专题 14.8 全等三角形几何模型（截长补短）讲义 - 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦全等三角形中截长补短模型这一核心知识点，系统梳理截长法与补短法的定义及基本模型，通过角平分线、直角三角形、综合模型三类题型精析搭建从原理到应用的学习支架，配套同步检测实现知识巩固。 资料以图形直观呈现模型构建过程，助力学生发展几何直观与抽象能力，分层设计例题及变式训练培养推理意识，同步检测涵盖选择、填空、解答题，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，提升用数学语言解决问题的能力。

专题 14.8 全等三角形几何模型（截长补短）讲义【两大模型三类题型】 目录 一.模型梳理 1 （一）定义： 1 （二）常见的模型及证法 1 1、基本模型示例——截长法 1 2、基本模型示例——补短法 2 二.基本模型题型精析 3 【题型1】角平分线截长补短模型 3 【题型2】直角三角形截长补短模型 9 【题型3】截长补短综合模型 17 三.同步检测 26 （一）选择题 26 （二）填空题 27 （三）解答题 30 一.模型梳理 （一）定义 “截长补短”实际上包括两层含义：“截长法”与“补短法”，所谓“截长法”就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短法”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系，有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。 （二）常见的模型及证法 1、基本模型示例——截长法 条件 如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，则有：MB－MC＜AB－AC． 基本图形 作法 在AB上截取AE＝AC，连接ME 证明 在△MBE中， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴, 在△AMC和△AME中， ∵ ∴△AMC≌△AME（SAS）， ∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵BE＝AB－AE， ∴BE＝AB－AC， ∴MB－MC＜AB－AC． 2、基本模型示例——补短法 条件 如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，则有：MB－MC＜AB－AC． 基本图形 作法 延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG 证明 在△ABC中， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴, 在△AMG和△AMB中， ∵ ∴△AMG≌△AMB（SAS）， ∴BM=GM， ∵在△MCG中MG-MC＜CG ∴MB－MC＜AG-AC= AB－AC 即MB－MC＜AB－AC． 二.模型题型精析 【题型1】角平分线截长补短模型 【例题1】（24-25八年级上·安徽·单元测试）“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系．“截长”：指在长线段中截取一段等于已知线段；“补短”：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程．已知：如图，中，，，求证：． 【答案】证明：在上取，连接，    ，，且， ， ，， ∵ ，， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 在上取．连接，可得，得出，再证明即可解决问题． 解：略 【变式1】（2025·山东菏泽·三模）如图，四边形中，，平分，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【分析】由题意在BC上截取一点E使得BE=BA,并连接DE，证得进而求出和即可求出四边形的面积． 解：由题意在BC上截取一点E使得BE=BA,并连接DE， ∵平分， ∴， ∵， ∴,, ∵，，，， ∴, , ∴四边形的面积为: ; 故选：C． 【点拨】本题考查四边形综合问题，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及勾股定理和角平分线性质是解题的关键． 【变式2】（2024八年级上·全国）如图，中，平分，，，则的度数为_______． 【答案】 【分析】如图（见解析），在线段AC上取点E，使得，先根据角平分线的定义得出，再根据三角形全等的判定定理与性质得出，，然后根据线段的和差、等量代换得出，最后根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质即可得． 解：如图，在线段AC上取点E，使得 平分 在和中， ， 又 故答案为：． 【点拨】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 【变式3】（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 【答案】（1）证明∶小明∶过点作的延长线于点， ∵平分，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴； 小丽∶延长至，使，连接， ∵， ∴， ∵平分 ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过作交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵，，， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴． 【分析】（1）根据题干所给证明方法完善证明过程即可得解； （2）①由得，由，，根据同角的余角相等即可得解；②过作交的延长线于点，则，进而得，证明，得，，再证明得，即可得证． 解：略 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，中点定义，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【题型2】直角三角形截长补短模型 【例题2】（第10讲重难点拓展：“截长补短模型”证明三角形全等【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版））截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 【答案】证明：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 在上截取，连接，证明，得出，，证出得出，即可证明； 解：略 【变式1】（24-25八年级上·湖北·期中）如图，△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,连CD,下列结论:①AB-AC=CE；②∠CDB=135°；③S△ACE=2 S△CDB；④AB=3CD,其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】①作高线EH，先根据角平分线定理得：CE=EH，再证明△ACE≌△AHE（AAS）可得：AH=AC，根据线段的和可得结论； ②先证明点A，B，D，C在以AB为直径的圆上，得∠ADC=∠ABC=45°，所以可得∠BDC=135°； ③作辅助线，构建全等三角形，证明△ACE≌△BCG，根据等腰三角形三线合一得BD=DG，知道：△BDC和△CDG的面积相等，由此可得：； ④根据③知：AB=AG=AC+CG，在△CDG中，可知CD>CG，从而得结论． 解：①过点E作EH⊥AB于H，如图1， ∵∠ABC=45°， ∴△BHE是等腰直角三角形， ∴EH=BH， ∵AE平分∠CAB， ∴EH=CE， ∴CE=BH， 在△ACE和△AHE中， ∵ ， ∴△ACE≌△AHE（AAS）， ∴AH=AC， ∴AB−AC=AB−AH=BH=CE， 故①正确； ②∵∠ACB=90°，BD⊥AE于D， ∴∠ACB=∠ADB=90°， ∴点A，B，D，C在以AB为直径的圆上， ∴∠ADC=∠ABC=45°， ∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=90°+45°=135° 故②正确； ③如图2，延长BD、AC交于点G， ∵AD平分∠BAG，AD⊥BG， ∴BD=DG， ∴CD是Rt△BCG的斜边的中线， ∴CD=BD， ， ∴∠DBC=∠DCB=22.5°， ∴∠CBG=∠CAE=22.5°， ∵AC=BC，∠ACE=∠BCG， ∴△ACE≌△BCG， ∴ ， 故③正确； ④∵AB=AG=AC+CG， ∵BG=2CD>AC，CD>CG， ∴AB≠3CD， 故④错误， 故选B． 【点拨】本题考查了全等三角形的形判定和性质，以及直角三角形斜边上的中线，掌握辅助线的做法证明三角形全等是解题的关键. 【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）小刚在数学兴趣小组活动中，通过小组合作解决了一个几何问题：如图①，等腰中，．点D是上一动点，点E、P分别在延长线上，且，． （1）问题思考在图①中，求证：； （2）问题再探若，如图②，探究线段、、之间的数量关系，并证明． 小刚发现：用截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而可以解决上述问题 （注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段．） （3）问题拓展，若，且平分，如图③，请直接写出的值为______． 【答案】（1）解：，证明如下： ，, ， 在与中， ， ， ，, ，， ， ，， ； （2） 如图所示，在线段上取点F，使得， ， ， ， ， ， ， ， 在与中 ， ， ， ，，， ； （3）． 【分析】（1） 先证明，再利用全等三角形的性质即可解决问题； （2） 在线段上取点F，使得，再证明，推出，，可得结论； （3） 在线段上取点H，使得，先求出，再证明可得，再求出可得答案． 解：（1）略 （2）略 （3）如图所示：在线段上取点H，使得，即， ，且平分， ，， 又，， ， 在与中 ， ， ， ， ， ， ，， ，即：， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式3】（25-26七年级下·吉林长春·期末）小明最近学习了等腰三角形的相关知识，他发现，在一些几何题中，经常需要通过作辅助线构造等腰三角形来解决问题． （1）【方法初探】如图①，在中，，，于点，，，求的长．   小明发现，在该三角形中，有两个内角存在倍关系，若延长至点，使，连接（如图②），即可构造等腰三角形，利用倍角关系，可证出也是等腰三角形，再利用“等腰三角形的三线合一”的性质可以解决问题．根据以上分析，可求出的长为____ （2）【拓展延伸】如图③，在中，，平分，交于点．求证：． 以下是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． ， ， ， ， ， ，． 请你帮助小明补全上述证明过程． （3）【综合应用】如图④，在四边形中，，，．连接、，若，，则________． 【答案】（1）；（2）平分， ， ， ， ， ∴， ，， ． （3） 【分析】（1）延长至点，使，连接，则，证明是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一即可求解； （2）根据角平分线的定义得，证明，则，即可得证； （3）延长，，交于点，则，，都是等腰三角形，再利用等面积法即可求出的长． （1）解：延长至点，使，连接． ∴， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴． （2）略 （3）解：如图，延长，，交于点， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【题型3】截长补短综合模型 【例题3】（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC 【答案】截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN， 在△APN和△APC中 ∵AN=AC，∠1=∠2，AP=AP， ∴△APN≌△APC， ∴PC=PN， ∵△BPN中有PB－PN＜BN， 即PB－PC＜AB－AC； 补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM， 在△ABP和△AMP中， ∵AB=AM，∠1=∠2，AP=AP， ∴△ABP≌△AMP， ∴PB=PM， 又∵在△PCM中有CM＞PM－PC， 即AB－AC＞PB－PC． 【分析】截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN，可证得△APN≌△APC，可得到PC=PN，△BPN中，利用三角形的三边关系，即可求证；补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，证明△ABP≌△AMP，可得PB=PM，在△PCM中，利用三角形的三边关系，即可求证． 解：略． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，理解截长补短法是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． （1）为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； （2）如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 【答案】（1）证明：在上截取，使得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义可得，再利用证明，从而可得，，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再根据等量代换可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）在上截取，连接，先利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 解：（1）略 （2）在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为16． 【变式2】（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【答案】（1）补全图形，如图： ，， （2）成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． （1）解：解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）略 （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·广东珠海·期中）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 【方法初探】如图1，在中，于点，若，求证：．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在上截取，连接，从而证明出结论．请你写出证明过程． 【方法应用】如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； 【实际应用】如图4，在中，，，当为的补角的角平分线时，线段，，之间的数量关系为______． 【答案】【方法初探】 证明过程如下， ， ． 在和中， ， ，． ， ， ， ． ， ， 即． 证明：如图， 在上取一点，使得， 又， 是等边三角形， ，． 是等边三角形， ，， ， 即． 在和中， ， ， ， 即． 【实际应用】 【分析】此题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．根据截长补短法，构造全等三角形，再利用全等三角形的性质解决问题即可． 解： 【方法初探】略 【方法应用】略 【实际应用】解：， 理由：如图， 在的延长线上取一点，，连接， 为的补角的角平分线， 即平分， ． 在和中， ， ，． ，， ， ． ， ， ， ． 又， ． 三.同步检测 （一）选择题 1.（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在中，，，P为上任意一点（不与点A，D重合）．求证：． 【答案】证明：如图，在上截取，连接， 在和中，， ∴， ∴， 在中，，即， ∴． 【分析】本题主要考查截长法、全等三角形的判定，准确构造辅助线是解题的关键． 首先在上构造，连接，进而即可证明得到，即可证明． 解：略 （二）填空题 2.（25-26八年级上·重庆·期中）如图，中，平分交于，且，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角、三角形内角和定理，在上截取一点，使得，连接，证明，所以，故有， 然后通过等边对等角得， 最后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，在上截取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3.（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，在中，，是的角平分线， ，则_______； __________ 【答案】 /度 4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，与角平分线有关的三角形内角和问题，正确作出辅助线，证明是解题的关键．利用角平分线的定义和三角形内角和定理即可求出的度数；在上找到F使得，则，证明，得到，再证明，即可得到． ，易证∠BOE=∠COD=60°，即可证明△BOE≌△BOF，可得∠BOF=∠BOE=60°，即可证明△OCF≌△OCD，可得CF=CD，根据BC=BF+CF即可解决问题. 解：∵，是的角平分线， ∴ ∴， ∴， 在上找到F使得，则， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：， 4.（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在Rt中，，，D为AB右侧一点，且，，，则的面积为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键； 在上截取一点E，使得，连接，证明，根据全等三角形的性质即可求解． 解：在上截取一点E，使得，连接，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． （三）解答题 5.．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：； 方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：； 问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图，在上截取， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）线段，，之间的数量关系为． 【分析】（1）由折叠的性质可证三角形全等，可得对应边相等，对应角相等，结合已知，可得等腰直角三角形，等量代换，即可证得结论； （2）在上截取，综合全等三角形的判定和性质，可得，结合已知和三角形外角的性质，可得等腰三角形，等量代换，即可证得结论； （3）在射线上截取，结合角平分线，可证三角形全等，对应边相等，对应角相等，由已知结合三角形外角的性质，可得等腰三角形，等量代换，即可得出线段，，之间的数量关系． 解：（1）略 （2）略 （3）解：， 证明：如图，在射线截取，连接， ∵是的外角的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：线段，，之间的数量关系为． 【点拨】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线． 6．（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 【答案】（1）补全图形，如图： ； （2）成立， 证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【分析】（1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 解：（1）略 （2）略 （3）解：在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴．’ 故答案为：． 7．（23-24八年级上·安徽·单元测试）“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系．“截长”：指在长线段中截取一段等于已知线段；“补短”：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程．已知：如图，中，，，求证：． 【答案】证明：在上取，连接，    ，，且， ， ，， ∵ ，， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 在上取．连接，可得，得出，再证明即可解决问题． 解：略 8．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】 如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】 （1）为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， （ ① ）， ，． ， ． 是的一个外角， ， ， ② ，（ ③ ） ， ． （2）请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 【答案】（1）；；等角对等边；（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，理解题意，熟练掌握“截长补短法”是解题关键． （1）首先根据角平分线的定义可得，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，结合易得，结合三角形外角的性质即可证明为等腰三角形，然后证明结论； （2）在上截取，连接，利用“”，由全等三角形的性质可得，进而可得，易得，再利用“”证明，易得，即有，然后结合题意求解即可． 解：（1）为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是的一个外角， ， ， （等角对等边）， ， ． 故答案为：；；等角对等边； （2）在上截取，连接， 由题意可得，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 14.8 全等三角形几何模型（截长补短）讲义【两大模型三类题型】 目录 一.模型梳理 1 （一）定义： 1 （二）常见的模型及证法 1 1、基本模型示例——截长法 1 2、基本模型示例——补短法 2 二.基本模型题型精析 3 【题型1】角平分线截长补短模型 3 【题型2】直角三角形截长补短模型 4 【题型3】截长补短综合模型 6 三.同步检测 8 （一）选择题 8 （二）填空题 8 （三）解答题 9 一.模型梳理 （一）定义 “截长补短”实际上包括两层含义：“截长法”与“补短法”，所谓“截长法”就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短法”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系，有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。 （二）常见的模型及证法 1、基本模型示例——截长法 条件 如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，则有：MB－MC＜AB－AC． 基本图形 作法 在AB上截取AE＝AC，连接ME 证明 在△MBE中， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴, 在△AMC和△AME中， ∵ ∴△AMC≌△AME（SAS）， ∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵BE＝AB－AE， ∴BE＝AB－AC， ∴MB－MC＜AB－AC． 2、基本模型示例——补短法 条件 如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，则有：MB－MC＜AB－AC． 基本图形 作法 延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG 证明 在△ABC中， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴, 在△AMG和△AMB中， ∵ ∴△AMG≌△AMB（SAS）， ∴BM=GM， ∵在△MCG中MG-MC＜CG ∴MB－MC＜AG-AC= AB－AC 即MB－MC＜AB－AC． 二.模型题型精析 【题型1】角平分线截长补短模型 【例题1】（24-25八年级上·安徽·单元测试）“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系．“截长”：指在长线段中截取一段等于已知线段；“补短”：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程．已知：如图，中，，，求证：． 【变式1】（2025·山东菏泽·三模）如图，四边形中，，平分，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【变式2】（2024八年级上·全国）如图，中，平分，，，则的度数为_______． 【变式3】（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 【题型2】直角三角形截长补短模型 【例题2】（第10讲重难点拓展：“截长补短模型”证明三角形全等【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版））截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 【变式1】（24-25八年级上·湖北·期中）如图，△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,连CD,下列结论:①AB-AC=CE；②∠CDB=135°；③S△ACE=2 S△CDB；④AB=3CD,其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）小刚在数学兴趣小组活动中，通过小组合作解决了一个几何问题：如图①，等腰中，．点D是上一动点，点E、P分别在延长线上，且，． （1）问题思考在图①中，求证：； （2）问题再探若，如图②，探究线段、、之间的数量关系，并证明． 小刚发现：用截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而可以解决上述问题 （注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段．） （3）问题拓展，若，且平分，如图③，请直接写出的值为______． 【变式3】（25-26七年级下·吉林长春·期末）小明最近学习了等腰三角形的相关知识，他发现，在一些几何题中，经常需要通过作辅助线构造等腰三角形来解决问题． （1）【方法初探】如图①，在中，，，于点，，，求的长．   小明发现，在该三角形中，有两个内角存在倍关系，若延长至点，使，连接（如图②），即可构造等腰三角形，利用倍角关系，可证出也是等腰三角形，再利用“等腰三角形的三线合一”的性质可以解决问题．根据以上分析，可求出的长为____ （2）【拓展延伸】如图③，在中，，平分，交于点．求证：． 以下是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． ， ， ， ， ， ，． 请你帮助小明补全上述证明过程． （3）【综合应用】如图④，在四边形中，，，．连接、，若，，则________． 【题型3】截长补短综合模型 【例题3】（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC 【变式1】（25-26八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． （1）为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； （2）如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 【变式2】（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【变式3】（25-26八年级上·广东珠海·期中）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 【方法初探】如图1，在中，于点，若，求证：．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在上截取，连接，从而证明出结论．请你写出证明过程． 【方法应用】如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； 【实际应用】如图4，在中，，，当为的补角的角平分线时，线段，，之间的数量关系为______． 三.同步检测 （一）选择题 1.（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在中，，，P为上任意一点（不与点A，D重合）．求证：． （二）填空题 2.（25-26八年级上·重庆·期中）如图，中，平分交于，且，若，则的度数为______． 3.（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，在中，，是的角平分线， ，则_______； __________ 4.（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在Rt中，，，D为AB右侧一点，且，，，则的面积为________． （三）解答题 5.．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：； 方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：； 问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系． 6．（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 7．（23-24八年级上·安徽·单元测试）“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系．“截长”：指在长线段中截取一段等于已知线段；“补短”：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程．已知：如图，中，，，求证：． 8．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】 如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】 （1）为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， （ ① ）， ，． ， ． 是的一个外角， ， ， ② ，（ ③ ） ， ． （2）请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $