在一点，记为点P，作射线． 乙方案 用刻度尺在和上分别取，再用刻度尺量取的长，取其中点，记为点P，作射线． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都不对 D．甲、乙都对 64．如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 65．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点． 则为（     ） A． B． C． D． 题型二十二：角平分线的性质定理 解题思路：①角平分线上的点到角两边垂线段距离相等，②必须具备垂直条件，才能够直接得到线段相等。 66．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（     ） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 67．如图，在中，平分交于点D，垂足为E，若，则的长为______． 68．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若且的面积为12，则的长为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型二十三：角平分线的判定定理 解题思路：①角内部一点到角两边垂线段距离相等，则点在角平分线上，②同时满足：在角内部、两处垂直、距离相等。 69．如图，，，若，，，则为（　　） A． B． C． D． 70．如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线，且与射线交于点，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，连接，已知，则的度数是______． 71．如图，四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型二十四：角平分线性质的实际应用 解题思路：①把实际场景抽象转化几何模型，②找准角平分线与垂线段，③利用角平分线性质求解线段长度。 72．如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条高的交点处 C．三角形三条中线的交点处 D．三角形三个内角的角平分线的交点处 73．如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，则的周长是_______． 74．如图两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，C村到公路的距离为，则C村到公路的距离是（    ） A． B． C． D． 解答题 1．如图所示，已知，其中． (1)求证：． (2)求的长． 2．如图，已知点E是的中点，和全等吗？为什么？ 3．如图所示，在中，，于点，，平分交于点，的延长线交于点．试说明： (1)； (2)． 4．如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当 时，． 5．如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 6．如图，，，点E在上．求证： (1)平分， (2)． 7．如图，在中，，，，、两点分别在线段和过点且垂直的射线上运动，且点不与点，重合，，那么当点运动到什么位置时，才能使与全等？ 8．如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 9．已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 10．阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 11．在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 12．如图，用直尺和圆规作，使． 13．已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 14．如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03全等三角形精讲学案 核心立意： 认识全等图形、全等三角形，掌握全等三角形的性质；熟练掌握五种全等判定方法，规范几何证明书写；理解角平分线的性质与判定，学会利用全等证明线段、角相等，训练逻辑推理能力。 全等形： 能够完全重合的图形为全等形，形状、大小均相同，与摆放位置无关。 全等三角形： 能够完全重合的两个三角形为全等三角形；重合顶点为对应顶点，重合边为对应边，重合角为对应角；书写全等时，对应顶点写在对应位置。 全等三角形性质： 全等三角形对应边相等，对应角相等；对应中线、对应高、对应角平分线相等，周长相等，面积相等。 全等三角形判定： ①SSS（边边边）：三边对应相等，两个三角形全等， ②SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等，两个三角形全等，必须是夹角，③ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等，两个三角形全等， ④AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等，两个三角形全等， ⑤HL（斜边直角边）：斜边与一条直角边对应相等，两个直角三角形全等，仅用于直角三角形。 不能判定全等： SSA、AAA不能证明三角形全等，HL本质是直角三角形可用的特殊SSA。 角平分线的性质： 角平分线上的点，到角两边的垂线段距离相等。 角平分线的判定： 角的内部，到角两边垂线段距离相等的点，在这个角的平分线上。 证明思路： 要证线段相等、角相等，常转化为证所在三角形全等；做题善于挖掘隐藏条件：公共边、公共角、对顶角。 重点辨析 1.书写 ABC≌DEF，字母顺序代表对应关系，不可随意调换。 2.SAS条件重点是“夹角”，两边及对角SSA，不能判定全等。 3.HL只适用于直角三角形，普通三角形禁止使用。 4.角平分线所说的“距离”特指垂线段长度，不是点到顶点连线。 5.全等可以推出边、角相等；周长、面积相等的三角形，不一定全等。 1.写全等三角形时对应顶点字母错位，直接找错对应边、对应角，整道证明题出错。 2.使用SAS证明全等，忽略夹角条件，误用两边及其中一边对角证全等。 3.不是直角三角形，强行套用HL定理证明全等。 4.运用角平分线性质或判定，遗漏垂直条件，直接得出线段相等。 5.几何证明跳步骤，缺少关键推导条件，直接写全等结论。 6.见到三个角对应相等，直接判定三角形全等，混淆全等与相似。 7.做题主观臆造条件，凭肉眼观察认为边、角相等，不使用题目给出已知条件。 题型 考察方向 难度 题型一 图形的全等 ★ 题型二 全等三角形的概念 ★ 题型三 全等三角形的性质 ★ 题型四 用 SAS 证明三角形全等 ★★ 题型五 用 SAS 间接证明三角形全等 ★★ 题型六 全等的性质和 SAS 综合（SAS） ★★ 题型七 全等的性质和 SAS 综合（SAS） ★★ 题型八 全等的性质和 ASA（AAS）综合 ★★ 题型九 用 SSS 证明三角形全等 ★★ 题型十 全等的性质和 SSS 综合 ★★ 题型十一 用 HL 证全等 ★★ 题型十二 全等的性质和 HL 综合 ★★ 题型十三 添加条件使三角形全等 ★★ 题型十四 灵活选用判定方法证全等 ★★★ 题型十五 倍长中线模型 ★★★ 题型十六 旋转模型 ★★★ 题型十七 全等三角形综合问题 ★★★★ 题型十八 尺规作一个角等于已知角 ★★ 题型十九 过直线外一点作已知直线的平行线 ★★ 题型二十 尺规作图 —— 作三角形 ★★ 题型二十一 作角平分线 ★★ 题型二十二 平分线的性质定理 ★★ 题型二十三 角平分线的判定定理 ★★ 题型二十四 角平分线性质的实际应用 ★★★ 拔高题 14题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高；★★★★难点压轴 题型一：图形的全等 解题思路：①全等图形形状、大小完全相同，②旋转翻转不改变全等关系，与摆放位置无关。 1．如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同，对各选项进行判断即可． 【详解】A项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意； B项：两图形形状、大小相同，能够完全重合，符合题意； C项：两图形大小不同，不能重合，不符合题意； D项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意． 2．下列说法正确的是____________（填写语句的序号）： ①形状相同的图形是全等图形；      ②边长相等的等边三角形是全等图形； ③面积相等的三角形是全等三角形；  ④平移前后的两个图形一定是全等形； ⑤全等图形的对应边和对应角都相等． 【答案】②④⑤ 【分析】本题主要考查了全等形的定义与性质，掌握完全重合的两个图形是全等形成为解题的关键． 根据全等图形的定义和性质逐个判断即可． 【详解】解：①形状相同，大小相等的图形是全等形，错误；②边长相等的等边三角形是全等图形，正确；③面积相等的三角形是全等三角形，错误；④平移前后的两个图形一定是全等形，正确；⑤全等图形的对应边和对应角都相等，正确． 所以，正确的说法有②④⑤． 故答案为：②④⑤． 3．如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 【答案】A 【分析】此题考查了全等图形，根据图示可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形，进而利用全等图形的性质解答即可，解题的关键是根据三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形， ∴，， ∴图中阴影部分小于余下白色部分的面积， 故选：． 题型二：全等三角形的概念 解题思路：①能完全重合的三角形为全等三角形，②书写全等式对应顶点字母对齐，③据此快速识别对应边、对应角。 4．下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，牢记概念，要从形状和大小两个方面来考虑两个三角形是否完全重合是解题的关键． 根据全等三角形的定义“能够完全重合的两个三角形”对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，原说法错误，故选项不符合题意； B. 形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，原说法正确，故选项符合题意； C. 面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，原说法错误，故选项不符合题意； D. 所有的等边三角形形状相同，但是大小和边长有关，边长不相等，则不能够重合，原说法错误，故选项不符合题意； 故选：． 5．如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念即可判断，正确找出对应边，对应角是解题的关键． 【详解】解：∵，点和是对应点，点和是对应点， ∴的对应角是， 故选：． 6．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及全等变换，以为公共边时有3个三角形，以为公共边时有1个三角形与全等，关键是考虑全面，不要漏解． 【详解】解：如图所示：    以为公共边的三角形有3个，以为公共边的三角形有0个，以为公共边的三角形有1个，共个， 故选：D． 题型三：全等三角形的性质 解题思路：①全等则对应边、对应角相等，②对应高、中线、角平分线、周长、面积均相等，③多用于求线段长、计算角度。 7．图中的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质得到对应边相等，相等的对应边所对的角为对应角，进而求出的度数． 【详解】解：图中的两个三角形全等，且边长为的边是两个三角形的对应边， 边所对的内角是对应角， 根据全等三角形对应角相等，可得． 8．如图，，点在线段上，，，则________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 9．如图，已知，且，延长交于点F，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得到，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴． 题型四：用 SAS 证明三角形全等 解题思路：①找两组对应边相等+两边夹角相等，②公共角、对顶角常作为夹角，③严禁用两边及其中一边对角证全等。 10．下面四个三角形中，与图中的全等的是（     ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可得， A选项属于已知两边和其中一边的对角对应相等的情况，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意； B选项中角的对边不相同，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意； C选项中已知两边及两边的夹角对应相等，所以根据“”能判定全等，故本选项符合题意； D选项中两对应角的夹边不相等，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意． 11．如图，中，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，若点的运动速度为，则当与全等时，的值为____． 【答案】2或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定，利用，分两种情况进行讨论求出即可． 【详解】解：∵，点为的中点， ∴，， ∴当时，， ∵点，点同时运动， ∴点的运动速度与点的相同， ∴； 当时，， 此时，， ∴； 综上：或； 故答案为：2或 12．如图，一个池塘两端A，B处各有一棵大树，由于水面阻隔无法利用现有皮尺直接测量A，B间的距离，为此，小思和小维两位同学设计了如下测量方案：①在池塘一侧选定点O，②连接，，并分别延长到点，，使，，③连接，测量的长度即为、间的距离．这种测量方法的原理是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，又， ∴． 题型五：用 SAS 间接证明三角形全等 解题思路：①题干不直接给出夹角，②利用等式性质同加/同减一个角推导夹角相等，③再用SAS完成全等证明。 13．图中3个三角形都被墨迹污染了，则能用尺规画出和原来完全一样的三角形的是（　　） A．I和II B．只有 C．只有II D．只有 【答案】A 【分析】本题考查作图——复杂作图，全等三角形的判定等知识，根据可以判定三角形全等，延长判断即可． 【详解】解：∵可以判定三角形全等， ∴Ⅰ和Ⅱ符合题意． 故选：A． 14．如图，在中，平分，，，，则______． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的意义等知识，构造三角形全等是解题的关键； 在上取点E，使，连接，则由角平分线的性质可证明，从而有，则可得，有，再由即可求解． 【详解】解：如图，在上取点E，使，连接， ∵平分， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 15．在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，全等三角形的判定与性质，角平分线性质等知识； 过点C作于点E，在上取点F，使，连接，则，有，则，当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值，由面积关系可求得的长，从而求得最小值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为12． 故选：C． 题型六：全等的性质和 SAS 综合 解题思路：①先用SAS证三角形全等，②借助全等性质得到边角相等，③再进行计算或后续推理。 16．如图，有一个圆柱形杯子，小明要测量杯口的直径，他用长度都完全一样的木棍（木棍粗细忽略不计）如图所示放置，与交于点，且是和的中点，小明说测量出的长度，利用全等三角形的性质就可求出的长，以上做法中小明证明全等的依据为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用证明，即可． 【详解】解：∵是和的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 17．如图，在的方格纸中，__________ ． 【答案】 【分析】取格点、、、、，证明，则，结合可得，． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．如图，在中，，．在中，，，，，三点在一条直线上，点在上，连接，的延长线交于点．若，，则的面积为（     ） A．27.9 B．28.7 C．26.9 D．27.4 【答案】A 【分析】先证明，得出，，再求出，，再由三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为． 题型七：用 ASA（AAS）证明三角形全等 解题思路：①ASA：两角及其夹边对应相等，②AAS：两角及其中一角对边对应相等，③满足其一即可判定全等。 19．调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（    ） A．① B．①② C．③ D．①②或者③都可以 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③去． 【详解】解：①只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； ①②只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； ③不但保留了一个完整的边还保留了两个角，根据全等三角形判定“角边角”可以配出一块和原来一样的三角形玻璃，所以应该带去③． 20．如图，，于点，、、三点在同一直线上，连结，，则的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据等腰三角形三线合一的性质作垂线．过点作交于点，过点作交于点，根据等腰三角形三线合一的性质得出，根据直角三角形两个锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判断和性质得出，即可求解． 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点，如图： ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故的面积为． 故答案为：． 21．如图，小明沿一段笔直的人行道行走，在由点步行到达点处的过程中，通过隔离带的空隙点，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的标语．已知，，与相交于点，，垂足为，且两行车道的宽度相等．若，则标语的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 通过证明，由全等三角形的性质即可得结论． 【详解】解：，， ， ． ∵两行车道的宽度相等， ． 在和中 ， ． 故选：C． 题型八：全等的性质和 ASA（AAS）综合 解题思路：①用ASA/AAS证全等，②由全等得到对应边角相等，③求解线段、角度，完成证明推理。 22．如图，是的平分线，P是（不包括端点）上任意一点，，，垂足分别为D，E．下列关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：；淇淇说：； A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人都错 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据角平分线的性质得出相等的角，根据垂直得出直角，证明，即可得出结论． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故选：C． 23．如图，在和中，点，，在同一条直线上，，．若，，则_______． 【答案】9 【分析】利用平角定义和直角三角形两锐角互余的性质，证明，结合已知条件利用证明，从而得出对应边相等，最后根据线段和差关系求解． 【详解】解：点，，在同一条直线上，， ， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 24．小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，且，则点C到地面的距离是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证出，根据全等三角形的性质可得，，求出的长，再结合B点距地面的高度求出点E距地面的高度，由此即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，与地面垂直， ∴与地面平行， ∵B处距地面， ∴D处距地面， ∴点E距地面， 同理可得：与地面平行， ∴点C到地面的高度等于点E到地面的高度， ∴点C到地面的距离是． 题型九：用 SSS 证明三角形全等 解题思路：①找到三组对应边分别相等，②公共边为高频隐藏条件，③借助等式性质推导线段相等。 25．如图，在四边形中，，，则证明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理：、、、、是解题的关键．由，，又因为，即可由判定两三角形全等． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 26．如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，，．若要运用“”来证明，则的长为______． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据要运用“”来证明，则，由此即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴要运用“”来证明，则， ∴， ∴， 故答案为：． 27．如图，已知，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；以点为圆心，的长为半径作弧，与以点为圆心，的长为半径所作的弧交于点，连接，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定（），熟练掌握“三边分别相等的两个三角形全等（）”是解题的关键． 根据作图过程得出三角形三边的等量关系，再依据全等三角形判定定理判断． 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径作弧交于， ∴． ∵以点为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧交于， ∴，． 在和中， ∴（）． 故选：． 题型十：全等的性质和 SSS 综合 解题思路：①利用SSS证明三角形全等，②由全等推出边角相等，③开展计算或者进一步证明。 28．如图，四边形是一个平分角的简单仪器，其中．将放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则根据可以得出是的平分线．在这个过程中，的根据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理：、、、、．根据题目所给条件可利用定理判定，进而得到． 【详解】解：在和中， ， ， ， 就是的平分线． 故选：． 29．如图，已知，则的度数为_____ 【答案】 【分析】利用证明得到，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 30．如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，连接，，下列结论不一定成立的是（     ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】证明即可解决问题． 【详解】解：由作图可知，，，又， ∴， ∴，即， 故选项A，B，D正确， ∵以点O为圆心，适当长为半径画弧时的半径和以点C为圆心，大于的长为半径画弧时的半径不一定相等， ∴不一定成立，故选项C错误，符合题意． 31．如图，在中，AD是的角平分线，F为射线上一点，连接并延长至点E，连接且．若，，则等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图：在上截取，连接，通过证明和，推导出平分，从而确定D为的内心，利用三角形内角和定理及角平分线性质建立α与的关系求解即可． 【详解】解：如图：在上截取，连接， ∵AD是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵F，B，E共线， ∴， ∴平分， 又∵平分， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 题型十一：用 HL 证全等 解题思路：①仅适用于直角三角形，②斜边+一条直角边对应相等即可判定全等，③书写先标明三角形为直角三角形。 32．两个同样大小的直角三角尺按如图所示的方式摆放，其中两条一样长的直角边交于点，另一直角边，分别落在的边和上，且，作射线，则在说明为的平分线的过程中，证全等的依据是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的判定和全等三角形的判定和性质的应用，根据题意得，证明，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∴为的平分线， 故选：C． 33．如图，在中，，点是边上的一点，于点，若，则________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据可证． 【详解】解：，，， 在和中， ， 故答案为：． 34．如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形判定方法“”即可求解． 【详解】解：∵，， ∴用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是． 题型十二：全等的性质和 HL 综合 解题思路：①先用HL证明直角三角形全等，②利用全等性质，推导对应线段、对应角相等。 35．如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，证明得到，进而利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴在和中， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 36．如图，，垂足为，，，射线，垂足为．一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，为射线上一动点，始终保持．当点的运动时间为_____时，与全等（点与点重合的情况除外）． 【答案】或或 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，动点问题的分类讨论，掌握分类讨论思想是解题的关键． 因为和都是直角三角形，根据判定全等，需分情况讨论对应边相等的情况，结合动点的运动速度计算时间． 【详解】解：设运动时间为s．根据题意，可分为以下三种情况讨论： ①当点在线段上运动，且时，结合可知，，此时，； ②当点在射线上运动，且时，结合可知，，此时，； ③当点在射线上运动，且时，结合可知，，此时，． 综上所述，当点的运动时间为或或时，与全等． 故答案为：或或． 37．如图，P是内一点，于点E，于点F，．则以下结论错误的是（     ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】利用“”判定方法证明，根据全等三角形的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：、， ， 在和中， ， ， 、、， 平分， 故A、B、D选项正确； 根据题意无法得出， 故C选项错误． 38．如图，在锐角中，点是边上一点，于点，若，，则和的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，过点作，可证，根据全等三角形的性质可证，根据三角形内角和定理可知，根据直角三角形两个锐角互余可知，等量代换可得． 【详解】解：如下图所示，过点作， 则， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， 即， 在中，， ， ， ， 整理可得：. 故选：D. 题型十三：添加条件使三角形全等 解题思路：①梳理题干已给边角条件，②结合五大判定补充有效条件，③避开SSA、AAA这类无效判定条件。 39．如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本事实：进行分析判断即可． 【详解】解：在Rt≌Rt中，， A．添加，无法证明，故此选项不符合题意； B．添加，无法证明，故此选项不符合题意； C．添加，可以用“”证明，故此选项符合题意；     D．添加，无法证明，故此选项不符合题意. 40．如图，点，在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 【答案】（或或或） 【分析】先由题意确定已知条件，再根据全等的判定条件进行解答． 【详解】解：， ， 即． 又， 可添加的条件有： （1）添加， 在和中 ； （2）添加， 在和中 ； （3）添加， 则， 由（1）可知； （4）添加， 则， 由（2）可知． 41．如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知 及公共边 ，根据直角三角形全等的判定定理（）或一般三角形全等判定定理（）逐项验证即可． 【详解】解：已知 ，， 对于A，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于B，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于C，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于D，设 与 交于点 ， ，， ，此结论由已知条件即可推出，无法判定 ，条件错误，故本选项符合题意． 题型十四：灵活选用判定方法证全等 解题思路：①整理题干已知边和角，②按已知两边/一边一角/两角匹配判定定理，③挖掘公共边、公共角、对顶角隐藏条件。 42．根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解，包括等，不能保证唯一三角形；本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：选项A：已知，但不是和的夹角，属于情况，不能唯一确定三角形； 选项B：已知三边的长度，符合定理，能唯一确定三角形； 选项C：已知，是和的夹角，符合定理，能唯一确定三角形； 选项D：已知，符合定理，能唯一确定三角形； 故选：A． 43．如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点F，连接，．图中的全等三角形一共有________对； 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据已知条件结合全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上，共有4对全等三角形； 故答案为：4． 44．在学习全等三角形时，小明发现有两个结论：在与中：①若，，且它们的周长相等，则；②若，，，则对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 【答案】A 【详解】解：对于结论①：，，且两个三角形周长相等，即， ， ，故①正确； 对于结论②：已知条件为，，，属于两边及其中一边的对角对应相等（）的情况，不能判定三角形全等，可构造出满足条件但不全等的两个三角形，故②错误； 综上，①正确，②错误． 题型十五：倍长中线模型 解题思路：①遇到中线，延长中线至一倍长度，②构造SAS全等三角形，③转移分散线段，把边集中到同一个三角形内。 45．如图，在中，D为的中点，若，．则的长不可能是（          ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．延长至，使，连接，由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解． 【详解】解：如图，延长至，使，连接，    则， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 46．如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是___________ 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明是本题的关键．延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 47．如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，利用证明，得出，，再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明，最后由求解． 【详解】解：连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 题型十六：旋转模型 解题思路：①共顶点存在相等线段，②同加同减推导旋转夹角相等，③一般用SAS证全等，完成边角等量转化。 48．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝___．    【答案】3 【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论． 【详解】解：如图，连接AD．    在Rt△ADF和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL）， ∴DF＝DC， ∵BD＝5，BC＝4， ∴CD＝DF＝5﹣4＝1， ∵EF＝BC＝4， ∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 49．如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 【答案】4 【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长． 【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上， ∴∠ADE＝∠GDF， ∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠FDB＝90°， ∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°， ∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米， ∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF 组成一个直角三角形． 50．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 题型十七：全等三角形综合问题 解题思路：①可多次证明全等，②综合多个判定定理，③点或射线位置不确定时做好分类讨论，④可结合方程求解线段、角度。 51．嘉淇在解决问题时，给出的推理过程如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“”和“”之间作补充，下列说法正确的是（   ） 如图，点D在上，点E在上，，求证：． 证明：在和中，， ， ． A．嘉淇的推理严谨，不需要补充 B．应补充“” C．应补充“” D．应补充“” 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明得到，即可得出结论，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， 应补充“”， 故选：B． 52．如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 【答案】17 【分析】在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于． 53．小明发现有两个结论：在与中 ①若，且它们的周长相等，则； ②若，则． 对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①，②都错误 B．①，②都正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】三角形全等的判定定理，分别根据两个结论给出的条件，结合全等判定规则判断正误即可． 【详解】解：对于结论①： ∵，，且两个三角形周长相等， ∴， ∴ ，故①正确． 对于结论②： 已知条件为 ，，，属于两边及其中一边的对角对应相等（）的情况，不能判定三角形全等，可构造出满足条件但不全等的两个三角形，故②错误. 综上，①正确，②错误，答案选C． 题型十八：尺规作一个角等于已知角 解题思路：①作图原理为SSS全等，②全程保留圆弧作图痕迹，不可擦除辅助弧线。 54．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图方法可得，据此利用可证明，可知． 【详解】解：由作图方法可得， ∴， ∴， 即． 55．如图，用尺规作射线，关于弧的作法描述正确的是（     ） A．以点为圆心，线段的长为半径 B．以点为圆心，线段的长为半径 C．以点为圆心，线段的长为半径 D．以点为圆心，线段的长为半径 【答案】A 【分析】要作 ，实质是作 （同位角相等），根据作图步骤确定弧 的圆心和半径即可． 【详解】解：根据尺规作图“作一个角等于已知角”的步骤： 第一步：以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 于点 ； 第二步：以点 为圆心，以 （或 ）长为半径画弧，交 于点 ； 第三步：以点 为圆心，以线段 的长为半径画弧，交前一条弧于点 （图中弧 即为这一步所画的弧）； 第四步：过点 作射线 ，则 ； 关于弧 的作法描述正确的是：以点 为圆心，线段 的长为半径． 56．如图，已知中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，；②保持半径不变，以点为圆心作弧，分别交边，于点，；③以点为圆心，长为半径作弧，交弧于点；④连接并延长交于点，则的度数为_______． 【答案】/度 【分析】由作图可知，，再由，即可求解． 【详解】解：由作图可知，， ∵， ∴． 题型十九：过直线外一点作已知直线的平行线 解题思路：①核心复制相等同位角或内错角，②依据同位角相等两直线平行作图，③必须保留全部圆弧痕迹。 57．数学课上，李老师给出这样一道题：如图①，已知直线及外一点P，作直线m，使得，且m经过点P（不写作法，保留作图痕迹）． 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图．如图②，过点P作直线交直线于点，作．作法步骤如下： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点C，交直线于点D； ②以点P为圆心，以长为半径作弧，交于点N； ③以点N为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点M； ④过点M，P作直线m，则直线m即为所求． 则该学习小组在作图过程中作法错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查作图−−复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．根据作图步骤逐步分析即可． 【详解】解：步骤②应为：以点P为圆心，以长为半径作弧，交于点N． 故选B． 58．如图①，纸片上有一条直线，点为直线外一点，小春用直尺、圆规作图，过点作出一条直线与已知直线平行，作图痕迹如图②所示．请写出她作图的依据是___________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的判定方法和尺规作图可得结论． 【详解】解：根据题意可得，所作的角与已知角相等，且为内错角， 根据平行线的判定方法可得，两直线平行，依据为内错角相等，两直线平行． 59．数学课上，老师给出这样一道题：如图①，已知直线及外一点，作直线，使得，且经过点（不写作法，保留作图痕迹）． 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图．如图②，过点作直线交直线于点，作．作法步骤如下： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点，交直线于点； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点； ④过点作直线，则直线即为所求． 则的长度是（     ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【分析】明确本题核心是利用尺规作一个角等于已知角，依据是全等三角形判定定理，目标是作出相等的内错角以得到平行线；作一个角等于已知角的步骤，因为要保证所作角和已知角的对应边相等，所以首先以已知角顶点为圆心的弧截出的两条线段长度，在新作角时需要对应相等，结合本题作图步骤，因为步骤③需要确定新作角的另一边的位置，所以要选取和已知角中两个交点连线长度相等的线段作为半径． 【详解】解：本题是利用作一个角等于已知角得到相等内错角，从而作平行线，符合“内错角相等，两直线平行”； 根据作一个角等于已知角的尺规作图规则： 要作， 第一步已经以为圆心作弧，得到两边上的交点、； 第二步以为圆心、长为半径作弧后， 第三步需要以为圆心，取的长度为半径作弧，才能通过三边全等保证作出的角与相等， 因此的长度是线段的长度． 题型二十：尺规作图 —— 作三角形 解题思路：①依据SSS、SAS、ASA规则作图，②先确定基础边，再作角或者截取边长，③完整保留作图弧痕。 60．已知线段a，b，c，求作，使，，．下面的作图顺序正确的是（   ） ①以点A为圆心，以b的长为半径画弧，以点B为圆心，以a的长为半径在的同侧画弧，两弧交于点C； ②作线段等于c； ③连接，则就是所求作图形． A．①②③ B．③②① C．②①③ D．②③① 【答案】C 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．先画，确定A、B点，然后通过画弧确定C点位置，从而得到． 【详解】解：②先作线段等于c，①再以点A为圆心，以b为半径画弧，以点B为圆心，以a为半径画弧，两弧交于C点，③然后连接，则就是所求作图形． 故选：C． 61．如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 作出小刚画出的三角形，再利用全等三角形的判定定理得出即可． 【详解】解：已知：线段和，，求作：，使，，． 作法：（1）作； （2）在射线上截取线段； （3）以为顶点，以为一边作，交于点， 就是所求的三角形． 由作图可知：，，， ∴ 故答案为：． 62．课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图-复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图可知，，，， ∴（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）． 故选：B． 题型二十一：作角平分线 解题思路：①作图原理依靠SSS全等，②按步骤画弧找到交点，连接顶点得到角平分线，③保留圆弧痕迹。 63．如图是作的平分线的两种方案，对于两种方案的判断正确的是（   ） 甲方案 将两个完全一样的三角板长直角边放在边和上、移动三角板，使短直角边的锐角顶点重合在一点，记为点P，作射线． 乙方案 用刻度尺在和上分别取，再用刻度尺量取的长，取其中点，记为点P，作射线． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都不对 D．甲、乙都对 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的判定，熟练掌握其判定定理是解题的关键． 根据角平分线的判定定理解题即可． 【详解】解：甲方案：由图可知，点到的两边距离相等， ∴平分； 乙方案：由图可知，在和中， ∴≌， ∴， ∴平分； ∴甲、乙都对． 故选：D ． 64．如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________ 【答案】 5 【分析】根据尺规作图痕迹可知平分，过点作于点，利用角平分线的性质可得，再根据列方程求解； 【详解】解：过点作于点， 由作图痕迹可知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 65．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点． 则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本作图得到平分，所以． 【详解】解：由作法得平分， ． 题型二十二：角平分线的性质定理 解题思路：①角平分线上的点到角两边垂线段距离相等，②必须具备垂直条件，才能够直接得到线段相等。 66．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（     ） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 【答案】D 【分析】先作，再根据角平分线的性质定理解答即可． 【详解】解：过点D作，交于点E， ∵平分，， ∴， 所以点D到的距离是3． 67．如图，在中，平分交于点D，垂足为E，若，则的长为______． 【答案】 【分析】由角平分线的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵ ∴． 68．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若且的面积为12，则的长为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质并作辅助线是解题的关键． 过点作，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，进而根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过点作， ，， ， ∵和分别平分和， ∴，， 且的面积为12， ， ． 题型二十三：角平分线的判定定理 解题思路：①角内部一点到角两边垂线段距离相等，则点在角平分线上，②同时满足：在角内部、两处垂直、距离相等。 69．如图，，，若，，，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键．根据角平分线的判定定理可得是的角平分线，由此即可得． 【详解】解：∵，，，，且点在的内部， ∴是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 70．如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线，且与射线交于点，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，连接，已知，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】此题主要考查角平分线的判定，平行线的性质，解题关键是掌握角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这角的平分线上．根据两把完全相同的长方形直尺，可知平分，又，进而可得的度数．再由长方形直尺可得，利用平行线的性质可求解． 【详解】解：由题意，两把完全相同的长方形直尺，则点到的距离相等， ∴平分， ∴， 由长方形直尺可知：， ∴， 故答案为：． 71．如图，四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，于，于，根据角平分线的性质定理得到，可知平分，即，根据三角形外角的性质求出的值即可． 【详解】解：如图，作于，于，于， ∵， ∴平分， ∵，， ， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 平分， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 题型二十四：角平分线性质的实际应用 解题思路：①把实际场景抽象转化几何模型，②找准角平分线与垂线段，③利用角平分线性质求解线段长度。 72．如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条高的交点处 C．三角形三条中线的交点处 D．三角形三个内角的角平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三角形三个内角的角平分线的交点处． 故选：D． 73．如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，则的周长是_______． 【答案】13 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的应用，正确的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得，则的周长，从而得出答案． 【详解】解：∵平分， ∵， 同理， ∴的周长． 故答案为：13． 74．如图两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，C村到公路的距离为，则C村到公路的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 证明，可得，根据角平分线的性质，即可得C村到公路的距离． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴为的角平分线， ∴点到的距离与点到的距离相等， ∵C村到公路的距离为， ∴C村到公路的距离是． 故选：D． 解答题 1．如图所示，已知，其中． (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)证明：， ， ． (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，根据内错角相等两直线平行，即可得证； （2）根据全等三角形的性质可得，进而可得，结合已知，求得，进而可得的长． 【详解】（1）略 （2）， ， ， ， ， ， ． ． 2．如图，已知点E是的中点，和全等吗？为什么？ 【答案】和全等，理由如下： ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】利用中点的定义可得，再结合对顶角相等运用即可解答． 【详解】解：和全等，理由略． 3．如图所示，在中，，于点，，平分交于点，的延长线交于点．试说明： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵平分， ∴， 又，， ∴． (2) 证明：由（）知， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （）由角平分线得到，再根据即可证明全等； （）由全等得到，再根据互余关系得到，则，则． 【详解】（1）略 （2）略 4．如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当 时，． 【答案】(1)证明：， ． ． ，， ． ． (2)； 【分析】（1）先由，得，又因为，，即可证明； （2）由，再结合对顶角相等，三角形内角和性质得，根据，故，最后运用三角形外角性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：略 （2）解：， ． ， ， ， ． （三角形外角性质）． 5．如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴ (2)方法一：如图，连接，得到， 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 方法二：如图，连接，得到， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ 【分析】（1）在和中，结合已知的、公共角与，依据即可证明两三角形全等； （2）可连接，得到；由（1）得，由全等性质可知、，结合推得，再根据三边对应相等，依据即可证明；也可连接，得到，同上得、，依据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 6．如图，，，点E在上．求证： (1)平分， (2)． 【答案】(1)证明：在与中， ∴， ∴， 即平分． (2)证明：由（1）得， 在与中， ∴， ∴ 【分析】（1）由题中条件易知：，可得平分； （2）利用（1）的结论，可得，得出． 【详解】（1）略 （2）略 7．如图，在中，，，，、两点分别在线段和过点且垂直的射线上运动，且点不与点，重合，，那么当点运动到什么位置时，才能使与全等？ 【答案】当点运动到线段的中点位置时，能使与全等 【分析】先得到两个三角形均为直角三角形，结合斜边，利用定理分类讨论直角边对应相等，再结合点不与点重合的限制，排除，最终确定． 【详解】解：∵，， ∴， ∴与都是直角三角形， ①当时，点与点重合，不符合题意， ②当时，在与中， ∵， ∴， ∵， ∴，即点是线段的中点， 综上所述，当点运动到线段的中点位置时，能使与全等． 8．如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：，为延长线上一点， ， 在和中， ， ， ； (2)证明：， ， ， ． 【分析】（1）运用证明可得； （2）根据可得，进而即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 9．已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 【答案】②， 理由：∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴； ③， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴． 【分析】根据全等三角形的判定方法结合平行线的性质逐一判断证明即可． 【详解】选①或②，理由略． 若选①，满足的是边边角，不能判定两个三角形全等． 10．阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)方法①∶证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； 方法②：证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； (2)如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， 设与交于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． (3)与面积相等，理由如下； 由（2）可知， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． 【分析】（1）方法①：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明；方法②：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而推出，，再证明，即可得出，设与交于点H，由，即可得出，等量代换可得出，由三角形内角和定理即可得出． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：略； 11．在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 【答案】(1)①证明：，， ， ，， . ，， ． ②30 (2)4 【分析】（1）①利用直角的性质，通过等量代换求出，结合已知条件，利用即可证明．②利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质推出和相应的度数，和相应的长度，以及，根据直角三角形的面积公式即可求出的面积． （2）利用旋转的性质和已知条件，证明三点共线、以及，根据面积法即可求出的长度． 【详解】（1）①证明：略． ②解：，， ， ， 由①可得，， ， 为直角三角形， ，， ． ， ． （2）解：将绕点逆时针旋转使和重合，得到，如图所示， ，，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在线段的延长线上， ， ， ． ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于判断三点共线，巧妙将边上的高转化为． 12．如图，用直尺和圆规作，使． 【答案】如图，即为所求 【分析】根据尺规作图—作相等角：以角的顶点为圆心作圆，与角的两边分别交于一点，用圆规截取这两点间的距离，在射线上作同样的圆，与射线交于一点，以该点为圆心，以所截取的距离为半径作圆，与之前的圆交于一点，以所在射线上的端点和该交点作射线，即可得到相等角（原理：的全等三角形的判定和性质）和作相等线段，利用的全等三角形的判定方法确定． 【详解】解：略． 13．已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 【答案】(1)证明：平分，平分， 设，， ，， ； (2)证明：过作于点，作于点，作于点， 平分， ， 平分， ， ． 平分． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，，即可得到结论； （2）过作于点，作于点，作于点，根据角平分线的性质得到，，则．根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 14．如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是 ． 【答案】(1)如图，点即为所求． (2)到角两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】（1）利用角平分线的性质作出图形即可； （2）利用角平分线的判定解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $